2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中等七校高三(上)模拟数学试卷

2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中等七校高三（上）模拟数学试卷一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合2|01x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，2{|20}B x x x =--<，则(AB = )A ．[2-，2)B ．(1-，1]C ．(1,1)-D ．(1,2)-2．（5分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A ．110B ．715C ．815D ．13153．（5分）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“0n n S na -<，对1n >，*n N ∈恒成立”是“0d >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．（5分）函数||cos ()sin ln x xf x x x=+在[π-，0)(0⋃，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知函数||()2x f x =，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>6．（5分）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，142AA =，则该球的表面积为( )A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π7．（5分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点三等分，且两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，则双曲线2C 的离心率为( ) A 2B ．322C ．113D ．2228．（5分）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍纵坐标不变得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是( )A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0，1]9．（5分）已知函数()f x ，()g x 均是周期为2的函数，222,01()34()2,122x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨--+<<⎪⎩，3(1),02()33,222m x x g x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[0，5]有10个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．3) B ．13(2C ．1(0,)2D ．14(,)25二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10．（5分）i 是虚数单位，若||84z z i +=+，则z = ． 11．（5分）已知1()3nx x-的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是 ．12．（5分）已知圆22:4210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =l 的方程为 ．13．（5分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲，乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5，0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为 ；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为 ．14．（5分）在ABC ∆中，已知9,sin cos sin AB AC B A C ⋅==，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP xy CA CB =+，则CP BP ⋅的最小值为 ． 15．（5分）已知函数321()23f x ax x cx =-+在R 数上单调递增，且4ac ，则|sin |||sin acx x +的最小值为 ，2244a cc a +++的最小值为 ． 三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（14分）已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，3c =，三角形ABC ． （1）求BC 边上的高； （2）求sin(2)A C -．17．（15分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为63求线段AP 的长．18．（15分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}nb 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ⎧=⎨⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S -对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值．19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=- （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）． （ⅰ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ⅱ）求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？20．（16分）已知函数()sin(1)f x m x lnx=-+．（1）当1m=时，求函数()f x在(0,1)的单调性；（2）当0m=且1ae-时，1()()h x af xx=-+，求函数()h x在(0，]e上的最小值；（3）当0m=时，设1()()(1)g x f x a ax=+->．记x为函数()y g x=在(1,)+∞上的唯一零点，证明：2132()22axe a lnax+->>-．其中 2.71828e=⋯为自然对数的底数．2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中等七校高三（上）模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合2|01xA xx+⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，2{|20}B x x x=--<，则(A B=)A．[2-，2)B．(1-，1]C．(1,1)-D．(1,2)-【解答】解：集合2|0{|21}1xA x x xx+⎧⎫==-<⎨⎬-⎩⎭，2{|20}{|12}B x x x x x=--<=-<<，{|11}(1,1)A B x x∴=-<<=-．故选：C．2．（5分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是()A．110B．715C．815D．1315【解答】解：产品数量为[10，15)的人数有200.0252⨯⨯=人，产品数量为[15，20)的人数有200.0454⨯⨯=人，从这6人中随机地选取2位共有2615C=种不同情况，其中这2位工人不在同一组的基本事件有：11248C C=种，故这2位工人不在同一组的概率815P =， 故选：C ．3．（5分）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“0n n S na -<，对1n >，*n N ∈恒成立”是“0d >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 则11(1)(1)(1)22n n n n n n S na na d na n n d d ---=+---=-， 则“0n n S na -<，对1n >，*n N ∈恒成立，故0d >， 若0d >，则(1)02n n n n S na d --=-<，对1n >，*n N ∈恒成立， 所以“0n n S na -<，对1n >，*n N ∈恒成立”是“0d >”的充分必要条件， 故选：C ．4．（5分）函数||cos ()sin ln x xf x x x=+在[π-，0)(0⋃，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：||cos ()()sin ln x xf x f x x x-==---，∴函数()f x 为奇函数，又(1)0,()0,()0,()023f f f f πππ±=±=><，∴选项D 符合题意．故选：D ．5．（5分）已知函数||()2x f x =，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>【解答】解：()()f x f x -=，33(log 5)(log 5)c f f ∴=-=，33375312log log log >>=，1310()14<<，∴1333715()024log log >>>，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴133371(5)()(())24f log f log f >>，c b a ∴>>． 故选：A ．6．（5分）直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =，则该球的表面积为( )A ．40πB ．32πC ．10πD ．8π【解答】解：直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =∴可将棱柱111ABC AA B C -=的直径，∴∴球的表面积为2440ππ⨯=，故选：A ．7．（5分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点三等分，且两曲线1C ，2C 的交点连线过曲线1C 的焦点F ，则双曲线2C 的离心率为( )A B C D 【解答】解：抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为(2p F ，0)，准线方程为2px =-，准线与x 轴的交点为(2pE -，0)，即||EF p =， 线段EF 被双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的顶点三等分，可得123a p =，即6p a =，由题意可得两曲线1C ，2C 的交点为(2p ，)p ，(2p，)p -，代入双曲线的方程可得222241p p a b-=， 即有223691a b -=，即有2292b a =，则双曲线2C 的离心率为c e a ====．故选：D ．8．（5分）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍纵坐标不变得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是( )A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0，1]【解答】解：将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=-，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变得到函数()g x 的图象．即5()cos()6g x x ωπ=-，由()0g x =，得562x k πωππ-=+，得43x k πωπ=+，得14()3x k ππω=+， 若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则3222T πππ>-=，即2T π>，即22ππω>，则01ω<<， 若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则143()232k ππππω<+<，k Z ∈ 即1143()232k ω<+<，当1k =-时，1113232ω<<，得2323ω<<，即2293ω<<当0k =时，1143232ω<<，得23234ω<<，即8893ω<<，综上若()g x 在3(,)22ππ上有零点，则2293ω<<或8893ω<<，则若没有零点，则209ω<或2839ω， 故选：A ．9．（5分）已知函数()f x ，()g x 均是周期为2的函数，222,01()34()2,122x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨--+<<⎪⎩，3(1),02()33,222m x x g x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[0，5]有10个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．3(0,) B ．13(,)2C ．1(0,)2D ．14(,)25【解答】解：函数()f x 的图象如图所示：由函数()()()h x f x g x =-在区间[0，5]有10个零点，知 201121522m m m m >⎧⎪<+>⎪⎪⎪<⎩，解得132m << 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10．（5分）i 是虚数单位，若||84z z i +=+，则z = 34i + ． 【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，z a bi =-． ||84z z i +=+，84a bi i ∴+=+，8a ∴=，4b =，解得3a =，4b =． 则34z i =+． 故答案为：34i +． 11．（5分）已知1()3nx x-的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10x 项的系数是 4- ．【解答】解：因为1()3nx x-的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等， 所以57n n C C =，所以12n =，则展开式的通项公式为：121221121211()()33rr r r rr r T C x C x x --+=⋅⋅-=-⋅⋅， 令12210r -=，可得1r =，所以含10x 项的系数是：1121()43C -=-．故答案为：4-．12．（5分）已知圆22:4210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，||AB =l 的方程为 1x =或34150x y +-= ．【解答】解：由圆22:4210C x y x y +--+=，得22(2)(1)4x y -+-=， 则圆心(2,1)C ，半径2r =，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =，代入圆的方程，可得1y =±则弦长为当直线l 的斜率不存在时，设直线方程为3(1)y x -=-，即30x y -+-=．||AB =∴圆心到直线的距离1d ==211=+，解得34=-，此时直线方程为34150x y +-=．∴直线l 的方程为1x =或34150x y +-=．故答案为：1x =或34150x y +-=．13．（5分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲，乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5，0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为 0.38 ；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为 ．【解答】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， 设M 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P M P A A A P A A A P A A A =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．因为容易求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(3,0.3)B ξ，所以30.30.9E np ξ==⨯=． 故答案为：0.38；0.9．14．（5分）在ABC ∆中，已知9,sin cos sin AB AC B A C ⋅==，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CB CP xy CA CB =+，则CP BP ⋅的最小值为 6425- ．【解答】解：ABC ∆中设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =⋅， sin()sin cos A C C nA ∴+=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，sin cos 0A C ∴=，sin 0A ≠，cos 0C ∴=，90C =︒， 9AB AC ⋅=，6ABC S ∆=，cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =，4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =，5c ∴=，3b =，4a =，以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0C ，0)(3A ，0)(0B ，4)，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3CP CA CB λλλ=+-=，44)(01)λλ-，设1||CAe CA =，2||CB e CB =，则12||||1e e ==，1(1,0)e =，2(0,1)e =， 由(||||CA CB CP x y x CA CB =⋅+⋅=，0)(0+，)(y x =，)y ， 3x λ∴=，44y λ=-，则4312x y +=， ∴可得334yx =-， ∴(CP BP x ⋅=，)(y x ⋅，22222325174)4(3)494162y y y y x y y y y -=+-=-+-=-+，∴可解得：CP BP ⋅的最小值为6425-．故答案为：6425-．15．（5分）已知函数321()23f x ax x cx =-+在R 数上单调递增，且4ac ，则|sin |||sin acx x +的最小值为 5 ，2244a cc a +++的最小值为 ． 【解答】解：由题意，因为函数321()23f x ax x cx =-+在R 上单调递增，所以2()40f x ax x c '=-+恒成立，所以01640a ac >⎧⎨=-⎩，所以4ac ， 又因为4ac ，所以4ac =且0a >，0c >， 则4|sin ||||sin |sin |sin |ac x x x x +=+，而|sin |(0x ∈，1]， 根据对勾函数的性质函数越接近拐点2就越小， 故当|sin |1x =时，4|sin ||sin |x x +的最小值是5， 由222244a c a cc a c ac a ac +=+++++ 1111()()a c c c a a c a c c a a c a =+=-+-++++ 1121()2a c c a ac =+--+ 11122=-=， 故答案为：5，12． 三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（14分）已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b =，3c =，三角形ABC ． （1）求BC 边上的高； （2）求sin(2)A C -．【解答】解：（1）因为2b =，3c =，三角形ABC 11sin 23sin 22bc A A ==⨯⨯⨯，解得sin A =因为A 为锐角，可得3A π=，由余弦定理可得a ==设BC 边上的高为h ，则1122ah h ==，解得h =即BC 边上的高为321． （2）因为2227cos 2272a b c C ab +-===⨯⨯，可得2321sin 1C cos C =-=，33sin 22sin cos C C C ==，213cos22cos 114C C =-=-， 所以31313343sin(2)sin cos2cos sin 2()142A C A C A C -=-=⨯--⨯=-． 17．（15分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=︒，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为221，求线段AP 的长．【解答】（Ⅰ）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥， 又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(2A ，0，0)，(2B ，4，0)，(2C -，4，0)，(0E ，0，2)，(2F -，4，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (2BE =-，4-，2)，(0AB =，4，0)，由242040m BE x y z m AB y ⎧=--+=⎪⎨==⎪⎩，取1z =，得(1m =，0，1)， 又(2DF =-，4，2)，∴2020DF m =-++=，则DF n ⊥，又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ．（Ⅱ）解：设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ， (2BE =-，4-，2)，(2EF =-，4，0)由2420240n BE a b c n EF a b ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1b =，可得(2n =，1，4)， 642cos ,||||221m n m n m n ∴<>===，427sin ,149m n ∴<>=-=， 即平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为7． （Ⅲ）解：平面BEF 的法向量(2n =，1，4)，点P 在线段EF 上，设(P m ，n ，)t ，EP EF λ=，则(m ，n ，2)(2t λ-=-，4λ，0)， 解得(2P λ-，4λ，2)，∴(22AP λ=--，4λ，2)， 直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163， ∴222||221||||(22)(4)221AP n AP n λλ==--++， 解得1λ=，∴线段AP 的长为222||(22)426AP =--++=．18．（15分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}n b 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ⎧=⎨⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S -对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值．【解答】解：（1）数列{}n a 是公差d 不为0的等差数列，132a =， 数列{}n b 是等比数列，公比设为q ，11b a =，23b a =-，34b a =，可得2314a a a =，即2333(2)(3)222d d +=+，解得38d =-， 则公比2133()124322b q b --===-，132b =，故13()2n n b =--；（2）,58,6n n n b n c a n ⎧=⎨⎩，即13(),152153,6n n n c n n ⎧--⎪=⎨⎪-⎩， 可得15n 时，31(1())1221():121()2n n n T --==---- 当6n 时，513311()(3)(7)(153)(5)(3153)2322n T n n n =--+-+-+⋯+-=+--+-23279272232n n =-+-， 可得211(),152327927,62232n n n T n n n ⎧--⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩；（3）31(1())1221()121()2n n n S --==----， 可得1111()121()2n n n n S S -=----，设1()n n f n S S =-，当n 为奇数时，()0f n >，且()f n 递减，可得()f n 的最大值为f （1）56=； 当n 为偶数时，()0f n <，且()f n 递增，f （2）为最小值712-， 若1n nA SB S -对*n N ∈恒成立，可得712A -，56B ， 可得571761212B A-+=，则B A -的最小值为1712． 19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)P ，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=- （1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）． （ⅰ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ⅱ）求证：||||||||PA MB PB MA =，并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？【解答】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，所以12(2PF PF c ⋅=--，1)(2c --，221)415c c -=-+=-， 由题意可得251c -=-，所以26c =， 由于椭圆过点(2,1)，所以22411a b+=，2226c a b =-=，解得：22b =，28a =， 所以椭圆的方程为：22182x y +=；（2）()i 设过P 的切线方程为：(2)1y x =-+，与椭圆联立可得222(14)8(12)4(12)80x x ++-+--=，由题意可得△222264(12)4(14)[4(12)8]0=--+--=，解得12=-，12OP=由题意直线2l 的方程，12y x t =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线2l 与椭圆的方程，整理可得2224480x tx t ++-=， △221642(48)0t t =-⋅⋅->，即24t <， 122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长||AB == P 到直线AB的距离为：d ==，所以1||22PAB S AB d ∆=⋅=， 当且仅当22t =取等号，M 介于A 、B之间可得t =这时直线2l 的方程为12y x =； ()ii 要证结论成立，只需证明||||||||PA AM PB BM =， 由角平分线性质可知，即证直线2x =为APB ∠的平分线， 转化为证明0PAPB+=，因为122112121211(1)(2)(1)(2)112222(2)(2)PAPBx t x x t x y y x x x x +--++----+=+=---- 21212121212(2)()4(1)242(2)4(1)44440(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x t x x t t t t t t t x x x x x x +-+--------+-+====------，因此结论成立，又1l 与C 有一个公共点，即1l 为椭圆的切线，由22182x y +=，得22124y x =-， 令0x >，0y >，则y y ='=， 所以当2x =时，12y '=-，所以1l -的斜率为12-，所以研究的4条直线的斜率分别为11,,,22PAPA--，若这四个数成等比数列，记公比为q ，则1q =-或21q =- 或31q =-， 因为21q =-不成立，所以1q =-， 而当1q =-时，11,22PAPB==-此时直线PB 与1l -重合，不合题意，故1l，2l ，PA ，PB 的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列．20．（16分）已知函数()sin(1)f x m x lnx =-+． （1）当1m =时，求函数()f x 在(0,1)的单调性；（2）当0m =且1a e -时，1()()h x af x x =-+，求函数()h x 在(0，]e 上的最小值；（3）当0m =时，设1()()(1)g x f x a a x=+->．记0x 为函数()y g x =在(1,)+∞上的唯一零点，证明：200132()22ax e a lna x +->>-．其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数． 【解答】解：（1）当1m =时，()sin(1)f x x lnx =-+， 则1()cos(1)f x x x'=--+， 当(0,1)x ∈，()f x '在(0,1)上单调递减， ()f x f ''∴>（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()f x 在(0,1)上单调递增．（2）当0m =时，11()(h x alnx a x e =-+-，0)x e <，则2211()a ax h x x x x+'=--=-，1a e -，()0h x '∴<，()h x ∴在(0，]e 上单调递减，()min h x h ∴=（e ）1a e=-+．第21页（共22页）（3）证明：当0m =时，g 1()(0)x lnx a x x=+->， 0x 为函数()y g x =在(1,)+∞上的唯一零点，0010lnx a x ∴+-=，010001()x a lnx ln x e x =+=，01x >， 故001120000200001331312()2()(21)22x x a x e x e x x e x x x x +--=---=---， 令01t x =，(01)t <<， 故0120200311(21)(231)x t x e e t t x x t---=---， 构造函数21()1(01)2x x e x x x ϕ=---<<， 则()1x x e x ϕ'=--，()10x x e ϕ''=->，故()x ϕ'在(0,1)递增，故()(0)0x ϕϕ'>'=，()x ϕ在(0,1)递增，故()(0)0x ϕϕ>=，即21102x e x x --->，故22220x e x x --->， 故01222020031111(21)(231)(2231)(1)0x t x e e t t t t t t t x x t t t---=--->++---=->， 故200132()2ax e x +->， 00001122()()a lna lnx ln lnx x x -=+-+， 则200000000111122()()x a lna lnx ln lnx x x x x x +--=+-+-- 00000011[()()]lnx x ln lnx lnx x x =--+-+， 构造函数()x lnx x μ=-，1x >，则1()10x x μ'=-<， 故()x μ在(1,)+∞上单调递减，故()x μμ<（1）1=-， 故00000111lnx x x x x +<-+<且0011lnx a x +=>， 故0001()()x lnx x μμ<+，第22页（共22页） 即00000011()()lnx x ln lnx lnx x x -<+-+， 即00000011[()()]0lnx x ln lnx lnx x x --+-+<， 从而20012x a lna x +-<， 综上：200132()22ax e a lna x +->>-．。