标准正态分布的密度函数

5
由于 随机变量 X ~ N (0,1)
1 x e 2
x2 2
x
b a
(x)
P(a X b) ( x)dx
由图像可知，阴影面积为概率值。 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”.
6
0
a
b
x
对同一长度的区间 [a, b] ，若这区间越靠近 x 0,
1. x 在 x 处处连续； 内
0
x
2. x为偶函数，其图像关于y轴对称； 1 0.399 3. 当x＝ 时， x 有最大值： 0 0 2 4. 当x＝ 1时，曲线 x 有拐点; 5. x轴为曲线的水平渐近线。 x 的图像称为标准正态（高斯）曲线。
第七节
正态分布
第二章
一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算
1
正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明：
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．
13
P h X P X h
⑵ 当x 时，px 取到最大值
p 1 2
p (x)
这表明，对于同样长度的区间，
0 h h
x
x离 越远，px 的值就越小． 当区间离 越远时，
随机变量 X 落在该区间中的概率就越小．
2
从该地区 1、随机地抽查一青年男子的身高， 他身高超过168cm 的概率为多少。 2、若抽查10个青年男子测其身高恰有k（0≤k ≤ 10)个 人的身高高于168cm 的概率为多少？
解 1、 P X 168 1 P X 168
168 170 1 5.5
19
一般正态分布的计算 若
X ~ N 0,1
P(a X b) (b) (a)
x 是标准正态分布的分布函数． X 2 设 Y ~ N 0,1 X ~ N ( , ),
F ( x) P{ X x} P{
故对任意的 a b, 有
Pa X b P(
P X 1 21 1 0.6826 P X 2 22 1 0.9544 P X 3 23 1 0.9974
这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，
超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
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三、一般正态分布的密度函数
解:
设车门高度为h cm,按设计要求
X 170 ~ N (0,1) 6
P X h 0.01 或 P X h 0.99
h 170 ) 0.99 故 P X h ( 6 h 170 查表得 (2.33)=0.9901>0.99 2.33 6 h 170 13.98 184 即 设计车门高度为184厘米时，
c X 10 C P X 10 C P 2 1 0.95 2 2 2 c 0.975 2
c 1.96 c 3.92 2
23
例5
某地区18至22岁的男子身高为X , X ~ N 170, 5.5
解
X ~ N (2, 3 ), 2 3.
2
⑴ P X 5 1
1 2 X 2 5 2 P 3 3 3
1 52 1 2 ( ) ( ) 1 3 3 3 1 1 1 0.8413 0.6293 1 3
0.4706
21
⑴ P X 5 1 ；⑵ P X 2 6 ；⑶ PX 0．
解 ⑵ P X 2 6 1 P X 2 6
例3 设随机变量 X ~ N 2， 9，试求：
1 P 6 X 2 6 1 P 4 X 8
如果连续型随机变量X的密度函数为
1 p ( x) e 2 ( x )2 2 2
x ,
（其中 , 0 为参数） 则随机变量X服从参数为 , 的正态分布，记为 p (x)
X ~ N ( , )
2
p ( x)所确定的曲线叫

e
dt , x
18
任何一个一般的 标准正态分布的重要性在于，
正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
它的依据是下面的引理： 引理 则 设
X ~ N ( , 2 )
Y X

~ N 0,1
根据引理, 只要将标准正态分布的分布函数制成表，
就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
0.364 0.64
n 10 p 0.64
24
2、 设该地区身高高于168cm的人数为X .
X ~ Bn, p
P X k C k 0.64k 0.3610k k 0,1,10. 10
例6 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头 机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N (170,62),问 车门高度应如何确定?
3
4
P X 1.24 1.24 1 1.24
P X 1.14 21.14 1
0.9772 1 0.8413 0.8185 1 0.8925 0.1075
2 0.8729 1 0.7458
10
3 准则 由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数
标准正态分布的密度函数为
分布函数为
1 x e 2
x
x2 2
x
t2 2
(x)
1 x t dt 2

e
x
dt
x
( x )
(x)
0
x
x
7
2、标准正态分布表
x


e dt
-x 0 x x
t2 2
令 则
t u, dt du
1 ( x) 2 1 1 2

x

e
u2 2
1 du 2


x
e
u2 2
du

x

e
u2 2
du 1 ( x)
( x ) 1 ( x)
P X x P x X x ( x) ( x) 2( x) 1
2 1 2 2 1 0.9773 0.0455
82 4 2 1 [( ) ( )] 1 2 2 3 3
⑶ PX 0 1 PX 0
2 2 1 0.7486 3 3
书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，
可以解决标准正态分布的概率计算.
(x)
1 ( x) 2 (x)

e dt P( X x)
x
t2 2
表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 0
x
x
8
如果 x 0, 由公式得
(x)
x
1 ( x) (t )dt 2
作正态(高斯）曲线.
0

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x
一般正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数
1 p x e 2
x 2
2 2
x
p (x)
由高等数学中的知识，我们有：
⑴ 曲线关于直线 x 对称，
这表明：对于任意的h 0，有
0 h h x
P(| X | 3 ) 0.9974
0

x
可以认为， X的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
的区间内。 这在统计学上称为 "3 准则”
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四、正态分布的概率计算 设 X ~ N ( , 2 ) X 的分布函数是
1 F ( x) 2

x

(t )2 2 2
则称X服从标准正态分布， 记为
X ~ N (0,1)
标准正态分布是一种特别重要的
分布。 它的密度函数经常被使用，

0
x
所以用专门的符号 (x) 来表示。
3
密度函数的验证
设X ~ N (0,1)上的正态分布， x是其密度函数，
1 x e 2 则有
x2 2
x
9
例1 设随机变量 X ~ N 0， 1 ，试求：
3
解
⑴ P 1 X 2；⑵．P 1 X 2．
P X 1.24
4
P X 1.14
⑴ P 1 X 2 2 1
0.9772 0.8413 0.1359 ⑵ P 1 X 2 2 1 2 1 1
可以证明， 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标 一定服从或近似服从正态分布．
⑵ 正态分布有许多良好的性质， 这些性质是其它 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
2
下面我们介绍一种最重要的正态分布－标准正态分布 一、标准正态分布的密度函数 定义 若连续型随机变量X的密度函数为 x2 1 2 x (x) x e 2
越平坦，这表明 X的取值越分散．
决定了图形中峰的陡峭程度. 称为形状参数。
正态分布由它的两个参数μ和 当 σ惟一确定， μ和σ不同时， 是不同的正态分布.