高等代数第一学期总复习
大一高等代数期末考知识点
大一高等代数期末考知识点高等代数作为大一学生必修的一门数学课程，是代数学的重要分支，是培养学生抽象思维和逻辑思维的基础。
本文将系统地总结大一高等代数知识点，以帮助同学们复习期末考试。
一、集合与二元关系1. 集合及其运算：包括集合的定义、集合之间的相等关系、子集与真子集、交集、并集、补集和差集等。
2. 二元关系：掌握关系的定义、域、逆关系、复合关系、等价关系和序关系的概念。
二、数系与复数1. 自然数、整数、有理数、实数和复数的定义及其性质。
2. 复数的运算：复数的加减乘除、乘方和开方。
三、代数式与多项式1. 代数式的概念：包括代数式、项、系数和次数等。
2. 多项式的运算：多项式的加减乘除以及整式化简。
3. 多项式的因式分解：二次、三次多项式的因式分解方法。
四、方程与不等式1. 一元一次方程和不等式：一元一次方程和不等式的解集、方程组与不等式组的解集。
2. 一元二次方程与不等式：二次方程和不等式的解集、因式分解法和配方法解方程和不等式。
3. 绝对值方程与不等式：绝对值方程和不等式的解集。
五、函数与图像1. 函数的概念：函数的定义、定义域、值域、图像和性质。
2. 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
3. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数以及函数的逆。
六、行列式与矩阵1. 行列式的概念与性质：行列式的定义、性质、性质的运算规律。
2. 矩阵的概念与性质：矩阵的定义、矩阵的加法和数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置和矩阵的逆运算。
3. 线性方程组：线性方程组的定义、增广矩阵、齐次方程组与非齐次方程组。
七、向量与线性空间1. 向量的概念与运算：向量的定义、向量的加法、数乘和数量积。
2. 线性空间的概念与性质：线性空间的定义、线性空间的性质、线性相关与线性无关、线性空间的基与维数。
3. 子空间与线性变换：子空间的定义、子空间的性质、线性变换的定义、线性变换的性质。
八、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的概念：矩阵的特征值与特征向量的定义。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数上册总复习一
一、填空题（每小题4分，共20分） 1）(211x dx -+=⎰(11111212dx dx --+==⎰⎰。
2）已知单位向量,,a b c 适合等式0a b c ++=，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32-。
3）()()202x tf x t e dt -=-⎰的最大值是213e -。
4）过原点()0,0作曲线13x y e =的切线，则切线方程为13y x =。
5）曲线()()121tan 12x x x y e arc x x ++=-+的水平渐近线4y π=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1）()()23sin 11111ax ax x x f x x e e x ⎧-<⎪=-⎨⎪-+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a =（ A ）A 、ln 2B 、0C 、2D 、任意实数2）已知ln y =dy =（ D ）AB、-C、 D、3）设()0f x '存在，则()()0002limh f x h f x h h→+--=（ C ）A 、一定不存在B 、不一定存在C 、()03f x 'D 、()03f x h '- 4）若()f x 的导函数是cos xe x -+，则()f x 的一个原函数是（ B ）A 、sin xe x --+ B 、cos x e x -- C 、cos xex --- D 、sin x e x -+5）若()f x 连续，()212xf t dt x =⎰，则40fdx =⎰（ B ）A 、2B 、4C 、8D 、16三、计算题（每题6分，共36分） 1）讨论极限0sin limx xx→。
解： 因为0000sin sin sin sin lim lim 1,lim lim 1x x x x x x x xx x x x++--→→→→===-=- 所以0sin limx xx→不存在。
2）设ttx ey te-⎧=⎪⎨=⎪⎩求22,dy d y dx dx。
高代第1-2章总复习
数学科学学院2010 /2011学年（下）学期《高等代数(1)》总复习资料第一章基本概念一、本章小结这一章五节所讨论的四个方面的内容:既有复习、归纳、整理的意思,又有在原有的基础上提高的意思,并为今后的学习作了必要的准备.第一个问题,即第一节所讲的集合及运算是数学中的基本内容之一,这不仅是以后学习做了必要的准备,而且也为从整体上去考虑问题树立了一个初步的理念.第二个问题,即第二节所讲的映射,是高等代数中的另一个基本概念之一,尤其是其中的逆映射概念及其性质,是我们后序章节中利用和重点讨论的对象.第三个问题即第三节所讲的自然数集的最小数原理为根据所导出的数学归纳法,是数学中常用的证明问题的方法.第四个问题,即第四节所讲的从整数集合除法不能施行而导出了整数的带余除法和因数分解理论,这不仅复习了数的基础知识,而且也是第二章讨论多项式的整除性和因式分解理论提供了一个模式,甚至于把整数的整除性和因数分解理论平行迁移到多项式中去,很容易地就得出多项式的整除理论和因式分解理论,这为学好多项式理论奠定了基础.第五个问题,即第五节所讲的数域和数环,让我们形成一个理念,运算是代数学的基本课题.能够进行某种运算是一个数集的重要特性,特别是能够进行四则混合运算的数集对我们来说尤其重要,我们把它称为数域.以后各章节所用的数都是数域中的数.最后我们澄清了复数中的比较大小问题.二、本章的基本概念集合、子集、交集、并集、差集、笛卡儿积集；代数运算；整数与因数，最大公因数、最小公倍数；互质(互素)，质数；数环与数域.三、本章的主要结果1．自然数的最小数原理;2．第一、二数学归纳法原理;3．整数整除的性质;4.带余除法定理;5．最大公因数的性质:(1)若(,),,,;d a b then u v Z ua vb d =∃∈+=(2)若(,),|,|,|.d a b c a c b thenc d =且(最大公因数的定义). 6．互质(互素)的基本性质:(1)(,)1,,1a b u v Z ua vb =⇔∃∈+=;(2) |,(,)1|a bc a b a c =⇒;(3) 121212|,|,(,)1|a b a b a a a a b =⇒;7.质数的基本性质:(1) 若p 是一质数,那么它与任一整数a 只有两种关系:|,(,)1p a or a p =;(2) 若p 是一质数,|,p ab 那么|p a 或者|p b ,其中,a b 为任意整数;(3) 若p 是一质数,12|...,s p a a a |i p a 某一.8.因数唯一分解定理;9.标准分解式的意义(1)设整数a 的标准因数分解式为:1212...,r m m m r a p p p =那么整数b 是a 的正因数的充分必要条件是:1212...r l l l r b p p p =,其中0,1,2,...,i i l m i r ≤≤=;(2)设整数,a b 的标准因数分解式分别为:12121212......,t t t r m m m m m m t t t r a p p p q q q ++++=12121212......t t st n n n n n n t t t s b p p p q q q ++++= 其中(1,2,...,),(1,2,...,),(1,2,...,)i i i p i t q i t t r q i t t s ==++=++都是两两不同的质数.令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i t ==,则整数(,)a b 就是1212(,)...t l l l t d a b p p p ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则整数[,]a b 就是121212121212[,].........t t st t t r n n n k m m k k m t t t r t t s a b p p p q q q q q q ++++++++=. 而且我们有(,)[,]a b a b ab =.注1 在不考虑相伴数的前提下,两个整数的最大公因数和最小公倍数是唯一的.注2 这里给出的最大公因数和标准因数分解式的意义,在第二章讨论一元多项式理论时可以平行地加以迁移.10.数域的基本性质:任何数域都包含有理数域,或者说有理数域是最小的数域;11.质数有无穷多个.12.设整数,a b 不全为0,且11,,0.a a d b b d d ==>则11(,)1(,)a b a b d =⇔=;13.空集是任意集合的子集!14.以有限集合的子集为元素所构成的集合:集合的幂集,注意其元素的个数的记数方法:四、本章的主要方法1.数学归纳法;2.辗转相除法.五、本章的主要运算及题型1.利用数学归纳法证明与自然数有关的命题;2.利用集合等相关的定义,证明集合运算的基本性质;3.两个集合相等的证明方法;4.单射、满射及可逆映射的证明方法;5.最大公因数的判定、计算及证明方法;6.互素的证明.五、典型例题及补充习题例1 试用数学归纳法证明:)14(31)12(...53122222-=-++++n n n . 例2已知},|2{1Q b a b a F ∈+=与},|3{2Q b a b a F ∈+=都是数域,其中Q 是有理数域,试证明21F F ≠.例3已知,f g 都是R R →的映射,其中2:|sin ,:|cos 1,f x x g x x x R →→+∀∈试分别写出(),(),()f g x g f x f R注3 复习课后习题及作业.第二章 多项式理论一、本章小结这一章用八节讨论一元多项式的理论,前六节是在一般数域上讨论一元多项式的整除性、带余除法、因式分解的理论和根等问题.第七、八节是在具体数域上讨论一元多项式的因式分解和根的求解问题. 从本章的内容来看,整除是基础,中心问题是多项式的因式分解,而因式分解与根是紧密联系的.因此学习这一章要紧紧抓住整除、分解、根这三个问题及其联系.第四节的因式分解定理充分体现了这一点.最后两节介绍了多元多项式的基本概念和运算,重点讨论了对称多项式的基本理论以及它的应用.多元多项式是一元多项式的发展,而一元多项式又是多元多项式的特殊情形.因而一元多项式理论是多元多项式的基础.值得注意的是:对称多项式理论在中学数学的教学中具有非常广泛的应用.二、本章的基本概念一元多项式、多项式的整除、带余除法、商式、余式、最大公因式；多项式的互质、不可约多项式、重因式、多项式的导数、多项式的典型分解式、多项式函数与多项式的根、本原多项式;多元多项式、多元多项式的字典排列法、对称多项式、齐次多项式、初等对称多项式.三、本章的主要结果1．整除的基本性质、多项式的带余除法定理:()()()(),()()()0f x g x q x r x r x g x or r x =+∂<∂=;2．最大公因式的性质：(1)若()((),()),(),()[],()()()()();d x f x g x then u x v x F x u x f x v x g x d x =∃∈+= 注意 (),()[]u x v x F x ∈不是唯一的!(2)若()((),()),()|(),()|(),()|().d x f x g x c x f x c x g x then c x d x =且(最大公因式的定义);3．两个多项式互素的充分必要条件,即:((),())1(),()[],()()()()1f x g x u x v x F x u x f x v x g x =⇔∃∈+=.4．互素多项式的两个基本性质:(1)若()|()(),((),())1,()|()f x g x h x f x g x then f x h x =;(2)若121212()|(),()|(),((),())1,()()|()f x g x f x g x f x f x then f x f x g x =.5.不可约多项式的基本性质:(1)若()p x 是不可约的,那么它与任一多项式()f x 只有两种关系:()|(),((),())1p x f x or p x f x =.(2)若()p x 是不可约的,且()|()(),()|(),()|()p x f x g x then p x f x or p x g x .(3)若()p x 是不可约的,且12()|()()(),()|()s i p x f x f x f x then p x f x 某一.6.重因式定理: 若()p x 是()f x 的k 重不可约因式,则()p x 是'()f x 的1k -重;因式.由此可得: ()f x 没有重因式((),'())1f x f x ⇔=.7.余式定理;8.因式唯一分解定理;9.数域F 上的n 次多项式在F 中最多有n 个根;10.代数基本定理:n 次多项式在复数域C 中恰好有n 个根(重根按重数计算);11.在复数域C 中,任一n 次多项式可以唯一分解为一次不可约多项式的乘积;12.韦达公式;13.虚根成对定理;14.在实数域R 中,任一n 次多项式都可以唯一分解为一次与二次不可约多项式的乘积;15.整系数多项式在有理数域Q 上可约的充分必要条件是它在整数环上可约;16.艾森斯坦因判断法;注意:这种方法只是给出了一种判断有理系数多项式不可约的充分条件!17.若有理数,(,)1r r s s=是整系数多项式 120120()...,(0)n n n n n f x a x a x a x a a a --=++++≠的根,则0|,|.n r a s a18.典型分解式的两个重要应用:(1)设多项式()f x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r m m m r f x ap x p x p x a =≠为多项式()f x 的首项系数,其中0,(),1,2,...,i i m p x i r ≥=均为给定数域上的互不相同的且首项系数为1的不可约多项式;同时设另一个多项式()g x 的标准因式分解为:1212()()()...(),0r n n n r g x bp x p x p x b =≠为其首项系数;那么多项式()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是,1,2,...,i i m n i r ≥=;(2)设多项式(),()f x g x 的标准因式分解为:12121212()()()...(),()()()...()r r m m m n n n r r f x ap x p x p x g x bp x p x p x ==令min{,}(1,2,...,)i i i l m n i r ==,则((),())f x g x 就是1212()((),())()()...()r l l l r d x f x g x p x p x p x ==.若令max{,}(1,2,...,)i i i k m n i t ==,则[](),()f x g x 就是[]1212(),()()()...()rk k k r f x g x p x p x p x = 且当1a b ==时,我们有((),())[(),()]()()f x g x f x g x f x g x =.注1 在不考虑相伴多项式的前提下,两个多项式的最大公因式和最小公倍式是唯一的.注2 这里给出的最大公因式和标准因式分解的意义,是第一章讨论的整数的最大公因数与因数分解相关结论的平行地迁移.19.首项定理;20.和与积的次数定理;21.对称多项式基本定理;四、本章的主要方法1.多项式的带余除法;2.辗转相除法;3.分离重因式法;4.综合除法;5.关于整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因判断法;6.求整系数多项式的有理根的方法;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式两种方法：(1)首项除首项的方法;(2)适用于齐次对称多项式的待定系数法.*8.分母有理化方法.五、本章的主要运算及题型1.多项式的带余除法计算:()()()()f x g x q x r x =+;注意:在这一章,多项式的带余除法计算是最基本的运算,是各类其他运算的基础.2. 利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式()((),())d x f x g x =以及[]F x 中的(),()u x v x ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+.3.两个多项式互质的证明;4.最大公因式的判定、计算及证明方法;5.重因式的判定及计算;6.有理根的判定及计算;7.将任一对称多项式表示成初等对称多项式的多项式;五、典型例题及补充习题例1设F 为有理数域,且设,951624)(234++--=x x x x x f 452)(23+--=x x x x g .求出F 上的多项式)(),(x v x u ,使得())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+.解 对)()(x g x f 与施行辗转相除法,得到以下一串等式:),936(2)()(2+--+⋅=x x x x g x f211()(639)(1),33g x x x x x ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭ )1)(96(9362+-+=+--x x x x ,由此得出()1)(),(-=x x g x f .进而可得2211111(639)()[()()2]()3333111()(223)()333x x x x g x f x g x x x g x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=--+-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭由此可以推得)322(31)(,3131)(2--=+-=x x x v x x u . 注 3 利用多项式带余除法求两个多项式的最大公因式可以任意改变被除式与除式的系数,但求满足等式())(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+的(),()u x v x 时,则不能任意改变其中的系数.例2试求以()()x a x b --除多项式()f x 所得的余式,其中.a b ≠解 令()f x 为一n 次多项式，被()()x a x b --除所得的余式或者为一次多项式或者为常数.令(),()()()()()r x Ax B then f x x a x b q x r x =+=--+.因而(),().f a Aa B f b Ab B =+⎧⎨=+⎩ 解得:11[()()],[()()].A f a f b B af b bf a a b a b=-=---所以 11()[()()][()()].r x f a f b x af b bf a a b a b=-+--- 例3求多项式5432()57248f x x x x x x =-+-+-在有理数域、实数域和复数域上的典型分解式.解 多项式可能的有理根为：1,2,4,8±±±±；由综合除法可知,2是多项式的3重根.在有理数域上：543232()57248(2)(1)f x x x x x x x x x =-+-+-=-++ 在实数域上：32()(2)(1)f x x x x =-++在复数域上：311()(2)22f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例4 证明:如果(),()f x g x 不全为零,且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x += 那么((),())1u x v x =.证明 设()((),())d x f x g x =,且11()()(),,()()()f x d x f x g x d x g x ==.由题意可知(),()f x g x 不全为零,所以多项式()0d x ≠.因而由()()()()u x f x v x g x f x gx +=得11()()()()1u x f x v x g x +=,所以((),())1u x v x =. 证毕 例5设(),()f x g x 为数域F 上多项式,证明()(),()1f x g x = 的充分必要条件是()()(),()()1f x g x f x g x +=.证明 必要性 ((),())1f x g x =,则(),()u x v x ∃,使得()()()()1u x f x v x g x +=所以有(()())()()(()())1u x v x f x v x f x g x -++=,()(()())(()())()1u x f x g x v x u x g x ++-=即((),()())f x f x g x +=((),()())g x f x g x +=1,再从互素的性质可得 (()(),()())1f x g x f x g x +=.充分性 显然(略) 证毕例6证明:α是多项式()f x 的k 重根的充要条件是:(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.证明 必要性 设α是多项式()f x 的k 重根,则有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x ,从而α是多项式'()f x 的1k -重根,是多项式''()f x 的2k -重根,…,(1)()k f x -的单根,但α不是多项式()()k f x 的根.故有(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.充分性 若(1)()'()''()...()0,k f f f f αααα-=====但()()0k f α≠.则必有()()(),k f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .事实上,由()'()0,f f αα==知()x α-是()f x 的重因式,设其重数是m ,于是有()()(),m f x x q x α=-且()x α-不整除()q x .若m k >,则有()()0k f α=,与已知矛盾; 若m k <,则有(1)()0k f α-≠,与已知矛盾; 故m k =,即α是多项式()f x 的k 重根. 证毕基础练习1、设F 上一个数域,()[],,,0.f x F x a b F a ∈∈≠证明()f x 在数域F 上不可约的充分必要条件是:多项式()()g x f ax b =+在F 上不可约.2、设1()()()f x d x f x =,1()()()g x d x g x =.证明：如果((),())()f x g x d x =,且()f x 和()g x 不全为零,则11((),())1f x g x =.3、求多项式5432221228226x x x x x +----的有理根.4、请把n 元对称多项式3123x x x ∑表示成初等对称多项式的多项式.。
高等代数知识点总结精编版
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b（ a 可以等于 b ）， 必有 a b K，ab K，且当 b 0时，a / b K ，则称K为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a,b ∈Q}，其中 i = 1 。
第一学期第四次课
第二章 向量空间与矩阵
第一节 m 维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质
定义（向量）设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a2 ,......, am 所组成的一个 m 元有序数
证明 由已知，
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an R，所以
a0 n a1 n1 ...... an1 an 0 .
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) f (a) | a A。
若 a a' A, 都有 f (a) f (a'), 则称 f 为单射。若 b B, 都存在 a A ，使得 f (a) b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
高等代数大一上学期知识点
高等代数大一上学期知识点一、向量向量是高等代数中的一个重要概念。
它通过大小和方向来描述一个物理量。
在高等代数的学习中，我们需要了解以下几个关键点：1. 向量的表示：向量可以由有序数对或者坐标表示，例如 (x, y, z)。
它可以在平面或空间中进行运算。
2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法是将两个向量的对应分量相加或相减得到一个新的向量。
记作 A + B 或者 A - B。
3. 向量的数量积：向量的数量积是将两个向量的对应分量相乘，并将相乘的结果相加得到一个标量。
记作 A · B。
4. 向量的向量积：向量的向量积是将两个向量进行叉乘运算得到一个新的向量。
记作 A × B。
二、矩阵和行列式矩阵和行列式是高等代数中的重要工具，用于解决线性代数的问题。
在大一上学期的高等代数课程中，我们需要掌握以下知识点：1. 矩阵的定义与表示：矩阵是一个由数构成的矩形阵列。
通常用大写字母表示矩阵，例如 A、B、C。
矩阵的元素可以是实数或复数。
2. 矩阵的运算：矩阵可以进行加法、减法和数乘运算。
加法和减法是对应元素相加或相减得到一个新的矩阵；数乘是将一个数与矩阵的每个元素相乘得到一个新的矩阵。
3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是将两个矩阵按照一定规则进行相乘得到一个新的矩阵。
需要注意矩阵乘法的运算顺序不可颠倒。
4. 行列式的计算：行列式是描述矩阵特征的一个数值。
行列式的计算涉及到按照一定规则进行元素的排列和求和。
三、线性方程组线性方程组是高等代数中一个重要的研究对象。
在大一上学期的高等代数课程中，我们需要了解以下几个关键点：1. 线性方程组的定义与表示：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程的未知数是一个变量。
例如，x + 2y = 3和2x - y = 1就构成了一个线性方程组。
2. 线性方程组的解：线性方程组可能有唯一解、无解或者无穷多解。
我们需要学习如何判断线性方程组的解的情况，并找到解的求解方法。
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，涉及到向量空间、矩阵理论、线性变换等内容。
熟练掌握高等代数的基本概念和方法对于学习数学、物理、经济学等领域都具有重要意义。
本文档将为大家提供高等代数复习资料，帮助你巩固和复习相关知识。
第一部分：向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是一种具有加法和数乘运算的集合。
理解向量空间的基本性质和运算规则是高等代数学习的基础。
在复习向量空间时，可以重点关注以下内容：1. 向量空间的定义和性质：了解向量空间的定义，包括加法和数乘的性质，以及满足的几个条件。
掌握零向量、加法逆元等概念。
2. 子空间：理解子空间的概念，包括子空间的闭性、加法和数乘的封闭性等。
重点掌握如何判断一个集合是否为子空间。
3. 线性相关性和线性无关性：了解线性相关和线性无关的概念，以及线性相关性和线性无关性的判别标准。
学习如何求解线性方程组。
第二部分：矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它用于表示线性变换和解决线性方程组。
学习矩阵理论可以帮助我们更好地理解向量空间和线性变换。
在复习矩阵理论时，可以关注以下内容：1. 矩阵的运算：了解矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则。
掌握矩阵的转置、逆和行列式等概念。
2. 线性变换和矩阵表示：理解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 线性方程组与矩阵：掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。
第三部分：线性变换线性变换是高等代数的核心内容，它描述了向量空间中的数学变换。
理解线性变换的基本概念和性质对于学习高等代数非常重要。
在复习线性变换时，可以关注以下内容：1. 线性变换的定义和性质：了解线性变换的定义，包括保持加法和数乘运算、保持零向量等性质。
2. 线性变换的矩阵表示：了解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念，学习如何求解特征值和特征向量。
高等代数大一上知识点总结
高等代数大一上知识点总结高等代数是大学数学中的一门重要课程，它主要研究抽象代数结构及其相应的运算规则。
在大一上学期的高等代数课程中，我们学习了以下几个知识点：1. 集合论基础在高等代数中，集合论是一门重要的基础课程。
我们首先学习了集合的基本概念，如元素、子集、交集、并集等。
接着，我们学习了集合的运算规则，包括交运算、并运算以及补集运算等。
通过集合论的学习，我们对代数中的集合运算有了初步的了解。
2. 二元运算与群论在高等代数中，二元运算是一种将两个元素映射到另一个元素的运算。
我们学习了二元运算的基本性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
进一步地，我们引入了群的概念，研究了群的基本性质及其分类。
通过群论的学习，我们能够更深入地理解代数结构中的运算规则。
3. 环论与域论在高等代数中，环是一种包含两种二元运算的代数结构。
我们学习了环的定义和性质，如交换律、分配律等。
进一步地，我们引入了域的概念，研究了域的基本性质及其分类。
通过环论和域论的学习，我们对代数结构中的环和域有了更深入的理解。
4. 线性空间与线性变换线性空间是高等代数中的重要概念之一，它是一种满足线性运算规则的向量集合。
我们学习了线性空间的定义和性质，如线性组合、线性相关与线性无关等。
同时，我们还学习了线性变换的定义和性质，如线性变换的线性性质、核与像等。
通过线性空间和线性变换的学习，我们能够更好地理解向量空间及其相应的变换规则。
5. 特征值与特征向量在高等代数中，特征值与特征向量是线性变换中的重要概念。
我们学习了特征值与特征向量的定义和性质，以及它们在矩阵计算中的应用。
通过特征值与特征向量的学习，我们能够更好地理解线性变换在向量空间中的作用。
总结起来，高等代数大一上知识点主要包括集合论基础、二元运算与群论、环论与域论、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量等内容。
通过对这些知识点的学习，我们能够建立起一套严密的数学理论体系，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
大一上期高等代数知识点
大一上期高等代数知识点高等代数是大一上学期的一门重要课程，主要涉及代数方程、线性代数等内容。
下面将介绍一些大一上期高等代数的核心知识点。
一、代数方程1. 一次方程与二次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为已知数。
解一次方程的方法包括等式两边同时加减同一个数，合并同类项等。
二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，并且a ≠ 0。
解二次方程的方法包括配方法、因式分解和求根公式等。
2. 求根与判别式二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)，其中√表示平方根。
判别式Δ = b² - 4ac可用来判断二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
二、线性代数1. 矩阵与行列式矩阵是一个由m行n列数组成的矩形阵列，常用大写字母表示。
行列式是一个用来描述矩阵性质的数值，常用竖线符号表示。
行列式的计算包括对角线法则和展开法则等。
2. 线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
求解线性方程组的方法包括消元法、逆矩阵法等。
消元法通过行变换将线性方程组转化为相等的简化形式，从而求得方程组的解。
逆矩阵法利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组，前提是矩阵存在逆矩阵。
三、向量与空间1. 向量向量是用来表示方向和大小的量，常用小写字母表示。
向量的运算包括加法、减法及数量乘法等。
向量的模表示向量的大小，向量的内积和外积是常见的向量运算。
2. 空间与子空间空间是指向量所在的集合，常用R^n表示n维空间。
子空间是指在一个空间中的子集，满足一些特定条件，比如封闭性和包含零向量等。
以上是大一上期高等代数的一些核心知识点。
通过学习这些知识，我们可以理解和解决代数方程、线性方程组等问题，为后续学习打下坚实基础。
远程期末《高等代数一》复习提要及补充题..王颖坚
年月远程期末《高等代数一》复习提要及补充-题(..王颖坚)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：北京大学现代远程教育 计算机科学与技术专业高等代数（一）复习提纲 （05.11）（第一学期期末用）第一章 行列式§4 行列式的性质（六条性质） §5 行列式对一行（列）的展开1 , , n ks iss D k i a A o k i ==⎧=⎨≠⎩∑当时当时1 , , nse sjs D j a A o j ==⎧=⎨≠⎩∑当时当时§6 行列式的计算习题1.5――4（1）（2）， 习题1.6——4，5，6 复习题1——4，6，7，9 第二章 线性方程组§1 克莱姆法则——当方程个数等于未知量个数（均为n ）时，若系数行列式 D o ≠ 则方程组有唯一解：ii D X D=（i =1，2，…n ）§2 消元法对于线性代数方程组，写出其增广矩阵A ，对它进行初等行变换，化成阶梯形矩阵：A −−−−→初等行变换阶梯形矩阵得到同解的阶梯形方程组，由此得出方程组的解。
§4、§5 n 维向量空间、线性相关性 1、单个向量α线性相关⇔ o α= 单个向量α线性无关⇔ o α≠2、若向量组线性无关，则在此向量组的每个向量上添加一个分量后，所得向量组仍线性无关。
3、n 个n 维向量()12,,, i i i in a a a α=（i =1,2…，n ）线性相关0212222111211==⇔nnn n nna a a a a a a a a D4、（定理7）若向量组12,,αα…，r α可由向量组s βββ,,,21 线性表出，,r s > 则12,,αα…，r α线性相关。
（推论1）若向量12,,αα…，r α可由向量组s βββ,,,21 线性表出，且12,,αα…，r α线性无关，则r s ≤。
高等代数知识点总结大一上
高等代数知识点总结大一上高等代数知识点总结在大一上学期的高等代数课程中，我们学习了一系列重要的代数知识点。
本文将对这些知识进行总结，帮助我们回顾和巩固所学内容。
一、集合论基础在高等代数中，集合论是一个基础且重要的概念。
我们首先学习了集合的表示和集合之间的运算，比如并集、交集和差集等。
同时，我们还学习了集合的大小，即集合的基数，以及如何判断两个集合是否相等。
二、向量空间向量空间是高等代数的核心概念之一。
我们学习了向量的加法、数乘以及内积等运算规则。
此外，我们还学习了向量空间的基本性质，包括零向量、线性无关和生成子空间等概念。
三、线性变换线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数。
我们学习了线性变换的定义和性质，包括线性变换的加法、数乘和复合等运算规则。
同时，我们还学习了如何表示线性变换，并通过矩阵的形式进行计算和推导。
四、矩阵与行列式矩阵是高等代数中常用的工具，我们学习了矩阵的定义、运算和性质。
特别是矩阵的乘法和逆矩阵的概念，它们在解线性方程组和求解线性变换等问题中起到重要作用。
另外，我们还学习了行列式的计算和性质，包括行列式的展开和性质的应用。
五、特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要内容。
我们学习了如何计算矩阵的特征值和特征向量，并研究了它们的性质和应用。
特征值和特征向量在解线性方程组和矩阵对角化等问题中有重要的意义。
六、二次型与正定性二次型是高等代数中涉及的重要概念之一。
我们学习了什么是二次型以及如何对二次型进行分类和化简。
同时，我们还研究了二次型的正定性和负定性，并学习了如何判定一个矩阵是正定矩阵。
七、复数与特殊矩阵在高等代数中，我们还学习了复数的基本概念和运算规则。
复数在代数学和物理学等领域有广泛的应用。
另外，我们还研究了一些特殊矩阵，如对角矩阵、上三角矩阵和对称矩阵等，并学习了它们的性质和特点。
八、线性方程组线性方程组是高等代数的一个重要应用领域。
我们学习了如何求解线性方程组，并介绍了高斯消元法和矩阵的初等变换等解法。
高代大一上学期知识点总结
高代大一上学期知识点总结高等代数大一上学期知识点总结在高等代数学的学习中，我们接触到了许多重要的概念和技巧。
以下是我对大一上学期高等代数知识点的总结。
一、集合论基础在学习高等代数之前，我们首先需要掌握一些集合论的基础知识。
比如，集合的概念、包含关系、交并运算、子集等。
此外，我们还需要了解常用的数集，如自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
二、向量空间向量空间是高等代数中的一个重要概念。
我们要了解向量空间的定义及其性质，如加法运算和数乘运算的封闭性、零向量的存在性、逆元素的存在性等。
此外，我们还要学习向量的线性相关性和线性无关性的判定条件，以及基和维度的概念。
三、线性方程组线性方程组是高等代数中应用最广泛的一个概念。
我们需要学习如何解线性方程组，可以利用消元法、高斯消元法、矩阵求逆法等方法来求解。
此外，还需要了解线性方程组的解的性质，比如唯一解、无解和无穷多解的情况。
四、矩阵与行列式矩阵和行列式是高等代数中的重要工具。
我们需要学习矩阵的基本运算，如矩阵的加法、数乘和乘法等。
同时，还需要了解矩阵的转置、逆矩阵、秩和特征值等概念。
行列式是矩阵的一个重要性质，我们要学习行列式的定义、性质和计算方法。
五、线性变换线性变换是高等代数中的一个重要概念，它描述了向量空间之间的映射关系。
我们需要了解线性变换的定义、性质和表示方法。
同时，还要学习线性变换的矩阵表示和特征值分解等技巧。
六、特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
我们要学习如何计算特征值和特征向量，以及它们的性质和应用。
特征值和特征向量在诸多领域中都有广泛的应用，比如物理、工程和计算机科学等。
七、二次型与正交对角化二次型是高等代数中的一个重要概念。
我们需要了解二次型的定义、矩阵表示、规范形式和正交对角化等知识。
正交对角化是将一个二次型通过相似变换转化为对角矩阵的方法，它在矩阵运算和优化问题中有着重要的应用。
综上所述，以上是我对大一上学期高等代数知识点的总结。
大一高代复习知识点
大一高代复习知识点为了帮助大家复习高等代数的知识点，本文将对大一高代的重点内容进行总结和讲解，包括矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面的知识。
希望本文能够帮助大家对高等代数的知识点有一个更深入的理解。
1. 矩阵(Matrix)1.1 矩阵的定义与性质矩阵是数的一个矩形阵列，由m行n列的数排成的矩形数表称为m×n矩阵。
矩阵的元素一般用a_ij表示，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示第i行第j列的元素。
常见的矩阵有零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法和转置等。
矩阵加法满足交换律和结合律，数乘与矩阵乘法满足分配律。
矩阵的转置是将矩阵的行与列交换得到的新矩阵。
2. 行列式(Determinant)2.1 行列式的定义和性质行列式是一个标量，用于表示一个正方形矩阵的某些特征信息。
行列式的定义是一个对于n阶方阵而言的递归定义。
行列式有一些性质，如行列式与其转置行列式相等，交换行列式的两行（列）改变行列式的符号等。
2.2 行列式的性质与计算方法行列式的性质包括行列式性质与计算公式等。
行列式的计算方法有拉普拉斯展开法、行列式按行（列）展开法等。
拉普拉斯展开法是通过将行列式按某一行（列）展开，并用余子式和代数余子式来进行计算。
3. 向量(Vector)3.1 向量的定义与性质向量是有向线段，并且具有方向和大小。
向量可以表示为一个由起点和终点确定的有方向的线段，用a表示。
向量的大小称为模，用∥a∥表示。
向量的相加可以用平行四边形法则进行表示。
3.2 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘与向量加法满足分配律。
向量的数量积也是向量的一种运算，它表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
4. 线性方程组(Linear Equations)4.1 线性方程组的定义与性质线性方程组是一个或多个未知数的一组线性方程组成的方程集合。
高等代数1复习题答案
高等代数1复习题答案一、线性代数基础1. 向量空间的定义与性质- 向量空间是由向量集合和满足加法与标量乘法的运算构成的代数结构。
向量空间必须满足加法的封闭性、结合律、单位元存在性、逆元素存在性，以及标量乘法的分配律、结合律和单位元性质。
2. 基与维数- 向量空间的基是一组线性无关的向量，通过这组基可以唯一地表示空间中的任何向量。
向量空间的维数是指基中向量的数量。
3. 线性变换与矩阵表示- 线性变换是保持向量加法和标量乘法的函数。
矩阵是线性变换在给定基下的表示。
4. 特征值与特征向量- 线性变换的特征值是使得变换后向量与原向量成比例的标量，而特征向量是这个比例因子对应的向量。
5. 内积空间- 内积空间是向量空间，其中定义了一个满足正定性、对称性和线性的内积运算。
二、矩阵理论1. 矩阵的运算- 矩阵加法、数乘、乘法以及转置是矩阵的基本运算。
2. 矩阵的秩- 矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。
3. 矩阵的逆- 方阵的逆是满足\[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \]的矩阵，其中\( I \)是单位矩阵。
4. 行列式- 行列式是方阵的一个标量值，可以用于计算矩阵的逆和线性方程组的解的存在性。
5. 矩阵分解- 矩阵分解是将矩阵表示为几个特定类型矩阵的乘积，如LU分解、QR分解等。
三、线性方程组1. 高斯消元法- 高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。
2. 克拉默法则- 克拉默法则提供了一种在系数矩阵可逆时求解线性方程组的方法。
3. 线性方程组的解的结构- 线性方程组的解可以是唯一的、无解的或者有无穷多解，这取决于系数矩阵和增广矩阵的秩。
四、多项式代数1. 多项式的定义与运算- 多项式是由变量和系数通过加法、乘法运算得到的代数表达式。
2. 多项式的根- 多项式的根是使得多项式等于零的变量值。
3. 多项式函数的性质- 多项式函数具有连续性、可微性等性质。
4. 多项式的因式分解- 因式分解是将多项式表示为其根的乘积。
大一上高等代数知识点总结
大一上高等代数知识点总结高等代数是大学数学中的一门重要课程，本文将对大一上学期中所学的高等代数知识点进行总结。
在整理过程中，我将按照章节顺序，依次介绍线性方程组与矩阵，线性变换，行列式，特征值与特征向量以及二次型等内容。
一、线性方程组与矩阵1. 线性方程组的概念和解的判定方法；2. 矩阵和矩阵运算的基本概念；3. 矩阵的初等行变换和矩阵的等价性；4. 矩阵的秩及其计算方法；5. 线性方程组的解集和线性方程组的参数化表示。
二、线性变换1. 线性变换的定义和基本性质；2. 线性变换的矩阵表示和矩阵表示的性质；3. 线性变换的复合和逆变换；4. 线性变换的核和值域。
三、行列式1. 行列式的概念和性质；2. 行列式的计算方法和性质；3. 行列式的性质及其应用。
四、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义；2. 特征方程和特征多项式；3. 特征值与特征向量的性质与判定方法；4. 相似矩阵的概念和性质。
五、二次型1. 二次型的定义和矩阵表示；2. 二次型的标准型和规范型；3. 二次型的正负惯性定理和合同变换；4. 二次型的规范化和正交变换。
通过对以上知识点的总结，我们可以了解到高等代数的基本概念和性质。
掌握了这些知识点，我们能够解决线性方程组的问题，理解线性变换的特性，计算行列式的值，求解特征值和特征向量，以及研究二次型的规范化问题。
此外，值得注意的是，高等代数的学习需要建立在对基础数学知识的扎实掌握上。
大一上学期所学的微积分、数学分析等课程为高等代数的学习提供了必要的数学基础。
因此，在学习高等代数时，我们要注重理论与实践的结合，勤于练习习题，加强对概念、定理和性质的理解。
希望通过这篇知识点总结，能够帮助大家更好地理解和掌握大一上学期中学习的高等代数知识，为后续的学习打下坚实的基础。
让我们以积极的态度迎接更深入的高等代数学习吧！。
高等代数复习
高等代数复习第一章基本概念1.1集合Z表示全体整数的集合Q表示全体有理数的集合R表示全体实数的集合C表示全体复数的集合。
德.摩根（De Morgan）律对于任意集合ABC来说第一：集合C减去集合A与集合B的交集等于集合C减去集合A 与集合C减去集合B的并集用数学符号表示为C-(A∩B)=(C-A) ∪（C-B）第二：集合C减去集合A与集合B的并集等于集合C减去集合A 与集合C减去集合B的交集用数学符号表示为C-(A∪B)=（C-A）∩（C-B）元素属于集合用”∈”\符号，集合属于集合用符号1.2映射映射：设AB是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中每一个元素x，有集合B中唯一确定的元素y与之对应。
（映射可以多对一，但是不允许一对多）满射：设f是A到B的一个映射，如果f(A)=B，那么就称f是A 到B的一个满射。
单射：设f：A到B是一个映射，如果对于A中任意两个元素x1,x2只要有x1≠x2，就有f(x1)≠f(x2)，那么就称f是A到B的一个单射。
映射之间是可以合成的，具体不做解释。
双射：如果一个映射既是满射，又是单射，那么我们将这个映射称为双射。
本单元的题型大多为证明双射，所以这里要注意。
证明双射的步骤：第一步首先证明满射，将x用y来表示，然后将用y表示的x代入原方程中。
如果得到的结果等于y，那么即可证明该映射为满射。
第二步证明单射，将x1和x2代入方程中，并将含x1和x2的两个方程联立，如果解得x1等于x2，那么即可证明该映射为单射。
第三步，既是满射又是单射的映射即为双射，命题得证。
1.3 数学归纳法数学归纳法的原理是最小数原理最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数a ∈S，对于任意c∈S都有a≤c。
需要注意的是最小数原理并不是对于所有集合成立的。
例如全体整数集Z就没有最小数。
分数组成的集合也没有最小数。
然后就是本节的重点数学归纳法。
高等代数总复习
2017年3月27日星期一
3
3 2 0 A= 2 4 0 , 向量 1 2 3 , 求 0 0 5
3.标准正交基的性质、求法
总复习 2017年3月27日星期一
9
总复习
例 4．若 n 维欧氏空间中一组基 1 , 2 ,, n 为标准正交基，求
第九章、欧几里得空间
的过渡矩阵; 例 2. 设 1 ( x1 , x2 ), 2 ( y1 , y2 ),1 ( p1 , p2 ),2 (q1, q2 ), 是向量空间 P 过渡矩阵
2
的两组基，则从基 {1， 2 } 到基 1，2 的
2. 子空间的判定，维数和基的求法
V
例 3. 设 是 3 维空间的一个行向量，判定 满足什么条件时，
例 8. 证明：每个 n（＞1）维线性空间都可以表示成一个 1 维 子空间和一个 n-1 维子空间的直和。
总复习 2017年3月27日星期一
3
总复习
第七章、线性变换
1. 线性变换 A 在一个基下的矩阵求法 1)-2)
例 1. 设 1 , 2 , 3 , 4 是 4 维线性空间 V 的一组基， 已知 V 中
1 , 2 ,, n 的度量矩阵
例 5.证明：任一 n 维欧氏空间都存在标准正交基。
3. 正交矩阵的性质 4. 实对称矩阵正交对角化结论与求法
例 6. 设
2 2 A 2 2
总复习
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
10
1 T ' AT T AT 成对角形. 求正交矩阵 T , 使
2
1Hale Waihona Puke 分别是 A 2，A 的特征
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q2 f (1 q1q2 ) g.
多项式的根和系数的关系.
Vieta定理：
设f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
an ( x 1)( x 2 )( x n )
则
1
2
n
an 1 an
1 2 13 n1 n
an2 an
1 n1 2 n
- x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3
q1(X) = x-1
r2(x)= x -1 所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1
r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)
f gq1 r1,
g r1q2 r2 .
r2 g r1q2 g ( f gq1)q2.
1 2 n (1) n
( 1) n 1 a0 . an
a1 an
第二章 行列式
二、三阶行列式
（对角线法则）
推广
逆序数 对换
n 阶行列式
（Cramer法则）
定义
性质
展开
解方程组
（利用代数余子式）
逆序数
则称这在两一个个数排组列成一个i逆1i2序．it 中is，若in数
在数域P中至多有n个根。 8.多项式函数相等与多项式相等是一致的。
重点:一元多项式的因式分解理论。
难点:最大公因式的概念,多项式的整除, 互素和不可约多项式等概念之间的 联系与区别。
q2(X) =x+1
g(X)
x3+ 2x2 -3 x3 + x2 -2x
x2 +2x -3 x2 + x -2
f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x
(3). f(x)没有重因式
( f (x), f (x)) 1
(4) 消去重因式的方法:
f (x) ( f (x), f (x))
是一个没有重因式的多项式,它与f(x)具有完全相同 的不可约因式.
四、多项式根的理论
1.多项式函数,根和重根的概念。 2.余数定理：x-c去除f(x)，所得的余式为常数。
二、整除性理论
1.整除的概念及其基本性质.
2.带余除法. (1) 带余除法定理.
f ( x) q( x)g( x) r( x)
(2) 设 f (x), g(x) P[x]，g(x) 0, g(x) | f (x)
g(x)除f(x)的余式r(x)=0。
多项式的整除性不因数域的扩大而改变.
整除的性质.
1).任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式．
2) 若 f ( x，) |则g( x)
af ( x) | bg( x), a,b P (a 0).
3) 若 g( x) | f ( x)，f ( x) | g( x), 则 f ( x)＝cg( x)，c 0.
3.综合除法
① 求一次多项式
x a 去除 f x 的商式及余式．
② 把 f x 表成 x a 的方幂和.
4. 最大公因式和互素.
(1) 最大公因式,互素的概念. (2) 最大公因式的存在性和求法-----
辗转相除法.
f ( x) q( x)g( x) r( x) (f(x),g(x))=(g(x),r(x))
(3) 设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式,则
f (x)u(x) g(x)v(x) d (x)
反之不然.
(4). ( f (x), g(x)) 1 u(x), v(x) : f (x)u(x) g(x)v(x) 1
(5). f (x) | g ( x)h( x), ( f ( x), g ( x)) 1 f (x) | h(x). f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) 1 f (x)g(x) | h(x)
4) 若 f ( x) | g( x)，g( x) | h( x)，f ( x) | h x
5) 若 f ( x) | gi ( x)，i = 1,2, , r
则对 ui ( x) P[ x], i = 1,2, , r 有
f ( x) | (u1 x g1( x) u2( x)g2( x) ur ( x)gr ( x))
(6) 多个多项式的互素. (7) 最小公倍式.
三、 因式分解理论
1.不可约多项式 (1).不可约多项式的概念. (2).不可约多项式p(x)有下列性质: f (x) F[x] p(x) | f (x), or ( p(x), f (x)) 1, p(x) | f (x)g(x) p(x) | f (x) or p(x) | g(x). (3).整系数多项式在有理数域上可约⇔ 它在整数环上可约. (4).艾森斯坦判断法.
2．基本结论: (1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运
算规律.
(2) ( f (x) g(x)) max(( f ( x)), ( g( x))), ( f (x)g(x)) ( f (x)) ( g( x)).
(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数 项(最高次项系数)的乘积。
第一章 多项式
一元多项式理论，主要讨论了三个问题：
一、整除性理论(整除,最大公因式,互素)； 二、因式分解理论(不可约多项式,典型分
解式,重因式)； 三、根的理论(多项式函数,根的个数)。 其中整除性是基础，因式分解是核心。
一、基本概念. 1.一元多项式(零多项式),多项式的次数。多项
式的相等，多项式的运算，一元多项式环。
2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理. (2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解
成一次因式的乘积.
(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解Leabharlann 成一次因式和二次不可约因式的乘积.
3.重因式
(1). 重因式的概念.
(2).若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 (k≥1)。则p(x)是f ’(x)的k-1重因式。
x c | f (x) f (c) 0.
3.有理系数多项式的有理根的求法。 4.实系数多项式虚根成对定理。 5.代数基本定理：每个n(n≥1)次复系数多项式
在复数域中至少有一个根。因而n次复系数多 项式恰n有个复根(重根按重数计算)。
6.韦达定理。 7.根的个数定理：P[x]中n(n≥0)次多项式