尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题(政治经济学)【圣才出品】

尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题
第21章政治经济学
1．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。

第一个水手的效用函数为11U f =
，其中1f 是由第一个水手消费的数量。

对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为221
2U f =（1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？
（2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？
（3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？
（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？
（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为1/21/21
2W U U =。

那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？
解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即12100f f ==，则他们各自的效用分别是：
1110010U f =
==221
1100522
U f ===（2）如果使两个水手的效用相等，即
120.5f f =时，解得120.25f f =，又因为12200f f +=，从而解得140f =，
2160f =。

故他们的效用相等，则第一个水手消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。

（3）两个人的效用和最大化的问题为：
1212
,120.5..200
f f f f s t f f +=
构造拉格朗日函数：
()()
121212,,0.5100L f f f f f f λλ=--总效用最大化的一阶条件为：
11
102L f f λ∂==∂22
104L f f λ∂==∂121000L f f λ
∂=--=∂解得：1160f =，240f =。

要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。

（4）这相当于求解如下最优化问题：
1212
,1220.5..200
100
f f f f s t f f f +=≥ 从式12200f f +=中解出1f ，并把它代入目标函数式中，就有：
22
2000.5f f -+易得目标函数式在240f =时，取得最大值，但是它不满足2100f ≥的约束条件。

所以，当240f ≥时，目标函数式的值随着2f 的增加而递减，所以满足题目条件的解为2100f =，从而1100f =。

故如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，两个水手各消费100磅粮食。

（5）将两个水手的效用函数代入社会福利函数中，可得：
()1/41/412122,2
W f f f f =又12200f f +=，则()()()1/414121112,2002
W f f W f f f ==
-，社会福利最大化的一阶条件为：
()()1/43/4341411111d 222002000d W f f f f F --=---=解得：1100f =，因此21200100f f =-=。

故要使社会福利最大化，两个水手各消费100磅粮食。

2．在20世纪30年代，有几个作者提出“行贿标准”以判断社会状况的满意度。

这一福利标准表明：如果在社会从状态A 到状态B 的变动中，从这一变动得益的人能够补偿在这一变动中效率受损的人以使后者接受这一变动，那么，这个变动就是一个改善。

实际上并不一定要去补偿，有能力进行补偿是惟一必要的。

如果实际上进行了补偿，这一标准就削弱了帕累托（一部分人在不损害他人的前提下有所改善）的定义。

因此，只有在获益者不向受损者进行补偿的情况下，这一标准才是有新意的。

那么，在这样的情况下，行贿标准是否是“无价值”的？或者是否偏向了那些在开始时是富人的利益？你能给出一些例子吗。

解：在不进行实际补偿的情况下，行贿标准可能是“无价值”的，有可能偏向了那些在开始时是富人的利益。

如果不进行实际补偿，则行贿标准相当于假定总收入和总效用在不同群体之间是可用共同标准测量的。

例如，如表21-1所示，在行贿标准下，状态B 优于状态A，因为个体1可以通过向个体2行贿来实现状态B。

但是，在缺乏实际补偿的情况下，很难认为状态B 更好，因为对于个体2而言，他在状态B 下变得一无所有。

表21-1行贿标准分析
3．假定一个经济以其两种商品（x 与y ）的线性生产可能性函数来描述，其形式为2180x y +=。

该经济中有两个人，他们有着相同形式的效用函数(),U x y xy =。

（1）假定y 的产量估计为10，该经济的效用可能性边界会在哪里？
（2）假定y 的产量估计为30，其效用可能性边界又会在哪里？
（3）应该怎样选择y 的产量，以保证实现“最优的”效用可能性边界？
（4）在什么条件下（与本问题中的条件相反），你对问题（3）的答案会依赖于所研究的效用可能性边界上的点？
解：帕累托效率条件为：12MRS MRS =，从而有：
1
21121y y y y y x x
x x x -===-因而所有有效配置必须满足条件：()()112211 y
x
y x y x
y x αααα===-=- 从而有：
221 xy
U α=()2221 x y
U α=-()()()22
2221211222211U U U U U U x y xy x y x y αααα+=++=+-+-=（1）如果10y =，160x =，则经济的效用可能性边界为：()2
121600U U +=。

（2）如果30y =，120x =，则经济的效用可能性边界为：()2
123600U U +=。

（3）最优效用可能性边界问题为：
max
.. 2 180
x y s t x y +=利用柯布—道格拉斯函数的性质可得：180902x ==，1804522
y ==⨯。

因而使得效用可能性边界最优的y的值为45。

此时效用可能性边界为：
()2
124050
U U
+=
（4）在此问题中效用可能性边界不相交，因而在使用帕累托标准时不存在不确定性。

如果效用可能性边界相交，则需要利用效用可能性曲线的外包络曲线来作为最优的效用可能性边界。

4．假定一个社会由7个人组成，其成员要对他们最喜欢的社会安排投票，而最后得以选中的是得票多的社会安排。

设计一个例子，其中的个人要对A、B与C三种状态排序：如果三种状态都可以选择时，会选A；但是如果“无关的”选择C不能被选时，就会选B（这个数量表明该社会的组成并不符合阿罗所列举的公理4）。

那么，你的例子有多少合理性？关于阿罗定理的性质，它说明了什么？
解：7个人对A、B、C三种状态的投票的结果可能为：
如果C被淘汰，则投C票的人可能都转而投B的票，结果为：
从而最终B被选中。

该例子十分合理，它意味着阿罗的公理成立的条件是相当苛刻的。

5．假定经济中只有两个人。

在5种可能的社会状态中他们两个人的效用被表示为表21-2。

表21-2不同社会状态下的效用
在经济开始运作之初，每个人并不知道他们将被分派的号码（1或2）。

因此，他们不能确定在各种社会状态下他们所获得的实际效用。

为了对付这种不确定性，如果个人在他的投票行为中采取了如下策略，哪种社会状态将会被选中？
（1）选择那个能保证最不富裕的人有最高效用的社会状态。

（2）假定1号或2号的可能性50对50，选择预期效用最高的状态。

（3）假定无论怎样，偶数总是不好，因为在任何状态下都只有40%的机会获得高效用，60%的机会获得低效用。

选择在此概率情况下那种具有最高期望效用的状态。

（4）假定有50对50的机会被分派到1或2号，并且每个人都不喜欢不平等，每个人都将选择能满足（预期效用12U U --）尽可能大的状态。

（式中符号 表示绝对值）
（5）在一种什么都不知道的情况下，就一个人在社会中的特定身份来说，从这一问题中你能得到什么关于社会选择的结论？
答：（1）选择D。

由最小最大原理可知，A、B、C、D、E 五种状态下的最低效用分别为：50、40、45、50.5、30，因此最低效用中的最高效用为50.5，即D 状态能够保证最不富裕的人有最高效用。

（2）选择E，此时期望效用为：()0.5300.58457E E U =⨯+⨯=。

而A、B、C、D 状态下的期望效用分别为：50、55、49.5、51.75，都小于E 状态下的预期效用。

（3）选择B。

因为()0.60.4E U L H =+，所以50A EU =，52B EU =，48.6C EU =，51.5D EU =，50E EU =，故B 状态下的期望效用最高。