管理运筹学后习题参考答案汇总

《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案

第1章线性规划(复习思考题)

1. 什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？

答：线性规划(Lin ear Programmi ng , LF)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。

建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点；

(2)多重最优解：无穷多个最优解；

(3)无界解：可行域无界，目标值无限增大；

(4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。

当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

3. 什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？

答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ' ，决策变量满足非负性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业 来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明 “遅 约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。

4•试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关 系。

答：可行解：满足约束条件 扎—‘丸 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：

5 •用表格单纯形法求解如下线性规划

解：标准化

1

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

基可行解

SA] +

S 2

s.t

.

列出单纯形表

/4 3/2

0 1/2 [8]

/8

3/2

/6

/8 1/8]

5/4 /4

1/2

/8 1/4/(1/8

3/4 13/2/(1/4

12 5

故最优解为二「 - 1，即——二凡八，此时最优值为「产J 士匚

6.表1 —15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中1为何值及变

量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。

表1 —15某极大化问题的单纯形表

■■-:：i 兀0

".倉. b -'i

0 d 4

解: (1)

，■ 11；

(2) 阮存①匚監D ｛小口中至少有一个为零）. 7

(3)

八d 3

c. >0, a, > 0* — > ——

4 心.

▲7

(4)

为人工变量，且为包含M的大于零的数,

量，且为包含M的大于零的数，".

(5) 为人工变7 •用大M法求解如下线性规划

max Z = 5A,+3X; +6州

2^ + x2 4 3咼<16

A；4■凡 +比=10

解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下:

列出单纯形表

5

3

6

0 M

b

v

.

-

8

1

1 2

1 1

8/1

6

1

2 1 3]

[

0 6/3

M

1

1 1

1 0 0/1

+M

5 +M

3

6+M 0 0 0

31/35/301

8/3

1

1/3 8/5

2/31/310

6/3

1

/3 6

1/3[2/3]00

M4/31/3 4/2

00-0

1一

001

1/2/2 5/2

3[1/2]010

/2 1/2

71/2100

1/2 /2 4

1000

一

123/2

40011

610 2 0

1

4010

11

00-1021-M

故最优解为卅=(640,400)「，即1臥辿-5此时最优值为Z (卅)= 42 .

8. A, B, C三个城市每年需分别供应电力320, 250和350单位，由I ,11两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表

1 —16所示。由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0〜30单位，城市B 的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。

表1 —16单位电力输电费（单位：元）

电站城

市

I 15 18

2

II 21 25

6

解：设为第i电站向第j城市分配的电量”(i=1,2; j=1,2,3)，建立模型如

下：

max Z= 15 +18x]2 +22^ + 21^, +25 屉 + 16 心

九I * + 心-450

片 + x3l> 290

x u+ x3l< 320

x., + = 250

a

+ X：3> 270

若j + < 350

s.t. 口“小

9•某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公