高等代数第一学期总复习

q2 f (1 q1q2 ) g.
多项式的根和系数的关系.
Vieta定理：
设f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
an ( x 1)( x 2 )( x n )
则
1
2
n
an 1 an
1 2 13 n1 n
an2 an
1 n1 2 n
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法. (1) 带余除法定理.
f ( x) q( x)g( x) r( x)
(2) 设 f (x), g(x) P[x]，g(x) 0, g(x) | f (x)
g(x)除f(x)的余式r(x)=0。
多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
整除的性质.
2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理. (2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解
成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解 成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1). 重因式的概念.
(2).若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 (k≥1)。则p(x)是f ’(x)的k-1重因式。
(6) 多个多项式的互素. (7) 最小公倍式.
三、 因式分解理论
1.不可约多项式 (1).不可约多项式的概念. (2).不可约多项式p(x)有下列性质: f (x) F[x] p(x) | f (x), or ( p(x), f (x)) 1, p(x) | f (x)g(x) p(x) | f (x) or p(x) | g(x). (3).整系数多项式在有理数域上可约⇔ 它在整数环上可约. (4).艾森斯坦判断法.
4) 若 f ( x) | g( x)，g( x) | h( x)，f ( x) | h x
5) 若 f ( x) | gi ( x)，i = 1,2, , r
则对 ui ( x) P[ x], i = 1,2, , r 有
f ( x) | (u1 x g1( x) u2( x)g2( x) ur ( x)gr ( x))
2．基本结论: (1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运
算规律.
(2) ( f (x) g(x)) max(( f ( x)), ( g( x))), ( f (x)g(x)) ( f (x)) ( g( x)).
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数 项(最高次项系数)的乘积。
第一章 多项式
一元多项式理论，主要讨论了三个问题：
一、整除性理论(整除,最大公因式,互素)； 二、因式分解理论(不可约多项式,典型分
解式,重因式)； 三、根的理论(多项式函数,根的个数)。 其中整除性是基础，因式分解是核心。
一、基本概念. 1.一元多项式(零多项式),多项式的次数。多项
式的相等，多项式的运算，一元多项式环。
(3) 设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式,则
f (x)u(x) g(x)v(x) d (x)
反之不然.
(4). ( f (x), g(x)) 1 u(x), v(x) : f (x)u(x) g(x)v(x) 1
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(5). f (x) | g ( x)h( x), ( f ( x), g ( x)) 1 f (x) | h(x). f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) 1 f (x)g(x) | h(x)
- x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
q1(X) = x-1
r2(x)= x -1 所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)
f gq1 r1,
g r1q2 r2 .
r2 g r1q2 g ( f gq1)q2.
在数域P中至多有n个根。 8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。
重点:一元多项式的因式分解理论。
难点:最大公因式的概念,多项式的整除, 互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别。
q2(X) =x+1
g(X)
x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x
x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x
(3). f(x)没有重因式
( f (x), f (x)) 1
(4) 消去重因式的方法:
f (x) ( f (x), f (x))
是一个没有重因式的多项式,它与f(x)具有完全相同 的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念。 2.余数定理：x-c去除f(x)，所得的余式为常数。
1).任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式．
2) 若 f ( x，) |则g( x)
af ( x) | bg( x), a,b P (a 0).
3) 若 g( x) | f ( x)，f ( x) | g( x), 则 f ( x)＝cg( x)，c 0.
1 2 n (1) n
( 1) n 1 a0 . an
a1 an
第二章 行列式
二、三阶行列式
（对角线法则）
推广
逆序数 对换
n 阶行列式
（Cramer法则）
定义
性质
展开
解方程组
（利用代数余子式）
逆序数
则称这在两一个个数排组列成一个i逆1i2序．it 中is，若in数
x c | f (x) f (c) 0.
3.有理系数多项式的有理根的求法。 4.实系数多项式虚根成对定理。 5.代数基本定理：每个n(n≥1)次复系数多项式
在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多 项式恰n有个复根(重根按重数计算)。
6.韦达定理。 7.根的个数定理：P[x]中n(n≥0)次多项式
3.综合除法
① 求一次多项式
x a 去除 f x 的商式及余式．
② 把 f x 表成 x a 的方幂和.
4. 最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念. (2) 最大公因式的存在性和求法-----
辗转相除法.
f ( x) q( x)g( x) r( x) (f(x),g(x))=(g(x),r(x))