矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用

201700060牛晨晖

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则

1.1矩阵的加法与减法

1.1.1运算规则

设矩阵，，

则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

1.1.2运算性质

满足交换律和结合律

交换律；

结合律．

1.2矩阵与数的乘法

1.2.1运算规则

数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．

特别地，称称为的负矩阵．

1.2.2运算性质

满足结合律和分配律

结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．

分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵

满足矩阵方程，求未知矩阵．

解由已知条件知

1.3矩阵与矩阵的乘法

1.3.1运算规则

设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即

．

(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

设矩阵

计算

解是的矩阵．设它为

可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．

1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）

(1) 结合律．

(2) 分配律（左分配律）；

（右分配律）．

(3) ．

1.3.4方阵的幂

定义：设A是方阵，是一个正整数，规定

，

显然，记号表示个A的连乘积．

1.4矩阵的转置

1.4.1定义

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得

到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或

．

例如，矩阵的转置矩阵为．

1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）

(1)

(2)

(3)

(4) ，是常数．

1.4.3典型例题

利用矩阵

验证运算性质：

解；

而

所以

．

定义：如果方阵满足，即，则

称A为对称矩阵．

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式

1.5.1定义

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各

元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记

作或．

1.5.2运算性质

(1) （行列式的性质）

(2) ，特别地：

(3) （是常数，A的阶数为n）

思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？

不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．

例如，则．

于是，而

2光伏逆变器的建模

光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换

与控制的核心。光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。本节将分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。

2.1系统拓扑结构

光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。如按照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。在欧洲，相关标准要求光伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。

按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑结构。为方面理解后续利用矩阵相关知识建模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。

1)单级变换拓扑结构

单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC逆变部分，该逆变器一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。由于该系统只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了控制系统的复杂性。

图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种光伏逆变器一般会安装工频变压器。变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率

低和电磁干扰小等特点。

逆变器

变压器

光伏组件

图1 单级单相光伏逆变器拓扑图

2)

两级变换拓扑结构

两级变换拓扑结构一般由DC/DC 变换器和DC/AC 逆变器两部分组成。前者一般采用比较常见的BOOST 电路、BUCK-BOOST 电路或CUK 电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC 一般采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐波补偿等相关功能。

图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。第一级是DC/DC 变换环节，其拓扑类型为boost 电路，目的是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。第二级是DC/AC 逆变环节，由单相全桥的可逆PWM 整流器构成，这一级的功率开关可以采用MOSFET 或IGBT 。

升压变换器逆变器

光伏组件

图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图

3)

多级变换拓扑结构