数学分析期末考试第一学期

一、填空题（每空1分，共9分）

1.

函数()f x =的定义域为________________

2.已知函数sin ,1()0,1

x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin cos f x x x =+的周期是_____

4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______

5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h

→+--= 6.

曲线y =在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数()sin f x x =在区间[0,]π上的平均值为________

二、判断题（每小题1.5分，共9分）

1.函数()f x x =

与()g x =（ ） 2.两个奇函数的积仍然是奇函数。（ ）

3.点0x =是函数11

21

()21x x f x +=-的跳跃间断点。（ ）

4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

不是初等函数。（ ） 5.函数()sin f x x x =在区间[0,]π上满足罗尔中值定理。 （ ）

6.函数()f x 在区间[,]a b 上可导，则一定连续；反之不成立。（ ）

三、计算题（64分）

1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）

（1）111lim(...)242

n n →∞++ （2）222111lim(...)(1)()n n n n n →∞+++++ （3

）4x → （4）21

0lim (cos )x x x →+ （5）211lim 1x t x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分） （1）22()x t x f x e dt --=

⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) cos sin x t t y t t =-⎧⎨=⎩

（4

）由方程arctan ln y x

=()y f x =。 3.求下列各函数的积分（每小题5分，共计20分） （1）arctan x xdx ⎰ （2）1sin cos dx x x +⎰ （3

）201-⎰ （4）211dx x

+∞

⎰ 4.试判断函数1sin ,0()0,0

x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性（8分） 四、证明题（18分）。

1.（8分）试用N ε-定义证明sin lim 0n n

n →∞=。

2.（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，0a >，试证明存在点(,)a b ξ∈，使得()()'()ln b

f b f a f a ξξ-=。