第二章 实数预习导学案
北师版八年级上册第二章实数全章导学案
2.1 数怎么又不够用了（1）学习目标: 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
学习过程：一、知识回顾：有理数：______和______统称为有理数，有理数的分类：例1：使用计算器计算或笔算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，95,9011,119,847,53-， 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 有限小数或无限循环小数都是有理数.、创设问题的情境，探究新知1、有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
（1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。
（3）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
事实上，在等式22=a 中，a 即不是整数，也不是分数，所以a 不是 。
2、做一做（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b ，b 满足个么条件？（3）b 是有理数吗？在上面的两个问题中，数a ，b 确实存在，但都不是有理数。
有理数815（三）、巩固练习1.（1）面积为4的正方形的边长是（ ）A 整数B 分数C 有理数D 不是有理数（2）面积为2的正方形的边长是（ ）A 整数B 分数C 有理数D 不是有理数（3）边长为2的正方形的对角线的长是（ ）A 整数B 分数C 有理数D 不是有理数2．如图，正三角形ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？3.长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？4. 下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几条？长度不是有理数的有几条？（四）、课堂测试1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）A.面积为25的正方形B.面积为169的正方形C.面积为27的正方形D.面积为1.44的正方形2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。
北师大版八年级数学上册导学案数学第二章实数 实数(3)
课题：八上数学2.6．1实数(三)[新授课] 班 号 姓名：（1）公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用．（2）了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．（1）)32(276-⋅； （2）10156⋅⋅ （3）2332⨯； （4）3)312(⋅+． 2、复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 一、探究的公式：=⋅b a （ a ≥0，b ≥0），=ba （a ≥0，b ＞0）． 内容1：能否根据该公式将8化成22？ 探究转化方法：这实际上是将 、 公式反用，建立知识之间的联系。
内容2：例 进行相关偿试练习：化简：（1）45；（2）27；（3）54；（4）98；（5）16125．内容3：反思：（1）含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根面积8 面积2号的数写在 ，并省略去 号．（2）以上化简过程有何规律呢？学生讨论交流得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了 外面． 明确带根号的数什么时候要化简：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．被开方数含有 也需要进行化简．二、实数的乘法法则、除法法则的逆用：进行化简P59-60内容1:探究：化简：21就需要化简．21怎样化简呢？8呢? 化简过程： 原来被开方数含有分母，化简后，被开方数不含练习：化简：31． 小结归纳：带根号的数的化简要求：（1）使被开方数不含 的数；（2）使被开方数不含 ．内容2：学习例1 P59化简：（1）50； （2）348-；（3）515-． 学生交流总结，被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？答案：要把被开方数的分子与分母同乘以一个 的数，使得分母成为一个能（2）公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）从左往右或1、书P62 理解22、 化简：（1）81；（2）278；（3）2.1；（4）62⨯．。
八年级上册第二章《实数》导学案2.6.3实数
八年级上册第二章《实数》导学案课题：2.６实数（三）学习目标：1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用． 2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．重点：1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.【学习过程】一、复习引入下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？二、知识探究探究（一）：1．能否根据上一课时探究的公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a =（a ≥0，b ＞0）．将8化成22？ 2. 巩固练习： 化简：（1）45； （2）27； （3）54； （4）98； （5）16125． 3.反思：以上化简过程有何规律呢？含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在＿＿＿＿＿，并省略去＿＿＿＿号．（2）以上化简过程有何规律呢？学生讨论交流得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了＿＿＿外面．明确带根号的数什么时候要化简：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．被开方数含有＿＿＿＿也需要进行化简．探究（二）:面积8 面积21. 议一议： 21怎样化简呢？ 2. 练习：化简：31． 3.反思：被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？4. 小结归纳：带根号的数的化简要求：（1）使被开方数不含开得尽的数；（2）使被开方数不含分母．5. 运用自学课本例2三、知识巩固化简：（1）18；（2）7533-；（3）72．（4）278 （5）81四、知识拓展化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；（4）325092-+； （5）5145203--； （6）3223+．(5).38-532 (6).73-31 (7).40 -5101+10五、课堂测试1．计算23475482131-+的结果是 ( ) A. 2 B. 0 C. -3 D. 32．化简：②125205-； ③22)77()77(--+。
新北师大版八年级数学上册第二章实数导学案(自编)已审
新北师大版八年级数学上册第二章实数导学案（自编）已审第二章实数2.1认识无理数学习目标：让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.会判断一个数是否为有理数.自学重难点：把两个边长为1的正方形拆成一个小正方形的动手操作过程.推论一个数与否为有理数.一、科学知识总结：有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n 都是整数，且n≠0）的形式。
任何有限小数或无限循环小数都是有理数.有理数的分类：实数基准：存有两个边长为1的小正方形，剪一剪，比拼一比拼，设法得一个小正方形。
（1）金沟线正方形的边长为a，a满足用户的条件就是什么？（2）a可能将就是整数吗？可能将就是分数吗？理由就是什么？结论：例：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，?3,5479115,,,，811909结论：分数就可以化为有限小数或无穷循环小数.训练：正三角形abc的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？页第1例：(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由(2)边长a的整数部分就是几？十分位就是几？百分位就是几？千分位呢？??探索过程如下边长a1＜a＜21.4＜a＜1.51.41＜a＜1.421.414＜a＜1.4151.4142＜a＜1.4143还可以稳步算是吗？a就是有限小数吗？结论：无理数：无限不循环小数叫无理数。
像?，0.585885888588885?，1.41421356?，2.2360679?等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数实数：分成有理数和无理数两类实数的分类：面积s1＜s＜41.96＜s＜2.251.9881＜s＜2.01641.999396＜s＜2.0022251.99996164＜s＜2.00024449??整数??有限小数或无限循环小数?有理数?实数??分数无理数?无限不循环小数页第2正有理数正实数正无理数??实数?0?负有理数?负实数负无理数?例：练习：在多一个1）中①属于有理数的有：属于无理数的有：属于实数的有：当堂检测：一、按建议顺利完成以下题目1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？413.14，－，0.57，0.1010010001?，0.4583，3.7，－π，－373?;－π；；0；0.3；；0.33；0.3131131113?（两个3之间依次732.把以下各数分别插入适当的子集里：?1222?，?，7，327，0.1010010001?，0.5，?0.36，39，4，163139实数集{?}，无理数集{?}，有理数集{?}，分数集{?}，正数无理数集{?}3.推论下面的语句对不对？并表明推论的理由。
《实数》全章教学设计与导学案 (1)
第二章实数1. 认识无理数（第1课时）一、学生起点分析通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】【议一议】：已知22a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a=的a为什么不是整数？释2．满足22a=的a为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与巩固内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： （右2）仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上 效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化． 效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．第六环节：布置作业习题2.1六、教学设计反思（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．（二）化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．（三）强化知识间联系，注意纠错既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数”不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．第二章实数1. 认识无理数（第2课时）一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？1-，0，2，3，…)有理数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a面积s1<a<21<s<41.4<a<1.5 1.96<s<2.251.41<a<1.42 1.9881<s<2.01641.414<a<1.415 1.999396<s<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.例1填空:有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数0.351，4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A ）面积为25的正方形；(B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形.例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗?解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不是完全平方数，所以a 不是有理数.强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp 形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P 23 随堂练习.2.已知：在数43-，5， 1.42••-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ， 无理数集合 (5)－1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.第五个环节：课堂小结内容：本节课你有哪些收获?1．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.第六个环节：布置作业习题2.2 1.2.3.四、教学反思本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础.但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深.另外，由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够，所以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有一定困难，若学生学习例1后再进行知识分类整理可能会更好.附：板书设计第二章实数2. 平方根（第1课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．三、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，问题情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置深入探究拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； (4)14的算术平方根是14．内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)． 即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则=+2)2(m ．二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1． 三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根2，那的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即ax么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.第二章实数２. 平方根（第2课时）一、学生起点分析学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习“立方根”做基础．二、教学任务分析《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是①了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．三、教学过程设计:。
XX新版初二数学第二章实数导学案
XX新版初二数学第二章实数导学案【学习课题】§2.6实数【学习目标】1.了解无理数和实数的意义。
了解实数与数轴上的点成一一对应关系。
3.掌握实数性质和实数的绝对值。
【学习重点】会按两种标准对实数进行分类；会求一个实数的相反数和绝对值。
【学习难点】实数的分类。
【学习过程】学习准备有理数包括和。
任何一个有理数都可以写成或者小数的形式。
任何有限小数或循环小数都是。
有理数的分类：按定义分类:按大小分类：有理数有理数无理数：无限不循环小数叫做.无理数的小数位数是，而且是不。
解读教材我们所学的数的范围扩大到了范围。
_______和_______统称实数,数轴上的点与_______一一对应.a是一个实数，它的相反数为，绝对值为；如果a≠0,那么它的倒数为即时练习1、下列各数中:①1914526，②0,③,④⑤,⑥,⑦⑧⑨________是有理数,________是无理数?挖掘教材例1:把下列各数写出相应的集合内:①,②,③0.259,④,⑤⑥0,⑦,⑧0.325325325…,⑨,⑩-4.313313331….★思路点拨：无理数几种常见的类型：无限不循环小数；及含的数；有规律但不循环的无限小数；带根号但开方开不尽的方根。
解：正实数集合{…};负实数集合{…};有理数集合{…};无理数集合{…}.例2：求下列的各数的相反数及绝对值:3－例3：求下列各式中的实数x|x|=；|x|=即时练习把①1.414,②③④,⑤⑥⑦⑧⑨，⑩0。
分别填入相应的括号中:分数:{};整数:{};负数:{};正数:{};有理数:{};无理数:{}下列说法中正确的有_________________.无限小数都是无理数;无理数都是无限小数;有理数都是有限小数.带根号的数都是无理数.不带根号的数都是有理数.无理数就是开方开不尽的数.开方开不尽的数是无理数.数轴上所有的点都表示实数;0的相反数,倒数,绝对值都是0;0是最小的实数;0与都是无理数.实数包括有限小数和无限小数.若|X-|=，则x=.在数轴上与原点距离为的点所表示的数是。
新北师大版八年级数学上册第二章实数导学案
第一课 平方根导学案一、学习目标：1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
二、知识要点：1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、复习、预习：1、据图填空：x 2= , y 2= , z 2= ,w 2= .，即 ，那么这个正数a 的 ，记为 ，读作 。
特别地，我们规定0的算术平方根是 ，即 。
4、由以上定义可知如果2x =a ，那么x 就叫a 的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③0.01是0.1的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ）5、5的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下6、试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 四、典型例题例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1 （4）0 （5）94（6）7例2、计算（1）81 （2）41（3）-169例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5+（6） 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？五、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121 （3）12 （4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0- （3（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m 六、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1） 2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算：（1）- 16964 （2）2243+121112= 144122= 169132= 196142= 225152= 256162= 289172= 324182= 361192=400202= 625252= 676262= 729272= 784282= 841292= 900302=第二课 立方根导学案一、学习目标：1、掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
八年级数学上册(新版北师大版)【第二章实数导学案】
如意湖中学八年级数学学案课题：认识无理数上课时间： 班级： 姓名： 学习小组打分【学习目标】1、通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
2、会判断一个数是有理数还是无理数。
【学习重难点】1、无理数概念的探索过程。
2、了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断。
【学习方法】自主探究与小组合作 【自学探究】 一、学习准备1、 有理数的概念：__________和___________统称为有理数。
2、 有理数总可以用__________或____________________表示，反过来__________或____________________也都是有理数。
【合作探究】1．理解无理数的概念（1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，设大正方形的边长为a,计算_____2=a ，小组讨论：a 可能是整数吗？a 可能是分数吗？讨论结果： 。
（2）_______2=b ，b 是有理数吗？归纳：无限不循环小数称为无理数。
例如：圆周率⋯⋯=14159265.3π是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数。
再如：0.121221222122221……（相邻两个1之间2的个数逐次加1）也是无理数。
【实践练习】：1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，∙7.3，－π，－71，18. 有理数： 无理数：注意：无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数。
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
特殊的常数π是无限不循环小数，因此也是无理数。
【课堂测试】1.设面积为5π的圆的半径为a ， a 是有理数吗？说说你的理由.解：∵ππ52=a ∴_______2=a 。
a______有理数，因为a 既______整数，也_______分数，而是_____________。
实数全章各节预习导学案
6.1算术平方根学习目标：经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示学习重点：理解算术平方根的意义， 学习难点：理解算术平方根的意义， 学习过程： 知识探究1.计算：=21 ，=2)21( ，=20 ，=23.0 ，=2)43( ，=-2)51( 。
2.填一填：25(____)2=，36(____)2=，256(____)2=，196144(____)2=3.若a 是有理数，则a 2一定是 数。
4.学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。
他想裁出一块面积为25dm 2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？自主探究学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？（一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。
（二） （自主完成下表）正方形的面积 916361425边长这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根.正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根.（三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便，我们把a 的算术平方根记作a（上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a a 表示a 的算术平方根.一般的，如果一个正数．．x 的 等于a ，即x 2=a ，那么这个正数．．．．x 叫做 算术平方根．．．．．. a 的算术平方根记为 ，读作“ ”， a 叫做 。
规定：0的算术平方根是算术平方根的性质:一个非负数的算术平方根一定是 ，一个非负数的算术平方根的平方一定等于 。
新版北师大版八年级数学上册第二章《实数》第二课时导学案.doc
新北师大版八年级上册数学《实数》第二课时导学案学习目标 1、了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
2、用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算。
学习 重难点 );0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b ab a ，并能用规律进行计算。
学法指导讲练结合法 多媒体演示法 探究法 尝试指导法学 习 过 程 独 立 尝 试学 案导 案一、复习引入1、有理数中学过哪些运算及运算律？2、实数包含哪些数？3、有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能继续使用？二、知识探究①探索：要回答上面提出的问题，因为实数包括有理数和无理数，我们只需在无理数中验证一下运算法则及运算律是否成立。
用计算器可验证：3223+=+，（加法交换律） 2332⋅=⋅， （乘法交换律）3)212(32123=⋅⋅=⋅⋅ ， （乘法结合律）353)32(3332=+=+， （分配律）②总结：以上说明有理数的运算法则与运算律在实数范围内 。
认真阅读课本第38、39页： ①由有理数的相关概念，逐步引入无理数的概念。
②由有理数的分类逐步引入实数的分类。
③ 有理数的绝对值、相反数、倒数等引入无理数的绝对值、相反数、倒数，为无理数的计算打下基础。
合作探究①做一做94⨯＝，94⨯＝；2516⨯＝，2516⨯＝；94＝，94＝；2516＝，2516＝．②用计算器计算76⨯＝，76⨯＝；76＝，76＝．问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？无理数的绝对值、相反数的计算方法和有理数一样，倒数是本节课要学习的重点。
自我挑战①2095⨯；②8612⨯；③2)323(-；④2)132(-；⑤)32)(31(-+⑥250580⨯-⨯；（3）2)313(-；（4）10405104+；（5）)82(2+．堂清试题1、计算：6525-=；32512⨯= ；2)32(= 。
北师大版八年级上第二章《实数》全章导学案
2.2.1算术平方根主备人：王晓妮【学习目标】1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根 【自主学习】1. 叫做无理数2.平方等于4的数是3. 填表：【合作探究】活动1.自学教材，回答问题：1.算数平方根定义：一般地，如果一个___ 数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个______叫做a 的_________．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作0=____2.求下列各数的算术平方根：（1）100；(2) 6449；(3) 0.0001 ；（4）7；活动2思考：－4有算术算术平方根吗？为什么？ 总结：1.正数有 的算术平方根 0的算术平方根是 负数2.对于a ：a 0【达标检测】1.41的算术平方根是（ ） A ．161 B ．81 C ．21 D ．212、若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7 B. －7 C. 49 D.－493、判断下列语句是否正确？具有双重非负性①5是25的算术平方根（）②-6是36的算术平方根（）③0.01是0.1的算术平方根（）④-5是-25的算术平方根（）4、填空：(1)因为()2=64，所以64的算术平方根是_____＝______；(2)因为()2=0.25，所以0.25的算术平方根是____求下列各式的值：5、______；______；______；______；______；＝______.6. 81的算术平方根是。
（2）81的值是。
（3）81的算术平方根是。
7.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______；若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______。
8. 3x-4为25的算术平方根,求x的值. 、9.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.10.想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？（12.2.2平方根主备人：王晓妮【学习目标】1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
北师大八年级数学上册第二章实数全部导学案
本章课标要求：（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
数怎么又不够用了 一、知识回顾： 有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n≠0）的形式。
任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 有理数的分类：无理数：无限不循环小数叫无理数 。
像π，0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数实数：分为有理数和无理数两类。
实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中 属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 训练作业：一、按要求完成下列题目1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，∙∙75.0，0.1010010001…，0.4583，∙7.3，－π，－712..把下列各数分别填入相应的集合里：π31-，1322-，7，327，0.1010010001…，0.5，36.0-，39，924，16实数集{ …}， 无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} 3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
八年级上册数学第二章《实数》导学案北师大版
2.6实数第1课时 导学案【学习目标】1、了解实数的概念，会对实数按照一定的标准进行分类；2、在数轴上表示所给的实数【学习重点】实数的概念及其分类.【学习难点】实数在数轴上的表示.【课前小测】1、36的平方根是 ； 16的算术平方根是 . 27的立方根为2、大于3而小于7的整数是________3、下列说法正确的是（ ）A 、9的算术平方根是3±B 、8-的立方根是2C 、16的平方根是16D 、2π是无理数 4、5的相反数是______，倒数是______，绝对值是_________.【新课学习和探究】1、把下列各数填入相应的集合内：（用序号表示） ①32， ②41， ③7， ④π， ⑤0， ⑥2， ⑦ 5-， ⑧ 38-，⑨ 94，⑩⋅⋅⋅⋅⋅⋅3737737773.0（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）. 有理数集合｛ ……｝ 无理数集合：｛ ……｝正数集合：｛ ……｝负数集合：｛ ……｝定义：有理数和无理数统称为实数2、小组合作：（1）实数的分类（按照概念分类）（2） 按照正负分类3、（1）-8的相反数是________，倒数是_________，绝对值是__________；（2）52的相反数是________，倒数是_________，绝对值是__________. （3）7的相反数是________，倒数是_________，绝对值是__________；（4） a 是一个实数，它的相反数为 ，若0 a ，那么它的倒数为 ；绝对值为结论：实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样【例题精讲】在数轴上作出2对应的点，并讨论下列问题：（1）2它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？0 1 2-1 -2【课堂小结】1、实数的概念及其分类；2、求实数的相反数、倒数、绝对值；3、实数在数轴上的表示.【课后作业】1、把下列各数填入相应的集合内：①7.5， ②15， ③4， ④179， ⑤32， ⑥327-， ⑦0.31， ⑧π-（1）有理数集合：{ …}；（2）无理数集合：{ …}；（3）正实数集合：{ …}；（4）负实数集合：{ …}.2、填表：3、在数轴上作出10-对应的点.（先画数轴）。
新版北师大版八年级数学上册第二章《实数》第一课时导学案.doc
新北师大版八年级上册数学《实数》第一课时导学案学习目标1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2、了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
3、了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。
学习重难点学习重点：①能对实数进行分类，②明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
学习难点：用数轴上的点来表示无理数。
学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、复习引入新课①什么是有理数？有理数怎样分类？②什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？二、实数概念把下列各数分别填入相应的集合内：32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）有理数和无理数统称为。
三、实数分类内容：1、你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？2、0属于正数吗？0属于负数吗？无理数和有理数一样，也有正负之分。
1、从符号考虑，实数可以分为、、。
2、另外从实数的概念也可以进行如下分类：、。
认真阅读课本第38、39页：①由有理数的相关概念，逐步引入无理数的概念。
②由有理数的分类逐步引入实数的分类。
③有理数的绝对值、相反数、倒数等引入无理数的绝对值、相反数、倒数，为无理数的计算打下基础。
…有理数集…无理数集合作探究四、实数的相关概念1、在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？2、2的相反数是什么？35的倒数是什么？3，0，—π的绝对值分别是什么？3、3—π的绝对值是。
4、a是一个实数，它的相反数是，它的绝对值是，当a≠0时，它的倒数是。
知识整理：（1）相反数：a的相反数是；0的相反数仍是；（2）倒数：当a≠0时，a的倒数（0没有倒数）是；（3）绝对值：正数的绝对值是；负数的绝对值是它的；0的绝对值是；即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0()0(||aaaaaa无理数的绝对值、相反数的计算方法和有理数一样，倒数是本节课要学习的重点。
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第一讲 认识无理数探究点一：无理数的概念及认识例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－53，0.58··，－0.125，－5π，0.35，227，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．方法总结：有理数与无理数的主要区别．(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示． (2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能． 练习巩固：1．在实数3.14，25，3.33333，0.412⋅⋅，0.10110111011110…，π， 中，有（ ）个无理数？A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数3.a ）A ．有理数B ．正无理数C ．正实数D ．正有理数是有理数时，一定有（ ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数 5.已知a 为有理数，b 为无理数，则a +b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 6.设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 .探究点二：用“夹逼法”求无理数的近似值例2：正数x 满足x 2＝17，则x 精确到十分位的值是________．方法总结：估计x 2＝a (a >0)中的正数x 各位上的数字的方法：(1)估计x 的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小数即为整数部分；(2)确定x 的十分位上的数，同样寻找它在哪两个连续整数之间；(3)按照上述方法可以依次确定x 的百分位、千分位、…上的数，从而确定x 的值．第二讲 平方根探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根 例1：求下列各数的算术平方根：(1)64； (2)214； (3)0.36； (4)412－402.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值 例2： 3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题． 巩固练习：1.下列各式中，正确的是（ ） A.－49- =－（－7）=7 B.412 =121 C.1694+ =2+43=243D.25.0 =±0.52.下列说法正确的是（ ） A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方根3.36的算术平方根是（ ）A.±6B.6C.±6D. 64.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ） A.m +2B.m +2C.22+mD.2+m5.()26-的算术平方根是__________． 探究点二：算术平方根的性质【类型一】 含算术平方根式子的运算 例1：计算：49＋9＋16－225.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误． 【类型二】 算术平方根的双重非负性例2：已知x ，y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a |≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0. 巩固练习：1.当1<x <4时，化简221x x +-－1682+-x x 结果是（ ） A.－3 B.3 C.2x －5 D.52.若2+x =2,则2x +5的算术平方根是______.3.若 a a -=2，则a ______0．4.若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ， xy 的值.5.已知()0232212=++++-z y x ，求x+y+z 的值.探究点三：平方根的概念及性质 【类型一】 求一个数的平方根 例1： 求下列各数的平方根：(1)12425； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)81.方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根． 【类型二】 利用平方根的性质求数的值例2： 一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零． 巩固练习：1.实数2的平方根是__________．2.实数972的平方根是 ，算术平方根是 . 3.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.探究点四：开平方及相关运算 例3：求下列各式中x 的值．(1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根． 巩固练习： 1.x 2=(－7)2,则x =______. 2.求55=-+x x 中的x ．3.△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围.4.若x ，y 满足52112=+-+-y x x ，求xy 的值.练习提升：1.(14-)2的算术平方根是_______，4121的平方根是_________；的值为____________的算术平方根是______；3.2=_______；2(=_______=________；=_______=________；2=_________；2(=______=__________=________．4.a =___________.5.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．2=_____；=______；若x 2=42，则x =__________．7.2=，则2x +5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．8.下列说法正确的是（ ）A.-2是-4的平方根 B ．2是(-2)2的算术平方根 C.(-2)2的平方根是2 D ．8的平方根是4 9.下列说法正确的是（ ）A.-81的平方根是±9B.任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C.任何一个数的算术平方根都是正数D.2是4的平方根 10.下列各式中，正确的是（ ）A =B ．0.6=±C 13=D 6=± 11. 若一个正方形的面积变为原来的4倍，则它的边长变为原来的______倍；若面积变为原来的9倍，则它的边长变为原来的______倍；若面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的______倍；若面积变为原来的n 倍，则它的边长变为原来的______倍．12．一个正数的平方根是a +3与2a -5，求这个正数．第三讲 立方根探究点一：立方根的概念及性质 【类型一】 立方根的概念及性质例1：立方根等于本身的数有________个．方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根． 【类型二】 立方根与平方根的综合问题例2：已知x －2的平方根是±2，2x ＋y ＋7的立方根是3，求x 2＋y 2的算术平方根．方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x ，y 的值，再根据算术平方根的定义求出x 2＋y 2的算术平方根． 【类型三】 立方根的实际应用例3：已知球的体积公式是V ＝43πr 3(r 为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm 3，求这个小皮球的半径r.方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形． 巩固练习：1.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61D.－5的立方根是35- 2.在下列各式中：327102=34 3001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43.若m <0，则m 的立方根是（ ） A.3mB.－ 3mC.±3mD. 3m -4.如果36x -是6－x 的立方根，那么（ ） A.x <6 B.x =6 C.x ≤6 D.x 是任意数5.下列说法中，正确的是（ ）A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 探究点二：开立方运算 例1：求下列各式的值．(1)－3343；(2)31027－5；(3)－3－8÷214＋（－1）100.方法总结：做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算． 巩固练习：1.如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ） A.－3B.－33C.±3D.33或－33 2.若x ＜0，则332x x -等于（ ） A.x B.2xC.0D.－2x 3.若a 2=(－5)2,b 3=(－5)3,则a +b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10D.0或－104.若81-x +x -81有意义，则3x =______.5.若x <0，则2x =______,33x =______.练习提升：1.下列说法正确的是（ ） A ．-4没有立方根B ．1的立方根是1±C ．361的立方根是61 D ．-5的立方根是35-2.下列说法错误的是（ ）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根C ．13-是127-的立方根 D ．(-4)3的立方根是-43.340.1=10=，27=-，其中正确的有（ ）.A.1个B ．2个C ．3个D ．4个=________=_________= ________；=_______；3=_________；3=_________．3=________； 3=_________=_________；=_________．=________．的平方根是________的立方根是________．7.若一个正数的立方根是m ，则比这个正数大1的数的平方根是__________．8.3x =．9.小明房间的面积为10.8 m 2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_____． 10.一个正方体，它的体积是棱长为3 cm 的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是__________．_______；210-的算术平方根是_________；_____________；的立方根是_______________．；=__________=________；_______3=________．12．若2m+2的平方根是±2，n+1的平方根是±3，则m+2n的立方根是________．思考小结1.对于任意数aa吗？2一定等于a吗？①当a≥0；当a＜0a．（“一定等于”或“不一定等于”）②对于2，a作为被开方数，所以a______0，因为平方和开平方互为_________，所以2_______a．（“一定等于”或“不一定等于”）2.对于任意数a一定等于a吗？3一定等于a吗？①当a≥0；当a＜0a．（“一定等于”或“不一定等于”）②对于3，a______，因为立方和开立方互为_________，所以3_______a．（“一定等于”或“不一定等于”）第四讲估算探究点一：估算一个无理数的近似值【类型一】估算无理数的取值范围例1：估算19－2的值( )A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．【类型二】确定无理数的整数与小数部分例2：已知a是8的整数部分，b是8的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．方法总结：解此题的关键是确定8的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．巩固练习：1.a是10的整数部分，b是5的整数部分，则a²+b²=______.2.如果一个正方形凉亭的占地面积为10平方米，那么它的边长大约是米（精确到0.1米）；如果改建成一个同样面积的圆形凉亭，它的半径大约是米（精确到0.1米）。