3.2对数概念及运算性质(教师)

创一教育学科教师辅导讲义1．若2x ＝16，(13)x ＝9，x 的值分别为多少？ 【提示】 4，－22．若2x ＝3，(13)x ＝2，你现在还能求得x 吗？ 【提示】 不能．1．对数一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log 10N ，简记为lg N .3．自然对数以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N .一、指数式与对数式的互化例1、 (1)将下列指数式化为对数式：①3－3＝127；②843＝16；③5a ＝15.(2)将下列对数式化为指数式：①log 3243＝5；②log 13127＝3；③lg 0.1＝－1.【思路探究】 根据对数的定义a b ＝N (a >0，且a ≠1)⇔log a N ＝b (a >0且a ≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．【自主解答】 (1)①由3－3＝127，得log 3127＝－3.②由843＝16，得log 816＝43.③由5a ＝15得，log 515＝a .(2)①由log 3243＝5得35＝243.②由log 13127＝3得(13)3＝127.③由lg 0.1＝－1得10－1＝0.1.1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a >0，a ≠1，N >0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：下列指数式与对数式互化正确的一组是________．①(－2)2＝4与log (－2)4＝2；②8－13＝12与log 812＝－3；③lg 5＝0.7与e 0.7＝5；④log 77＝1与71＝7.【解析】 ①错误，因为log (－2)4没有意义，在转化时应先化简再互化；②错误，将8－13＝12化成对数式为log 812＝－13；③错误，将lg 5＝0.7化成指数式为100.7＝5；④正确．【答案】 ④二、求对数的值计算下列各式的值：(1)lg 0.001；(2)log 48；(3)ln e.【思路探究】 对数式化为指数式→化为同底的幂→列方程→结论【自主解答】 (1)设lg 0.001＝x ，则10x ＝0.001，即10x ＝10－3 解得x ＝－3，所以lg 0.001＝－3.(2)设log 48＝x 则4x ＝8，即22x ＝23，解得x ＝32，所以log 48＝32.(3)设ln e ＝x ，则e x ＝e ，即e x＝e 12， 解得x ＝12，所以ln e ＝12.1．对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程．2．在b ＝log a N 中有三个量a ，b ，N ，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化．求下列各式的值．(1)log93；(2)log20.25；(3)log933；(4)log0.532.【解】(1)令log93＝x，则9x＝3，即32x＝3.∴2x＝1，∴x＝log93＝1 2.(2)令log20.25＝x，则2x＝0.25，即2x＝2－2.∴x＝log20.25＝－2.(3)令log933＝x，则9x＝313，即32x＝313，∴x＝16，即x＝log933＝16.(4)令log0.532＝x，则(12)x＝213，即2－x＝213.∴x＝log0.532＝－13.三、对数的基本性质及对数恒等式例3、计算：(1)log2(log55)；(2)log(2－1)13＋22；(3)71－log75；(4)a log a b·log b c(a，b为不等于1的正数，c>0)．【思路探究】解答本题可用对数的基本性质及对数恒等式来化简求值．【自主解答】(1)原式＝log21＝0.(2)原式＝log(2－1)1(2＋1)2＝log(2－1)12＋1＝log(2－1)(2－1)＝1.(3)原式＝7÷7log75＝7÷5＝7 5.(4)原式＝(a log a b)log b c＝b log b c＝c.1．对数的基本性质：(1)log a1＝0；(2)log a a＝1.2．对数恒等式：a log a N＝N(a>0，a≠1)．3．解答此类问题要注意观察，能用对数的基本性质的先用基本性质将其转化为0或1，再根据指数幂的运算性质及对数恒等式求值．将(4)换成3log35－log36，如何求解？【解】 原式＝3log 353log 36＝56. 四、对数运算中的转化思想(12分)求下列各式中的x ：(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0.【思路点拨】 利用转化思想，把对数问题转化为指数问题解决．【规范解答】 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝9.3分(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23＝322.6分(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，得x ＝(3＋22)－12＝2－1.9分(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.12分方法总结：1．求未知数x 时可以先将对数式转化为指数式，然后再求值．2．log a a ＝1及log a 1＝0是对数计算的两个常用结论，可实现数“1和0”与对数log a a 和log a 1的互化．课堂小结：1．准确理解对数的定义：(1)由对数的定义知a x ＝N ⇔x ＝log a N ，这个转化是有条件的，即a >0且a ≠1，N >0，否则不能转化．如(－2)2＝4就不能直接写成log (－2)4＝2.(2)对数符号log a N 只有在a >0，a ≠1且N >0时才有意义．2．对数运算是指数运算的逆运算，利用对数式与指数式的互化， 可解决简单对数式的计算问题．3．要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数且大于零．其次合理利用对数、指数运算法则，化为相同底数． 牛刀小试：1．将对数式log 232＝5化成指数式为________．8．化简：(12)log 23＝________.【解析】 (12)log 23＝2－log 23＝(2log 23)－1＝3－1＝13.【答案】 13二、解答题9．(1)将对数式log 139＝－2，化为指数式；(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式；(3)已知log 2(log 5x )＝1，求x 的值．【解】 (1)∵log 139＝－2，∴(13)－2＝9；(2)∵10－3＝0.001，∴log 100.001＝－3，即lg 0.001＝－3；(3)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25.10．(1)设(－5)lg x ＝25，求实数x 的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值．【解】 (1)∵(－5)2＝25，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.(2)由log a 2＝m ，log a 3＝n ，得a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12，即a 2m ＋n ＝12.11．已知log 2[log 12(log 2x )]＝log 3[log 13(log 3y )]＝log 5[log 15(log 5z )]＝0，试比较x 、y 、z 的大小．【解】 由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，∴log 2x ＝12，即x ＝212；由log 3[log 13(log 3y )]＝0，得log 13(log 3y )＝1，∴log 3y ＝13，即y ＝313；由log 5[log 15(log 5z )]＝0，得log 15(log 5z )＝1，∴log 5z ＝15，即z ＝515.∵y ＝313＝326＝916，x ＝212＝236＝816，∴y >x ，又∵x ＝212＝2510＝32110，z ＝515＝5210＝25110∴x >z .故y >x >z求下列各式中x 的取值范围．(1)lg(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.【思路探究】 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.【自主解答】 (1)由题意有x －10>0，即x >10.故x 的取值范围为(10，＋∞)．(2)由题意有⎩⎨⎧ x ＋2>0，x －1>0，且x －1≠1.即x >1，且x ≠2.故x 的取值范围为{x |x >1，且x ≠2}．(3)由题意有⎩⎨⎧(x －1)2>0，x ＋1>0，且x ＋1≠1， 解得x >－1，且x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围为{x |x >－1，且x ≠0，x ≠1}．在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.求使式子log (a －2)(5－a )有意义的实数a 的取值范围．【解】 由对数定义，知⎩⎨⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎨⎧ a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.∴a 的取值范围为(2,3)∪(3,5)．第2课时 对数的运算性质对数的运算性质【问题导思】1．我们知道a m ＋n ＝a m ·a n ，那么log a M ·N ＝log a M ·log a N 正确吗？举例说明． 【提示】 不正确，例如log 24＝log 22×2＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2.2．你能证明log a MN ＝log a M ＋log a N (M >0，N >0)吗？【提示】 能．令a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ＋n . 由对数的定义知log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a MN ＝m ＋n ，∴log a MN ＝log a M ＋log a N .如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M n ＝n log a M (n ∈R)；(3)log a M N ＝log a M －log a N .换底公式【问题导思】log a N ＝log c N log c a(a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)成立吗？试证明之． 【提示】 成立．设log a N ＝t ，则a t ＝N ，两边取以c 为底的对数，得log c a t ＝log c N ，t log c a ＝log c N ，所以t ＝log c N log c a ，故log a N ＝log c N log c a. 一般地，我们有log a N ＝log c N log c a，其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1，这个公式称为对数的换底公式. 一、对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.【思路探究】 解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质进行计算．【自主解答】 (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg(427÷4×75)＝lg 10＝12lg 10＝12. (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(lg 5)2＋(2－lg 2)×lg 2＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)×lg 2＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)×lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.1．对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适用于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．特别注意一些常用结论．如lg 2＋lg 5＝1，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2等．计算下列各式的值：(1)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2； (2)log 28＋43＋log 28－4 3.【解】 (1)原式＝lg 3＋lg 4－1lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1. (2)原式＝log 2(8＋43×8－43)＝log 24＝2.二、换底公式的应用(1)计算1log 46＋1log 96＝________； (2)已知log 23＝a,3b ＝7，则log 1256＝________.(用a ，b 表示)【思路探究】 (1)先利用log a b ·log b a ＝1统一底数，再求值．(2)把对数用以10为底的对数或以3为底的对数表示，然后求值．【自主解答】 (1)原式＝log 64＋log 69＝log 636＝2.(2)法一 ∵log 23＝a ，∴log 32＝1a.又3b ＝7，∴log 37＝b . 从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2. 法二 ∵log 23＝lg 3lg 2＝a ， ∴lg 3＝a lg 2.又3b ＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab 2＋a. 【答案】 (1)2 (2)3＋ab a ＋21．换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．2．换底公式的本质是化为同底，这是解决对数问题的基本方法．3．具有换底功能的两个结论：(1)log a c ·log c a ＝1；(2)log an b n ＝log a b (a >0且a ≠1，b >0)．在题设(2)不变的前提下，试用a ，b 表示log 728.【解】 log 728＝log 328log 37＝log 34＋log 37log 37＝2log 32＋log 37log 37＝2a ＋b b ＝2＋ab ab. 三、对数的应用题某化工厂生产化工产品，去年生产成本50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶生产成本为20元？(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 1，精确到1年)．【思路探究】 设x 年后每桶生产成本为20元，根据题意列出x,50,28%,20之间的关系式后解x .【自主解答】 设x 年后每桶生产成本为20元．1年后每桶生产成本为50(1－28%)，2年后每桶生产成本为50(1－28%)2，…x 年后每桶生产成本为50(1－28%)x ＝20.∴0.72x ＝0.4.等号两边取常用对数，得x lg 0.72＝lg 0.4，∴x ＝lg 0.4lg 0.72＝lg (4×10－1)lg (72×10－2)＝lg 4－1lg 72－2 ＝2lg 2－13lg 2＋2lg 3－2≈0.301 0×2－13×0.301 0＋2×0.477 1－2＝－0.398－0.142 8≈3(年)． 答：3年后每桶生产成本为20元．解对数应用题的步骤：第一步：依据题意建立等量关系；第二步：利用对数的定义及运算性质对上述等量关系变形；第三步：借助已知数据(或计算器)估值；第四步：下结论．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0) 【解】 (1)依题意得y ＝a (1－110)x ＝a (910)x ，其中x ≥1，x ∈N . (2)依题意得a (910)x <a ×12⇒(910)x <12⇒x (2lg 3－1)<－lg 2⇒x >0.301 01－2×0.477 1≈6.572， ∴x min ＝7.答：通过7块以上的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下. 易错分析：忽略对数的限定条件致误若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． 【错解】 因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或x y＝－1. 【错因分析】 对数等式中，若含字母参数，要注意隐含条件，此题应有x －y >0，x ＋2y >0，x >0，y >0，由此可得x >y >0 ，则x y >0，故x y＝－1为增根，应舍去． 【防范措施】 对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1.做题时常因忽略此条件而出错，且要特别注意底数含有字母的情况．【正解】 因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或x y＝－1. 由题意知x >0，y >0，所以x y>0， 故舍去x y ＝－1，所以x y＝2.小结：1．对数运算性质及应用：对数运算性质主要有两个方面的应用：一是把复杂的真数化简，即将积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积；由1a ＋1b＝2，得log m 10＝2， ∴m 2＝10，所以m ＝10.【答案】10 二、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 0.06＋lg 16； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 【解】 (1)原式＝lg 5(3lg 2＋3lg 10)＋(3lg 2)2＋lg(0.06×16)＝3lg 2lg 5＋3lg 5＋3lg 22＋lg 0.01 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3.10．方程lg 2x ＋(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝0的两根之积为x 1x 2，求x 1x 2的值．【解】 因为lg 2x ＋(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝(lg x ＋lg 2)(lg x ＋lg 3)，所以lg x ＝－lg 2＝lg 2－1或lg x ＝－lg 3＝lg 3－1， 即x 1＝12，x 2＝13，所以x 1x 2＝16. 11．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)? (lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【解】 假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13，根据题意得：0.75x ＝13， ∴x ＝log 0.7513＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈4. 故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13设x ，y ，z 都为正数，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证1x ＋12y ＝1z； (2)试比较3x,4y,6z 的大小．【思路探究】 本题考查了对数的运算性质及与指数式的互化．待证式中均出现x ，y ，z ，而条件是用指数式给出的x ，y ，z 的关系式，因此应先从已知等式中解出x ，y ，z ，然后再证明和比较．【自主解答】 (1)证明 设3x ＝4y ＝6z ＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 6t ，∴1x ＝log t 3，1y ＝log t 4，1z＝log t 6， ∴1x ＋12y ＝log t 3＋12log t 4＝log t 3＋log t 2＝log t 6＝1z ，即1x ＋12y ＝1z. (2)解 3x ＝3log 3t ＝log 33t,4y ＝4log 4t ＝log 44t ，6z ＝6log 6t ＝log 66t ，三式均大于0.13x＝log t 33＝log t 1234＝log t 1281， 14y ＝log t 44＝log t 1264，16z＝log t 66＝log t 1236. ∵t >1，1281>1264>1236，∴13x >14y >16z，∴3x <4y <6z .1．一般地，给出的等式是以指数的形式出现时，常对等式的两边取对数．2．本题中采用的换元的方法、指数式与对数式互化的方法、利用换底公式化不同底为同底的方法均为数学中的常用方法，换底时常用到的结论有log a b ＝1log b a (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)．已知2x ＝5y ＝10z ，求证1x ＋1y ＝1z. 【证明】 令2x ＝5y ＝10z ＝t (t >0)，则x ＝log 2t ，y ＝log 5t ，z ＝lg t .从而1x ＝log t 2，1y ＝log t 5，1z＝log t 10. 于是1x ＋1y ＝log t 2＋log t 5＝log t 10＝1z. 故1x ＋1y ＝1z.3.2.2 对数函数。