有限元分析中的二维Delaunay三角网格剖分

有限元分析中的二维Delaunay三角网格剖分

摘要

本文从有限元分析出发，引出三角网格剖分的概念。随后着重介绍了二维平面点集的Delaunay三角剖分。给出了一些重要的Delaunay三角形的定理和性质，也体现出了Delaunay三角剖分的优点。接着重点分析了构造二维Delaunay三角形的空洞算法，并用程序完成了它。最后又分析了算法中的不足，并给出论文改进的方法。

关键词：Delaunay三角形，V oronoi图，网格剖分

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1 第一章绪论

1.1网格剖分的背景

有限元分析是数学的一个分支。其思想是将复杂的问题简单化，然后进行处理。处理办法是将整个研究对象分成一些有限的单元，然后对每个小单元做相应的处理，最后整合起来去逼近原来的整个对象。所以我们可以看到，有限元分析中将单元剖分的越小，得到的近似值就会越逼近真实值。但是往往我们需要处理的对象很复杂，需要的计算量也很大，人工很难完成。在早起年代，这个问题也阻止了有限元分析的发展。

近年来，随着计算机的发展，带动了一些需要大量计算的科学领域的发展。有限元分析就是其中一种，因为当计算机取代人力之后，其快速的计算能力作用愈发凸显，人们只需要控制相应的算法即可。作为最常用的处理手段，被大大的发展了之后，有限元分析也被应用于诸多方面。早期的有限元分析主要应用与航空航天和地质、地球物理方面，现在越来越多的在工程分析计算和计算流体力学中看见。

图 1.1

图 1.2

常见的有限元分析可以分为六大步骤：问题及求解域的定义、求解域的网格剖分、确定状态变量及控制方法、单元推导、总装求解和结果解释。上述步骤又可被分为三大阶段：前置处理、计算求解和后置处理。而在前置处理中网格剖分作为最重要又最复杂的一个步骤，其处理结果制约着有限元的最后逼近结果。

网格剖分有很多形式：二维的主要剖分形状有三角形、四边形，三维的有四面体、六面体。在有限元分析中网格剖分有如下要求：

1、节点合法性。指每个单元的节点最多只能是其他单元的节点或边界点，而不能是内点。

2、单元相容性。指每个单元必须在求解域的内部。

3、良好的单元形状。指每个单元尽量最好是正的，比如二维是正多边形，三维是正多面体。

4、自适应性。是指在剖分域中曲率大或其他参数变化较大的地方剖分越密，单元越小，越平滑或其他参数变化不大的地方单元可以稍微稀疏。这样，既可以提高计算收敛速度，又可以提高逼近精度。

网格剖分的对象越是复杂，剖分的要求越高。对于复杂三维实体，现在还没有成熟的算法。

1.2 网格剖分的发展

网格剖分是几何模型和数值计算之间的桥梁。1974年网格剖分首次被Thompson等人用椭圆方程方法构造出来。之后Steger等人又提出了用双曲型方程来构造出网格。在20世纪90年代，非结构网格和自适应笛卡尔网格等技术相继被提出，大大推动了CFD的发展。

直到如今，网格技术已产生好多方法，非结构网格、结构网格以及自适应网格等，其中最为常用的是非结构网格技术和结构网格技术。

结构网格是指正交的排列规则的网格。它的特点是相邻的节点不需要遍历寻找就可以被计算出来。生成结构网格的方法主要有：贴体坐标法和块结构化网格。

非结构网格和结构网格对应，是指内部节点没有毗邻单元。其主要的方法有阵面、Delaunay三角剖分、四叉树和八叉树法。

本文主要针对于二维平面上的Delaunay三角剖分。

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第二章问题分析

我们假设有这样有这样一个场景，当你拿着新买的碟子的边在盛食物，刚加了两个饼突然碟子沿中间裂开了。我们知道这是碟子的质量问题，捡起来重买一个就可以。但是在现实生活中我们遇到的好多工程，如桥梁、高楼等，他们对质量要求很高，在建筑之前必须对整个建筑做相应的应力分析，否则后果不堪设想。

我们以这个盘子为例，若有工程师愿意对此盘子做有限元分析，我们首先来看看它的单元怎么生成。

首先我们看第一步：问题及求解域。很明显这个问题中我们是要研究整个盘子的应力分析，而其求解域就是整个盘子，我们可以简化一下，它就是一个数学圆，或者里面又套了一个小圆，其为底部的边界。

第二步：网格剖分。

这一步是关键，也是难点。我们遇到的首个问题是，怎么把实物，此处为碟子，描述到计算机中，变成可用于计算的对象？

我们有两种方法。第一种：我们可以现实中丈量实物的长宽等尺寸；第二种：对实物进行拍照，然后对其图像处理，进行像素提取、边界提取、纹理处理等操作。显然第一种简单，第二种很麻烦。但是工程中，我们所面对的都是庞大有复杂的对象，或是测量成本很大，或是根本不能进行现实测量的，如山体卫星图等。所以第二种方法虽然复杂，但是可以推广且尤为重要，故本文重点用第二种方法来完成此实物的网格剖分。

图 2.1

所以我们首先要进行边界提取。边界提取目前有成熟的算法，对于本文中的实物，我们采用有向边缘法，其算法理论在算法设计环节中重点介绍。

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其次我们需要对边界进行多边形逼近，所幸的是，我们得用计算机到的边界其实已经离散化了，所以这一步我们可以省略。

最后我们的重点到了，就是对上述的边界，或是点的集合进行三角网格剖分。我们采用已经成熟的空洞算法，又名增量算法，来生成有限点集的Delaunay三角形。下面是Delaunay三角形剖分的理论基础。

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5 第三章 理论介绍

3.1 Delaunay 三角形定义及性质

在数学中我们有对偶图的概念。即图二以图一的面为顶点，图一中共边的两面对应的图二中顶点为相邻的两点，则图二为图一的对偶图。

图 3.1

而Delaunay 三角形是Voronoi 图的对偶图。所以为定义Delaunay 图，我们首先定义Voronoi 图，这又需要用到点的领域的概念。

定义1、点的领域。点的领域是指在平面的有限区域内，给定一些有限的点集}p ,p ,p ,{p n 321 ，对每个点n i p i ,2,1,=，其领域是指这样的点的集合

},2,1),)(,(min ))(,(|),{(n j P y x d P y x d y x V j i i ===。即每个点的领域中的点到其他给定点的距离大于或等于到该点的距离。

定义2、Voronoi 图。在平面上给定有限的点集，每个点和相邻点之间线段的垂直平分线彼此相截围成的图是Voronoi 图。所以我们看到，Voronoi 图实际上就是点集的领域图。

定义3、Delaunay 三角形。Voronoi 图的对偶图就是Delaunay 三角形图。 在上述中我们会发现有些问题存在。当所给的点集中存在四点共圆，且圆中无其他给定点，则Voronoi 图中会有四线共点，对应的Delaunay 三角形中会出现四边形。如右上图。

但是不影响，此时我们链接四边形的任意一条对角线分成两个三角形即可。下文中我们会看到这么处理不会影响Delaunay 三角形的性质，符合其空外接圆