203专题--二次函数零点分布
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数零点分布
∆ ≥ 0 b x1 + x2 = − < 0 a c x1 x2 = a > 0
3、一正一负 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 c x1x 2 = < 0 a
4、有一个根为零
f ( x) = ax + bx + c = 0
应用举例 例2 2 已知的 x + (m − 3) x + 7 − m = 0 两根都比3大 的范围。 两根都比 大，求m的范围。 的范围
应用举例 例3 一个三角形的两边是方程的
x + px + 1 = 0
2
两根，第三边是 ， 两根，第三边是2，求P的 的 取值范围。 取值范围。
例4.若方程 ax − x − 1 = 0 若方程
f ( x) = ax + bx + c
2
(a > 0)
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) < 0 f ( k3 ) > 0
7、方程有两个根
x1 < x 2 < k
2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
∆ > 0 b <k − 2a f (k ) > 0
8、方程有两个根
x1 < k < x 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) < 0
9、方程有两个根
k1 < x1 < x 2 < k 2
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。
在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。
首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。
当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。
其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。
当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。
最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。
当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。
对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。
通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。
如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。
需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。
二次函数的零点与最值问题
二次函数的零点与最值问题二次函数是一种常见的数学函数，其表达式可以写为y = ax^2+bx+c。
在这个题目中，我们需要讨论二次函数的零点和最值问题。
一、二次函数的零点问题零点是指函数的取值为0的点。
对于二次函数，我们可以用求解方程的方法来找到零点。
首先，考虑一般形式的二次函数y = ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
当a=0时，变成了一次函数，没有零点。
当a≠0时，我们可以利用解一元二次方程的公式来找到零点。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的公式为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
通过求解方程，我们可以得到二次函数的零点。
二、二次函数的最值问题最值是指函数取得最大值或最小值的点。
对于二次函数，我们可以通过求导或使用二次函数的顶点公式来找到最值点。
1. 求导法：对于二次函数y = ax^2+bx+c，我们可以先对其求导。
y' = 2ax+b。
当二次函数为凸函数时（a>0），它的顶点就是最小值点；当二次函数为凹函数时（a<0），它的顶点就是最大值点。
将求导结果y' = 2ax+b等于0，解方程得到x = -b/(2a)。
将x = -b/(2a)带入原函数，可以求得最值。
2. 顶点公式法：对于二次函数y = ax^2+bx+c，其顶点坐标可以通过顶点公式x = -b/(2a)，y = f(-b/(2a))求得。
当a>0时，顶点是最小值点；当a<0时，顶点是最大值点。
将x = -b/(2a)带入原函数，可以求得最值。
通过以上方法，我们可以求得二次函数的最值点。
总结：通过上述的讨论，我们可以得出以下结论：1. 二次函数的零点可以通过解一元二次方程来求得。
2. 二次函数的最小值点可以通过求导法或顶点公式法来求得，在凸函数的情况下，顶点是最小值点；在凹函数的情况下，顶点是最大值点。
以上是关于二次函数的零点与最值问题的讨论。
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布教学过程一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
【变式2】a x a x x f +-+=)3()(2两个零点有()()4,0,0,121∈-∈x x ，求a 范围。
例 4 方程0122=--ax x 在()1,0恰有一解，求a 范围。
【总结】一元二次函数有且仅有一个零点在在区间()n m ,内，这一类问题要考虑哪些因素。
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
初中数学 什么是二次函数的零点定理
初中数学什么是二次函数的零点定理二次函数的零点定理是指一个二次函数在坐标系上与x轴相交的点，也就是使得函数值等于零的x值。
在数学中，这些点也被称为函数的根或零点。
二次函数的零点定理可以通过解二次方程来得到根的具体值。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次函数的系数。
为了找到二次函数的零点，我们需要将函数值y等于零，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
求解这个二次方程可以使用多种方法，其中包括因式分解、配方法和求根公式等。
下面将详细介绍二次函数的零点定理及其求解方法：1. 因式分解法：当二次函数的系数适合因式分解的形式时，我们可以使用因式分解法来求解零点。
具体步骤如下：-将二次函数写成因式分解的形式，例如(x - a)(x - b) = 0。
-令每个因子等于零，解出x的值，即得到零点。
2. 配方法：当二次函数的系数不方便进行因式分解时，我们可以使用配方法来求解零点。
具体步骤如下：-将二次函数写成完全平方的形式，例如a(x - b)^2 + c = 0。
-通过平方根运算，解出x的值，即得到零点。
3. 求根公式：当二次函数的系数较复杂，无法通过因式分解或配方法求解时，我们可以使用求根公式来求解零点。
求根公式是通过判别式Δ来计算根的值，具体公式如下：- x = (-b ± √Δ) / (2a)，其中±表示取正负号，Δ = b^2 - 4ac是判别式。
根据二次函数的零点定理，我们可以得到以下结论：-如果二次函数有两个不相等的实根，那么函数与x轴有两个交点。
-如果二次函数有一个实根，那么函数与x轴有一个交点。
-如果二次函数没有实根，那么函数与x轴没有交点。
需要注意的是，判别式Δ的值可以提供关于根的更多信息：-当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
-当Δ = 0时，二次函数有一个实根。
-当Δ < 0时，二次函数没有实根，根为虚数。
二次函数零点位置的确定方法
二次函数零点位置的确定方法要确定一个二次函数的零点位置，需要通过以下几个步骤进行推导和计算。
首先，我们来回顾一下什么是二次函数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。
二次函数的图像为一条抛物线，它的形状由参数a的正负和大小决定。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数f(x)等于0的点。
为了确定二次函数的零点位置，我们可以采用以下三种方法。
方法一：二次函数的求解公式对于任意一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求根公式来确定其零点位置。
求根公式就是人们所熟悉的“一元二次方程的解法”。
根据一元二次方程的解法，我们可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点位置公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，根据b^2-4ac的符号来决定解的类型。
如果b^2-4ac大于0，则有两个不相等的实数解；如果b^2-4ac等于0，则有两个相等的实数解；如果b^2-4ac小于0，则无实数解，也就是二次函数在实数域中没有零点。
因此，我们可以通过带入a、b、c的值计算上述公式，来得到二次函数的零点位置。
方法二：特殊二次函数的零点位置对于特殊的二次函数，我们可以直接通过观察其形式或者性质，确定其零点位置。
1. 当二次函数为f(x) = a(x-h)^2 + k形式时，其中h和k为常数。
这种形式的二次函数称为顶点形式。
它的图像是一个抛物线，并且顶点坐标为(h, k)。
由于抛物线在顶点处与x轴相切，所以顶点即为零点。
因此，这种形式的二次函数的零点位置为x=h。
2. 当二次函数为f(x) = a(x-p)(x-q)形式时，其中p和q为常数。
这种形式的二次函数称为因式分解形式。
它的图像是一个抛物线，相对于原点对称，并且与x 轴交于点(p,0)和(q,0)。
203专题--二次函数零点分布
1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.小结：，方程有2个实根；，方程有1个实根；，方程无实根.2、若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。
0<<12、若关于x的方程有实根，则 。
2、若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。
0<<1小结：，(两个正根)3、一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。
（或k>3）3、一元二次方程有两个负实根，求实数的取值范围.3、一元二次方程有两个负根，求k的取值范围小结：，4、在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：依题意有<0=>0<<34、若关于的方程有一正根和一负根，则．小结：5、若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知－3=0，∴=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。
小结：①，且且；②，且且6、已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。
（）6、若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。
（）6、方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿。
6、方程==0(>0)的两个根都大于1的充要条件是( )A、△≥0且(1)>0B、(1)>0且－>2C、△≥0且－>2，>1D、△≥0且(1)>0，－>2小结：7、若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。
（）小结：。
8、已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围.8、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是______8、取何值时，方程的一根大于，一根小于．小结：推论：。
9、已知方程仅有一实根在0和1之间，求的取值范围. （）9、已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。
变式：改为较小实根 （不可能；）小结：有且仅有(或).考虑端点，验证端点.10、实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于310、若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。
二次函数的零点问题
二次函数在给定区间上的零点分布一学习目标：学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.二 知识点精讲一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。
下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
1．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩推论：01>x ，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论：01<x ，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0<ac ．4 ○1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab ； （2）方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b ．2．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
二次函数的零点与因式分解
二次函数的零点与因式分解二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
其中，二次函数的零点与因式分解是掌握二次函数性质的基本内容。
本文将围绕这一主题展开，探讨二次函数的零点和因式分解的概念、性质以及应用。
一、二次函数的零点二次函数是指函数表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是当f(x) = 0时，方程ax^2 + bx + c= 0的根或解。
要求二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法。
首先，我们来看求根公式。
对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)根据求根公式，我们可以求得二次函数的零点。
需要注意的是，根的个数与判别式的正负有关。
当判别式大于零时，方程有两个不同实根；当判别式等于零时，方程有两个相等实根；当判别式小于零时，方程无实根。
另一种方法是配方法。
当二次函数难以使用求根公式解得零点时，可以通过配方将二次函数转化为完全平方的形式。
例如，对于f(x) =x^2 + 5x + 6，可以进行配方得到(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到零点为x = -2和x = -3。
总结而言，求解二次函数的零点是应用二次函数性质的重要步骤，可以使用求根公式或配方法进行计算，得到方程的根或解。
二、二次函数的因式分解二次函数的因式分解是指将二次函数表达式分解成多个一次函数乘积的过程。
在因式分解中，可以应用二次平方差、两点间距等概念和性质。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们需要将其进行因式分解，得到a(x - α)(x - β)的形式，其中α为一次函数的零点之一，β为另一次函数的零点。
通过配方法或观察二次函数的特点，我们可以得到相应的因式分解形式。
二次函数与平面直角坐标系中的零点问题
二次函数与平面直角坐标系中的零点问题在数学领域中，二次函数是一种含有二次项的函数，其形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
平面直角坐标系是二维坐标系中的一种，由x轴和y轴组成。
本文将探讨二次函数与平面直角坐标系中的零点问题。
一、二次函数的图像和性质1.1 二次函数图像二次函数的图像通常是抛物线的形状，具有开口方向和对称轴。
对于具有正系数a的二次函数，抛物线开口向上；而对于具有负系数a的二次函数，抛物线开口向下。
1.2 二次函数的对称轴对称轴是二次函数图像的一条垂直线，它将抛物线分成两个对称的部分。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，其中a和b为二次函数的系数。
1.3 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它位于对称轴上。
顶点的横坐标和纵坐标可通过对称轴的方程求得，分别为x = -b/(2a)和y= f(-b/(2a))。
二、零点的概念及求解方法二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，也即函数与x轴相交的点。
求解二次函数的零点可以通过两种方法：因式分解和配方法。
2.1 因式分解法当二次函数可以因式分解为两个一次因式时，我们可以直接令每个因式等于零，然后解方程得到零点。
例如，对于函数f(x) = (x-1)(x+2)，令x-1=0和x+2=0，解得x=1和x=-2，故零点为x=1和x=-2。
2.2 配方法当二次函数无法直接因式分解时，可以通过配方法将其转化为完全平方式，并进而求解零点。
具体步骤如下：- 将二次函数表示为完全平方式，即f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
- 令a(x-h)² + k = 0，解方程得到x-h的值。
- 求解x的值，即零点。
三、二次函数图像与零点的关系二次函数的零点是函数与x轴的交点，在平面直角坐标系中有重要的几何意义。
3.1 零点的个数根据二次函数图像的特点，可以得出以下结论：- 当函数图像与x轴有两个交点时，即抛物线与x轴相交于两点，此时二次函数有两个不相等的零点。
二次函数零点分布
二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
研究二次函数的零点与极值
研究二次函数的零点与极值二次函数是一类形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b,c$为实数且$a\neq0$，而且$a$的正负与$a$所对应的二次函数的开口方向有关。
在研究二次函数时，我们常常关注它的零点与极值，这些信息对于描绘二次函数的图像以及分析其性质都具有重要作用。
本文将详细讨论二次函数的零点与极值，并介绍求解零点和极值的方法。
一、二次函数的零点二次函数的零点即为函数在横轴上的交点，也就是满足$f(x) = 0$的$x$值。
下面介绍求解二次函数零点的一般步骤和方法。
步骤一：将二次函数$f(x)$置零，得到方程$ax^2 + bx + c = 0$。
步骤二：根据一元二次方程的特性，可通过求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解方程，其中$\pm$表示两个不同的根。
特别地，当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有且仅有一个实根；当$b^2 -4ac < 0$时，方程没有实根，但有两个虚根；当$b^2 - 4ac > 0$时，方程有两个不同的实根。
步骤三：使用求根公式求得根的数值，并作为二次函数的零点。
除了求根公式，我们还可以通过图像法来求解二次函数的零点。
通过绘制二次函数的图像，我们可以观察函数与横轴的交点位置，从而得到零点的近似值。
二、二次函数的极值二次函数的极值即为在定义域上的最大值或最小值。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其极值与开口方向有关。
当$a > 0$时，二次函数开口向上，在抛物线的顶点处取得最小值；当$a < 0$时，二次函数开口向下，在抛物线的顶点处取得最大值。
求解二次函数的极值可通过下面的步骤和方法。
步骤一：通过配方或其他方法将二次函数转化为顶点形式：$f(x) = a(x-h)^2 + k$。
步骤二：根据定义域的不同，分情况讨论极值位置。
二次函数的零点分布
二次函数的零点分布一、基础知识1．零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足f(a)f(b）＜0；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当c 在（a,b ）内且f(c)=0存在唯一零点。
2．函数265y x x =-+的零点为1,53．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：若0∆>，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有2个零点若0∆=，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有1个零点若0∆<，则方程20ax bx c ++=有0根，函数2y ax bx c =++有0个零点二、例题讲解例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)例3：已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2)当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2例4：是否存在这样的实数k，使得关于x 的方程x 2+（2k－3）x －（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.例5：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =．当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点．②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤．③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。
二次函数零点分布问题.docx
二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。
通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。
一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。
二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。
零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。
二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。
当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。
2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。
3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。
三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。
在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。
2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。
例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。
3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。
例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。
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1、若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
小结：0>∆，方程有2个实根；0=∆，方程有1个实根；0<∆，方程无实根.
2、若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
0<m <1
2、若关于x 的方程0122
2=++⋅+a a x x 有实根，则∈a 。
2、若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。
0<m <1
小结：01>x ，02>x (两个正根)⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b
3、一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
（512-
≤k 或k>3） 3、一元二次方程0234)1(22=-+++k kx x k 有两个负实根，求实数k 的取值范围.
3、一元二次方程06)63()2(2
=++--k x k x k 有两个负根，求k 的取值范围 小结：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b
4、k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有3k k
-<0=>0<k <3 4、若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．
小结：210x x <<⇔
00<⇔<ac a
c
5、若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x +5x =0，另一根为负。
小结：①01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a
b ⇔0=
c 且0<ab ； ②01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a
b ⇔0=
c 且0>ab 6、已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
（4
12912<<m ） 6、若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。
（6252+>-<m m 或）
6、方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿。
6、方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是( )
A 、△≥0且f (1)>0
B 、f (1)>0且－
a b >2 C 、△≥0且－a b >2，c a >1 D 、△≥0且f (1)>0，－a b
>2 小结：21x x k ≤<⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+->--≥-=∆0)()(0))((0421
212k x k x k x k x ac b
7、若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
（6252
1+>-<m m 或） 小结：k x x <≤21⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+->--≥-=∆0)()(0))((0421
212k x k x k x k x ac b 。
8、已知方程03222
2=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围. 2
21221+-<<--m 8、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是______
8、m 取何值时，方程22
7(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1． 小结：21x k x <<⇔0)(<k af ⇔⎩⎨⎧<--≥-=∆0
))((04212k x k x ac b
推论：211x x <<⇔0)(<++c b a a 。
9、已知方程012)2(2
=-+-+m x m x 仅有一实根在0和1之间，求m 的取值范围. （3221<<m ） 9、已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。
变式：改为较小实根 （不可能；22
1<<m ） 小结：有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f .考虑端点，验证端点.
10、实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一
根大于1而小于3
10、若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（
3
221<<k ） 10、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ）
小结：221211p x p k x k <<≤<<⇔⎩
⎨⎧><0)()(0)()(2121p f p f k f k f
11、若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。
（21324-
<<+-k ） 11、设二次函数
，方程()f x x -=0的两个根满足. 且函数
的图像关于直线对称，证明：. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.
由方程()f x x -=0的两个根满足, 可得
,121021a x a b x <<--<
<且a b x x a b 212121---=---, ∴ a
b a a b x x a b 211212121---<---=---，即 1x a b <-，故 . 11、设二次函数
，方程()f x x -=0的两个根满足
. 当时，证明()1x x f x <<.
证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<
<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当
时，x x f >)(. 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,
,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.
小结：2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b
12、已知方程012=+++m mx x 的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围。
小结：借助三角函数公式，转化为有两个正根。