第四章 热传导问题的数值解法
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上的标号m、n来表示。
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
集中参数法 Bi数Fo数的影响
1
引述
对于工程中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问 题，由于数学上的困难目前仍为得到其分析解。
随着计算机技术的迅猛发展，对物理问题进行离散求解的 数值方法发展十分迅速，在求解复杂导热问题上得到了广 泛应用。
N n
1
tm,n 4 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
m,n
△y △x
上式即为△x=△y时位于计算区域内
M
m
部的节点（内节点）的代数方程。
19
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
5
导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想
基本思想： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热
物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求 解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散 点上被求物理量的值。
这些被求物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的 导热问题为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
h2
t tf
y
0,
t y
h1
t tf
y
W
,
t y
h3
t tf
11
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
12
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
需要掌握的概念：
1、节点（结点，node） 2、步长（step length） 3、均分网络 4、元体（element ）或 M 控制容积（control volume）
13
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
节点 N
n m,n
△y
△x
m
1、节点（结点）：用一系 列与坐标平行的网格线把求 解区域划分成许多子区域， 以网格线的交点作为需要确 定温度值的空间位置，称为 节点（也称为结点，node） M 节点位置以该点在两个方向
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
22
导热问题数值求解的基本思想
求解代数方程组
W
h3,tf
t0 y
N n △y
x h1,tf
m,n
△x
m
左图中，除m=1的左边界
上各节点的温度为已知外，
h2,tf 其余（M-1）×N个M-1）×N个代数方程，
构成了一个封闭的代数方
是不均匀的。
M
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
4、元体（element）或控制容积 （control volume）
每个节点按都可以看做是以它为 中心的一个小区域的代表，它由 相邻两节点连线的中垂线构成。 这样节点所代表的小区域称为元 M 体或控制容积。
17
W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
8
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
9
导热问题数值求解的基本思想
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程：描写物理问题的微分方程。
程组。
M
23
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否
是否收敛
是 解的分析
24
导热问题数值求解的基本思想
讨论是否收敛
是否收敛的判断是指判断本次迭代计算所得之解与上一次 迭代计算所得之解的偏差时候小于允许值。 代数方程一经建立，其中各项的系数在整个求解过程中不 再变化，称为线性问题。 如果物性为温度系数，在迭代过 程中系数要相应地不断更新。这种 问题称为非线性问题。
2
引言
数值方法主要有：有限差分法、有限元法及边界元法。 有限差分法具有物理概念明确、实施方法简便的特点。 本章以理论介绍为主，为今后数值计算（也称数值模拟）
做理论准备。
3
第四章 热传导问题的数值解法
主讲人：郭智群
4
目录
导热问题数值求解的基本思想 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
导热问题的控制方程即为导热微分方程。 二维、稳态、
无内热源、常物性的导热问题的导热微分方程为：
2t x 2
2t y 2
0
请同学写出边界条件
10
导热问题数值求解的基本思想
四个边界条件：
W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
x 0, t t0
x
H ,
t x
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
集中参数法 Bi数Fo数的影响
1
引述
对于工程中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问 题，由于数学上的困难目前仍为得到其分析解。
随着计算机技术的迅猛发展，对物理问题进行离散求解的 数值方法发展十分迅速，在求解复杂导热问题上得到了广 泛应用。
N n
1
tm,n 4 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
m,n
△y △x
上式即为△x=△y时位于计算区域内
M
m
部的节点（内节点）的代数方程。
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
5
导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想
基本思想： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热
物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求 解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散 点上被求物理量的值。
这些被求物理量的值的集合称为该物理量的数值解。
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导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的 导热问题为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
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t tf
y
0,
t y
h1
t tf
y
W
,
t y
h3
t tf
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
12
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
需要掌握的概念：
1、节点（结点，node） 2、步长（step length） 3、均分网络 4、元体（element ）或 M 控制容积（control volume）
13
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
节点 N
n m,n
△y
△x
m
1、节点（结点）：用一系 列与坐标平行的网格线把求 解区域划分成许多子区域， 以网格线的交点作为需要确 定温度值的空间位置，称为 节点（也称为结点，node） M 节点位置以该点在两个方向
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
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导热问题数值求解的基本思想
求解代数方程组
W
h3,tf
t0 y
N n △y
x h1,tf
m,n
△x
m
左图中，除m=1的左边界
上各节点的温度为已知外，
h2,tf 其余（M-1）×N个M-1）×N个代数方程，
构成了一个封闭的代数方
是不均匀的。
M
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导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
4、元体（element）或控制容积 （control volume）
每个节点按都可以看做是以它为 中心的一个小区域的代表，它由 相邻两节点连线的中垂线构成。 这样节点所代表的小区域称为元 M 体或控制容积。
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W
h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
H
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
9
导热问题数值求解的基本思想
（1）建立控制方程及定解条件
控制方程：描写物理问题的微分方程。
程组。
M
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导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否
是否收敛
是 解的分析
24
导热问题数值求解的基本思想
讨论是否收敛
是否收敛的判断是指判断本次迭代计算所得之解与上一次 迭代计算所得之解的偏差时候小于允许值。 代数方程一经建立，其中各项的系数在整个求解过程中不 再变化，称为线性问题。 如果物性为温度系数，在迭代过 程中系数要相应地不断更新。这种 问题称为非线性问题。
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引言
数值方法主要有：有限差分法、有限元法及边界元法。 有限差分法具有物理概念明确、实施方法简便的特点。 本章以理论介绍为主，为今后数值计算（也称数值模拟）
做理论准备。
3
第四章 热传导问题的数值解法
主讲人：郭智群
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目录
导热问题数值求解的基本思想 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
导热问题的控制方程即为导热微分方程。 二维、稳态、
无内热源、常物性的导热问题的导热微分方程为：
2t x 2
2t y 2
0
请同学写出边界条件
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导热问题数值求解的基本思想
四个边界条件：
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h3,tf
t0 y
x h1,tf
h2,tf
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x 0, t t0
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