数学史 第三章+数与数系的发展

任何数现在都可以用这些符号相加的方法 给以表示了，其中每一个符号重复必要的次数。 于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=
另外，埃及人比较习惯于从右往左写，而我们 写这个数，还是从左往右。
古代玛雅人的数系是16世纪在墨西哥 发现的。研究认为，法定的玛雅年是 360天，因此其数系本质上是二十进制。 但从第二次数群的幂次不是202，而是 18×20，对于更高次的数群亦采用 18×20n的形式。如： 43， 480=6×18×202+0×18×20+14×20。 当然，古代玛雅人没有计算符号，其数 字是由表示6、0、14的符号自上而下排 列的。
3.2.2文字记数
新石器时代中晚期的遗址（西安半 坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的遗址（距今约 5000~6000年）中，发现陶器上刻的符 号中有数字符号： “ ”（五）、“ ”（六）、“ + ” （七）、“ ”（八）、“ ”（十）、 “ ”（二十）
商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”） 的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽 管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代 对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符 号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。 表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过 程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确 切些）才被世界各国所接受。中国到1892年才开始采 用阿拉伯数码，但数的写法还是竖写，直到20世纪才 采用现代写法。
3.3.3复数
虚数是负数开平方的产物，它是在代数方程求解过 程中逐步为人们所发现的 公元三世纪的丢番图只接受正有理根而忽略所有其 它根，当方程两个负根或虚根时，他就称它是不可解的。 十二世纪印度的婆什伽罗指出：“负数没有平方根， 因为负数不可能是平方数” 卡当（1545）解方程得到 根和 。这 使卡当迷惑不解，并称负数的平方根是“虚构的”、 “超诡辩的力量”。 17世纪，尽管用公式法解方程时经常产生虚数，但 是对它的性质，当时仍没有认识。莱布尼兹说：“那个 我们称之为虚的－1的平方根，是圣灵在分析奇观中的 超凡显示，是介于存在与不存在之间的两栖物，是理想 世界的瑞兆。”
古代巴比伦人的六十进位制 玛雅数系中的二十进位制 计算机技术中的二进位制 进位制的转化 例如，四进制数（3021）4转化为十进 制数的方法为： （3021）4=3· 43+0· 42+1· 4+2=198
3.1.3 度量的数
使用具有确定标准的容器、长度（称 为单位）等去度量，度量出的次数之大 小就产生量的概念。人类的度量活动是 产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分 数的概念
进位制 当计数较多的实物时，人类学会了一次 用更大的单位计数的方法。 如，五进制：一五，一十，十五，二 十，…… 十进制，这时从1到10的十个数都 有自己的特殊名称，而从11开始，就用 10的进位表示了。在英语中，eleven意 指“剩下”或“比10多1”，twelve意指 “比10多2”，thirteen即“3和 10”，……；twenty意指“两个10 ”，而 hundred则指“10个10”。
有理数和无理数的小数表达式
任何有理数都具有一个有限的或循环的小数表达 式，反之，任何有限的或循环的小数表达式都表 示一个有理数。而无理数的小数表达式是无限不 循环的；反之，任何无限不循环小数表达式都表 示一个无理数。 重要的性质：在任何两个不同的正无理数之间都 存在一个有理数。事实上，如果a和b（o＜a＜b） 表示两个无理数，且它们的小数表达式为 a=a0.a1a2… 和 b=b0。b1b2…， 设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一个n 值。于是， c= b0。b1b2…bi 就是a和b之间的一个有理数。
3.1.1 数感
数感，即感知事物多少的心理能力。 原始人类较早的“有”与“无”、“多” 与“少”的认识 某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦 的数感
3.1.2 一一对应计数法与进位制
一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数 荷马（约公元前9~8世纪）的诗史中， 独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来对应自 然数 一一对应的计数方法很容易形成自 然数的概念, 它是数概念发展的重要途 径。
甲 骨 文 中 的 干 支 表
中国早在商代就使用干支纪日 法。干支纪年，始于东汉初年 如，殷商的帝王们也大多用其出生的那 一天的干支名来命名。 据考证，中国古代自春秋时期鲁隐公三 年（公元前720年）二月己巳日（这天发生一 次全日食）起，就开始连续使用干支纪日，直 至清末，2600年从未间断，这是世界上使用时 间最长的纪日法。 干支纪年，我们今天仍用在农历纪年上， 近代史上许多重大事件，也常以该事件发生的 干支年号来命名，如“辛亥革命”、“甲午战 争”、“辛丑条约”、“庚子赔款”等。
如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度 中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说 图3.1是西汉末年王莽律嘉 量斛的结构示意图；中间大 的圆柱为斛量，中间底部圆 柱形为斗，左右两边各有一 耳，都呈圆柱形，左耳为升 量，右耳上为合量、下为龠 量。
3.1.4抽象的数
数与被计算的东西分离开来了，出 现了1，2，3，…这些无名数，无名数 的出现标志着抽象的数概念的产生， 怀特海（1861~1947）：“首先 注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟 使思想史前进了一大步。他是第一个具 有纯数学观念的人”。 教育的启示 学会1、2、3，… 的概念，并不意味着就可以脱离具体事 物进行抽象的数的思维。相反，当人们 接触到数的符号或名称时，仍然与那些 需要计算对象的某些具体表象联系在一 起。
3.1.5 神秘的数
神秘数广泛存在于古代人类社会，数 字在这里不表示什么同类的序列，也不 用于最简单的数学运算，而是利用数本 身的神秘性来预卜事物的未来。数被想 象成具有神秘属性的代表物，它便通过 宗教、神话来影响人类的生活。 原始人类对自然的认识是有限的，往 往借助数——这个思维的抽象物，来解 释世界上无法理解或控制的各种现象。 于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或 其它宗教活动之中。甚至成为治国的工 具。
3.2.3 位值制记数法
十进制的位值记数法，它不仅采用 十进制，而且在不同位置上的数码，表 示这个数码与10的某个幂次的乘积。即 用位置来表示数。
中国古代的筹算中的位值制记数法。 筹式的数码有纵、横两种形式： 1 2 3 4 5 纵式 横式
6
7
8
9
筹式数字摆放的方法规定：个位、 百位、万位以上的数用纵式，十位、千 位、十万位上的数用横式，纵横相间， 以免发生误会；又规定用空位来表示零。 例如197和1907的筹式分别表示为 和
如图3.6所示，其中OA=1， MO=1/2， 因而AM= /2，以及AB=AN=AM－MN= （－1）/2=x。 这里的无理数x被称为“黄金比” （有的资料上把它的倒数（+1） /2≈1.618称为“黄金比”），它在 自然界中，以及在科学和艺术中， 处处都会出现。它是早期被发现的 无理数之一。
第一次数学危机与古希腊数学家欧 道克索斯的“量”理论 无理数最早出现在中国《九章算术》 中时，丝毫没有引起人们的异议。《九 章算术》的开方术中说：“若开不尽者， 为不可开，当以面命之。”
3.3.2无理数
公元前5世纪， 图3.5 黄金比 的几何作图法 (一) 毕德哥拉斯学 派发现了一些 直角三角形 的三边不能用 整数或整数之 比来表示的事 实
图3.6黄金比的几何作图法(二) 在古希腊几何学家试图作正五 边形时,就曾遇到过一个有趣的无理数。为了 作正五边形，只要能作出360的角即可，因为 这个角的二倍（即720的角）是圆内接正五边 形一边所对的圆心角。于是问题转化为作顶角 为360的等腰三角形。为此，如图3.5中，设AC 平分底角OAB。这时，OC=AC=AB，且△BAC与 △AOB相似。 取OA=1，设AB=x，于是有 AB/BC=OA/AB， x/（1－x）=1/x， 即 x2+x－1=0。 由此得到x=（－1）/2。运用古希腊尺规作图 的方法，不难作出这样的x：
3.2数的表示方法
3.2.1 结绳与书契
结绳记数成为人类早期表示记数的方法
图3.2台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学） 中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。
结绳记数成为人类早期表示记数的方法
图3.3日本琉球群岛的结绳
“书契”，就是刻划。“书”是划痕， “契”是刻痕 如，在青海，1974年至1978年出土 一批带刻口的骨片，是新 石器时代末期用于记事、记数的实物。
如，夏王朝的“天有九野，地有 九州，王有九鼎，筹有《九畴》”的治国 方针。夏王朝将天分为 “九天”；地 为“九州”，并将州的官员称为“牧”。 九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九 州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九” 表在中国也普遍使用。这或许可以看出， 神秘数与运算中的数在历史发展中的先 后顺序。
西方数学家更多地是研究负数存在的合理性
如，16、17世纪的帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说 帕斯卡的朋友阿润德提出一种有趣的说法来反对负数， 他说如果(－1)：1 = 1：(－1)，那么较小数与较大数的 比怎么等于较大数与较小数的比呢？ 英国数学家瓦里士认为负数小于零而大于无穷大 a （1655）。他对此解释道：因为 a 0 时， 。而负数 bLeabharlann Baidu 0, b a 故 b 。 英国著名代数学家德· 摩根在1831年仍认为负数是虚构 的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29 岁。问何时父亲的年龄将是儿子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），开解得x = －2。他称此解是荒唐的。 当然，欧洲在18世纪排斥负数的人已经不多了。随 着19世纪整数的理论基础的建立，负数在逻辑上的合理 性才真正确立。
甲戌
乙亥
丙子
丁丑
戊寅
己卯
庚辰
辛巳
壬午
癸未
甲申
乙酉
丙戌
丁亥
戊子
己丑
庚寅
辛卯
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乙卯
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丁巳
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图3.4 甲骨文中 的干支表拓片 如图3.4。这些干 支表尽管都有些 残损，但从排列 上看，全是由上 到下竖行排列， 而且都是甲起头， 10对一行，排列 整齐，说明商代 人已有了序数的 概念。
第三章
数与数系的发展
主要内容 原始人类的数感（Number Sence） 数的抽象概念与数的符号 数域扩张（简称“扩域”）形成五大 数系 公理化的方法创造超复数 四元数 一一对应的计数方法 超限数的连续假 设
3.1 数的起源
“数和形的概念不是从其它任何地方， 而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为：依赖 于本能感觉，形成一一对应的计数方法， 建立集合的等价关系并给出其一个标准 （或代表集合）规定符号。
3.3 数系在计算中发展
3.3.1负数 在中国传统数学中，较早形成负数 和相关运算法则。 《九章算术》方程章中提出了负数的 概念以及它们的运算法则：“异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之”。 在古代演算使用算筹进行的。为了区分 正负数，刘徽在注文中说“正算赤，负 算黑，否则以斜正为异。”如 表 示+6， 表示—6。
3.2.4干支记数法
干支记数法是一种特有的60进制的记 数方法 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、 未、申、酉、戌、亥
六十甲子
干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 干支 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉
不完全的定位制――“累加制”，它 是同一单位用同一符号累加，达到较高 单位时才换一个新符号。 如罗马数字采用五进累加制，它用 大写拉丁字母表示数的单位：I（1）,V （5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它数 时，大单位在左，小单位在右，表示累 加，如VⅡ(7); 若大单位在右、小单位 在左，表示减法，如IV(4)。
巴比伦人发展了应用定位不完全的 60进位制的数系 一方面，60以上的数目依定位原则 写出；另一方面，60以内的数则按照以 十进制的简单分群数系写出，如 524,551=2×603+25×602+42×60+31=
其中分别代表1和10 。
埃及象形文字数系是以10进位制为 基础的。用来表示1和10的头几次方的 称号是：