21年考研数学二真题及答案

2010考研数学二真题及答案

一、选择题

1.的无穷间断点的个数为函数22

21

11)(x

x x x x f +--= A0 B1 C2 D3

详解：22

21

11)(x

x x x x f +--=有间断点1,0±=x 20

20

1

111)1)(1()1()(lim lim

lim x x x x x x x x f x x x +=+-+-=→→→，

所以0=x 为第一类间断点

2

21121)(lim 1

=+=

→x f x ，所以1=x 为连续点 ∞=+-+-=-→-→21

1

1

1)1)(1()1()(lim

lim x

x x x x x f x x ，所以1-=x 为无穷间断点。

所以选择B 。

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常

数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 21,21==μλ

B 21

,21-=-=μλ

C 31,32==μλ

D 3

2,32==μλ

详解：因21uy y -λ是0)(=+'y x P y 的解，故

0))(()2121=-+'-uy y x P uy y λλ（ 所以0)())((2211=+'

-+'uy y u y x P y λ 而由已知q y x P y q y x P y =+'

=+'2211)(,)( 所以0)()(=-x q u λ

又21uy y +λ是非齐次)()(x q y x P y =+'的解； 故)())(()(2121x q uy y x P uy y =++'+λλ

所以)()()(x q x q u =+λ 所以2

1=

=u λ。 3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De

详解：因2x y =与)0(ln ≠=a x a y 相切，故2

1

2a x x

a x =⇒⋅

= 在2x y =上，2a x =

时，2

ln 212ln

a

a a a y == 在)0(ln ≠=a x a y 上，2

a

x =时，2ln a a y =2

ln 21a a = 所以选择C

4.设,m n 为正整数,

则反常积分0⎰的收敛性

A 仅与m 取值有关

B 仅与n 取值有关

C 与,m n 取值都有关

D 与,m n 取值都无关 详解：dx x

x m dx x

x m dx x

x m n

n

n

⎰⎰

⎰-+-=-1

2

1

2210

21

2)

1(ln )

1(ln )

1(ln ，其中

dx x

x m n

⎰

-210

2)

1(ln 在0=x 是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性

与n 有关，而dx x

x m n

⎰-1

2

1

2)

1(ln 在1=x 是瑕点，由于0)

1(ln )

1(21lim =---

→n

x x

x m x δ

，

其中δ是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意m ，都有

dx x

x m n

⎰

-1

2

12)

1(ln 收敛，与m 无关。故选B 。

5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x

=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则

z z x

y x y

∂∂+∂∂= A x B z C x - D z -

详解：

22

1222211)()(F x z

F x y F x

F x z F x y F F

F y z

z

x '⋅'+⋅'=⋅

'-'+-

'-

=''

-=∂∂，

6.(4)22

1

1

lim ()()n

n

x i j n

n i n j →∞

==++∑∑

= A 120

1(1)(1)x

dx dy x y ++⎰⎰

B 1001

(1)(1)

x dx dy x y ++⎰⎰ C 1

1

001

(1)(1)

dx dy x y ++⎰⎰ D 1

1

20

01

(1)(1)

dx dy

x y ++⎰⎰

详解：∑∑∑∑==∞→==∞→⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+⋅⋅+=++n i n

j x n i n

j x n j n n i n n

j n i n n

11

22112

2)(1)1())((lim lim

7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确

的是：

A 若向量组I 线性无关，则s r ≤

B 若向量组I 线性相关，则r>s

C 若向量组II 线性无关，则s r ≤

D 若向量组II 线性相关，则r>s 详解：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以)()(II r I r ≤，即

s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα 若向量组I 线性无关，

则r r r =),,(1αα ，所以s r r s r ≤≤),,(),,(11ββαα ，即s r ≤，选（A ）。 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于

A 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

C 1110⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪- ⎪

⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝

⎭ 详解：设λ为A 的特征值，由于,02=+A A 所以02=+λλ，即0)1(=+λλ， 这样A 的特征值为-1或0。由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即Λ-A ，,3)()(=Λ=r A r