数学分析期末考试第一学期
数学分析期末考试复习题及参考答案
数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。
A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。
A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。
A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。
其中。
参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。
A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。
A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。
2019-2020第一学期数学分析期末考试试题
2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。
数学分析(1)期末试题集(计算题部分)
2.设 求 的极值.
解:当 时, .令 ,得稳定点 .
当 时, ;当 时, ,故 为极小值点,极小值为 ;
当 时, ,所以 在 内严格单调增,无极值.
而在 的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故 为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数 满足 .讨论 是否为 的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是 的极值点.
当 时, , 单调减少.当 时, , 单调增加.于是 为 在 内唯一的极小值,也为最小值.因此函数 的零点个数与 的符号有关.
当 ,即 时, 在 恒为正值函数,无零点;
当 ,即 时, 在 内只有一个零点,即 ;
当当 ,即 时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在 和 内最多各有一个零点,所以当 时, 在 有且只有两个零点.
(4)因为
所以 是偶函数.
(5) .所以 是奇函数.
7.求函数 的值域.
解因为反函数 的定义域为 ,所以函数 的值域为 .
8.设有方程 其中 .求解 与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数 的图形有对称中心 及 ,试证 为周期函数,并求出周期 .
解由于 的图形有对称中心 及 ,于是有
.
进而有 且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此 是以 为周期的周期函数.
10、设函数 在 内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数 对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数 对称于 .证明:如果函数 对称于 及 ,则 必定是周期函数.
证若 及
所以 是以 为最小周期的周期函数.
12.若 的图形有对称轴 和对称中心 ,求证 为周期函数.
数学分析上学期期末考试试题(及答案)
数学分析上学期期末考试试题(及答案)一、选择题（每小题2分，共20分）1. 下列哪个不是测度论中的重要定理？A. 开集的性质B. 测度的可贸易性C. 有限可加性定理D. 外测度的定义2. 设函数f(x)在[a, b]上可导，下列关于f(x)的结论中正确的是：A. f(x)在[a, b]上一定为增函数B. f(x)在[a, b]上一定为减函数C. f(x)在[a, b]上既可以是增函数也可以是减函数D. f(x)在[a, b]上一定为周期函数3. 以下哪个不是级数收敛的充要条件？A. 极限一致有界B. 积分收敛C. 极限值为零D. 部分和有界4. 若函数序列fn(x)在[a, b]上一致收敛于f(x)，则f(x)在[a, b]上一定是A. 递增的B. 递减的C. 周期函数D. 连续函数5. 下列哪个不是积分的线性性质？A. ∫[a, b](f+g)(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dxB. ∫[a, b]cf(x)dx = c∫[a, b]f(x)dx (c为常数)C. ∫[a, b]f(x)g(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx * ∫[a, b]g(x)dxD. ∫[a, b]f(x)dx = -∫[b, a]f(x)dx6. 函数f(x)=|x|/(x^2+9)的不可导点是A. x=-3B. x=3C. x=-3和x=-sqrt(3)D. x=-3和x=sqrt(3)7. 设函数u(x, y)具有二阶连续偏导数，下列哪个条件可以确保u(x, y)为调和函数？A. u_xx + u_yy = 0B. u_xx + u_yy = 1C. u_xx - u_yy = 0D. u_xx - u_yy = 18. 设实数α为2π的有理数倍数，函数f(x)的周期为2π，下列哪个函数一定是f(x)的周期函数？A. f(x + α)B. f(x - α)C. f(-x)D. f(x/2)9. 设f(x)在区间[a, b]上一阶可导，且f(a)=f(b)=0，若存在c∈(a,b)使得f(c)=0，则函数f(x)在[a, b]上的其中一个极值点为A. aB. bC. cD. 以上都可能是10. 函数f(x)对任意的x∈(-∞, +∞)满足f'(x) = f(x)，若f(x)在x=0处的值为2，则f(1)的值为A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（每小题5分，共20分）1. 若函数f(x)可导，则f(x)________是可测的，且__________是可测的。
数学分析期末考试题真题含答案
数学分析期末考试题真题含答案一、填空题（每小题2分，共10分）.________dx x)lnx (f ,)(.12=+=⎰⎰则若c x dx x f .________)x (F ,)(.21cos 2='=⎰-则若dt ex F x t=+-⎰-dx x x x )cos 21(.3112 . .______.41013时收敛满足条件当广义积分p xdxp ⎰-._______u lim )u 12u 1.51nn=+-∞→∞=∑n n n 收敛，则（若 二、单选题（每小题2分，共10分）的一个原函数是则的导函数是若)(,cos )(.1x f x x f （ ）（A ）x sin 1+; （B ）x sin 1-; （C ）x cos 1+; （D ）x cos 1-. 2.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上（ ） （A ）连续 ; （B ）有界; （C ） 无间断点; (D)有原函数.3.下列反常积分收敛的是( ) (A)⎰∞+321dx x ; (B) ⎰∞+3ln dx x x ; (C) ⎰∞+3sin dx xx ; (D) ⎰∞+3ln 1dx x . 4.下列级数收敛的是( )(A)∑∞=11n ne ; (B))11ln(1∑∞=+n n ; (C) ∑∞=2ln 1n n ; (D) )1)1((21n n n n --∑∞=.5.)1ln()(x x f +=的幂级数展开式为（ ）（A ）]1,1(3232-∈•••+++x x x x ; （B ）]1,1(3232-∈•••-+-x x x x ; （C ）)1,1[3232-∈•••----x x x x ; （D ）)1,1[3232-∈•••+-+-x x x x . 三、计算题（每小题8分，共48分）;cos 1sin .1dx xx x ⎰++N);n (xdx tan I .2n n ∈=⎰的递推表达式求不定积分0);(,31x .3a >=-⎰∞+a x x d 求设π4.求函数项级数∑∞=1n xnx 的收敛域;5.求幂级数∑∞=+0)12(n n x n 的和函数；.x 9)(.62的幂级数展开成将函数x xx f +=四、讨论与应用题（每小题8分，共16分）1.求由轴y x y ,12-=与23x y =所围成的平面图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积..)1cos1()1(.211的敛散性讨论级数pn n n ∑∞=--- 五、证明题（每小题8分，共16分）（从以下三题可任选两道题做）1.设)(x f 在[0,1] 连续,试证⎰⎰=πππ00)(sin )2/()(sin dx x f dx x xf .2.设函数序列)}({x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(x f ,且)(x g 在区间],[b a 上有界,证明: 函数序列)}()({x g x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)()(x g x f .3.证明若∑∞=12n nx收敛,则∑∞=-11n n nx 发散. 答案一．1.c x +2ln ; 2. x e x sin cos 2-; 3. 1sin 4; 4.32<p ; 5. 1.二．１．D ２．B ３．A ４．D ５．B. 三．１．解：原式dx xdx x x⎰⎰+=2tan 2cos 22 (2分)dx xdx x xd ⎰⎰+=2tan )2(tan （5分）Cx x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . （8分）2．解：dx x x I n n )1(sec tan 22-=⎰- (2分)⎰---=21)(tan tan n n I x xd （4分）),4,3,2(tan 1121 =--=--n I x n n n . （6分）其中.cos ln ,10C x I C x I+-=+= （8分）3．解：令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=，当+∞→a x :时，+∞→-1:a t (2分)故原式⎰∞+-+=1212a dt t （4分）31arctan 2arctan 21ππ=--==∞+-a t a . （6分）从而，4=a （8分） ４．解：由∑∑∞=∞==111n x n x n x n x. （2分）知，当1>x时, ∑∞=11n x n收敛,因此∑∞=1n xnx 也收敛； （4分）当1≤x时,∑∞=11n x n 发散,因此∑∞=1n xnx 也发散(0≠x )； （6分） 当0=x 时,原级数收敛；故原幂级数的收敛域为0=x 及),1(+∞. （8分）5．解：.)12(lim x x n n n n =+∞→;,1x 级数收敛时当<;)12n (,1x 0n 发散原级数化为时当∑∞=+=;)12n ()1(,1x 0n n 发散原级数化为时当∑∞=+--=故原幂级数的收敛域为)1,1(+-. （4分）)1x 1()x 1(x 1x 11)x 1(2x x 11)x 1x (2x x 11)x 2x(x 11)dx nx (2x x 2nx x )12n ()x (s 221n n 1n x 01-n 0n nn n 0n n <<--+=-+-=-+'-=-+'=-+'=+=+=∑∑⎰∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=令 . （8分）6．解：nn n x x x x x f 202)3()1(91)3(191)(∑∞=-=+= （4分）)1(21203)1(++∞=∑-=n n n nx （6分）).3,3(,9)1(121--=-∞=∑nn n nx （8分）五．１．解：1>联立可解得与由223x y x 1y =-= 1/2x =故所求图形的面积为31)34(]3)1[(2/1032/1022=-=--=⎰x x dx x x S （4分）2>所求旋转体的体积为dx x dx x V 222/102/1022)3()1(⎰⎰--=ππ （5分）ππ12031)5832(2/1053=--=x x x . （8分） ２．解．2pp n n 121~n 1cos1u -=由于.,n 121,21p 2p1n 故原级数绝对收敛收敛时当∑∞=> （4分） .,n 121)1(,n 121,21p 2p1n 1n 2p 1n 故条件收敛莱布尼茨交错级数条件满足而级数发散时当∑∑∞=-∞=-≤ 故原级数在21p ≤时条件收敛. （8分） 六．１．证明：则令,x t -=π （2分）⎰⎰-=πππ00)sin ()t ()sin (x dt t f dx x f （4分）⎰⎰-=πππ00xf(sinx)dx )sin (dx x f （6分） ⎰⎰=πππ00)sin ()2/()sin (x dx x f dx x f 故. （8分）２．证明：因为)(x g 在闭区间],[b a 上有界.不放设],[,)(b a x M x g ∈∀≤ （2分）又函数序列)}({x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛，故对0)(,0>∃>∀εεN 当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有Mx f x f n ε<-)()( （6分）于是当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有ε<-)()()()(x g x f x g x f n 函数序列)}()({x g x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛)()(x g x f . （8分）3．证明：由于)1(2122n x n x n n +≤ （4分），又因为∑∑∑∞=∞=∞=+=+12122121)1(n n n n n nx n x 收敛，故∑∞=12n nn x 收敛，从而，∑∞=1n n n x 绝对收敛. （6分）.,11故原级数发散发散而∑∞=n n（8分）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知)(x f 为x 2sin 的原函数，且21)0(=f ，则⎰=dx x f )( 。
数学分析期末考试试题
数学分析期末考试试题数学分析期末考试试题数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学学科的基础，也是后续数学学科的重要支撑。
期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，下面我们来看一下一份典型的数学分析期末考试试题。
1. 选择题(1) 设函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值。
A. 2B. 4C. 6D. 8(2) 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上严格单调递增，且f(0) = 1，f(1) = 3，则a, b, c的取值范围是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c < 02. 计算题(1) 求函数f(x) = x^3 - 3x的不定积分。
(2) 求函数f(x) = e^x * sinx的定积分，区间为[0, π]。
3. 证明题证明：对任意正整数n，有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
解析：这是一个常见的数学归纳法证明题。
首先验证n = 1时等式成立，即1 = 1(1+1)/2。
然后假设当n = k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
接下来证明当n = k+1时等式也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) =(k+1)(k+1+1)/2。
通过将左边的等式化简，可以得到左右两边相等，从而证明了当n = k+1时等式成立。
根据数学归纳法原理，可以得出对任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
4. 应用题某公司的销售额在过去几年中呈指数增长，已知2017年的销售额为100万元，而2020年的销售额为400万元。
华东师范大学大一数学分析期末考试题
xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =
华东师范大学数学分析 期末试卷
华东师范大学数分期末试卷（A 卷）2009-2010年第一学期一．（20分）判断下列结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）1．设()f x 在（a,b ）连续，()f x 在0(,)x a b ∈取极值，则0'()0f x =；2．设()f x 在点0x 可导，则存在0δ>，使得()f x 在00(,)x x δδ-+上连续；3．设数列{}n a ，{}n b 满足1(1,2,)n n a b n ≤≤=…，lim()0n n n b a →∞-=，则极限lim ,lim n n n n a b →∞→∞ 都存在；4．设()f x 是区间（-a,a ）上的可导偶函数，则()f x 在x=0取极值。
二．（16分）计算下列极限；1．20arctan limtan x x x x x→-； 2．20ln(1)sin lim x x x x →+-； 三．（16分）计算下列函数的导函数dy dx： 1．1,0,()1,0;x x e x y x e x -⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 2．()y y x =由极坐标方程2(1cos )(0)a a ρθ=+>所确定。
四．（14分）讨论2x y x e -=的单调性区间，凹凸性区间，极值与拐点。
五．（14分）证明不等式：1．2arctan (0,);12, x x x x π+<∈+∞+ 2．过研究ln ()x f x x =的单调性，证明：e e ππ>. 六．（8分）设()f x 在区间I 上连续但不一致连续，()g x 在(,)-∞+∞上可导且'()0g x k ≥>.证明：复合函数(())g f x 在I 上不一致连续。
七．（12分）设()f x ，()g x 在[,)a +∞上连续可微，且极限()lim ()x f f x →+∞+∞=，()lim ()x g g x →+∞+∞= 存在，证明：1． 若()()f a f =+∞，则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()0f ξ=；2． 若对[,),'()0,x a g x ∈+∞≠则：(,)a ξ∃∈+∞，使得'()()()'()()()f f f ag g g a ξξ+∞-=+∞- 八．（附加题10分）设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且''()1f x ≤，又极限lim ()x f x A →+∞=存在。
数学分析期末考试卷A
高等数学（一）试卷A 第1页（共6页） 高等数学（一）试卷A 第2页（共6页）2014-2015学年第一学期期末考试高等数学（一） 试卷（A ）一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分)1．当)1ln()(sin )(02bx x x g ax x x f x -=-=→与时， 是等价无穷小，则（ ）A 61,1-==b aB 61,1==b aC 61,1-=-=b aD 61,1=-=b a2． 曲线的渐近线条数是122-+=x xx y （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 3． ='----=)0(),)...(3)(2)(1()(32f n n e e ee xf nx x xx为正整数， （ ）A )!1()1(1---n nB )!1()1(--n nC !)1(1n n --D !)1(n n-4． 函数()233x x x f -=的拐点为 ( ） A 1-=x B 1=x C ()0,1- D ()2,1-5． xx ex f 111)(--=的间断点个数是 （ ）A 0B 1C 2D 3二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1． ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰xdt t cos 12___________________.2. 处连续在，00,)(cos )(2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-x x a x x x f x ，则a =______________. 3． 曲线）处的切线方程为，在点（101)ln()cos(=-+y x xy ______________.4． 由抛物线2x y =与22x y -=所围图形的面积为_____________.5． =--→xx xx x sin tan lim0 _______________.院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..高等数学（一）试卷A 第3页（共6页） 高等数学（一）试卷A 第4页（共6页）三、计算题(每小题6 分，共 30 分)1． [])cos 1(sin )sin(sin sin lim20x x x x x x --→求极限2． y x y x '=求,)(sin cos3． ⎩⎨⎧+===t t t y t x x y y c o s s i n s i n ),(参数方程 ， 求22dx yd4． ⎰+-+)1(ln )1ln(x x x x dx5 dx xe x ⎰-12四、讨论题 (共 10 分 )1 的值和等价无穷小，求与时，当a n ax x x x x n3cos 2cos cos -10→院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..高等数学（一）试卷A 第5页（共6页） 高等数学（一二）试卷A 第6页（共6页）五、证明题( 每小题5分，共 １0分 )1．11,21cos 11ln 2<<-+≥+-+x x x x x x2． y x y x -≤-arctan arctan(运用拉格朗日中值定理证明)六、 应用题 (每小题10分， 共 20 分 )1.求a b a x b y ≥=+-,)(222绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积.2.作函数的图形)1(4)3(2--=x x y院（系）_______________专业_______________班级_______________学号_______________姓名_______________………...…………………………. 密………………………..封………………………….. 线……………………………………………………………..。
《数学分析》Ⅰ期末考试试题
《数学分析》Ⅰ期末考试试题
学号 姓名
一、叙述题
1、 叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；
2、 写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；
3、 叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性；
二、计算题
4、 求函数[]1 . 0 2 1
)(∈==x n x x f n ）、、（Λ的上确界[]
)(sup 1.0x f x ∈ ； 5、 求极限4202cos lim x e
x x x -→- ；
6、 求不定积分⎰+dx x )1ln(2 ；
7、 设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,
010 , x 1cos x 2-1sin 222x x x x π 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；
三、讨论举例题
8、 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；
9、 指出函数[]x
x x f 1sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型；
四、证明题
10、 用“N -ε”定义验证3
22312lim 22=+-∞→n n n ； 11、 设0)(0'φx f +，0)(0'πx f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；
12、 证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何
闭子区间上一致连续）。
数学分析大二第一学期考题
数学分析（III ）期末试题
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1 叙述第二类曲线积分的定义。
2 叙述Parseval 等式的内容。
3 叙述以π2为周期且在],[ππ−上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。
二 计算题（每小题10分，共50分）
1．求∫
+=l ds y x I )( ，此处l 为联结三点 )1,1( ),0,1( ),0,0(B A O 的直线段。
2．计算二重积分
∫∫Ω
+=dxdy y x I )(22。
其中 Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形。
3．一页长方形白纸，要求印刷面积占2 cm A ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为cm h ，左部与右部之和为cm r ，试确定该页纸的长)(y 和宽)(x ，使得它的总面积为最小。
4．计算三重积分
∫∫∫++=V dxdydz c
z b y a x I )(222222。
其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。
5．计算含参变量积分)0( 0>>−∫∞
+−−a b dx x
e e bx
ax 的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 已 知y
x u arccos =，试确定二阶偏导数y x u ∂∂∂2与x y u ∂∂∂2的关系。
2 讨论积分
dx x x x x q p ∫∞++πcos 的敛散性。
大一数学分析(上)期终考试试题
一、填空题（每小题4分，共20分）1． 设()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩，且()0f t ''≠，则dy dx = 2． 设21sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩ ，则()f x '= 3．arctan x dx ⎰ = 4．41ln ex xdx ⎰ = 5． 幂级数21n nn n a b x n ∞=+∑(0,0a b >>)的收敛半径R =二、单项选择（每小题4分，共20分）1．与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是 【 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有ε<-||A a n ；.B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||ε<-A a n ；.D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2．设)(x f 在点1=x 的某个邻域中有连续导数，并且2)1()(lim 31=-'→x x f x ．则 【 】.A )1(f 是)(x f 的极小值；.B )1(f 是)(x f 的极大值；.C ))1(,1(f 是曲线)(x f y =的拐点；.D )1(f 不是)(x f 的极值；))1(,1(f 也不是曲线)(x f y =的拐点．3. 设()f x 为(,)-∞+∞上的连续偶函数, 20()(2)()xF x x t f t dt =-⎰, 则()F x 是【 】A ． 偶函数 ； B. 既是奇函数也是偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 奇函数 .三、计算题（每小题8分，共24分）1．计算定积分xdxyxdyIy⎰⎰=121sin2．过点()4,0作曲线y=的切线，求这条切线与x轴和y=所围城的面积，以及此图形绕x轴旋转一周的体积。
华东理工大学《数学分析(上)》期末考试试卷及答案
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分） 九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分） 十 、 设 函 数 f ( x )在 [a, b] 连 续, 在(a, b)可 导, 求 证 在(a, b)内 存 在 相 异 两 点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理 工大 学 2009 - 2010 学 年第 一学 期
《 数 学 分 析 (上 )》 课 程 期 末 考 试 标 准答 案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i
数学上册期末试卷分析
数学上册期末试卷分析六（1）班杨银花一、背景分析这次数学试卷检测的范围应该说内容是非常全面的，难易也适度，比较能如实反映出学生的实际数学知识的掌握情况。
六（1）班学生总体知识理解掌握的较好，数学非常薄弱的有5人，在及格边缘的也有2人，中等水平的将近15人，女同学居多，男生的思维水平一直比女生强，因此从高分段来看，男生的成绩优于女生。
二、整体情况分析表一：检测要素分析1.综合情况分析从表一看出，本次检测平均分只有67.5分，反映了本班学生的数学综合水平处于一般水平，两极分化较严重，39%的学生数学素养较好，都能在80分以上，而22%的学生成绩在40分以下。
优等生成绩较好，满分的有2个。
2.学困生分析本班的学困生较多，他们的基础知识掌握不好，教师尽可能让他们理解简单的数学知识，让他们切实掌握。
小部分学生基本不具备学数学的能力和方法了，只能靠模仿做几道简单的习题。
一部分的学生思维水平不是特别高，相对于优等生来说理解会慢点，不够灵活，但耐心讲解，他们也能掌握好，这部分学生还是可以挽救的。
3.卷面分析本次检测较以往，有如下改变：一是解决问题的比重适度提高，几乎涵盖了本册重点知识；二是注重了知识习得过程的考查，如如圆面积计算方法的形成过程，圆周长的计算，强化了过程的重要性。
三是注重知识的全面理解。
如判断题的第3、5小题、选择题的第3、4、5小题，都是理解性较强的题，需要学生深入思考才能做出正确选择。
三、试题具体分析1.学生答卷整体情况分析：从学生答题情况开看，还算可以。
每个大题的答题率都在70——80%之间，只有列式计算的第2个题目，在65%不大理想。
本次的解决问题第4题，学生做错教多，主要原因是学生对数量关系分析还不够清晰。
答题情况较弱的是解方程、脱式计算、问题解决等这些认知水平较高、需一定解决能力的习题。
2.细化分析：从试卷安排顺序逐步进行分析，以便科学合理的反映本班答题情况。
项目一：填空。
（20%）失分原因：一是知识点转化意识不强，如拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，理解不透；二是对分数的倍比和具体数量的理解的混淆。
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一、填空题（每空1分，共9分）
1.
函数()f x =的定义域为________________
2.已知函数sin ,1()0,1
x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin cos f x x x =+的周期是_____
4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______
5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h
→+--= 6.
曲线y =在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数()sin f x x =在区间[0,]π上的平均值为________
二、判断题（每小题1.5分，共9分）
1.函数()f x x =
与()g x =（ ） 2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（ ）
3.点0x =是函数11
21
()21x x f x +=-的跳跃间断点。
（ ）
4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
不是初等函数。
（ ） 5.函数()sin f x x x =在区间[0,]π上满足罗尔中值定理。
（ ）
6.函数()f x 在区间[,]a b 上可导，则一定连续；反之不成立。
（ ）
三、计算题（64分）
1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）
（1）111lim(...)242
n n →∞++ （2）222111lim(...)(1)()n n n n n →∞+++++ （3
）4x → （4）21
0lim (cos )x x x →+ （5）211lim 1x t x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分） （1）22()x t x f x e dt --=
⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) cos sin x t t y t t =-⎧⎨=⎩
（4
）由方程arctan ln y x
=()y f x =。
3.求下列各函数的积分（每小题5分，共计20分） （1）arctan x xdx ⎰ （2）1sin cos dx x x +⎰ （3
）201-⎰ （4）211dx x
+∞
⎰ 4.试判断函数1sin ,0()0,0
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性（8分） 四、证明题（18分）。
1.（8分）试用N ε-定义证明sin lim 0n n
n →∞=。
2.（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，0a >，试证明存在点(,)a b ξ∈，使得()()'()ln b
f b f a f a ξξ-=。