经典控制理论——第五章2new资料
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这一判据是利用开环系统幅相频率特性 （乃氏图），来判断闭环系统的稳定性。
Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数 理论中的幅角定理，也称映射定理。
Nyquist稳定判据
当 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G(s)H(s) 在 s 平 面 的 原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表 示 为 ： 当 ω 从 -∞→+∞ 变 化 时 的 Nyquist 曲 线 G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N， 等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即 N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳 定。闭环系统右极点数Z= P - N 。
条斜率为-20dB/dec直线作为低频段直线；
过第一个转折 频率1 5 后，特性 斜率按环节性质变 化，对数幅频特性 渐近线，如图所示。
在各转折频率
附近按误差曲线加 以修正，得对数幅 频特性的精确曲线 ，如图虚线所示。
对数频率特性
5-4 频率域的稳定判据
本节介绍另一种重要且实用的方法——乃 奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由H. Nyquist于 1932年提出的 。
通过A点作一条-20vdB/十倍频的直线，其中v为 系统的无差阶数（对于本例，v=1），直到第一 个频交渐接进频线率的延1 长T11线(经图过中BA点点）。。如果 1 1，则低
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 每当遇到 1 环节的交接频率时，
jT j 1
渐进线斜率增加-20dB/十倍频；
由Nyquist曲线G(jω)H(jω) (ω从0→+∞)判别 闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲
20 lg K 20 lg 20 lg (T1)2 1 20 lg
() 0 (90 ) arctan(T1) arctan(T2)
(T2)2 1
– 绘制步骤：
确定交接频率 1，2 标在角频率ω轴上。
在本例中,1
1 T1
，2
1 T2
，
在ω＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环 放大系数。（上图中的A点）
这一特性的特点：
▪ 低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频； ▪ 低频渐进线（或其延长线）与0分贝
的交点为k Kk ，由之可以确定加 速度误差系数 ka= Kk ； ▪ 低频渐进线（或其延长线）在ω=1 时的幅值为20lgKkdB。
wk.baidu.com
例 系统开环传递函数为 G(s) 10(0.01s 1) 试绘制系统的对数幅频特性。 s(0.1s 1)(0.2s 1)
解 系统的开环频率特性
G( j)
10(1 j0.01)
j(1 j0.1)(1 j0.2)
系统由5个典型环节组成:
转折频率 1 5,2 10,3 100 ；且 1时 L(ω)=20lgK=20dB 或 c K 10 L(ω)=0作对数幅
频特性渐近线。
过ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一
开环对数频率特性曲线
（对数幅频渐近线特性曲线的绘制）
对于任意的开环传递函数，可按典型环节分
解，将组成系统的各典型环节分为三部分：
1.
K sv
或
K sv
K
0;
2.一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应 的非最小相位环节，交接频率为 1 。
T
3.二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应 的非最小相位环节，交接频率为 n 。
标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
– 系统类型与开环对数频率特性
不同类型的系统，低频段的对数幅 频特性显著不同 。
0型系统
1型系统
2型系统
0型系统 0型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n
( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。
对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即
L(c ) 0 或 A(c ) 1
时的频率 c 称为穿越频率。穿越频率 c 是开环对数 相频特性的一个很重要的参量。
–绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出 各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐
记 min为最小交接频率，称 min的频率范围为
低频段。
具体步骤：
1.开环传递函数典型环节分解；
2.确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交
接频率标注在半对数坐标轴的 轴上；
3.绘制低频段渐近线特性，在 min 频段内，
开环系统幅频渐近线特性的斜率取决于 K ，
因而直线斜率为 20vdB / dec。
每当遇到 ( jTi 1) 环节的交接频率时， 斜率增加+20dB/十倍频；
每当遇到
( j)2
2 n
2n
j
2 n
环节的交接频率时，
斜率增加-40dB/十倍频。
– 绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要， 可以进行修正。通常只需在交接频率处以及交接频率 的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；
交点为ωk=Kk，由之可以确定系统的稳 态速度误差系数kv= Kk ； ▪ 低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的 幅值为20lgKkdB。
2型系统 2型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n2
( j)2 ( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
v
4.在 min频段，系统幅频渐近线表现为分段折 线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个 交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决 于该交接频率对应的典型环节种类。
Bode图的绘制
例
一系统开环传递函数为
G(s)
s(T1s
K 1)(T2 s
1) ，T1
T2
求得频率特性为
L() 20 lg A()
这一特性的特点：
▪ 在低频段，斜率为0dB/十倍频； ▪ 低频段的幅值为20lgKk，由之
可以确定稳态位置误差系数。
1型系统 1型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n1
j( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点：
▪ 在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频； ▪ 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的
Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数 理论中的幅角定理，也称映射定理。
Nyquist稳定判据
当 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G(s)H(s) 在 s 平 面 的 原点及虚轴上无极点时，Nyquist稳定判据可表 示 为 ： 当 ω 从 -∞→+∞ 变 化 时 的 Nyquist 曲 线 G(jω)H(jω)，逆时针包围(-1，j0)点的次数N， 等于系统G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即 N=P，则闭环系统稳定,否则(N≠P)闭环系统不稳 定。闭环系统右极点数Z= P - N 。
条斜率为-20dB/dec直线作为低频段直线；
过第一个转折 频率1 5 后，特性 斜率按环节性质变 化，对数幅频特性 渐近线，如图所示。
在各转折频率
附近按误差曲线加 以修正，得对数幅 频特性的精确曲线 ，如图虚线所示。
对数频率特性
5-4 频率域的稳定判据
本节介绍另一种重要且实用的方法——乃 奎斯特(Nyquist)稳定判据，是由H. Nyquist于 1932年提出的 。
通过A点作一条-20vdB/十倍频的直线，其中v为 系统的无差阶数（对于本例，v=1），直到第一 个频交渐接进频线率的延1 长T11线(经图过中BA点点）。。如果 1 1，则低
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 每当遇到 1 环节的交接频率时，
jT j 1
渐进线斜率增加-20dB/十倍频；
由Nyquist曲线G(jω)H(jω) (ω从0→+∞)判别 闭环系统稳定性的Nyquist判据为G(jω)H(jω)曲
20 lg K 20 lg 20 lg (T1)2 1 20 lg
() 0 (90 ) arctan(T1) arctan(T2)
(T2)2 1
– 绘制步骤：
确定交接频率 1，2 标在角频率ω轴上。
在本例中,1
1 T1
，2
1 T2
，
在ω＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环 放大系数。（上图中的A点）
这一特性的特点：
▪ 低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频； ▪ 低频渐进线（或其延长线）与0分贝
的交点为k Kk ，由之可以确定加 速度误差系数 ka= Kk ； ▪ 低频渐进线（或其延长线）在ω=1 时的幅值为20lgKkdB。
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例 系统开环传递函数为 G(s) 10(0.01s 1) 试绘制系统的对数幅频特性。 s(0.1s 1)(0.2s 1)
解 系统的开环频率特性
G( j)
10(1 j0.01)
j(1 j0.1)(1 j0.2)
系统由5个典型环节组成:
转折频率 1 5,2 10,3 100 ；且 1时 L(ω)=20lgK=20dB 或 c K 10 L(ω)=0作对数幅
频特性渐近线。
过ω=1，L(ω)=20dB或ω=10，L(ω)=0dB作一
开环对数频率特性曲线
（对数幅频渐近线特性曲线的绘制）
对于任意的开环传递函数，可按典型环节分
解，将组成系统的各典型环节分为三部分：
1.
K sv
或
K sv
K
0;
2.一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应 的非最小相位环节，交接频率为 1 。
T
3.二阶环节，包括振荡环节、二阶微分环节以及对应 的非最小相位环节，交接频率为 n 。
标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
– 系统类型与开环对数频率特性
不同类型的系统，低频段的对数幅 频特性显著不同 。
0型系统
1型系统
2型系统
0型系统 0型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n
( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。
对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式求出。
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即
L(c ) 0 或 A(c ) 1
时的频率 c 称为穿越频率。穿越频率 c 是开环对数 相频特性的一个很重要的参量。
–绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出 各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐
记 min为最小交接频率，称 min的频率范围为
低频段。
具体步骤：
1.开环传递函数典型环节分解；
2.确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交
接频率标注在半对数坐标轴的 轴上；
3.绘制低频段渐近线特性，在 min 频段内，
开环系统幅频渐近线特性的斜率取决于 K ，
因而直线斜率为 20vdB / dec。
每当遇到 ( jTi 1) 环节的交接频率时， 斜率增加+20dB/十倍频；
每当遇到
( j)2
2 n
2n
j
2 n
环节的交接频率时，
斜率增加-40dB/十倍频。
– 绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要， 可以进行修正。通常只需在交接频率处以及交接频率 的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；
交点为ωk=Kk，由之可以确定系统的稳 态速度误差系数kv= Kk ； ▪ 低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的 幅值为20lgKkdB。
2型系统 2型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n2
( j)2 ( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
v
4.在 min频段，系统幅频渐近线表现为分段折 线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个 交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决 于该交接频率对应的典型环节种类。
Bode图的绘制
例
一系统开环传递函数为
G(s)
s(T1s
K 1)(T2 s
1) ，T1
T2
求得频率特性为
L() 20 lg A()
这一特性的特点：
▪ 在低频段，斜率为0dB/十倍频； ▪ 低频段的幅值为20lgKk，由之
可以确定稳态位置误差系数。
1型系统 1型系统的开环频率特性有如下形式
m
Kk ( jTi 1)
G( j)
i 1 n1
j( jTj 1)
j 1
对数幅频特性的低频部分如下图所示
这一特性的特点：
▪ 在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频； ▪ 低频渐进线（或其延长线）与0分贝的