2017全国中考数学真题汇编：《二次函数》综合题专项训练(一)与解析
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《二次函来自百度文库》综合题专项训练（一）与解析
1．如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长 AD 交 y 轴于点 E． （1）若△OAC 为等腰直角三角形，求 m 的值； （2）若对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子 表示）； （3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE 的中 点，此时对于该抛物线上任意一点 P（x0，y0）总有 n+ 1 ≥﹣4 3 my02﹣12 3 y0
8．如图甲，直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛 物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等 腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）当 0＜x＜3 时，在抛物线上求一点 E，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙 供画图探究）．
22 OAPQ 为平行四边形，这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 P、Q 的坐 标；若不存在，说明理由．
3．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线 交直线 EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m， 求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值； （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A， C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx﹣5 与 x 轴交于 A（﹣1，0）， B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 D 的坐标； （3）如图 2，CE∥x 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点， 过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到 何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积； （4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴
上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4， 0），C（m，0）是线段 A B 上一点（与 A，B 点不重合），抛物线 L1：y=ax2+b1x+c1 （a＜0）经过点 A，C，顶点为 D，抛物线 L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点 C，B， 顶点为 E，AD，BE 的延长线相交于点 F． （1）若 a=﹣ 1 ，m=﹣1，求抛物线 L1，L2 的解析式；
湖南省澧县张公庙中学 2017—2018 学年湘教版九年级数学下册 第一章《二次函数》综合题专项训练（一）与解析
2 （2）若 a=﹣1，AF⊥BF，求 m 的值； （3）是否存在这样的实数 a（a＜0），无论 m 取何值，直线 AF 与 BF 都不可能互 相垂直？若存在，请直接写出 a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
6．（2017•南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的图 象过点 O（0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣ 8 ，直线 l 的
6 ﹣50 成立，求实数 n 的最小值．
2．如图，是将抛物线 y=﹣x2 平移后得到的抛物线，其对称轴为 x=1，与 x 轴的一 个交点为 A（﹣1，0），另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥NC，求点 N 的坐标； （3）点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= 3 x+ 3 的图象上一点，若四边形
3 解析式为 y=x．
（1）求二次函数的解析式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方 的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△BCE 沿直线 l′折叠，当点 E 恰好落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与 y 轴交于点 N，把△BON 绕点 O 逆时针旋转 135° 得到△B′ON′，P 为 l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件 的点 P 的坐标． 7．如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于点 B（6，0）， 点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动；与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的 速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最大 值，最大值是多少？
1．如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长 AD 交 y 轴于点 E． （1）若△OAC 为等腰直角三角形，求 m 的值； （2）若对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子 表示）； （3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE 的中 点，此时对于该抛物线上任意一点 P（x0，y0）总有 n+ 1 ≥﹣4 3 my02﹣12 3 y0
8．如图甲，直线 y=﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛 物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等 腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）当 0＜x＜3 时，在抛物线上求一点 E，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙 供画图探究）．
22 OAPQ 为平行四边形，这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 P、Q 的坐 标；若不存在，说明理由．
3．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线 交直线 EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m， 求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值； （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A， C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx﹣5 与 x 轴交于 A（﹣1，0）， B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 D 的坐标； （3）如图 2，CE∥x 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点， 过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到 何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积； （4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴
上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4， 0），C（m，0）是线段 A B 上一点（与 A，B 点不重合），抛物线 L1：y=ax2+b1x+c1 （a＜0）经过点 A，C，顶点为 D，抛物线 L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点 C，B， 顶点为 E，AD，BE 的延长线相交于点 F． （1）若 a=﹣ 1 ，m=﹣1，求抛物线 L1，L2 的解析式；
湖南省澧县张公庙中学 2017—2018 学年湘教版九年级数学下册 第一章《二次函数》综合题专项训练（一）与解析
2 （2）若 a=﹣1，AF⊥BF，求 m 的值； （3）是否存在这样的实数 a（a＜0），无论 m 取何值，直线 AF 与 BF 都不可能互 相垂直？若存在，请直接写出 a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
6．（2017•南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的图 象过点 O（0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣ 8 ，直线 l 的
6 ﹣50 成立，求实数 n 的最小值．
2．如图，是将抛物线 y=﹣x2 平移后得到的抛物线，其对称轴为 x=1，与 x 轴的一 个交点为 A（﹣1，0），另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥NC，求点 N 的坐标； （3）点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= 3 x+ 3 的图象上一点，若四边形
3 解析式为 y=x．
（1）求二次函数的解析式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方 的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△BCE 沿直线 l′折叠，当点 E 恰好落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与 y 轴交于点 N，把△BON 绕点 O 逆时针旋转 135° 得到△B′ON′，P 为 l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件 的点 P 的坐标． 7．如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于点 B（6，0）， 点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动；与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的 速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最大 值，最大值是多少？