21年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
21考研数学二试题及答案
21考研数学二试题及答案试题：一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号涂在答题卡上。
）1. 设函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则方程 \( f(x) = 0 \) 的实根个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，若\( \lim_{x \to 0} [3x + f(x)] = 0 \)，则 \( \lim_{x \to 0}f(x) \) 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -33. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 的行列式值为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 84. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值为（）。
A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{8} \)5. 设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，若\( P(X = 1) = 0.1 \)，则 \( \lambda \) 的值为（）。
A. 0.1B. 1C. 10D. 100二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案填写在答题纸上指定位置。
）6. 若 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，则 \( y = \int (3x^2 - 2x) dx \) 的一个原函数是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
2021考研数学(二)真题(含详细解析)
2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选（B）.
0
（8）二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
【答案】B
【解析】方法 1： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ，其二
）
（A）
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
（B）
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
（C）
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
（D）
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
，则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定，则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1
，
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt
考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值A．依赖于s，t．B．依赖于s,t,x．C．依赖于t,x不依赖于s．D．依赖于s不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)．知识模块：一元函数积分学2．(88年)设f(x)与g(x)在(一∞，+∞)上皆可导．且f(x)＜g(x),则必有A．f(-x)＞g(一x)B．f’(x)＜g’(x)C．D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt正确答案：C解析：由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(一∞,+∞)上连续，则知识模块：一元函数积分学3．(88年)由曲现(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：一元函数积分学4．(89年)曲线y=cosx与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为A．B．πC．D．π2正确答案：C解析：知识模块：一元函数积分学5．(90年)设函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于A．f(x)B．f(x)dxC．f(x)+CD．f’(x)dx正确答案：B解析：d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 知识模块：一元函数积分学6．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由于F(x)=-∫0xf(t)dt则F’(x)=一f(e-x)e-x一f(x)，故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题7．(87年)∫f’(x)dx=______,∫abf’(2x)dx=_______．正确答案：f(x)+C，解析：∫f’(x)dx=f(x)+C, 知识模块：一元函数积分学8．(87年)积分中值定理的条件是______，结论是_______。
2021考研数学二真题及答案解析
2021年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当0x →，23(e 1)d x t t -⎰是7x 的A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.【答案】 C.【解析】()()2366755e 1d 2e12limlim lim 077x t x x x x t xxxx→→→--===⎰,故选C.2.函数e 1,0,()1,0x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零【答案】D【解析】因为)0(11e lim 0f x xx ==-→，故连续；又因为211e 11e lim 220=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D.3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2/cm s ，3/cm s -，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为A.32125/,40/cm s cm s ππB.32125/,40/cm s cm s ππ-C.32100/,40/cm s cm s ππ-D.32100/,40/cm s cm sππ--【答案】 C.【解析】d 2d r t =，d 3d ht=-；2πV r h =，22π2πS rh r =+.2dV d d 2ππ100πd d d r hrh r t t t =+=-.dS d d d 2π2π4π40πd d d d r h rh r r t t t t=++=.4.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则ba的取值范围A.(e,)+∞ B.(0,e)C.1(0,eD.1(,)e+∞【答案】A.【解析】()ln f x ax b x,=-若0<b ，不满足条件，舍去；若0>b ，令()=0bf x a x'=-，得b x a =.在()()000b b ,f x ,,f x .a a ⎛⎫⎛⎫''<∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()0x x lim f x ,lim f x +→+∞→=+∞=+∞，令=ln 1ln 0b b b f b b b ,a a a ⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ln 1b a >，即e b a >.故选A.5.设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则A.11,2a b ==-B.11,2a b ==C.10,2a b ==- D.10,2a b ==【答案】 D.【解析】()()()()()220sec 002f f x x f f x x o x '''==+++()22112x o x =++.所以可得0a =，12b =.6.设函数(,)f x y 可微，且222(1,e )(1),(,)2ln ,xf x x x f x x x x +=+=则d (1,1)f =A.d d x y +B.d d x y -C.d yD.d y-【答案】选C【解析】由于2)1()e ,1(+=+x x x f x ，两边同时对x 求导得)1(2)1(e )e ,1()e ,1(221+++=+'++'x x x x f x f x x x .令0=x 得01)1,1()1,1(21+='+'f f ,xx x x x x x f x x f 12ln 42),(),(22221⋅+='+';令1=x 得2)1,1(2)1,1(21='+'f f .因此0)1,1(1='f ；1)1,1(2='f .所以y f d )1,1(d =，故选C.7.设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()d f x x =⎰A.1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑B.1211lim2nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑C.2111lim2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑D.212lim2nn k k f n n→∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】选B【解析】将[]1,0的区间n 等分，每一份取区间中点的函数值⎪⎭⎫⎝⎛-n n k f 21，故选B.8.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为A.02，B.11，C.12，D.21，【答案】选B【解析】()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =+++--222222112222333131222x x x x x x x x x x x x =+++++-+-221223132222x x x x x x x =+++.二次型对应矩阵为011121110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,11101||121=1211111E A λλλλλλλλ--+---=----------100(1)122111(1)((2)(1)2](1)(3)λλλλλλλλλ=+------=+---=+-则11p q ==.9.设3阶矩阵()()123123=,,,,,,=A αααB βββ若向量组123,,ααα可以由向量组123,,βββ线性表出，则（）A.=Ax 0的解均为=Bx 0的解.B.T =A x 0的解均为T =B x 0的解.C.=Bx 0的解均为=Ax 0的解.D.T =B x 0的解均为T =A x 0的解.【答案】D【解析】由题意，可知=A BC ，T =0B x 的解均为T T =0C B x 的解，即T=0A x 的解，D 选项正确.10.已知矩阵101211125-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则、P Q 分别取（）.100101100100.010,013.210,010001001321001100101100123.210,013.010,012321001131001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】通过代入验证100101100210013010.3210011012111250010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭-⎝选C二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.23d x x x +∞--∞=⎰.【答案】1ln3【解析】222201123d 3d 3ln 3ln 3x x x x x x +∞+∞---+∞===-=⎰⎰原式12.设函数()y y x =由参数方程()22e 1,41e tt x t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则220d d t y x =.【答案】23.【解析】()()()4e 41e 2d 2d 2e 1t tt y t t t y t x x t '+-+==='+,()22000d 2d d 122d d d 2e 13t t t t t yt x t x====⋅==+13.设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定，则(0,2).zx ∂=∂【答案】1【解析】将0,2x y ==代入得1=z ，又对()(1)ln arctan 21x z y z xy ++-=两边同时求x 的导数得212(1)01(2)z z y z x y x z x xy ∂∂+++-=∂∂+将0,2,1x y z ===代入上式得1zx∂=∂.14.已知函数21()t t x f t dx dy y=⎰，则.2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭【答案】π22πcos .【解析】()22211111d d d d d d t tt y t y x x x f t x y y sin x sin x y,y y y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰则()21d t x f t sin x t'=⎰，所以22ππ2211ππ2π2d =π22π2π2x x f sin x cos cos .⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭⎛⎫'=-=⎪⎝⎭⎰15.微分方程0y y '''-=的通解.y =【答案】12123e esin cos 22x xC C x C x -⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，其中123,,C C C 为任意常数.【解析】设其特征方程为310r -=，则12313131;;.2222r r r ==-+=--故其通解为1212333e esin cos 22x xC C x C x -⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.16.多项式12121()211211xx x x f x x x-=-中3x 项的系数为.【答案】5-【解析】3x 项为()()1+2+213331415x x x -+-=-，因此3x 项系数为5-三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）求极限20011lim()1sin xt xx e dt e x→+--⎰.【解析】()2200001e d sin sin e d e 11lim lim e 1sin e 1sin x x t t x x x x x t x x t x x →→⎛⎫++-+ ⎪-= ⎪-- ⎪⎝⎭⎰⎰2222200sin sin e d e 1sin e d sin e 1limlim lim xxt xt xx x x x x t x t x xx x →→→+-+-+==+⎰⎰()()23322020011+1+e d 1162lim lim 1.22xt x x x x o x x x o x t xx→→----=+=-+=⎰18.（本题满分12分）已知()1x x f x x=+，求()f x 的凹凸区间及渐近线.22,0,11(),01x x x xf x x x x ⎧-≤≠-⎪⎪+=⎨⎪>⎪+⎩2'001lim 0x x x f x+→-+=(0)=2'001lim0x x x f x-→--+=(0)=所以2211,0,1(1)'()0,011,0(1)x x x f x x x x ⎧-+<≠-⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪->+⎪⎩()2''1101lim2x x f x +→--+=(0)=()2''01101lim2x x f x-→-+-+=-(0)=所以()()3320,11''()201x x x f x x x ⎧-<≠-⎪+⎪=⎨⎪>⎪+⎩1x <-时，''0f >10x -<<时，''0f <0x >时，''0f >因此，凹区间()(),1,0,-∞-+∞，凸区间()1,0-22lim ,lim 11x x x x x x→+∞→-∞-=+∞=+∞++，因此没有水平渐近线；1,10x x =-+=，且2211lim ,lim 11x x x x x x +-→-→---=-∞=+∞++，因此存在铅直渐近线1x =-；221lim 1,lim 11x x x x x x xx →+∞→+∞+=-=-+，因此存在斜渐近线1y x =-；221lim1,lim 11x x x x x x xx →-∞→+∞-+=--+=+，因此存在斜渐近线1y x =-+；19.（本题满分12分）()f x满足216x x C =-+⎰，L 为曲线()(49)y f x x =≤≤，L 的弧长为S ，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面面积为A ，求S A 和.31221131()3x f x x x =-=-41192241()2223s x x dx -==+=⎰⎰311192222411=2234259A x x x x dx ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎰20.（本题满分12分）()y y x =微分方程66xy y '-=-，满足10y =（1）求()y x （2）P 为曲线()y y x =上的一点，曲线()y y x =在点P 的法线在y 轴上截距为p I ，为使p I 最小，求P 的坐标。
2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。
A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。
2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。
2020考研数学二真题含答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）当x 0时，下列无穷小量中最高阶的是A. （）x0(e 1)dte1x 1t 2 B.x0ln(1 t )dt3 C.sin x0sin t dt2 D.1 cos xsin 3tdt（2）函数f (x ) A.1个（3）ln1 x(e x 1)(x 2)的第二类间断点的个数为C.3个D.4个（）B.2个arcsin xx (1 x )dx 1（）2A.42 2B.8 C.(n )4D. 8（）（4）已知函数f (x ) x ln(1 x ),当n 3时，f A.(0)(n 2)!nD.n !n 2B.n !n 2 C.(n 2)!n（）xy ,xy 0 （5）关于函数f (x ,y )x ,y 0,给出下列结论： y ,x 0f ① x2f 1;②x yB.3(0,0)(0,0)1;③(x ,y ) (0,0)limf (x ,y ) 0;④lim lim f (x ,y ) 0.y 0x 0其中正确的个数为A.4（C.2D.1（D.）（6）设函数f (x )在区间 2,2 上可导，且f (x ) f (x ) 0.则A.）f ( 2)1f ( 1)B.f (0) e f ( 1)C.f (1) e 2f ( 1)f (2) e 3f ( 1)*（7）设4阶矩阵A (a ij )不可逆，a 12的代数余子式A 12 0， 1, 2, 3, 4为矩阵A 的列向量组，A 为A 的伴随矩阵，则方程组A *x 0的通解为A.x k 1 1k 22k 33,其中k 1,k 2,k 3为任意数B.x k 1 1k 22k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数C.x k 1 1k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数D.x k 12k 23k 34,其中k 1,k 2,k 3为任意数（）（8）设A 为3阶矩阵， 1, 2为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量， 3为A 的属于特征值-1的特1001征向量，则满足P AP 0 10 的可逆矩阵P 可为001A.( 13, 2, 3)B.( 1 2, 2, 3)C.( 1 3, 3, 2)（）D.( 1 2, 3, 2)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.x t 2 1d 2y （9）设,则22dxy ln(t t 1)（10） ________.t 110dy1yx 3 1dx ________.(0, )（11）设z arctan xy sin(x y ),则dz ________.（12）斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）设y y (x )满足y 2y y 0,且y (0) 0,y (0) 1,则y (x )dx ________.a（14）行列式a1 1 11a 0110a________.0 11三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）x 1 x求曲线y x 0 的斜渐近线方程. 1 x x（16）（本题满分10分）已知函数f x 连续且lim x 01f (x ) 1,g (x ) f (xt )dt ,求g (x )并证明g (x )在x 0处连续.0x求函数f x ,y x 8y xy 的极值.33（18）（本题满分10分）21 x 2x 设函数f (x )的定义域为 0, 且满足2f (x ) x f.求f (x ),并求曲线2 x 1 x 213y f (x ),y ，y 及y 轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.22（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x 1,x 2,y x 与x 轴围成，计算Dx 2 y 2dxdy .x设函数f (x ) x 1e t dt .22（Ⅰ）证明：存在 (1,2),使得f ( ) (2 )e ;（Ⅱ）证明：存在 (1,2),使得f (2) ln 2 e .2（21）（本题满分11分）设函数f (x )可导，且f (x ) 0，曲线y f (x )(x 0)经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于T ,又MP 垂直x 轴与点P .已知由曲线y f (x ),直线MP 以及x 轴所围图形的面积与 MTP 的面积之比恒为3:2，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型f (x 1,x 2,x 3) x 1 x 2x 3 2ax 1x 2 2ax 1x 3 2ax 2x 3经过可逆线性变换222 x 1 y 1222x P 2 y 2 化为二次型g (y 1,y 2,y 3) y 1 y 24y 3 2y 1y 2. x y 33（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P .（23）（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，P ( ,A ),其中 是非零向量且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若A A 6 0，求P AP ,并判断A 是否相似于对角矩阵.2 12020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．1.当x →0+时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.⎰x0(e -1)dtB.⎰ln(1+t )dtC.⎰0t 2x3sin x0sin t dtD.⎰21-cos xsin 3tdt解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
2024年考研数学二真题及答案解析参考
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）函数)2)(1(1)(--=x x xx f 的第一类间断点的个数是（）(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】(C)【解析】无定义的点为1,2，0e xx x x =--→)2)(1(11lim ，+∞=--→-)2)(1(12lim x x x x，+∞=--→+)2)(1(1lim x x x x，所以第一类间断点的个数是1个，故选C.（2）设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=231t ey tx 确定，则=-++∞→)]2()22([lim f x f x x （）(A)e 2(B)34e (C)32e (D)3e【答案】（B ）【解析】容易看出函数)(x f 可导，且232)(2t t e dtdx dt dyx f t =='，当1,2==t x 时，e t te f t t 3232)2(122=='=，所以e f xf x f f x f x x x 34)2(22)2(22lim 2)2(22lim ='=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→，故选B（3）设函数⎰⎰==xxdt t f x g dt t x f 03sin 0)()(,sin )(，则（）(A))(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数(B))(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数(C))(x f 是偶函数，)(x g 是偶函数(D))(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数【答案】（D ）【解析】令⎰=xdt t x h 03sin )(，此时)(x h 是一个偶函数，所以，)(sin )(x h x f =为偶函数，从而)(x g 为奇函数，故选D.（4）已知数列{})0(≠n n a a ，若{}n a 发散，则（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1发散（B ）⎭⎫⎩⎨⎧-n n a a 1发散（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n na a e e1发散（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a e e 1发散【答案】（D ）【解析】对于A 选项，令251,2,21,2=+=⋅⋅⋅=n n n n a a u a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1收敛；对于B 选项，令11--=n n a ）（，此时01=-=n n n a a u ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1收敛；对于C 选项，令11--+=+=-=e e e e u a n na a n n n ，）（收敛，故选D 。
2021年考研数学二真题及答案解析
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 通解是.
（5）设函数 由方程 拟定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处增量， 和 分别为 在点 处相应增量和微分，若 ，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 通解是
（5）设函数 拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增长
B+1=A①
2021考研数学二真题及答案
2021考研数学真题及答案解析(数二)数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0x →时，230(1)x t e dt -⎰时7x 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当0x →时，23670(1)2(1)2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ ，所以23(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数1,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩,在0x =处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x→→-==，故()f x 在0x =处连续；因为200011()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，3-cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1253/cm s π，402/cm s π.(B)1253/cm s π，-402/cm s π.(C)-1003/cm s π，402/cm s π.(D)-1003/cm s π，-402/cm s π.【答案】D.【解析】由题意知，2,3,dr dhdt dt==-又2,2,V r h S rh ππ==则22,22,dV dr dh dS dr dh rh r h r dt dt dt dt dt dtππππ=+=+当10,5r h ==时，100,40,dV dSdt dtππ=-=-选D.(4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是(A)(,)e +∞.(B)(0,)e .(C)1(0,)e.(D)1(,)e+∞.【答案】A.【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x '=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫=⋅-⋅< ⎪⎝⎭，从而ln1b a >，可得be a>，正确答案为A.(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则(A)11,.2a b ==-(B)11,.2a b ==(C)10,.2a b ==-(D)10,.2a b ==【答案】D.【解析】由22(0)()(0)(0)()2f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，2300(0)sec01,(0)(sec tan )0,(0)(sec tan sec )1,x x f f x x f x x x =='''=====+=则221()sec 1().2f x x x o x ==++故选D.(6)设函数(),f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxf x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x''+=+②将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩分别带入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.(7)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1f x dx =⎰(A)1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(B)1211lim2nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(C)2111lim2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(D)2012lim2nx k k f n n→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将[0,1]分成n 份，取中间点的函数值，则11211()lim ,2nn k k f x dx f n n→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰即选B.(8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵()123,,ααα=A ，()123,,B βββ=，若向量组123,,ααα可以由向量组12,ββ线性表出，则(A)0Ax =的解均为0Bx =的解.(B)0TA x =的解均为0TB x =的解.(C)0Bx =的解均为0Ax =的解.(D)0TB x =的解均为0TA x =的解.【答案】D.【解析】令123123(,,),(,,),A a a a B βββ==由题123,,a a a 可由123,,βββ线性表示，即存在矩阵P ,使得,BP A =则当00TB x =时，000()0.TTTTA x BP x pB x ===恒成立，即选D.(10)已知矩阵101211125-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则P ，Q 可以分别取(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】C.【解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,E (,)=F P ,则100210321⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ;101100013010000000100101010013001001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E ΛQ ，则101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q .故应选C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)23x x dx +∞--∞=⎰.【答案】1ln 3.【解析】222220113233()3ln 3ln 3x x x x x dx x dx d x +∞+∞+∞----+∞-∞==--=-⋅=⎰⎰⎰.(12)设函数()y y x =由参数方程2214(1)t t x e t y t e t⎧=++⎨=-+⎩确定,则202t d ydx ==.【答案】23.【解析】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20223t d ydx ==.(13)设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定,则(0,2)zx ∂=∂.【答案】1.【解析】方程两边对x 求导得2212(1)014z z y z x y x z x x y ∂∂+++-=∂∂+，将0,2x y ==带入原方程得1z =，再将0,2,1x y z ===带入得1zx∂=∂.(14)已知函数11()t x f t dx dy y =⎰,则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭.【答案】2ππ【解析】交换积分次序有21()sinty xf t dx y =-⎰，从而211()sin cos cos t y x tf t dx y dyy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰11cos cos ty dy y ydy y =-21cos t t y ydy=-23332cos cos cos()2t u tf t t du tu t t⎛⎫'=+-⋅-⎝,故2fπ⎛⎫'=⎪⎝⎭2ππ-(15)微分方程0y y-=的通解y=.【答案】12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.【解析】由特征方程310λ-=得12,311,22iλλ==-±，故方程通解为12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.(16)多项式12121()211211x x xxf xxx-=-中3x项的系数为______________.【答案】-5.【解析】12211211112 121()1121211221211112131211 211x x xx x xxf x x x x x x xxx x xx----==-------所以展开式中含3x项的有33,4x x--，即3x项的系数为-5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限211lim1sinx txxe dte x→⎛⎫+⎪-⎪-⎪⎝⎭⎰.【答案】12.【解析】2200001sin11lim lim1sin(1)sinx xt tx xx xe dt x e dte x e x→→⎛⎫+--⎪-=⎪--⎪⎝⎭⎰⎰又因为22233001(1())()3x xt e dt t o t dt x x o x=++=++⎰⎰，故原式=3333222111(())(1())()3!3!2limxx x o x x x o x x x o xx→-++++--+=22201()12lim 2x x o x x →+=.(18)(本题满分12分)已知()1x xf x x=+，求()f x 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.斜渐近线是1y x =-，1y x =--.【解析】因为22,01(),01x x xf x x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪≤⎪+⎩，故0x >，()222()1x x f x x +'=+，()32()1f x x ''=+，0x <，()222()1x x f x x --'=+，()32()1f x x -''=+，所以x (,1)-∞-1-(1,0)-0()0,+∞()f x ''+-+()f x 凹拐点凸拐点凹凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.1lim1x x xx →-=∞+,1x =-是垂直渐近线.lim 1(1)x x x x x →+∞=+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+lim 1(1)x x x x x →-∞=-+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+斜渐近线是1y x =-，1y x =--.(19)(本题满分12分)()f x 满足216x x C =-+,L 为曲线()(49)y f x x =≤≤，L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ,求s 和A .【答案】4259π.113x =-，31221()3f x x x =-，曲线的弧长944223s ===⎰⎰.曲面的侧面积31992244122(3A x xππ==-⎰⎰4259π=.(20)(本题满分12分)函数()y y x =的微分方程66xy y '-=-，满足10y =，(1)求()y x ；(2)P 为曲线()y y x =上的一点，曲线()y y x =在点P 的法线在y 轴上的截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】(1)()61.3x y x =+(2)41,3P ⎛⎫± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6【解析】(1)66'y y x x -=-,666()dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰66611x C Cxx ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭将10y =代入，13C =，()61.3x y x ∴=+(2)设(),P x y ，则过P 点的切线方程为()52Y y x X x -=-，法线方程为()512Y y X x x-=--，令0X =，641132y x Y I x∴==++，偶函数，为此仅考虑()0,+∞令()'55220y I x x =-=， 1.x =()0,1x ∴∈，()'0y I <，()1116y y I I >=；()1,x ∈+∞，()'0y I >，()1116y y I I >=41,3P ⎛⎫∴± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6(21)(本题满分12分)曲线22222()(0,0)x y x y x y +=-≥≥与x 轴围成的区域为D ,求Dxydxdy ⎰⎰.【答案】148【解析】340sin cos Dxydxdy d drπθθθ=⎰⎰⎰2401cos 2sin cos 4d πθθθθ=⎰2401cos 2cos 216d πθθ=-⎰4301cos 248πθ=-148=.(22)(本小题满分12分)设矩阵210=1201A a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭仅有两个不同的特征值.若A 相似于对角矩阵，求a ，b 的值，并求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01E A b a bλλλλλλλ---=--=---=---当3b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(3)11010E A a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭知，1a =-，此时，123λλ==所对应特征向量为12101,001αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31λ=所对应的特征向量为3111α-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1331P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当1b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010E A a --⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，知1a =，此时，121λλ==所对应特征向量为12101,001ββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33λ=所对应的特征向量为3111α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1113P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。
2020考研数学二真题含答案解析
2020年全国硕士研究生招生考试数学二试题一、选择题：1~8题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）高阶的是时，下列无穷小量中最当+→0x （）A.⎰-xt dte 0)1(2B.⎰+xdtt 03)1ln( C.⎰xdtt sin 02sin D.⎰-xdtt cos 103sin （2）函数)2)(1(1ln )(11--+=-x e xex f x x 的第二类间断点的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个（3）=-⎰dx x x x 10)1(arcsin （）A.42π B.82π C.4π D.8π（4）已知函数=≥-=)0(3),1ln()()(2n f n x x x f 时，当（）A.2!--n n B.2!-n n C.nn )!2(--D.nn )!2(-（5）关于函数,0,0,0,),(⎪⎩⎪⎨⎧==≠=x y y x xy xy y x f 给出下列结论：（）①;1)0,0(=∂∂xf ②;1)0,0(2=∂∂∂yx f ③;0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ④.0),(lim lim 00=→→y x f x y 其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1（6）[]则上可导，且在区间设函数.0)()(2,2)(>>'-x f x f x f （）A.1)1()2(>--f f B.e f f >-)1()0( C.2)1()1(e f f <- D.3)1()2(e f f <-（7）设4阶矩阵)(ij a A =不可逆，12a 的代数余子式432112,,,0αααα，≠A 为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组0*=x A 的通解为（）A.为任意数其中321332211,,,k k k k k k x ααα++=B.为任意数其中321432211,,,k k k k k k x ααα++=C.为任意数其中321433211,,,k k k k k k x ααα++=D.为任意数其中321433221,,,k k k k k k x ααα++=（8）设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征值-1的特征向量，则满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000100011AP P 的可逆矩阵P 可为（）A.),,(3231αααα-+ B.),,(3221αααα-+ C.),,(2331αααα-+ D.),,(2321αααα-+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在横线上.（9）=⎩⎨⎧++=+==12222,)1ln(1t dx yd t t y t x 则设________.（10）=+⎰⎰1311ydx x dy ________.（11）[]=++=),0(,)sin(arctan πdzy x xy z 则设________.（12）斜边长为a 2的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g ，水的密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为________.（13）=='==+'+''=⎰+∞)(,1)0(,0)0(,02)(dx x y y y y y y x y y 则且满足设________.（14）=----aa a a11011110110行列式________.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）求曲线()()011>+=+x x x y xx的斜渐近线方程.（16）（本题满分10分）已知函数()x f 连续且)(,)()(,1)(lim100x g dt xt f x g xx f x '==⎰→求并证明0)(='x x g 在处连续.求函数()xy y x y x f -+=338,的极值.（18）（本题满分10分）设函数)(x f 的定义域为()+∞,0且满足),(.121)(2222x f xxx x f x x f 求++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+并求曲线y y y x f y 及，2321),(===轴所围图形绕x 轴旋转所成转体的体积.（19）（本题满分10分）设平面区域D 由直线x x y x x 与===,2,1轴围成，计算.22dxdy xy x D⎰⎰+设函数.)(12⎰=xt dt e x f （Ⅰ）;)2()(),2,1(2ξξξξe f -=∈使得证明：存在（Ⅱ）.2ln )2(),2,1(2ηηηe f ⋅=∈使得证明：存在（21）（本题满分11分）设函数)(x f 可导，且0)(>'x f ，曲线)0)((≥=x x f y 经过坐标原点O ,其上任意一点M 处的切线与x 轴交于MP T 又,垂直x 轴与点P .已知由曲线),(x f y =直线MP 以及x 轴所围图形的面积与MTP ∆的面积之比恒为2:3，求满足上述条件的曲线的方程.设二次型323121232221321222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=经过可逆线性变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为二次型.24),,(21232221321y y y y y y y y g +++=（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵.P （23）（本题满分11分）.),,(2的特征向量是非零向量且不是其中阶矩阵，为设A A P A ααα=（Ⅰ）证明P 为可逆矩阵；（Ⅱ）.,0612是否相似于对角矩阵并判断，求若A AP P A A -=-+ααα2020考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（）A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt ⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰解析：本题选D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
2023年考研数学二真题及答案
2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444nnn n nn n ny y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e()a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eeaa x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C. 6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( )A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2-D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ， 故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E AB O O B O B O A B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B.9. 222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，21121||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E21(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k=+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得TTTT1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(l n )y x x C x =-，其中C 为任意常数. 又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积. 【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t t ππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数. （1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-； （2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+， 其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<， 22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<， 两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=， 又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=， 即21()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+， 其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=- 221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+ 220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=， 即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A . (1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ. 【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E , (2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α; 1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α; 211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α, 令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
2022年考研数学二真题及答案
2022年考研数学二真题及答案二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）一选择题1.函数f(某)某某某12211某2的无穷间断点的个数为A0B1C2D32.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程yp(某)yq(某)的两个特解，若常数,使y1y2是该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，则AC1223,,21213BD2312,2312,3.曲线y某与曲线yaln某(a0)相切，则aA4eB3eC2eDe4.设m,n为正整数,则反常积分A仅与m取值有关10mln(1某)n2某d某的收敛性B仅与n取值有关C与m,n取值都有关D与m,n取值都无关5.设函数zz(某,y)由方程F(y,z)0确定,其中F为可微函数,且F0,则某某2某z某yzy=BzC某n(ni)(nj)122A某某nDz6.(4)limi1j1n=Ad某01某0(1某)(1y)2dyBd某01某01(1某)(1y)1(1某)(1y)2dy Cd某01101(1某)(1y)dyDd某0110dy7.设向量组I:1,2,，r可由向量组的是：II：1，2，，线性表示，下列命题正确A若向量组I线性无关，则rB若向量组I线性相关，则r>C若向量组II线性无关，则rD若向量组II线性相关，则r>8.设A为4阶对称矩阵,且A1A1102A0,若A的秩为3,则A相似于01D1101B1101C11二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程y=__________10.曲线y2某23y2yy2y0的通解某1的渐近线方程为_______________y(n)11.函数yln(12某)在某0处的n阶导数12.当0时，对数螺线re的弧长为(0)_____________________13.已知一个长方形的长l以2cm/的速率增加，宽w以3cm/的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________14.设A，B为3阶矩阵，且A三解答题15.求函数f(某)13,B2,A1B2,则AB1__________某21(某t)en2t2dt的单调区间与极值。
2022年考研数学二真题
2022年全国硕士研究生招生考试数学二一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.1.当0x →时，()x α，()x β是非零无穷小量，给出以下四个命题： ①若()~()x x αβ，则22()~()x x αβ；②若22()~()x x αβ，则()~()x x αβ；③若()~()x x αβ，则()()~(())x x x αβοα-；④若()()~(())x x x αβοα-，则()~()x x αβ.其中所有真命题的序号是（ ）.A.①②B. ①④C. ①③④D. ②③④2.220d y y x =⎰⎰（ ）.A.6 B.13 C.3 D.233.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，0()0f x '>B.当0()0f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，0()0f x ''>D.当0()0f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数4.设函数()f t 连续，令0(,)()()x yF x y x y t f t dt -=--⎰，则（ ）. A.F F x y ∂∂=∂∂，2222F F x y ∂∂=∂∂ B.F F x y∂∂=∂∂，2222F F x y ∂∂=-∂∂C.F F x y ∂∂=-∂∂，2222F F x y ∂∂=∂∂D.F F x y∂∂=-∂∂，2222F F x y ∂∂=-∂∂ 5.设p 为常数，若反常积分110ln (1)p p x dx x x --⎰收敛，则p 的取值范围是（ ）. A.(1,1)-B.(1,2)-C.(,1)-∞D.(,2)-∞6.设22n x ππ-≤≤，则（ ）A.若limcos(sin )n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在 B.若limsin(cos )n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在 C.若limcos(sin )n n x →∞存在且limsin n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在 D.若limsin(cos )n n x →∞存在且limcos n n x →∞存在，则lim n n x →∞不一定存在 7.110d 2(1cos )x I x x =+⎰，120ln(1)d 1cos x I x x +=+⎰，1302d 1sin x I x x =+⎰，则 A.123I I I << B.312I I I << C.213I I I << D.132I I I <<8.设A 为三阶矩阵，100010000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ，则A 的特征值为1,1,0-的充分必要条件是（ ）.A.存在可逆矩阵,P Q ，使得=A P ΛQB.存在可逆矩阵P ，使得1-=A P ΛPC.存在正交矩阵Q ，使得1-=A Q ΛQD.存在可逆矩阵P ，使得T =A P ΛP9.设矩阵2211111A a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，124⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，则线性方程组=Ax b 解的情况为（ ）. A.无解 B.有解 C.有无穷多解或无解 D.有唯一解或无解10.设111λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，211λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，311λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，421λλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若123,,ααα与124,,ααα等价，则λ∈（ ）.A.{}|R λλ∈B.{}|,1R λλλ∈≠-C.{}|,1,2R λλλλ∈≠-≠-D.{}|,2R λλλ∈≠-二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.极限cot 01lim 2x x x e →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''= . 13.12023d 1x x x x +=-+⎰ . 14.微分方程250y y y ''''''-+=的通解()y x = .15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 3(0)3r πθθ=≤≤，则L 围成有界区域的面积为 .16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，得到矩阵211110100--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -的迹1()tr A -= .三、解答题：17~22小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸制定位置上.17.已知函数()f x 在1x =处可导且2220()3(1sin )lim 2x x f e f x x →-+=，求(1)f '.18.设函数()y x 是微分方程242ln 1xy y x '-=-满足条件1(1)4y =的解，求曲线()(1)y y x x e =≤≤的弧长.19.已知平面区域{}(,)22D x y y x y =-≤≤≤≤,计算222()D x y I dxdy x y -=+⎰⎰.20.已知可微函数(,)f u v 满足()(,)(,)2()u v f u v f u v u v e u v-+∂∂-=-∂∂且，2(,0)u f u u e -=. （1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x ∂∂； （2）求(,)f u v 的表达式和极值.21.设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是：对不同实数,a b ，1()()2b a a b f f x dx b a+≤-⎰.22.已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++， （1）求正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化为标准形；（2）证明：T 0()min 2x f x x x ≠=.。
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2010考研数学二真题及答案一、选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--= A0 B1 C2 D3详解：222111)(xx x x x f +--=有间断点1,0±=x 20201111)1)(1()1()(lim limlim x x x x x x x x f x x x +=+-+-=→→→，所以0=x 为第一类间断点221121)(lim 1=+=→x f x ，所以1=x 为连续点 ∞=+-+-=-→-→21111)1)(1()1()(limlim xx x x x x f x x ，所以1-=x 为无穷间断点。
所以选择B 。
2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ详解：因21uy y -λ是0)(=+'y x P y 的解，故0))(()2121=-+'-uy y x P uy y λλ（ 所以0)())((2211=+'-+'uy y u y x P y λ 而由已知q y x P y q y x P y =+'=+'2211)(,)( 所以0)()(=-x q u λ又21uy y +λ是非齐次)()(x q y x P y =+'的解； 故)())(()(2121x q uy y x P uy y =++'+λλ所以)()()(x q x q u =+λ 所以21==u λ。
3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De详解：因2x y =与)0(ln ≠=a x a y 相切，故212a x xa x =⇒⋅= 在2x y =上，2a x =时，2ln 212lnaa a a y == 在)0(ln ≠=a x a y 上，2ax =时，2ln a a y =2ln 21a a = 所以选择C4.设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性A 仅与m 取值有关B 仅与n 取值有关C 与,m n 取值都有关D 与,m n 取值都无关 详解：dx xx m dx xx m dx xx m nnn⎰⎰⎰-+-=-1212210212)1(ln )1(ln )1(ln ，其中dx xx m n⎰-2102)1(ln 在0=x 是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性与n 有关，而dx xx m n⎰-1212)1(ln 在1=x 是瑕点，由于0)1(ln )1(21lim =---→nx xx m x δ，其中δ是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意m ，都有dx xx m n⎰-1212)1(ln 收敛，与m 无关。
故选B 。
5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= A x B z C x - D z -详解：221222211)()(F x zF x y F xF x z F x y F FF y zzx '⋅'+⋅'=⋅'-'+-'-=''-=∂∂，6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= A 1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ C 11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ D 112001(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰详解：∑∑∑∑==∞→==∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅+=++n i nj x n i nj x n j n n i n nj n i n n11221122)(1)1())((lim lim7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 详解：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以)()(II r I r ≤，即s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα 若向量组I 线性无关，则r r r =),,(1αα ，所以s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα ，即s r ≤，选（A ）。
8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 详解：设λ为A 的特征值，由于,02=+A A 所以02=+λλ，即0)1(=+λλ， 这样A 的特征值为-1或0。
由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即Λ-A ，,3)()(=Λ=r A r因此，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=Λ0111，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=Λ0111~A 。
二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________详解：022=-'+''-'''y y y y ，对应方程为,02223=-++λλλ0)2()2(2=-+-λλλ，0)1)(2(2=+-λλ，2=λ，i ±=λ所以通解为x C x C e C x sin cos 3221++10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________详解：21222lim =+∞→x x x x ， 0122221223323lim lim =+--=-+∞→∞→x x x x x x x x x ，所以x y 2= 11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在 详解：由麦克劳林展开有：()(),!21)1(1n n nn x n f x n ⋅=-⋅--()()!02n f n n n =-，()()()!120--=n f n n 12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθe r =≤≤ 详解：π≤≤x 0，θe r =。
13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 详解：设()(),,t y w t x l ==由题意知，在0t t =时刻()120=t x ，()50=t y ，且()()3,200='='t y t x ， 又 ()()()t y t x t S 22+=， 所以 ()()()()()()()t y t x t y t y t x t x t S 22+'+'='所以 ()()()()()()()351235212220202000=+⋅+⋅=+'+'='t y t x t y t y t x t x t S14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则 详解：由于()()A B B AB E B B A A +=+=+----1111，所以 因为,2=B 所以2111==--B B ，因此32123111=⨯⨯=+=+---B B A A B A 。
三解答题15.的单调区间与极值。
求函数⎰--=2212)()(x t dt e t x x f16.(1)比较10ln [ln(1)]nt t dt +⎰与10ln (1,2,)n t t dt n =⎰的大小,说明理由.(2)记10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞17.设函数y=f(x)由参数方程。
求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(436)1(25)1(2)()1(),(,2222t t dx y d t t t y t t x ψψψψψ+=='⎩⎨⎧=->=+= 18.一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b 的椭圆。
现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为b 23时，计算油的质量。
（长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为3/m kg ρ）19.20.}.40,sec 0),(D ,2cos 1sin 22πθθθθθθ≤≤≤≤=-=⎰⎰r r drd r r I D｛其中计算二重积分21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=31,证明：存在.)()(),1,21(),21,0(22ηξηξηξ+='+'∈∈f f 使得22.的通解。
求方程组、）求（个不同的解。
存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)2(.12.11,110111λλλλ23.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第一列为T )1,2,1(61，求a 、Q. 答案：BACD BDAD9.x C x C e C x sin cos 3221++ 10.y=2x 11.)!1(2-⋅-n n 12.)1(2-πe 13.3cm/s 14. 3 三解答题 15.16.17 .).123)(,0,25)1(.23)(3)().1(3)(,0,6)().3)(1(])1(3[),1(3t 11),().1(3)(t11)()143)1(4)()()1(,)143)1(4)()()1()22()22()(2)()22(,22)(3222322111111113223222->+===++=+=+='=='=++=+⎰+⎰=+=+-''=+='+-''+=+'-''++=+'-''+=++'-''+=∴+'=⎰⎰=+-+t t t t C C t t dt t t t t t t C t uC t t C dt et eu t u u t u t t t t t t t t t dx y d t t t t t t t t t dx y d t t dx dy t dtt dtt （于是知由于是知由有设从而，，（故（由题设ψψψψψψψψψψψψψψψ18解：19解：55105252,22,252.0)4125(5.222222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-==∂∂++∂∂=∂∂=∂∂b a b a b u b b a u y u x u 故，由（ηη20.21. 22. 23.。