解决三次函数问题的几种方法..

解决三次函数问题的几种方法

近几年，三次函数问题已成为高考的命题热点，并且所占的比例在逐年增大。本文就处理三次函数问题的几种数学意识加以盘点，希望对大家有所帮助。

一、数形结合意识

例1、函数3211()22132

f x ax ax ax a =

+-++的图像经过四个象限的充要条件是（ ） A 、4133a -<<- B 、112

a -<<- C 、63516a -<<- D 、20a -<< 解：2

'()2(2)(1)f x ax ax a a x x =+-=+-，若a=0，则函数f （x ）=1为常函数，不能经过四个象限，故0a ≠

（1）若a>0，如图1，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极大值点和极小值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞

→+∞→-∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）>0， 且f （1）<0.

（2）若a<0，如图2，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞

→-∞→+∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）<0，且f （1）>0，综合（1）（2）可知函数f （x ）的图像经过四个象限的充要条件是

f （-2）f （1）<0，解得63516

a -<<-，故选C. 点评：上面的解法借助数形结合，有效地实施转化，解题过程直观、清晰。

二、分类讨论意识

例2、已知函数3221()313f x x mx m x =

--+在区间（1，2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）

A 、1(1,)3

- B 、1[0,]3 C 、(0,1] D 、1[1,]3-

解：由已知得22'()230f x x mx m =--≥对任意的(1,2)x ∈恒成立，因此 22'(2)4430m f m m >⎧⎨=--≥⎩或21'(1)1230

m f m m <⎧⎨=--≥⎩，解得113m -≤≤，故选D. 点评：在许多研究函数性质的问题中，常常利用不等式作为解题的工具。求函数的单调

区间，对应着解相应的不等式；求参数的取值范围，对应着研究不等式的恒成立。

三、构造函数意识

例3、已知2()691()(1)2f x x x f a f a =+++->，若，则实数a 的取值范围是（ ）

A 、12

a > B 、a<1 C 、a>0 D 、0，得()1(1)10(*)f a f a -+-->，构造函数

g （x ）=f （x ）-1，则不等式（*）即为()(1)0g a g a +->，易知2()()169g x f x x x =-=+为奇函数，所以()(1)0g a g a +->等价于()(1)(1)g a g a g a >--=-，

又2'()1890g x x =+>，故g （x ）为R 上的增函数，所以有a>1-a ，12

a >，选A. 点评：通过构造函数，并借助函数的性质找到了问题解决的突破口，避免了繁杂的运算。

四、等价转换意识

例4、若函数32()3f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(,1)-∞-在单调递增，在（-1，

1）上单调递减。

（1）求函数f （x ）的解析式；

（2）若过点A （1，m ）(2)m ≠-可作曲线y=f （x ）的三条切线，求实数m 的取值范围。

分析：第（2）问无论直接作出曲线的三条切线，还是直接应用三条切线的条件，都有一定的难度，但如果采用转化思想将过点A （1，m ）(2)m ≠-可作曲线y=f （x ）的三条切线的条件转化为利用切线斜率构造等量关系，便可归结为方程有三个根的问题，而方程存在三个根的问题是导数问题中常见的问题，容易求解。

解：（1）因为函数32()3f x ax bx x c =+-+为奇函数，所以b=0，c 、0，又因为函数 f （x ）在(,1)-∞-上单调递增，在（-1，1）上单调递减，所以f （x ）在x=-1处取得极大值， 因为2'()33,'(1)0f x ax f =-∴-=，即3a-3=0，解得a=1，所以3()3.f x x x =-

（2）2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，因为曲线方程为3

3,2y x x m =-≠-，点A （1，m ）

不在曲线上，设切点为300000(,)3M x y M y x x =-，则点的坐标满足， 因为200'()3(1)f x x =-，故切线的斜率为32

000033(1)1x x m x x ---=-， 整理得32002330x x m -++=，因为过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，所以关于0x 的

方程有三个实根。设32000()233g x x x m =-++，则2000'()66g x x x =-，

由00'()0,01g x x <<<得，000'()0,01g x x x ><>得或，所以0()g x ∞∞在(-,0),(1,+)上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以函数的极值点为000,1x x ==，所以关于0x 的方程有三个实根的必要条件是(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩

，解得-34>0，所以-3

点评：此题中过一定点作出曲线的三条切线很难理解，更不容易正确使用该条件，往往会使思维陷入误区，甚至茫然不知所措，但合理地将存在三条切线问题转化为方程存在三个根的问题，便使问题难点迅速瓦解，体现了转化的功效。