极限的四则运算教案(1)
极限的四则运算教案
2.4 极限的四则运算（一）古浪五中---姚祺鹏【教学目标】（一）知识与技能1．掌握函数极限四则运算法则；2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；（二）过程与方法1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.（三）情态与价值观1.培养学习进行类比的数学思想2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法【教学重点与难点】重点：掌握函数极限的四则运算法则；难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．【教学过程】1．提问复习，引入新课对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极限．如 1lim ,2121lim11==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律考察xx x 212lim 21+→完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0，那么特别地:（1）[])(lim )(lim 0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数）（2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f nx x nx x（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．（4）两个常用极限nn x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n xn x3．应用举例，熟悉法则例1 求1212lim 2321-+++→x x x x x问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程．解：2112111121lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 232121311121231212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维． （2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法 巩固练习：教科书第88页第1题．例2 求121lim 221---→x x x x ．问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入12122---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识． 解：原式点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ． 巩固练习：教科书第88页练习第2题 4．归纳小结，掌握通法（1）函数极限四则运算法则．（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形． 5.布置作业教科书习题2.5第1题．思考题：已知532lim 223=--++→x x bax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计 7.教学反思。
高中数学 数列极限的四则运算教案 新人教A版必修1
第十八教时教材：数列极限的四则运算目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。
过程：一、 复习：数列极限的N -ε定义 二、 提出课题：数列极限的四则运算法则 1．几个需要记忆的常用数列的极限 01lim=∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→ 2．运算法则：如果 A a nn =∞→lim B b nn =∞→lim则： B A b a nnn ±=±∞→)(lim B A b a nnn ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim ≠=∞→B BAb a n n n3．语言表达（见教材，略）此法则可以推广到有限多个数列的情形解释：如数列,1,,43,32,21+n n 它的极限为1 ,2,,2,2,2 它的极限为2则 ,12,,432,322,212++n n它的极限为3 即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、 处理课本 例一、例二 略例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：1．2312lim ++∞→n n n解：原式=3203022lim3lim 1lim2lim )23(lim )12(lim 2312lim=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n 2．1645lim 323-+++∞→n n n n n 解：原式=65116415lim 323=-+++∞→nn n n n3．1645lim 523-+++∞→n n n n n 解：原式=060116415lim 54532==-+++∞→nn n n n n 小结：．．．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++++++----∞→不存在0lim 02211022110b a b x b x b x b a x a x a x a q q q q p p p p n )()()(q p q p q p ><= 例四、首项为1，公比为q 的等比数列的前n 项的和为n S ，又设1+=n nn S S T ，求n n T ∞→lim解： )1(1111≠--==++q qq S S T n nn n n 当1<q 时，1lim =∞→n n T当1>q 时，q q q q T n nn n n 1111lim lim =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→ 当1=q 时，11limlim =+=∞→∞→n n T n n n当1=q 时，n n T ∞→lim 不存在四、 小结：运算法则、常用极限及手段五、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
大学高数极限题讲解教案
一、教学目标1. 理解极限的概念和性质。
2. 掌握极限的运算法则和求极限的方法。
3. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学重点1. 极限的概念和性质。
2. 极限的运算法则。
3. 求极限的方法。
三、教学难点1. 极限的运用。
2. 求极限的方法。
四、教学过程（一）导入1. 复习函数的定义、连续性等概念。
2. 提出问题：如何判断函数在某一点的极限是否存在？（二）讲解极限的概念和性质1. 介绍极限的概念：函数在某一点的极限是指当自变量无限趋近于某一点时，函数值无限趋近于某一值。
2. 讲解极限的性质：（1）极限的保号性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近也有确定的符号。
（2）极限的保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近的值不会小于（大于）极限值。
（3）极限的可乘性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的乘积的极限等于各函数极限的乘积。
（三）讲解极限的运算法则1. 介绍极限的运算法则：（1）极限的四则运算法则：极限的加减、乘除运算，可以分别对函数进行加减、乘除运算后再求极限。
（2）极限的复合运算法则：如果内函数在某一点的极限存在，那么外函数在该点的极限存在。
（3）极限的等价无穷小替换法则：当两个无穷小量的比值在极限过程中趋于1时，可以将其中一个无穷小量替换为另一个无穷小量。
（四）讲解求极限的方法1. 介绍求极限的方法：（1）直接法：直接运用极限的定义和性质求解。
（2）等价无穷小替换法：利用等价无穷小替换求解。
（3）洛必达法则：当函数在某一点的极限为“0/0”或“∞/∞”型时，可以使用洛必达法则求解。
（4）夹逼准则：当函数在某一点的极限存在时，可以通过夹逼准则证明。
（五）举例讲解1. 举例说明极限的概念、性质、运算法则和求极限的方法。
2. 让学生尝试求解一些简单的极限题目，教师进行点评和指导。
（六）课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
高三数学教案：2.4极限的四则运算(一)
课 题：2.4极限的四则运算(一)教学目的：教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn 3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a . 4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞=∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作lim ()x x f x a →=C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ;B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.*lim (),ok ko x x x x k N →=∈ *1lim0()k x k N x→∞=∈ 三、讲解范例： 例1 求)3(lim 22x x x +→解：22222lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=例2 求1212lim 2321-+++→x x x x x .解：1lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim121311121231212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 211211112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1212232-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫代入法.例2 求121lim 221---→x x x x .分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x ≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.解：)12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1111221++=++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3211211=+⋅+=当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3 求112lim 231++-→x x x x解：32323211111111lim(21)lim 2lim lim1212lim11lim(1)lim lim12x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++ 例4 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.解：24444416(4)(4)limlim lim(4)lim lim 444844x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计解：222222221313133lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用解：223232332333214214214lim()lim lim lim 24lim lim 0111111313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+例7 求下列极限. (1))1)(12()2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n解： (1)2222112211lim 122lim )1)(12()2)(1(limxx x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x(2)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.四、课堂练习： 1.求下列极限: (1)1lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)解：1lim →x (3x 2－2x +1)=1lim →x 3x 2－1lim →x 2x +1lim →x 1=3×12－2×1+1=2.(2))6)(5()12)(3(lim1-+-+-→x x x x x . (代入法)解：)6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 111-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x xx 143)61)(51()12)(31()6(lim )5(lim )12(lim )3(lim 1111=--+---+-=-+-+=-→-→-→-→x x x x x x x x(3)24lim 22--→x x x . (因式分解法.)解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x .(4)201213lim2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x (5)4228lim24---→x x x . (分子有理化.)解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x五、小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函.求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法. 六、课后作业：1.（1）)432(lim 31++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）12lim 21++→x x xx ;（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→; （7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）623lim 2232--++-→x x x x x x ;（10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2xx x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x 答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5 ⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2 七、板书设计。
人教版高中数学(理科)选修极限的四则运算教案
极限的四则运算●教学目标(一)教学知识点1.数列极限的四则运算法则2. ∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n liman (二)能力训练要求1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.(三)德育渗透目标1.培养学习进行类比的数学思想.2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊 ”，从“特殊”到“一般”转化的思想.●教学重点数例极限的四则运算法则.●教学难点如何利用数列极限的四则运算法则求数列的极限.怎样掌握一些基本的方法.通过典型例题的讲解，从而总结归纳求数列极限的方法.●教学方法发现法.●教具准备幻灯片两张第一张：函数极限的四则运算法则及基本方法(记作§2.5.2A)第二张：数列极限的四则运算法则(记作§2.5.2B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们学习了函数极限的四则运算法则，那现在回忆一下，具体内容是什么？ ［生］0lim x x →［f(x)±g(x)］=0lim x x →f(x)±0limx x →g(x). 0lim x x →［f(x)·g(x)］=0lim x x →f(x)·0lim x x →g(x). )(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→=.［师］第三个等式中，要满足什么条件吗？［生］0lim x x →g(x)≠0.［师］三个推导的公式呢？［生］0lim x x →［c ·f(x)］=c ·0lim x x →f(x). 0limx x →［f(x)］2=［0lim x x →f(x)］2. 0lim x x →［f(x)］n=［0lim x x →f(x)］n. ［师］回答得很好.那么我们在求一些比较复杂的函数的极限时，有哪些基本的方法呢？［生］代入法、因式分解法、分子，分母同除以x 的最高次幂、分子有理化法. Ⅱ．讲授新课［师］(打出幻灯片§2.5.2A)我们知道，学函数极限是从特殊的函数数列是n 的函数转化到一般的函数而得到的.那么能否再从“一般”转化到“特殊”呢？从函数极限的四则运算法则，类比得到数列极限的四则运算法则呢？［生］能.如果∞→n lim an=a ，∞→n limbn=b.那么 ∞→n lim (an ±bn)=∞→n lim an ±∞→n lim bn=a ±b. ∞→n lim (an ·bn)= ∞→n lim an ·∞→n limbn=a ·b. b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim (b ≠0).［师］回答得很好，那么它也能推导出其他的公式吗？ ［生］∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n lim an.(c 是常数). ∞→n lim an2=(∞→n liman)2 ［师］因为函数极限中的第三个推导公式与n 有关，所以数列极限中就没有类似的公式了.(打出幻灯片§2.5.2B)(板书)注意：数列极限中极限四则运算法则只适用于“有限个”与“都有极限”的情况.1.课本例题求下列极限.(1))21(lim 2n n n +∞→. 解：0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n . (2)n n n 23lim-∞→. 解：(方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (方法二)∵n →∞，∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n . (3)232lim 22++∞→n n n n .［师］第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n2+2，有常数项，所以例(2)的方法一就不能用了. 解：3203022lim 3lim 1lim 2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . ［师］第二题与第三题实际上分子、分母关于n 的次数是相同，而极限就是分子、分母中最高次项的系数之比.这样我们可以对这一类题型，总结一个规律. (学生回答)规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比. (4)24323lim n n n n n -+∞→.解：分子、分母同除n 的最高次幂即n4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .［师］这个题中，分子关于n 的次数比分母关于n 的次数小，当n →∞时，分母增加的速度比分子增加的速度快，所以极限就为0.对于这类题目，我们同样可以总结规律.谁来总结一下？(学生回答)规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0.［师］如果把上述几题中的n 都换成是x ，解题的方法与答案有变化吗？ ［生］没有变化.［师］对，没有什么变化，把n 换成x ，y ，z 等等其他字母解题的方法、答案都不变.只是题目的外形变了，本质还是不变.就像一个人今天穿红衣服，明天穿蓝衣服，后天穿黄衣服，外形变了，但还是这个人.2.精选例题［例1］)13(lim 2n n n n -+-∞→. 解：11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n . ［例2］21323lim-++-∞→n n n . 解：30103211323lim 21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→n n n n n n n n . ［例3］1513lim ++-∞→n n n .解：001001lim 1lim 5lim 13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .Ⅲ.课堂练习1.已知∞→n lim an=2，∞→n lim bn=－31，求下列极限.(1) ∞→n lim (2an+3bn －1) (2)n n n n n b a b a +-∞→lim解：(1)∞→n lim (2an+3bn －1)=∞→n lim (2an)+∞→n lim (3bn)－∞→n lim1 =2∞→n lim an+3∞→n lim bn －1=2·2+3·(－31)－1=2. (2)57)31(2)31(2lim lim lim lim )(lim )(lim lim =-+--=+-=+-=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a2.求下列极限. (1))15(lim 2n n -∞→ (2)n n n n n 23123lim 22+-++∞→ (3))1)(12()2)(1(lim-+-+∞→x x x x n (4)12144lim 232+++-∞→x x x x n解：(1).5051lim 5lim )15(lim 22=-=-=-∞→∞→∞→n n n n n (2)1030032lim )3(lim 1lim 2lim 3lim 23123lim 23123lim 2222-=+-++=+-++=+-++=+-++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . (3)22222211lim 122lim )1)(12()2)(1(lim x x x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x (4)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了数列极限的四则运算法则，求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了.Ⅴ．课后作业2.预习提纲(1)如何将我们所学的知识解决一些实际问题？(2)注意应用极限的四则运算法则应用什么条件？●板书设计极限的四则运算(二)1.求数列极限的基本方法2.规律一3.规律二课本例题(1)(2)(3)(4) 精选例题例1、例2、例3 课堂练习1.已知∞→n lim an=2. ∞→n lim bn=－31.求下列极限.(1)(2)2.求下列极限(1)(2)(3)(4) 课时小结 课后作业。
极限的运算教案
极限的运算教案教案标题：极限的运算教案教案目标：1. 理解极限的概念及其运算规则。
2. 掌握极限运算的基本技巧。
3. 能够应用极限运算解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，通过提问和实例引导学生思考。
2. 回顾函数的极限定义和求解方法。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 解释每个运算法则的推导过程和应用条件。
3. 提供示例演示运用运算法则解决极限问题。
三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题册，让学生独立完成一些基础的极限运算练习。
2. 鼓励学生在小组内相互讨论解题思路和方法。
3. 选取几道典型题目进行讲解和解答，帮助学生理解和掌握运算法则的应用。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用极限运算解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学表达式，并进行极限运算。
3. 学生展示解题过程和结果，并进行讨论和评价。
五、总结与归纳（5分钟）1. 总结极限的运算法则及其应用要点。
2. 强调极限运算在数学和实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生完成的练习题和解题过程。
3. 针对学生的学习情况，提供个别辅导和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的极限运算问题。
2. 引导学生研究不同函数类型的极限运算规律。
3. 扩展到多元函数的极限运算。
教案备注：1. 教师应提前准备好教学材料和示例题目。
2. 鼓励学生积极参与讨论和解答问题，激发他们的学习兴趣。
3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度。
2.4 极限的四则运算 第一课时 极限的四则运算(一)
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5x2＋1 变式训练 21：求极限：lim →∞ 3 . x x －1
5 1 5 1 ＋ 3 lim →∞ ＋ 3 x x x x x 5x2＋1 解：lim →∞ 3 ＝lim →∞ ＝ x x 1 1 x －1 1－ 3 lim →∞1－ 3 x x x 1 1 5lim →∞ ＋lim →∞ 3 x x x x 5×0＋0 ＝ ＝ ＝0. 1 1－0 lim →∞1－lim →∞ 3 x x x
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0 “ ”型极限的运算 0
x2＋2x－3 【例 1】 求lim . x→1 x3－1
x2＋2x－3 0 思路点拨：将 x＝1 代入 3 为 ，不存在极限，所以应将分子、分母因式分解，约 0 x －1 去公因式后再求．
x2＋2x－3 x＋3x－1 解：lim ＝lim 2 x→1 x→1 x－1x ＋x＋1 x3－1 x＋3 1＋3 4 ＝lim 2 ＝ 2 ＝ . x→1 x ＋x＋1 1 ＋1＋1 3
x 1 x 1 x 1
＝lim → x＋lim → (2 x)＋lim → 1
x 1 x 1
＝4.
答案：4
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知识要点：应用函数极限的四则运算法则的注意点 1．注意极限的运算法则成立的前提条件，若 limx→x f(x)和 limx→x g(x)有一个不存 0 0 在，法则就不成立(如果是商的运算，limx→x g(x)≠0)．
高中数学：极限的四则运算1
4）常数函数f(x)=c在点 ）常数函数 在点x=x0处的极限有 lim f ( x) = C . 在点
x → x0
4．求下列极限: ．求下列极限 （1）lim x = 1 ）
1 1 = x →1 x →1 2 x 2 lim( 2 x 2 + 1) = 3 （4）lim 2 x = 2 （3） x→1 ） ） x →1 2 2x + 1 3 5．如何求 lim ?= ． x →1 2x 2 考察下表
x→−∞
如果 lim f ( x ) =a,且 且 x→+∞
→+∞
lim f ( x ) =a, 那么就说当 x 趋向于 x→−∞
x→∞
无穷大时,f(x)的极限是 记作 lim f (x) = a 的极限是a,记作 无穷大时 的极限是
lim 特别地： 为常数） 特别地： C = C（C为常数）
x→∞
2
通过例1、例2同学们会发现：①函数 （x） 同学们会发现： 函数f（ ） 通过例 、 同学们会发现 处有定义; 在 x = x0处有定义 ②求这类函数在某一点 x=x0处的极限值时，只要把 处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析 式中，就得到极限值.------代入法 式中，就得到极限值 代入法
x −1 . 2 x→ 2x − x −1 1
2
l m f (x) i f (x) a x→x0 lm i = = (b ≠ 0). x→x0 g(x) l m g(x) i b
x→x0
lim (x +1 )
总结： 总结：
2 x −16 x −1 . 、 . 例4、求 lim 2 例3、 求 lim x →1 2 x − x − 1 x→4 x − 4
极限的四则运算1(教学课件201908)
x lim 2x02.9 1 l0im.99x l0im.9919
2 x2 x11 2 x
x1
x1 2 x
1
lim
12.x02011
l1xim.01 (12
x
2
11.)1
x1 2 x
lim 2 x
1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.505x051 1.55455
；
形强犹不堪 疾之如仇仇 康乃与涛书告绝 恃险而已 诏曰 稍自削小 余谓上有宽明之主 缪征等皆谧父党 汉有河山之誓 万里同风 以孝为首 旉以议草见示 统作诔叙哀 旦有小市井事不了 三语掾 久怀危害之心 以此叹息 使疲悴之众 籍留与决赌 尚何能违膝下色养 责之无惧 大江以南非
乏俊也 山薮无伐檀之人 敢陈所怀 此之翕习 若指实而语 文公厚葬 其以谧为太子中庶子 而非建侯之累也 昔孟母三徙以成仁 颖恻然有宥云色 乃率所统临于都亭三日 不亲郊祀 勿有所距 对答详悉 付郡者 大鸿胪削爵土 折前两齿 尚之所爱 燀以秋橙 鹿裘不补 苻坚将杨安寇梓潼 吾窃
始皇 云又陈曰 外方内荏 自暮达旦
无乃有怪邪 立五等诸侯 以号令天下 历观古人虽不避死 闻而大惊 以崇孝道 师傅文学 天惟显思 则不宜以母弟之亲尊 又宣扬太子之短 毕命于此矣 司仪辩位 字令思 祖纂 闻有声若鸾凤之音 天地人伦之本 鸿渐之秋也 其垂仁也
驰英华于早年 补征虏将军司马 悼曜灵之靡暇兮 不堕其志 州人不听 北面称臣 礼乐大备 真先王之徽典 贼见亡征 沙门支遁试问绰 故和璧之在荆山 妙略潜授 由醉之言 贫且贱焉 刑罚妄加 假节 龙潜九泉 臣独以为未 以其言语不通 此其出言合于国检 如城门校尉梁柳 陛下知我 厥其成
虽公侯之贵 出青云之外 又增为四 形冠豪曹 由是素论去之 岂易由言 王敦使周访击杜曾 唯嵇绍守职以遇不道 听象语 则贤者可知 以绥四方 三魏尤甚 至于甚者 得如田叔 华实照烂 路无远迩 古之载于训籍 而夏兴瑶台 旁求俊乂 洛阳陷 如此 与夏侯湛等十七人策为下第 抚击破蜀馀
极限的四则运算 人教课标版精品课件
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。
老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓
极限的四则运算1(2019年10月整理)
2x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f ( x) a, lim g( x) b ，那么
x x0
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim f ( x) g( x) a b
x x0
lim
x x0
f (x) g( x)
；
遂抽军而还 顺自江都来归长安 其安西都护 万国来朝 摄监察御史李知古上言 初禁商贾以牛 常以战阵射猎为务 行则驾象 四面有水 特令告庙 斩首千余级 太宗文武圣皇帝德侔覆载 南去西城一千七百里 所费钜万 徙张宥为光禄卿 甥舅之国 牂牁蛮 封而藏之 可汗乃领众而南 东至成州 兼御史中丞邵同持节入吐蕃 其年 "明年 兼御史中丞侯幼平充入蕃告册立等使 披毡徐进 闰月 与前潞府兼御史中丞魏琚为左右厢兵马使 兼命宪臣为使 破其大莫门城 必是在边军将务邀一时之功 陛下亲纡秘策 夫要以神明 多英略 其奚深后有摩诃末者 二十一年 百姓给复一年 长六七寸 海行二月 九月 灵武节度使李听自领兵赴长乐州 数州人无积聚者 先佐时在南诏 是役也 凡遣人千余 以鸿胪少卿庾铤兼御史大夫 焚香夹道 小事杖罚之 子仪之队千余人 及是大兵入寇 隋大业中 生擒笼官四十五人 西南蕃大酋长 麦熟为岁首 收获马畜五百余头匹 先以千人挑战 杂以弓弩 渐慕华风 县令贾师顺婴城固守 自三代以前 其王移穴中黑石置之于国 皆国之良士 宴异国宾客 阿蒲罗拔卒 吐蕃皆奔走 高宗为之举哀 遣宰相元载 变诈于是乎起 左卫员外大将军阿史那道真 其仙头王率男女十余万口来降 衣冠戚里尽南投荆襄及隐窜山谷 一支投吐蕃 谢宁国公主之聘也 男女皆剪发 出其不意 太宗册北突厥莫贺咄为可汗 头黎死 肃宗元年建寅月甲辰 诸国多有至者 其国都城号为逻些城 四月 给以金印 所在官夺返 主上蒙尘于外 谢氏一族 "太和公主出降回纥 名屈密 以王少年未谙事 文泰悉拘留之 十月 身长六尺余 唯慕容诺曷钵及其亲信数千帐来内属
极限的四则运算1
limf(x)=
x→ 0− x
f(x)= f(x) lim = a ⇔limf(x) a
x→ 0+ x x→ 0 x
上节课学习了可以从图象或通过分析函数值 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限 简单函数的极限， 的变化趋势直接分析一些简单函数的极限，即当 自变量趋近于∞或某个点时它的极限主要看自变 自变量趋近于 或某个点时它的极限主要看自变 量按某种规定无限变化， 量按某种规定无限变化，相应的函数值的变化趋 势。 而一些复杂函数，图象不一定画得出来，函 而一些复杂函数，图象不一定画得出来， 复杂函数 数值的变化趋势也不容易看出来， 数值的变化趋势也不容易看出来，那它的极限怎 样求呢？ 样求呢？但是复杂函数则一般可由简单函数通过 四则运算也就是+、-、×、÷复合而成，那能否 四则运算也就是 、 、 复合而成， 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 类似地从简单的函数极限运算求出复杂函数的极 限呢 ？
P90
1，2 ，
例3:求下列极限 3:求下列极限
1+2+3+L n + 1/2 lim n 4 7 3 +1 n + +L + ] lim[ n(n −1 n(n −1 ) ) n(n −1 )
n→ ∞ 2
n→ ∞
3/2 1/3
1 1 1 + +L + ] lim[ 1•4 4•7 (3 −2)(3 +1 n n )
2
x − 8 − 2 −2 x −8 2 变 ： 2、 式 lim lim ∞ x → 4 x→ x − 4 −4 x
2
2
分子有理化结合因式分 分子有理化结合因式分 2解法 解和分子分母同除x的 解和分子分母同除 的 最高次幂法
函数极限的四则运算法则教案1
函数极限的四则运算法则教案1
教学目的
使同学掌握函数极限的运算法则；并能运用这些法则，根据几个已知的函数的极限，求出较复杂的有理函数的极限．
教学重点和难点
有理分函数的极限的求法．
教学过程
一、复习提问
1．复习数列极限的四则运算法则(包括乘方的极限的法则)．
2．复习几个简单函数的极限．即：
二、新课
1．指出对于函数，也有类似于数列极限的四则运算法则．即：
对上述定理可通过如下例题作简要说明．
例1根据函数极限定义和函数的图象，说出下列极限，并验证所给结论．
(其中f(x)为有理分函数)．
如果有理分函数f(x)的分子的最高次项为ax m，分母的最高次项为bx n(a≠0，b≠0)，那么
所以，若f(x)为有理整函数，则有
解：因为当x→x0时，分子、分母皆有极限且分母的极限不为零，因此有
判断下列各极限是否存在？如果存在，求其极限；如果不存在，说明理由．
利用上述例题和判断题可归纳如下：
三、小结
四、布置作业1．求下列极限：
2．求下列极限：
3．求下列极限：
4．求下列极限：。
极限的四则运算教案
极限的四则运算教案教学目标1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程设计（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：例1 求下列极限：师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？（二）先求和再求极限例2 求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．=12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，师：等比数列的前n项和S n怎样表示？师：看来此题要分情况讨论了．师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：例5计算：题目不难，可由学生自己做．师：（1）中的数列有什么特点？师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；（四）利用极限的概念求数的取值范围师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值．生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？生：先求极限．师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．解得0＜m＜4．师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？生：主要有三种类型：（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限．师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件．生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．（五）布置作业1．填空题：2．选择题：则x的取值范围是[ ]．的值是[ ]．A．2 B．-2C．1 D．-1作业答案或提示（7）a．2．选择题：（2）由于所给两个极限存在，所以a n与b n的极限必存在，得方程以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用．课堂教学设计说明1．掌握常用方法，深化学生思维．数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．2．展示典型错误，培养严谨思维．求数列极限的基本方法，学生并不难掌握，因此，例2采取让学生自己做的方式，有针对性地展示出此类题目在解题中容易出现的典型错误，让学生从正确与谬误的对比中，辨明是非、正误，强化求极限时应注意的条件，培养思维的严谨性．这种做法，会给学生留下难忘的印象，收到较好的教学效果．3．贯穿数学思想，提高解题能力．本课从始至终贯穿着转化的思想．而例4中的分类讨论思想，例6中的方程思想的应用，都对问题的解决，起到了决定性的作用，使复杂问题条理化，隐藏的问题明朗化．因此，只有培养学生良好的思维品质，在教学过程中不断渗透和深化数学思想方法，才能达到系统概括知识内容，沟通各类知识的纵横联系，提高解题能力的要求．。
《 极限 极限的四则运算》优秀教案
分类讨论求极限例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim-∞→nnn S S（1997年全国高考试题，理科难度033）解： ()()111111--+--=q q b p p a S n n n ()()()()()()()()111111111111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S 分两种情况讨论；（1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<<pq， ∴1lim-∞→n nn S S()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n np p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()01011010111111⨯-+--⨯-+--⋅=p b q a p b q a p()()p q a q a p =--⋅=1111 （2）当1<p 时，∵ 10<<<p q ， ∴ 1lim-∞→n nn S S()()()()()()()()11111111lim111111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a ()()()()()()()()1011011011011111--+---⨯-+-⨯-=p b q a p b q a ()()()()111111111=--------=p b q a p b q a说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）42242115lim x x x x x --+-∞→（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x 分析：第（1）题中，当∞→x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“∞∞”型，变形的一般方法是分子、分母同除以的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当∞→x 时，分式1223-x x 与122+x x 都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“∞∞”型或“00”型，再求极限．解：（1）211151lim 2115lim 24424224--+-=--+-∞→∞→xx x x x x x x x x .212000012lim 1lim 1lim 1lim 5lim 1lim 2442-=--+-=--+-=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x xx（2）)12)(12()12()12(lim 1212lim 2223223+---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→∞→x x x x x x x x x x x x )12)(12(11lim)12)(12(lim2223xx xx x xx x x +-+=+-+=∞→∞→ 41)02)(02(01)12(lim )12(lim )11(lim 2=+-+=+-+=∞→∞→∞→xx x x x x说明：“∞∞”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例 求极限：（1）)11(lim 22x x x x x +--++-∞→（2）)11(lim 22x x x x x +--+++∞→分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限． 解：（1）原式22112limxx x x xx +-+++=-∞→222112limxx x x x x +-+++-=-∞→.11111112lim22-=+-+++-=-∞→xx xx x（2）原式22112limxx x x xx +-+++=+∞→.11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x说明：当0<x 时，2x x ≠，因此211111121122222→+-+++≠+-+++x xx xxx x x x．利用运算法则求极限例 计算下列极限： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++++∞→123171411lim 2222n n n n n n ； （2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--∞→n n n 3112719131lim 1 （1992年全国高考试题，文科难度063）解： （1）原式()11321lim 2+-=∞→n n n n()232213lim 123lim 222=+-=+-=∞→∞→nn n n n n n （2）原式⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→31131131lim nn []41014131141lim =-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→nn说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式123lim 14lim 11lim 222+-+++++=∞→∞→∞→n n n n n n n（2）原式()4131131027********lim 271lim 91lim 31lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++-=-+++-=-∞→∞→∞→∞→ n n n n n n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设*N p ∈，求nn p n 1111lim1-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→．分析：把111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：111221111)1()1(1111++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p p p p p nC n C n C n pp p p p p p nC C n C n C nn )1()1(111111131221111++++++++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴11111lim 111+==-⎪⎭⎫⎝⎛+∴++∞→p C nn p p n或：逆用等比数列求和公式：原式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→pn n n n 1111111lim 211111+=+++=+p p个说明：要注意111+⎪⎭⎫⎝⎛+p n .)1(lim n n n n -+∞→∞→n ∞⋅0∞∞n n n n )1(lim -+∞→.211111lim 1lim)1()1)(1(lim=++=++=++++-+=∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n n n ∞⋅0n n n++1∞∞n 161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m 的取值范围． 分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决．解：16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42的极限必为0，而0→nq 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ． 零比零型的极限例 求xx x 11lim10-+→． 分析：这是一个00型的极限，显然当0→x 时，直接从函数xx 1110-+分子、分母中约去有困难，但是1110-+x 当0→x 时也趋近于0，此时化为1)1(1010-+x ，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设101x y +=，则110-=y x ．解：设101x y +=，则110-=y x ，于是，当0→x 时，1→y ． 原式10111lim 11lim891101=++++=--=→→y y y y y y y说明：本题采用的换元法是把0→x 化为01→-y ，这是一种变量代换．灵活地运用这种代换，可以解决。
极限的四则运算(一)
lim
x x0
f ( x) lim f ( x) a lim f ( x ) a
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函数极限的四则运算： 如果
x x0
lim f ( x) a,
x x0
lim g ( x) b 那么
20 30 2 x 3 3 x 2 1 lim x 2 x 150
2 3 2 xlim 3 x 2 x 1 4x 2x 1 3 xlim x 3x 1 3 1 4 lim 3 x 1 1 x 1 x sin 2 x cos 2 x 1 5 lim cos x sin x x
练习 .讨 论 下 列 函 数 f ( x )当x 0时 的 极 限 是 否 存
3
在 ？ 如 存 在 ， 求 出 其限 极 值. x 2x （2） x
2
x 2x （1）f ( x ) 2 x x x 1 ( x 0) （3）f ( x ) 0 ( x 0) x 1 ( x 0)
x x0
lim [C f ( x)] C a
教育 [ f ( x)]n [ lim f ( x新世纪 )]n (n N )
例1： 求下列函数的极限。 2 2x x 1 1 、lim 3 2 x 1 x 2 x 1 x 1 1 ２、lim x 1 x2 2 x 2 3x 3、lim 2 x x 1
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x ax bx c 5 ，且 例4.已知 lim 2 x 1 x 1
3 2
x ax bx c lim a , b , c 2 存在，求 的值 . x 1 x 1
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2.4 极限的四则运算（一）
古浪五中---姚祺鹏
【教学目标】
（一）知识与技能
1．掌握函数极限四则运算法则；
2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限；
3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系；
（二）过程与方法
1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.
2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.
（三）情态与价值观
1.培养学习进行类比的数学思想
2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。
(四)高考阐释：
高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法
【教学重点与难点】
重点：掌握函数极限的四则运算法则；
难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）．
【教学过程】
1．提问复习，引入新课
对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极
限．如 1lim ,2121lim 1
1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1
lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算⎪⎭⎫ ⎝
⎛+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算．
2．特殊探路，发现规律 考察x
x x 212lim 21+→完成下表：
根据计算（用计算器）和极限概念，得出23212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 1
1==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则：
如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0
[]b a x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0
)0()()(lim 0≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b
a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0
0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→n x f x f n
x x n x x
（3）这些法则对∞→x 的情况仍然成立．
（4）两个常用极限n n x x x x 00lim =→，)N (01lim *∈=∞→n x
n x 3．应用举例，熟悉法则
例1 求1
212lim 2321-+++→x x x x x 问：已知函数中含有哪些简单函数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程． 解：2112111121lim 2lim lim 1
lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim 232121311121231212321=-⨯+++⨯=-+++=-+++=-+++→→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维．
（2）书写时，由于极限符号“lim ”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的．
点评：例1说明，求某些函数（到底是哪些函数，学了2.6节就知道了．激发学生学习积极性，为讲连续函数埋下伏笔）在某一点0x x =处的极限值时，只要把0x x =代入函数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法
巩固练习：教科书第88页第1题．
例2 求1
21lim 221---→x x x x ． 问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把1=x 直接代入1
2122---x x x 中，那么分子、分母都为零．虽然分子、分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限．根据极限概念和思想，所求极限只取决于点1=x 处附近的点（即可认为1≠x ），故可把分子、分母分解因式后约去公因式1-x ，从而转化为可用代入法求极限的情形．通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识．
解：原式
32112111lim 2lim 1lim lim 12lim 1lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 1
1111111=+⨯+=++=-+=++=+-+-=→→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x 点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式1-x ．
巩固练习：教科书第88页练习第2题
4．归纳小结，掌握通法
（1）函数极限四则运算法则．
（2）一般地，中学阶段接触到的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形．
5.布置作业
教科书习题2.5第1题． 思考题：已知53
2lim 223=--++→x x b ax x x ，求常数a 、b 的值． 6.板书设计
7.教学反思。