电磁学赵凯华,陈熙谋第三版)第四章 习题及解答

!!!!
# "
"!%
,
# "
"!"
- ’，!
!
"!% ,"!" - "#’，
!
.% - "!% ，!
." - "!" ，!
+%
- "!% ，! !’
+"
- "!" ，! ! !’
+&
- "!"， !’
从左边看，两极板间的电势差为
(
-
+" %
,+（&
$
!%）-
"!" ! !’
%
,"!（" !’
$
!%），
（&）极板间电势差 *；
（!）两层介质中的电位移 +"
解：（$） 设上极板带正电，面电荷密度为 "!% ，下极板带负电，面电
荷密度为 !"!% ，则可得
#
#
+ & "!% ，#
,$
&+ !$ !%
& "!% ，# !$ !%
,"
&+ !" !%
& "!% ； !" !%
从而
#
#
#
#
*
& ,$ $$
%," $"
&
## !#"
是真空电容的 ! 倍。
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 在半径为 # 的金属球之外有一层半径为 #$ 的均匀电介质层（ 见
本题图）。设电介质的介电常量为 !，金属球带电荷量
为 %，求：
（$）介质层内、外的场强分布；
（%）介质层内、外的电势分布；
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 面积为 "" # !$ 的两平行金属板，带有等量异号电荷 #%# !"，其
间充满了介电常量 ! $ $" # 的均匀电介质。略去边缘效应，求介质内的电场
强度和介质表面上的极化电荷面密度 "#%"
解：
&
$ "&#
$ ’# ， (
#（ ! !(）!$ &"
#（ ! !(）"#$ !
#!" )
$($ !(( $ %
"% "
" （%） (( #!&! + #!($ $（(" $ $($ !% ）&
" " " #!$" ($ &，
" (% # (( !&" + #（ !$" ($ !)" $ $(" $ $($ !% ）& " " " #!$" () &，
*’
$ ! ! !&
" !" #" ##
"
!
（#）!
"!’"
* ," #$%#" *!," *!$! !& %" *!（ !
!"
） ’
$ ! !##"
，
!
!
!
!
"!’#
* ,# #$%## * ,# * $! !& %# *（ !
!"
） ’
$ ! !###
"
! （$） ! ( * $ * ’ ! ! !& #" ## ，!
］#
)! （ !# !!" ）& $ ［ !" $ *（ !# ! !" ）(
］# #，
!
!
!
!
#!’"
)!/"
)!（ !"
!"）!$ ,"
)!（ !"
!"）#!$ !"
"!（ !"
!"）!&" #，
!
!
!
!
#!’#
) /#
)（ !#
!"）!$ ,#
)（ !#
!"）#!$ !#
"（ !#
!"）!&# #"
新概念物理教程·电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答
# # ! ! "" 一平行板电容器两极板相距为 #，其间
充满了两部分介质，介电常量为 !$ 的介质所占的
面积为 $$ ，介电常量为 !% 的介质所占的面积为
$（% 见本题图）。略去边缘效应，求电容 %"
解：可以看出，这相当于两个分别充满 !$ 和
! $ !［$ !" $ *（ !# ! !" ）( ］ （ !# ! !" ）!$ !"
!
!
!
!
!
!
!
%
%
) &$
（ )
!#
!
!"
）!$
# "
-
$ #$ !#
!"
（#） 根据矢量场论里的高斯定理（ %" "&）式可由介质中的极化强度 ! 与
极化电荷 .’ 关系（’" #）式导出其微分形式 "!’ )!!·!，其中 "!’ 为极化电荷体
习题 ! ! !
从而
’! # ’" # ’# # "#$ # &" ’ $($ !(( $ % "% ，
&!
# &#
#’ !$
# "#$ !$
#
&" ’ $($ !(( &" &) $($ !(%
# ($ & %
"，
&"
#’ ! !$
# "#$ ! !$
#)" $ &%
"；
%! # %# #$，
%"
" (# # (% !&# + #（ !$" () !($ $(" $ $($ !% ）& " " " #!$" %) &"
" （#） &,)、’,)、(,) 曲线见右图。
( ) " （!）* #-$ #
"#$ .
# #! !$ .
( &! + /&" + /&# + % ! /( # +
( ) "
（(）极板间各处的 %、& 和 ’；
（%）极板间各处的电势（ 设正极板处 ($ # $）； （#）画 & !)、’ !)、( !) 曲线； （!）已知极板面积为 $" (( "% ，求电容 *，并与不加电
介质时的电容 *$ 比较。 解：（(） 设本题图中电容器内部从左到右分成 !、
"、# 区。由介质中的高斯定理可解出
（&）金属球的电势。
解：（
$
）
&内
’
"
!
% ! !’
(%
，!
# )(
) #$，
!
!
!
!
!
!
&外
’
"
% ! !’
(%
，!
!
( * #$"
习题 " ! #
! ! ( ) !
（%） +内 ’
#$
( &内
!( ,
(
#$ &外
!(
’% " ! ! !’
$ ,! !$ ，! # ) ( ) #$ ( #$
!" ’% (!% ’"
)#
#%*
# !% !" !# & * !" ’% (!% ’"
( ) #
$" # +"" # +(" "" # +"" # +%# !&
($ +%# !%" ($" # +&"
+"" # # +%#
!&
+%#
###
$ # )" & +%# !$ $，
$%
#（
!%
!%）!#
,%
密度。由此
"!’
)!!·!
)!!·（ ! !"）!$ "
)!!$
![ !(
(
! !" ) ,]
{ } !
)!!$
!#
! !"
#!$ $
$ ［ !" $ *（ !# ! !" ）(
］!$
!（
!
!
"
） ［
#!$ $（ !# ! !" ）!$ !" $ *（ !# ! !" ）( ］# !#$
!
)! （ !# ! !" ）#!$ $ ［ !" $ *（ !# ! !" ）(
设两板分别带电荷 ’ 和 !’，略去边缘效应，求
（%）两板电势差 (；
（"）电容 )；
（&）介质的极化电荷面密度 "!*" 解：（%） 设电容器右半边极板上的电荷面密
习题 # ! $
度为 "!% ，左半边极板上的电荷面密度为 "!" ，右边电场强度为 +% ，左边介
质内的电场强度为 +" ，介质外的电场强度为 +& ，于是
!%
介质的电容器并联，于是有 % & %$ ’%%
& !$ !& $$
’!% !& $% " #
习题 ! ! "
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 如本题图所示，一平行板电容器两极板的面积都是 #，相距为 $，
今在其间平行地插入厚度为 %、介电常量为 ! 的均匀电介质，其面积为 # & "，
板 间 加 上 %# ### # 电压后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚 "" #
!!、!% # $" #，另一层厚 &" # !!、!" # "" #" 略去边缘效应，求： （%）各介质中的电极化强度 $；
（"）电容器靠近电介质 " 的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上
的电势是多少？
解：（%） 根据 ’ ! " 题的结果 % # !% !" !# & ，因此
!
（"）!
!
!
!
!
!
!
)
-
’ (
- !"［’ #［!"$!!（$ !（ ! !!%!）%%］）$%］"
!
（&）!
"!*
- /"
-（ ! !%）!’ +"
-（ ! !%）"!" !
- $［""（! $!!!（%）!"!%#）%］"
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 同心球电容器内外半径分别为 #" 和 ## ，两球间充满介电常量为 ! 的均匀电介质，内球的电荷量为 $，求：
的介电常量是变化的，在一极板处为 !" ，在另一极板处为 !# ，其它处的介电 常量与到 !" 处的距离成线性关系，略去边缘效应。
（"）求这电容器的 %；
（#）当两极板上的电荷分别为 & 和 !& 时，求介质内的极化电荷体密度
"!’ 和表面上的极化电荷面密度 #!’" 解：（"） 设电容器极板左右放置，电介质左端面处坐标为 ( )$，右端
!
!
)
$& ! !#
$ ’# ! !# (
$ $" #
%# *"# !’ *(" () *"# !"$
*"" #
$%
!
$"" *
*"#’ $ %
!，
"&!
$ +&
$（ ! ""）!# )
$（
!
"
"
）’# !(
$ %# *"# !’ $" # *"" #
"%
!$
$"" )
*"# !) " %
!$ "
新概念物理教程·电磁学# # 第四章# 电磁介质# 习题解答
从右边看，两极板间的电势差为
两电势差相等，因此有
(
-
+%
$
-
"!% !’
$，
"!" % ,! "!（" $ !%）- ! "!" $，
"
由 !、" 两式可解出
"!"
- ! $ " ’，! " ! $ !! % ,% #
!
"!%
- ! $ !! % ,% " ! $ !! % ,%
" ’， #
( ( - "!% $ - "［ ! $ !（ ! !%）%］’ $ " !’ !’ #［" ! $ !（ ! !%）%］
（"）电容器内各处的电场强度 % 的分布和电势差 &；
（#）介质表面的极化电荷面密度 "!’；
（$）电容 (%（ 它是真空时电容 (& 的多少倍？）
解：（
"
）
根据介质中的高斯定理可解出 ) *
%
*) ! !&
*
’
!
$ ! !&
+#
，
’
$ !+
#
，因此
! ( ) & *
## #"
Leabharlann Baidu
’
!
$ ! !&
+#
"+
# # ! ! "" 平行板电容器（ 极板面积为 #，间距为
$）中间有两层厚度各为 $$ 和 $（" $$ %$" &$）、介电 常量各为 !$ 和 !" 的电介质层（ 见本题图）。试求：
（$）电容 ’；
习题 ! ! "
（"）当金属板上带电面密度为 ("!% 时，两层介质的分界面上的极化 电荷面密度 "!)；
#（
!%
!%）)# !% &
#（$"# !%）)"& +%# !$ $"# +""#
$%
!"
# &"*
+%# !$ $ %
!" ，
$"
#（
!"
!%）!#
,"
#（
!"
!%）)# !" &
#（""# !%）)"& +%# !$ ""# +&"#
$%
!"
# %"+
+%# !$ $ %
!" "
!
（"）*
#
," ’"
（ &
!"
$$
%!$ $"
）"!%
，
!$ !" !%
# # ’ & -! &
"!% #
& !$ !" !% # "
* （ !" $$ %!$ $" ）"!% . !$ !" !% !" $$ %!$ $"
#
（"） "!)
& "!)$ %"!)"
& /$
!/"
&（ !$
!$）!% ,$
!（ !"
!$）!% ,"
面处坐标为 ( ) $，电介质中的相对介电常量为
!
)
!"
*!#
!!" $
("
根据介质中的高斯定理可得 + ) #!$ ，从而介质中的场强为
, ) + ) #!$ )
#!$ $
，
! !$ ! !$ !［$ !" $ *（ !# ! !" ）( ］
! !$
- ) , "( )
#!$ $
"( ) #!$ $ #$ !# ，
##
"
$
$%" )
$
$
&" &) $($ !(%$ $" (( #" $ $($ !%
’( ##’ ’(，
" # (" % *$ " " " 其中 " *$ # #% ’(，
插入电介质，电容增大 (" % 倍。
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 平行板电容器的极板面积为 #，间距为 $，其间充满电介质，介质
#
)# ’" !" !# &
# )" & +%# !$ "" # +(" ($
+&" # +%# !& +%# !%" +"" #
#
#*"
)
+%#& #"
新概念物理教程·电磁学" " 第四章" 电磁介质" 习题解答
" " ! ! !" 平行板电容器两极板相距 #" $ !"，其间放有一
层 ! # %" $ 的电介质，位置和厚度如本题图所示。已知极板 上面电荷密度为 "#$ # &" ’ $($ !(( $ % "% ，略去边缘效应，求：
&
!$ !!" !$ !"
"!
%
，
若上极板带负电，则 #
#
#
#
"!)
&
!" !!$ !$ !"
"!
%
"
#
（&）#
*
（ &
!"
$$
%!$ $" ）"!% "
#
!$ !" !%
#
（!）#
+$ & +" & "!% "
新概念物理教程·电磁学! ! 第四章! 电磁介质! 习题解答
! ! ! ! "" 一平行板电容器两极板的面积都是 "" # !" ，相距为 $" # !!，两