概率论第3章习题详解

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222

⨯⨯=

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324

C 35= 32

4

C 35= 322

4

C 35= 11322

4

C C 12C 35=132

4

C 2C 35

= 21322

4

C C 6C 35

= 2324

C 3

C 35

=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππ

sin sin sin sin sin0sin sin0sin

434636

2

(31).

4

=--+

=-

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=

⎩

⎨

⎧>

>

+

-

.

,0

,0

,0

,)4

3(

其他

y

x

A y

x

e

求：（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1）由-(34)

00

(,)d d e d d1

12

x y

A

f x y x y A x y

+∞+∞+∞+∞

+

-∞-∞

===

⎰⎰⎰⎰

得A=12

（2）由定义，有

(,)(,)d d

y x

F x y f u v u v

-∞-∞

=⎰⎰

(34)34

00

12e d d(1e)(1e)0,0,

0,

0,

y x u v

x y

u v y x

-+--

⎧⎧-->>

⎪

==

⎨⎨

⎩

⎪⎩

⎰⎰

其他

(3) {01,02}

P X Y

≤<≤<

12

(34)38

00

{01,02}

12e d d(1e)(1e)0.9499.

x y

P X Y

x y

-+--

=<≤<≤

==--≈

⎰⎰

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

⎩

⎨

⎧<

<

<

<

-

-

.

,0

,4

2,2

),

6(

其他

y

x

y

x

k

（1）确定常数k；

（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X<1.5}；

（4）求P{X+Y≤4}.

【解】（1）由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞

+∞

-∞

-∞

=--==⎰⎰

⎰

⎰

故 18

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=⎰⎰

1

3

0213

(6)d d 88

k x y y x =

--=⎰⎰ (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

⎰⎰

⎰⎰如图

1.5

4

2127d (6)d .832

x x y y =

--=⎰

⎰

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰

⎰⎰如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=

--=⎰

⎰

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩

⎨⎧>-.,0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而