[复习]自然数N次方的尾数周期变化情况.docx
数学运算题型解析
行测数学运算题型（1）尾数计算问题1．尾数计算法知识要点提示：尾数这是数学运算题解答的一个重要方法，即当四个答案全不相同时，我们可以采用尾数计算法，最后选择出正确答案例1 99+1919+9999的个位数字是（）。
A．1 B．2 C．3 D．7 （2004年中央A、B类真题）解析：答案的尾数各不相同，所以可以采用尾数法。
9＋9＋9＝27，所以答案为D2．自然数N次方的尾数变化情况知识要点提示：我们首先观察2n 的变化情况21的尾数是222的尾数是423的尾数是824的尾数是625的尾数又是2我们发现2n的尾数变化是以4为周期变化的即21、25、29……24n+1的尾数都是相同的。
2n是以“4”为周期进行变化的，分别为2，4，8，6，2，4，8，6，........3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1，3，9，7，1 ……7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1，7，9，3，1 ……8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6，8，4，2，6 ……4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6，4，6，……9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1，9，1，……5n、6n尾数不变。
例1 19881989+19891988的个位数是（2000年中央真题）A．9 B．7 C．5 D．3解析：由以上知识点我们可知19881989 的尾数是由81989的尾数确定的，1989÷4＝497余1，19881989 的尾数为8。
我们再来看19891988的尾数是由91988的尾数确定的，尾数为1。
综上我们可以得到19881989 + 19891988 尾数是8+1＝9，。
（2）、容斥容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )A.22B.18C.28D.26【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
2012河南公务员考试备考指导
2012河南公务员考试备考指导(以下材料内容是由中公教育专家编撰提供，更多内容请多关注中公教育官方网站)2012河南公务员考试申论指导：写好文章段首之“五法”申论科目重点考评考生的写作能力，要写得一手好文章才有胜算。
文章段首有开篇明义之效，中公教育专家在研究数年申论考试真题基础之上总结了以下五种写好文章段首之法，以期对考生有所帮助。
一、紧扣题目式近几年的公务员考试申论文章论述题部分，呈现出一大特点并渐趋稳定，即题目给出文章写作的话题，一般是给出给定资料中的一段话，或者是限定某一则资料，要求结合对这段话或者资料的思考，结合自己的经验或感受写一篇文章。
对于这类题目，考生在具体行文中，必须在开头部分对题目中出示的话题加以引述、阐释，而后发表评论，提出自己的观点。
如此，既紧扣题目要求，彰显写作的严谨性，又能大大降低文章跑题的嫌疑。
二、铺陈开来式即先交待问题产生的背景，首先肯定成绩是主流，随后话锋一转，指出总体上存在什么问题，这一问题有什么影响或危害，解决的必要性、迫切性，最后是简要阐述如何加以解决，提出总体思路。
此所谓“开门见山，落笔扣题”。
需要注意的是，采用此种开头方式必须对给定资料所反映的问题有自己精辟的卓见，并形成判断，提炼出文章的论点。
【中公示例】土地是农民主要的生产资料，是农民生存的保障。
但是，近年来，随着我国城市化进程加快，大量农民集体用地被国家征用，而被征地农民的利益未得到有效的保护，严重影响了社会的稳定和发展。
土地是农民的命脉，土地征用问题能否妥善解决，不但直接影响到农民的切身利益，也关系到整个社会经济能否稳定持续健康发展。
可以说，解决好土地征用问题，既是建设小康社会的必然要求，也是构建社会主义和谐社会的本质要求。
为此，我们必须采取措施切实有效保护农民利益，大力做好土地征用工作。
（——《命脉》）【中公分析】文章开头先指出了土地的重要性，而后笔锋一转，介绍了近年来出现的土地征用问题，分析其影响、危害、解决问题的意义，最后提出方向性的对策思路。
数量关系
数量关系专题：数学运算--代入排除法数学运算对于很多理科不太好的同学来说，一直是一个比较头痛的难题。
其原因在于：1、数学运算题题型众多，有浓度问题、行程问题、牛吃草问题、概率问题、利润问题等等，每种题型各有解题方法和技巧，整体复习难度大。
2、数学运算解题时间耗费较多，大部分题型如果按照正常解题思路去解题的话，平均每道题的解题时间就在1分钟以上，对于时间极其宝贵的行测考试来说，根本不可能留有足够的时间。
3、有很多题的解题思路很难快速想到，即便是想到了，时间也随之花费了。
总之，数学运算的难度不可否认，每个同学都应该积极面对这一部国家公务员网（）特邀专家张致远在本文介绍的“代入排除法”是一种简单有效的速算方法，其原理虽然简单，但是适用范围涵盖各种题型，并且解题效率非常高。
在学习各种题型的解题技巧之前，不妨先学习“代入排除法”，毕竟，代入排除法是解数学运算题的“第一思维”。
代入排除法的方法是：将选项作为一个常量或者作为题目的一个条件，代入到题干的数量关系中，通过验算，计算出这个选项是否符合题干的要求，如果符合，即为正确答案，如果不符合，再代入下一个选项去做尝试，直至找到正确答案。
下面来看几道例题：【例1】某市园林部门计划对市区内30处绿化带进行补栽，每处绿化带补栽方案可从甲、乙两种方案中任选其中一方案进行。
甲方案补栽阔叶树80株，针叶树40株：乙方案补栽阔叶树50株，针叶树90株。
现有阔叶树苗2070株，针叶树苗1800株，为最大限度利用这批树苗，甲、乙两种方案应各选（）A．甲方案19个、乙方案11个B．甲方案20个、乙方案10个C．甲方案17个、乙方案13个D．甲方案18个，乙方案12个【解析】D。
这道题从题干入手很难快速解题，因此选用代入排除法，即从选项入手。
A项代入，19×80+11×50=2070，19×40+11×90=1750，阔叶树正好栽完，针叶树还剩50株。
国家公务员考试行测数学运算之年龄问题
国家公务员考试行测数学运算之年龄问题2012-11-07 14:25 作者：广东华图来源：点击：259 次【导读】数学运算主要考查应试者解决算术问题的能力。
在这种题型中，每道试题中呈现一道算术式子，或者是表述数字关系的一段文字，要求考生迅速、准确地计算出答案。
在解答此类试题时，关键在于找捷径和简便方法。
数学运算的简便解题方法有很多，如数学公式运算法、凑整计算法、基准数法、提取公因式法等等，根据常考的试题，还总结出一些专题，比如年龄问题、植树问题、行程问题等等，每一类题也有各自不一样的解法，我们会一一给大家讲解，今天，我们主要来讲一讲年龄问题的解题方法。
求解年龄问题的关键是“年龄差不变”。
几年前的年龄差和几年后的年龄差是相等的，即变化前的年龄差=变化后的年龄差。
解题时将年龄的其他关系代入上述等式即可求解。
已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。
年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合。
它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。
年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。
我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。
解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。
介绍几道例题，帮助大家掌握年龄问题的解题方法：【例题1】今年哥弟两人的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的素数恰好是弟弟的两倍，问哥哥今年年龄是多大?( )A.33B.22C.11D.44【答案及解析】A设今年哥哥X岁，则今年弟弟是55-X岁，过去某年哥哥岁数是55-X 岁，那是在X-(55-X)即2X-55年前，当时弟弟岁数是(55-X)-(2X-55)即110-3X。
列方程为55-X=2(110-3X)55-X=220-6X 6X-X=220-55 5X=165 X=33【例题2】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。
2013年413公务员考试行测：尾数的两种变化
2013年413公务员考试行测:尾数的两种变化中公教育专家经深入、细致的研究发现，尾数通常是一个数的个位数字，有时也指末几位有效数字。
在数学运算题型中，当选项中四个数的尾数各不相同时，可以利用尾数特性，在不直接计算算式各项的值的情况下，只计算结果的尾数，以确定选项中符合条件的答案，提高考生解题效率。
一、四则运算中的尾数变化情况尾数本质上是原数除以10的余数，尾数特性本质上是同余的性质。
因此，两个数的和的尾数等于尾数之和的尾数，两个数的差的尾数等于尾数之差的尾数，两个数的积的尾数等于尾数之积的尾数。
（1）四则运算中尾数的基本性质（2）四则运算中尾数的扩展性质请注意：算式中如果出现了除法，请不要使用尾数法。
例题1：173×173×173－162×162×162=（）。
A．926183 B．936185 C．926187 D．926189中公解析：此题答案为D。
选项四个数的尾数各不相同，直接计算其尾数。
3×3×3-2×2×2=27-8=19；可知结果的尾数应该是9，因此只能选D。
例题2：3！+4！+5！+…+999！的尾数是几？A.0B.4C.6D.2中公解析：此题答案为A。
3！=3×2×1=6，尾数为6；4！=4×3×2×1=24，尾数为4；5！=5×4×3×2×1=120，尾数为0；当n＞5时，n！=n×（n-1）×…×5×4×3×2×1，尾数为0。
所以3！+4！+5！+…+999！的尾数和为6＋4＋0=10，尾数为0。
二、自然数n次方的尾数变化情况一个自然数n次方的尾数等于其尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0-9的n次方尾数变化规律即可。
2013年413公务员考试申论技巧：谋篇布局写文章中公教育专家研究发现，申论是一种非常严格的主观性考试，基本不允许有套路性思维的存在，但是由于申论材料的客观性，使得很多考生很愿意采取“套路式”的写作，惯用“几步走”方略，觉得这样写起来会得高分，孰不知阅卷人对“套路式”答题是非常反感的，因为考生在“生搬硬套”的过程中，就不能够很好的表达自己的看法，没有新意，如果你的写作套路跟其他的人的写作套路相同或相近，这样“千人都一面，千篇都一律”，那么你的文章就很难抓住阅卷人的眼睛，得到高分就更是难上加难了。
数学运算习题解题技巧与精练
数学运算习题解题技巧与精练在公务员考试行测考试中，凑整法一般包括以下三种：加/减法凑整法，通过交换运算次序，把可以通过加/减得到较整的数先进行运算的方法。
乘/除法凑整法，通过交换运算次序，把可以通过乘/除法得到较整的数先进行运算的方法。
参照凑整法，将一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后进行修正的方法。
福建公务员考试网辅导专家指出凑整法不仅仅是一种“运算方法”，更重要的是一种“运算思想”，需要考生灵活应用并学会数学运算算式题巧算型解题技巧。
在公务员考试数学运算利用巧算时，还要注意观察尾数法的应用，观察尾数法是解答算式选择题的一个重要方法，即当四个答案的尾数都不相同时，可采用观察尾数法，最后选择出正确答案。
自然数n次方的尾数变化情况如下：2n的尾数是以“4”为周期变化的，即21，25，29…24n+1的尾数都是相同的3n的尾数是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，14n的尾数是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6，…5n和6n的尾数不变7n的尾数是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1，…8n的尾数是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6，…9n的尾数是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1，【例题】1.凑整法例题1例题2求1999+199+19的值。
（）A.2220B.2218C.2217D.2216【解析】这是道整数凑整题。
可将各项加1，使算式变成2000+200+20=2220，这时还不能马上选A，否则就掉入出题人设的“陷阱”了，而应再减去3，即2220-3=2217。
故选C。
2.观察尾数法例题1A.5B.6C.8D.9【解析】此题采用尾数法，12007尾数为1，32007的尾数与33相同为7，52007尾数为5，72007尾数与73相同为3，92007尾数与93相同为9，1+7+5+3+9=25，即个位数为5。
故选A。
例题219991998的末位数字是（）。
1计算问题类
3.相接近的若干数求和 3.相接近的若干数求和
加法算式是若干个大小相接近的数连加， 加法算式是若干个大小相接近的数连加， 则也可用巧妙的办法进行计算。 则也可用巧妙的办法进行计算。 例 1997+2002+1999+2003+1991+2005 经观察，式中6加数都接近 加数都接近2000，把 解：经观察，式中 加数都接近 ， 2000称为“基准数”。把这6个数都看作 称为“基准数” 把这 个数都看作 称为 2000，则变为 个2000。若多加了，就减 ，则变为6个 。若多加了， 少加了再加上，这样计算比较简便。 去，少加了再加上，这样计算比较简便。 原式=2000×6+（-3+2-1+3-9+5） 原式 × （ ） =12000-3＝11997 ＝
6．自然数 次方的尾数变化情况 ．自然数N次方的尾数变化情况
先观察2 先观察 n 的变化情况 21的尾数是 2的尾数是 的尾数是2;2 的尾数是4 23的尾数是 ;24的尾数是 ;25的尾数又是 的尾数是8 的尾数是6 的尾数又是2 发现2的尾数变化是以 为周期变化的即2 的尾数变化是以4为周期变化的即 发现 的尾数变化是以 为周期变化的即 1 、25、 的尾数都是相同的。 29、…24n+1的尾数都是相同的。 3n是以“4”为周期进行变化的，分别为 是以“ 为周期进行变化的 分别为3,9,7,1，… 为周期进行变化的， ， 7n是以“4”为周期进行变化的，分别为 是以“ 为周期进行变化的 分别为9,3,1,7，… 为周期进行变化的， ， 8n是以“4”为周期进行变化的，分别为 是以“ 为周期进行变化的 分别为8,4,2,6，… 为周期进行变化的， ， 4n是以“2”为周期进行变化的，分别为 是以“ 为周期进行变化的 分别为4,6, … 为周期进行变化的， 9n是以“2”为周期进行变化的，分别为 是以“ 为周期进行变化的 分别为9,1, … 为周期进行变化的， 5n、6n尾数不变。 尾数不变。
一个数的n次方后末们数字是几
一个数的n 次方后末们数字是几？
例：20158表示2015个8连乘，它的结果末位数上是几？
解：思路点拨：先观察12348,8,8,8
末位数字特点，看是否有周期性，若有，则可
根据周期问题的方法解答。
18的末位数是8，
28的末位数是4，
38的末位数是2，
38的末位数是6，
48的末位数是8，
可以看出，末位数字是8,4，2,6，循环的，周期数是4 练习题：
1、200082的个位数是几？
12末位数字是2，
22末位数字是4，
32末位数字是8，
42末位数字是6，
52末位数字是2
可以看出，末位数字是2,4，8,6循环的，周期数是4 20084502÷= 所以200082
的个位数字是6。
2、2003200420032004+的个位数是几？
先求20082003
的个位数是几？ 13末位数字是3，
2
3末位数字是9，
33末位数字是7，
4
3末位数字是1 53末位数字是3
可以看出末倍数字是3,9，7,1循环的，周期数也是4 2003450
3÷=，所以20082003的末位数是7； 再求20082004
的个位数是几？ 14末位数是4，
24的末位数是6，
34的末位数是4
可以看出末位数是4,6循环的，周期数是2。
20084502÷=，所以20082004
的末位数是4， 则：2003200420032004+的个位数是1。
一、加减乘除问题
1．直接利用补数法巧算知识要点提示：如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。
如：8＋2＝10，49＋51＝100，736＋264＝1000。
其中，8和2互为补数；49和51互为补数；736和264互为补数。
在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。
例题1、计算274＋135＋326＋265解：原式＝（274＋326）＋（135＋265）＝600＋400＝10002．间接利用补数法巧算如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。
例题计算1986＋2381解：原式＝2000－14＋2381＝2000＋2381－14＝4381－14＝4367以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。
3．相接近的若干数求和下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。
例题计算1997+2002+1999+2003+1991+2005解：经过观察，算式中6个加数都接近2000，我们把2000称为“基准数”。
我们把这6个数都看作2000，则变为6个2000。
如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。
原式＝2000×6＋（-3＋2－1＋3－9＋5）＝12000－3＝119974．乘法运算中的凑整法知识要点提示：首先必须掌握一些最基本的凑整算式，具体如下：5×2=10 25×4=100 25×8=200 25×16=400 125×4=500 125×8=1000 125×16=2000625×4=2500 625×8=5000 625×16=10000在此基础上进行乘法运算的灵活凑整。
浙江省公务员录用考试专项教材数量关系考点精讲与高分题库
可利用下面的方法判断一个数能否被 11 整除: 奇数位 9+5 与偶数位 6+8
奇数位置与偶数位置的数字之差能被 11 整除⇔该数能被 11 整除 之差:9+5-(6+8)=0,0 能被 11 整除 9658 能被 11 整除。
解析:此题答案为 C。 这个四位数可以被 3 整除,则四个数字之和一定能被 3 整除,只有 C 符合。
125 能被 5 整除;
2
co
D.37
m
第一篇 数学运算考点精讲
〇看被除数末两位 2
1234 4
4 不能被 5 整除
12344 不能被 5 整除。
判断一个数能否被 4、25 整除时看其末两位数即可。
末两位能被 4 整除的数能被 4 整除 12 能被 4 整除
末两位能被 25 整除的数能被 25 整除
之差:235-15=220 能被 11 整除
之差:274-1=273 能被 13 整除
末三位数 274,与剩下数 1
co
3
【示例二】 除数为 25 时,13 75
75 能被 25 整除
1375 能被 25 整除。
m
121 10
10 不能被 4 整除
112 能被 4 整除; 1 整除 1111 5 5 能被 5 整除
B.18
fc
C.26
除。 其中,余数总是小于除数,即 0<d<b 。
(2)如果被除数(a)÷除数(b )=商(c )……余数(d),c 为整数,d 为自然数,我们就说 a 不能被 b 整
n.
(1)如果被除数(a)÷除数(b )=商(c ),c 为整数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a。 其中,
数量关系—数学运算 必背 资料整理
数量关系—数学运算 必背 资料整理（一） 数的整除特性 一、数的整除检定被被被被被二、数的整除性质1．如果两个整数a 、b 都能被c 整除，那么a+b ／a-b 也能被c 整除2．如果两个整数a 、b 都不能被c 整除．那么a 与b 的和（或差）能或不能被c 整除．这是一个不肯定的结论。
3．如果整数a 能被c 整除，ｍ为任意整数，那么am 也能被c 整除4．如果a 、b 、c 这三个数中，a 能被b 整除，b 又能被c 整除，那么a 一定能被c 整除（这是整除的传递性）．5. 如果a 能被b 整除，a 又能被c 整除，且b 和c 互质，那么a 能被bc 整除 （二）数的约数和倍数（对于求大数之间的最大公约数问题，一般采用辗转相除法） EG ：6731÷2809＝2……1113；2809÷1113＝2……583； 1113÷583＝1……530 ； 583÷530＝1……53 ； 530÷53＝10所以6731和2809的最大公因数是53（三）同余与剩余问题一、余数性质：1．基本公式：被除数=除数³商+余数2．余数总是小于除数，即0≤d＜b二、同余问题：1．两个整数a、b,若他们除以m所得的余数相同，则称a与b对于m同余，或称a与b同余。
EG：23÷5余3；18÷5余3；则23与15同余。
2．对于同一个除数m,两个数和（差、积）的余数与余数的和同余。
EG:15÷7余1；18÷7余4；则：18+15=33,1+4=5,33÷7的余数与5同余。
18-15=3, 4-1=3,3÷7的余数与3同余。
18³15=270,1³4=4,270÷7的余数与4同余。
三、剩余问题：1．同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的数可以表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的最小的整数。
数量关系尾数计算法
1. 尾数计算法知识要点提示：尾数这是数学运算题解答的一个重要方法，即当四个答案全不相同时，我们可以采用尾数计算法，最后选择出正确答案。
首先应该掌握如下知识要点：2452＋613＝3065 和的尾数5是由一个加数的尾数2加上另一个加数的尾数3得到的。
2452－613＝1839 差的尾数9是由被减数的尾数2减去减数的尾数3得到。
2452×613＝1503076 积的尾数6是由一个乘数的尾2乘以另一个乘数的尾数3得到。
2452÷613＝4 商的尾数4乘以除数的尾数3得到被除数的尾数2，除法的尾数有点特殊，请学员在考试运用中要注意。
例1 99+1919+9999的个位数字是（）。
A.1B.2C.3D.7 （2004年中央A、B类真题）解析：答案的尾数各不相同，所以可以采用尾数法。
9＋9＋9＝27，所以答案为D.例2 请计算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是：A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30型（2002年中央A类真题）解析：（1.1）2 的尾数为1，（1.2）2 的尾数为4，（1.3）2 的尾数为9，（1.4）2 的尾数为6，所以最后和的尾数为1＋3＋9＋6的和的尾数即0，所以选择D答案。
例3 3×999+8×99+4×9+8+7的值是：A.3840B.3855C.3866D.3877 （2002年中央B类真题）解析：运用尾数法。
尾数和为7+2＋6＋8＋7=30，所以正确答案为A.2. 自然数N次方的尾数变化情况知识要点提示：我们首先观察2n 的变化情况21的尾数是222的尾数是423的尾数是824的尾数是625的尾数又是2我们发现2的尾数变化是以4为周期变化的即21 、25、29……24n+1的尾数都是相同的。
3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1，3，9，7，1 ……7n是以“4”为周期进行变化的，分别为9，3，1，7，9，3，1，7 ……8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6，8，4，2，6 ……4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6，4，6，……9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1，9，1，……5n、6n尾数不变。
自然数N次方的尾数周期变化情况
自然数N次方的尾数周期变化情况：2n是以“4”为周期进行变化的，分别为2，4，8，6……3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1……7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1……8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6……4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6……9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1……5n、6n尾数不变。
【例3】22007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的个位数为是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】D。
这道题的每个指数都很大，而求的是最终值的个位数，因此只要根据自然数N次方的尾数周期变化情况就可以判断。
例如，22007是以“4”为周期变化的，于是用2007除以4，可得余3，因此22007=23=8，个位数是8。
以此类推将后面几个数的个位数算出来相加即可：原式等价于23+33+41+5+6+73+83+9，所以最终值的尾数是4。
顺逆水问题常用的公式有：（1）顺水速度（V顺）=船速（V船）＋水速（V水）（2）逆水速度（V逆）=船速（V船）－水速（V水）由（1）和（2）公式推导可以得出：（3）船速（V船）=[顺水速度（V顺）＋逆水速度（V逆）]÷2（4）水速（V水）=[顺水速度（V顺）－逆水速度（V逆）]÷2（3）、（4）两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式，同学应该将该公式熟记于心。
记忆的时候可以这么理解：船速一般要大于水速（不然船就无法在逆水中前行），所以船速是“顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。
•一个公式：工作效率×工作时间=工作总量•一个技巧：设工作时间的最小公倍数为工作总量，再求工作效率只要牢牢掌握以上两个点，工程问题都可以很快解出。
我们可以通过几个例题来理解这一个公式和一个技巧。
【例3】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12 小时完成。
行测高分攻略之尾数计算法
2013年国家公务员考试行测数学运算之尾数计算法国家公务员考试行测数学运算—尾数计算法自然数N次方的尾数变化情况2n是以“4”为周期变化的，分别为2，4，8，6。
3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1。
7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1。
8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6。
4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6。
9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1。
5n、6n尾数不变。
【例1】2*2007+3*2007+4*2007+5*2007+6*2007+7*2007+8*2007+9*2007的值的个数为是多少?【解析】原式的个位数等价于2*3+3*3+4*1+5+6+7*3+8*3+9=4.【例2】1!+2!+3!+4!+5!+……1000!尾数是几?【解析】5!为0，5以后的数的!都为0，所以我们要算这个数的尾数，只算1!，2!，3!，4!就可以了，1!的尾数为1，2!的尾数为2，3!的尾数为6，4!的尾数为4，所以该式的尾数为(1+2+6+4=13=3。
凑整计算法是简便运算中最常用的计算方法，也就是根据交换规律、结合规律把可以凑成10、20、30、50、100、1000…的相对方便计算的数放在一起运算，从而提高运算速度。
学习凑整计算法，我们首先必须掌握一些最基本的凑整算式，具体如下：5×2=1025×4=10025×8=20025×16=400125×4=500125×8=1000125×16=2000625×4=2500625×8=5000625×16=10000……【例题1】0.0495×2500+49.5×2.4+51×4.95=（）(2004年中央A类真题)A.4.95B.49.5C.495D.4950【答案及解析】本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!【例题2】274+135+326+265=（）【答案及解析】本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!【例题3】1986+2381【答案及解析】原式=2000-14+2381=2000+2381-14=6381-14=6367间接利用补数法巧算，假如两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。
正整数幂a~n的末两位数循环周期的确定
正整数幂a~n的末两位数循环周期的确定
楼建儿
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1992(000)007
【摘要】文[1]中系统研究了3~n的末k位数循环周期的确定,并在(α,10)=1时,给出了确定α~n末k位数循环周期的思路,但文[1]中最后一个结论:即“(10m±3)~n 的末k位数循环周期个数显然等于3~n的末k位数的循环周期个数”有疏漏之处,例如:7~n的末两位数的循环周期数为4,小于3~n的末两位数的循环周期数20。
另外与10互素的自然数α的正整数幂α~n的末k位数循环周期的确定并不是轻而易举的。
为此,本文将在文[1]的基础上,求出一切满足(α,10)=1的自然数α的正整数暴α~n的末两位数的循环周期数。
为了讨论的需要,我们用r(α)表示正整数α的末两位数坝r(α)的下列性质是显然的:
【总页数】2页(P37-38)
【作者】楼建儿
【作者单位】浙江省绍兴教师进修学校
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.幂Ak的末两位数的求法 [J], 柯妙珊
2.关于求整数高次幂的个位数和末两位数的法则 [J], 吕烈翰
3.探索αn(α,n是正整数)末两位数字通解的方法 [J], 金建平;胡明雷
4.探索an（a,n是正整数）末两位数字通解的方法 [J], 金建平;胡明雷;
5.试谈求自然数a的正整数幂a~n的末k位数的规律 [J], 邵雄;何鼎潮
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小学奥数06尾数与周期
1.4尾数与周期1.4.1求个位数（1）几个数的和的个位数字等于这几个数的个位数字的和的个位数字；（2）几个数的积的个位数字等于这几个数的个位数字的积的个位数字。
（3）一个自然数乘方的个位数字与这个数个位数字的乘方的个位数字相同，且每4个一组循环重复出现，即a4m＋n与a n的个位数字相同；个位是1的数的乘方的个位律是1、1、1、1循环；个位是2的数的乘方的个位律是2、4、8、6循环；个位是3的数的乘方的个位律是3、9、7、1循环；个位是4的数的乘方的个位律是4、6、4、6循环；个位是5的数的乘方的个位律是5、5、5、5循环；个位是6的数的乘方的个位律是6、6、6、6循环；个位是7的数的乘方的个位律是7、9、3、1循环；个位是8的数的乘方的个位律是8、4、2、6循环；个位是9的数的乘方的个位律是1、9、1、9循环。
（1）当n≥5时，n！（1×2×3×…×n）的个位数字是0。
（5）相邻两个自然数的乘积的个位数字只能是0、2、6。
例1 1994100×1995101＋1997102的个位数字是————。
解：100÷4﹦25，1994100的个位数字就等于4100的个位数字。
因为a4m＋n与a n的个位数字相同，所以4100的个位数字就等于44的个位数字。
44﹦256，所以1994100的个位数字是6。
同理，101÷4﹦25……1，1995101的个位数字就等于51的个位数字是5；102÷4﹦25……2，1997102的个位数字就等于72的个位数字是9。
因为几个数的积或和的个位数字就等于这几个数的个位数字的积或和的个位数字。
6×5＋9﹦39，所以原式得数的个位数字是9。
例2 1！＋2！＋3！＋…＋100！的个位数字是————。
解：1！﹦1；2！﹦1×2﹦2；3！﹦1×2×3﹦6；4！﹦1×2×3×4﹦24；当n≥5时，n！的个位数字是0。
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【解析】D 。
这道题的每个指数都很大，而求的是最终值的个位数，因此只要根据口然数N 次方的尾数周期变化情况就可以判断。
例如，2讪是以“4”为周期变化的，于是用2007除以 4,可
得余3,因此220（）7
=23=8,个位数是8。
以此类推将后面儿个数的个位数算出來相加即 可：原式
等价于23+33+4,+5+6+73+83+9,所以最终值的尾数是4。
顺逆水问题常用的公式有：
（1） 顺水速度（V 顺）=船速（V 船）+水速（V 水）
（2） 逆水速度（V 逆）=船速（V 船）一水速（V 水）
由（1）和（2）公式推导可以得出：
（3） 船速（V 船）=［顺水速度（V 顺）+逆水速度（V 逆）"2
（4） 水速（V 水）=［顺水速度（V 顺）一逆水速度（V 逆）"2
（3）、（4）两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式，同学应该将 该公式熟记于心。
记忆的时候可以这么理解：船速一般耍大于水速（不然船就无 法在逆水中前行），所以船速是'顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。
•一个公式：工作效率x 工作时间=工作总量
•一个技巧：设工作时间的最小公倍数为工作总量，再求工作效率
只耍牢牢掌握以上两个点，工程问题都可以很快解出。
我们可以通过几个例 题来理解这一个公式和一个技巧。
口然数N 次方的尾数周期变化情况：
2n
是以“4”为周期进行变化的， 311是以“4”为周期进行变化的， 711是以“4”为周期进行变化的， 8"是以“4”为周期进行变化的， 4”是以“2”为周期进行变化的， y 是以“2”为周期进行变化的， 5\ 6"尾数不变。
【例 3］ 22W7+32W7+42W7+52W7+620074-72W7+82007+92007 的值的个位数为是多
少？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分别为2, 4, 分别为3, 9, 分别为7, 9, 分别为8, 4, 分别为4, 6. 分别为9, 1. 8, 7, 3, 2, 6
1 1 6
【例3】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。
现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要()小时能够完成。
A.15
B.18
C.20
D.25
【解析】A。
第一步，设工作总量为60,；第二步：求工作效率，甲乙的效率和为6,乙丙的效率和为5,第三步：求解，丙干了12小时，可以看成与甲、乙分别合干4小时，乂单干4小时，与甲合干4小时完成24份工，与乙合干4小时完成20份工，剩余的16份工由乙4小时完成，因此乙的效率为4,总的工作时间为15,选A。
溶液、溶剂、溶质和浓度的关系如下：
•溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
•浓度=溶质质量一溶液质量
•溶液质量二溶质质量m浓度
•溶质质量二溶液质量X浓度
难度较低的溶液问题只要通过以上儿个公式就可以列方程求解，而对于一些较复杂的浓度问题，就要通过“十字交叉法”来求解。
十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。
凡是一般的二元一次方程组(Aa+Bb = c( A+B)关系式)的习题，均可用十字交叉法。
该法解题的关键是准确找出平均值。
其解题原理为：
Aa+Bb=(A+B)xc
A _c -b
整理变形后可得B a~c (a>c>b)
用图示可简单表示为 : :二c二"C_b
B b — f a-c
其中c为平均值
I •字和乘法使用时要注意儿点:
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得岀的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放屮央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
【例3］把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50升, 已知浓度为30%的溶液用最是浓度为20%的浓液用量的2倍，浓度为30%的溶液用最是多少升()
A、18
B、8
C、10
D、20
【解析】Do用十字交叉法计算,假设2%的溶液为L升，则30%的溶液为2L升，先将20% 和30%的酒精混合，混合后的浓度为20%*L+30%*2L/L+2L=4/15
设50%浓度的溶液为Y升
溶液1： 4/15 7/50 50-Y
36%
溶液2： 50% 7/75 Y
因jJ-t 7/504-7/75=3/2=50-Y/Y,推!ll Y=20o 故选D。
一、概率问题公式
加法原理：mi +m2+ +m n
乘法原理：mixrr^x ...... xm n
注意：分类用加法，分步用乘法。
二、排列组合公式
排列A fl =nx(n—1 )x---x(n—fn+1)
组合C；==
*
J 1 )x…xl
注意：有顺序用排列，无顺序有组合。
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