四年级数学拔高之巧解鸡兔同笼问题

第23讲巧解鸡兔同笼问题

巧点晴——方法和技巧

“假设法”是解决鸡兔同笼的重要方法，同时借助“分组法”、“分类法”等能解决较复杂的问题。

巧指导——例题精讲

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【例1】今有鸡、免共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡、兔各有多少只？

分析与解“鸡兔同笼”问题往往用假设法来解答，即设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与实际情况矛盾，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。

假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是：2×35=70（只），与实际相比，脚减少了：94－70=24（只）。少的原因是每把一只兔当做一只鸡时，要少脚：4－2=2（只）。所以，兔有：24÷2=12（只），鸡有：35－12=23（只）

答：兔有12只，鸡有23只。

小结假设全是兔，该怎样解答？

做一做1 鸡与兔共有头30个，共有脚70只，问鸡与兔各有多少只？

【例2】面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元，问面值

是2元、5元的人民币各有多少张？

分析与解这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是：2×27=54（元），与实际相比减少了：99－54=45（元），少的原因是每把一张面值是2元的人民币当作一张面值是5元的人民币，要少：5－2=3（元），所以，面值是5元的人民币有：45÷3=15（张），面值是2元的人民币有：27－15=12（张）。

答：面值是2元的人民币有12张，面值是5元的人民币有15张。

做一做2 孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角，问两种硬币各有多少枚？

【例3】某玻璃厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃三共得运费920元，求打碎了几个玻璃杯。

分析与解假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费：1×1000=1000（元），实际上少得运费：1000－920=80（元），这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎1个，不但不给运费，还要赔偿3元，这样玻璃厂就少收入：1＋3=4（元）。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯数为：80÷4=20（个）。

答：打碎了玻璃杯20个。

做一做3 搬运1000只玻璃瓶，规定如果安全搬运一只到目的地，可得搬运费3角；但打碎一只，不仅不给搬运费，还要赔5角。如果

运完后共得运费260元，那么请问搬运中打碎了多少只？

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【例4】传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头。今有头580个，尾900个，问两种鸟各多少只？

分析与解两种鸟共有：（580＋900）÷（9＋1）=148（只）

九尾鸟只数：（148×9－580）÷（9－1）=94（只）

九头鸟只数：148－94=52（只）

答：有九头鸟54只，九尾鸟94只。

做一做4 （中国古算题）100人分吃100个馒头，1个大人吃4个，4个小孩吃1个，问大人，小孩各有多少？

【例5】文化宫电影院售出2000张票，前排票每张4元，后排票每张2元5角。已知前排票比后排票总价少110元，问该影院售出前排票和后排票各多少张？

分析假设这2000张票都是前排票，则前排票总价是：40×2000=80000（角），而后排票总价是0角，这样前排票比后排票多：80000－0=80000（角），但事实却是前排票比后排票的总价少：1100×10=11000（角），两者相差：80000＋11000=91000（角），应拿前排票换后排票，每换一次的差价是：40＋25=65（角）。

解后排票张数：（40×2000＋100×1100）÷（40＋25）=1400（张）前排票张数：2000－1400=600（张）

答：前排票有600张，后排票有1400张。

做一做5 鸡与免共有100只，鸡的脚比兔的脚多110只，问鸡与兔各多少只？

【例6】有蜘蛛、晴蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；晴蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），问蜻蜓有多少只？

分析假设18只全部是蜂蛛，则共有腿：8×18=144（条），比实际腿数多－118=26（条），蜻蜓和蝉都是6条腿，从假设的18只蜘蛛中拿一只和蜻蜓或蝉调换，总只数不变，但腿数却可以减少：8－6=2（条），连续调换13次，总腿数就恰好是118条，所以晴蜓与蝉共有13只。

假设这13只全部是晴蜓，则共有翅膀：2×13=26（对），比实际翅膀多：26－20=6（对），用一只蜻蜓换一只蝉，总只数不变，但翅膀却可以减少：2－1=1（对），连续调换6次，翅膀总数恰好是20对，所以蝉有6只。

解（8×18－118）÷（8－6）=13（只）……蜻蜓和蝉的总数（2×13－20）÷（2－1）=6（只）……蝉

13－6=7（只）……蜻蜓

答：晴蜓有7只。

做一做6 蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀。问蜘蛛、蝴蝶、蝉各几只？

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【例7】甲、乙、丙三种练习簿每本价钱分别为7角、3角、2角。三种练习簿一共买了47本，付了21元2角，买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍。问三种练习簿各买了多少本？

分析与解本题是一道复杂的鸡笼同笼问题，先假设这47本练习簿全是7角的，应付：7×47=329（角），这样就比实际多付了：329－212=117（角）。这是因为把3角和2角的练习簿都看成了7角。因为“买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍”，我们应当用3本7角的练习簿换1本丙种和2本乙种练习簿，所以有丙种练习簿9本，乙种练习簿：2×9=18（本），甲种练习簿：47―18―9=20（本）。

答：甲种练习簿有20本，乙种练习簿有18本，丙种练习簿有9本。

巧练习——温故知新（二十三）

A级冲刺名校·基础点晴

1.鸡笼同笼，鸡比免多15只，共有脚180只，问鸡、兔有多少只？