3.2对数概念及运算性质(教师)

创一教育学科教师辅导讲义

1．若2x ＝16，(13

)x ＝9，x 的值分别为多少？ 【提示】 4，－2

2．若2x ＝3，(13

)x ＝2，你现在还能求得x 吗？ 【提示】 不能．

1．对数

一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

2．常用对数

通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg N .

3．自然对数

以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N .

一、指数式与对数式的互化

例1、 (1)将下列指数式化为对数式：

①3－3＝127；②843＝16；③5a ＝15.

(2)将下列对数式化为指数式：

①log 3243＝5；②log 13127＝3；③lg 0.1＝－1.

【思路探究】 根据对数的定义a b ＝N (a >0，且a ≠1)⇔log a N ＝b (a >0且a ≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．

【自主解答】 (1)①由3－3＝127，得log 3127＝－3.

②由843＝16，得log 816＝43.

③由5a ＝15得，log 515＝a .

(2)①由log 3243＝5得35＝243.

②由log 13127＝3得(13)3＝127.

③由lg 0.1＝－1得10－1＝0.1.

1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .

2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：

下列指数式与对数式互化正确的一组是________．

①(－2)2＝4与log (－2)4＝2；

②8－13＝12与log 812＝－3；

③lg 5＝0.7与e 0.7＝5；

④log 77＝1与71＝7.

【解析】 ①错误，因为log (－2)4没有意义，在转化时应先化简再互化；②错误，将8－13＝12化成

对数式为log 812＝－13；③错误，将lg 5＝0.7化成指数式为100.7＝5；④正确．【答案】 ④

二、求对数的值

计算下列各式的值：

(1)lg 0.001；(2)log 48；(3)ln e.

【思路探究】 对数式化为指数式→化为同底的幂→列方程→结论

【自主解答】 (1)设lg 0.001＝x ，则10x ＝0.001，即10x ＝10－3 解得x ＝－3，所以lg 0.001＝－3.

(2)设log 48＝x 则4x ＝8，即22x ＝23，

解得x ＝32，所以log 48＝32.

(3)设ln e ＝x ，则e x ＝e ，即e x

＝e 12， 解得x ＝12，所以ln e ＝12

.

1．对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程．

2．在b ＝log a N 中有三个量a ，b ，N ，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化．

求下列各式的值．

(1)log93；(2)log20.25；(3)log93

3；(4)log0.5

3

2.

【解】(1)令log93＝x，则9x＝3，即32x＝3.∴2x＝1，∴x＝log93＝1 2.

(2)令log20.25＝x，则2x＝0.25，即2x＝2－2.∴x＝log20.25＝－2.

(3)令log93

3＝x，则9x＝3

1

3，即3

2x＝3

1

3，∴x＝

1

6，即x＝log9

3

3＝

1

6.

(4)令log0.53

2＝x，则(

1

2)

x＝2

1

3，即2

－x＝2

1

3.∴x＝log0.5

3

2＝－

1

3.

三、对数的基本性质及对数恒等式

例3、计算：

(1)log2(log55)；(2)log(2－1)

1

3＋22

；

(3)71－log75；(4)a log a b·log b c(a，b为不等于1的正数，c>0)．

【思路探究】解答本题可用对数的基本性质及对数恒等式来化简求值．【自主解答】(1)原式＝log21＝0.

(2)原式＝log(2－1)

1

(2＋1)2

＝log(2

－1)

1

2＋1

＝log(2

－1)

(2－1)＝1.

(3)原式＝7÷7log75＝7÷5＝7 5.

(4)原式＝(a log a b)log b c＝b log b c＝c.

1．对数的基本性质：

(1)log a1＝0；

(2)log a a＝1.

2．对数恒等式：

a log a N＝N(a>0，a≠1)．

3．解答此类问题要注意观察，能用对数的基本性质的先用基本性质将其转化为0或1，再根据指数幂的运算性质及对数恒等式求值．

将(4)换成3log35－log36，如何求解？