圆锥曲线的综合
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【思考·提示】 若只满足“以 这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点”，则这个方程可能只是部 分曲线的方程，而非整个曲线的方 程，如分段函数的解析式．
第2页/共58页
基础知识梳 理
2．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线： f(x，y)＝0，由Af(xx，＋yB)y＝＋0C，＝0， 得 ax2 ＋bx＋c＝0.
基础知识梳 理
3．弦长公式
直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2 |x1－ x2|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2或 |AB|＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.
第5页/共58页
(2)待定系数法：已知所求曲线
的类型，先根据条件设出所求曲线
的方程，再由条件确定其待定系
数．
第11页/共58页
课堂互动讲 练
(3)定义法：先根据条件得出动点的 轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义 直接写出动点的轨迹方程．
(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另 一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代 入已知曲线得要求的轨迹方程．
y＋2 v＝2(x＋2 u－4) ②
由①②可解得x＝15(－3u＋4v＋32) ， y＝15(4u＋3v－16)
第19页/共58页
课堂互动讲 练
代入方程(*)得 (－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(3×5)2， 化简得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0 ⇒(u－8)2＋(v＋2)2＝9. 故动点P的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝32. 【规律小结】 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹第2上0页/的共58任页 一点P(x，y)．
三基能力强 化
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝ 8x只有一个公共点，这样的直线有
()
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：B
第6页/共58页
三基能力强 化
2．已知两定点A(－2,0)， B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝ 2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的 面积等于( )
A．π
B．4π
课堂互动讲 练
即x2＋(y－2)2＝32.
所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆 心，以3为半径的圆．
∵点P是点Q关于直线y＝2(x－ 4)的对称点．
∴动点P的轨迹是一个以 C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆， 其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y ＝ 2 ( x － 4 ) 的 对第称16页点/共5，8页即 直 线 y ＝ 2 ( x
C．8π
D．9π
答案：B
第7页/共58页
三基能力强 化
3．直线
y＝kx－k＋1
与椭圆x2＋y2 94
＝1 的位置关系为( )
A．相交 C．相离 答案：A
B．相切 D．不确定
第8页/共58页
三基能力强 化
4．(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0)
作倾斜角为π的直线，与抛物线 4
y2＝2x
交于 M、N 两点，则|MN|＝________.
第14页/共58页
课堂互动讲 练
【思路点拨】 由已知易得动 点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q 点的坐标关系，代入即可．
【解】 法一：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
→→
故 由QA·QB＝ 4⇒ (－ 1－ x)(1－ x) ＋(－y)(4－y)＝4，
第15页/共58页
课堂互动讲 练
(3)列式——列出动点P所满足的 关系式．
第3页/共58页
基础知识梳 理
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 两
①Δ>0，直线l与圆锥曲线有一 交点． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线无有 公共
点．
平行
③Δ<0，直线平l与行圆锥曲线 公共点．
(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l
与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线为抛物
线时，l与抛物线的对称轴
．
第4页/共58页
→→
故 由QA·QB＝ 4 ⇒ (－ 1－ x)(1 － x)＋ (－y)(4－y)＝4，
即x2＋(y－2)2＝32(*)
设点P的坐标为P(u，v)，
∵P、Q关于直线l：y＝2(x－4)对
第18页/共58页
课堂互动讲
练
∴PQ 与直线 l 垂直，于是有
uv－－xy＝－12
①
因为 PQ 的中点在 l 上，所以有
基础知识梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果
某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：这个方程的解
曲线
上的点(1)曲线上点的坐标都 曲线的方程
是
方程的曲．线
(2)以这个方程的解为坐标的点都是
．那么这个方程叫
Βιβλιοθήκη Baidu
第1页/共58页
基础知识梳 理
如果只满足第(2)个条件，会 出现什么情况？
课堂互动讲
练
于是有xy00－－20×2＝－1
，
y0＋2 2＝2(x0＋2 0－4)
即2y0y－0＋2xx00－ ＋41＝ 8＝00 ⇒xy00＝＝－8 2 .
故动点 P 的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋
2)2＝9.
第17页/共58页
课堂互动讲 练
法二：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
第12页/共58页
课堂互动讲 练
(5)参数法：当动点P(x，y)的坐 标之间的关系不易直接找到，也没 有相关点可用时，可考虑将x，y均 用一中间变量(参数)表示，得参数 方程，再消去参数得普通方程．
第13页/共58页
课堂互动讲 练
例1 已知 A(－1,0)，B(1,4)，在平面上 →→
动点 Q 满足QA·QB＝4，点 P 是点 Q 关 于直线 y＝2(x－4)的对称点，求动点 P 的轨迹方程．
答案：2 6
第9页/共58页
三基能力强 化
5．设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点， O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则 点 M 的轨迹方程是______________．
答案：x2－4y2＝1
第10页/共58页
课堂互动讲 练
考点一 求动点的轨迹方程
求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：直接利用条件建立 x，y之间的关系f(x，y)＝0.
第2页/共58页
基础知识梳 理
2．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线： f(x，y)＝0，由Af(xx，＋yB)y＝＋0C，＝0， 得 ax2 ＋bx＋c＝0.
基础知识梳 理
3．弦长公式
直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2 |x1－ x2|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2或 |AB|＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.
第5页/共58页
(2)待定系数法：已知所求曲线
的类型，先根据条件设出所求曲线
的方程，再由条件确定其待定系
数．
第11页/共58页
课堂互动讲 练
(3)定义法：先根据条件得出动点的 轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义 直接写出动点的轨迹方程．
(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另 一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代 入已知曲线得要求的轨迹方程．
y＋2 v＝2(x＋2 u－4) ②
由①②可解得x＝15(－3u＋4v＋32) ， y＝15(4u＋3v－16)
第19页/共58页
课堂互动讲 练
代入方程(*)得 (－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(3×5)2， 化简得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0 ⇒(u－8)2＋(v＋2)2＝9. 故动点P的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋2)2＝32. 【规律小结】 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹第2上0页/的共58任页 一点P(x，y)．
三基能力强 化
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝ 8x只有一个公共点，这样的直线有
()
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：B
第6页/共58页
三基能力强 化
2．已知两定点A(－2,0)， B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝ 2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的 面积等于( )
A．π
B．4π
课堂互动讲 练
即x2＋(y－2)2＝32.
所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆 心，以3为半径的圆．
∵点P是点Q关于直线y＝2(x－ 4)的对称点．
∴动点P的轨迹是一个以 C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆， 其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y ＝ 2 ( x － 4 ) 的 对第称16页点/共5，8页即 直 线 y ＝ 2 ( x
C．8π
D．9π
答案：B
第7页/共58页
三基能力强 化
3．直线
y＝kx－k＋1
与椭圆x2＋y2 94
＝1 的位置关系为( )
A．相交 C．相离 答案：A
B．相切 D．不确定
第8页/共58页
三基能力强 化
4．(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0)
作倾斜角为π的直线，与抛物线 4
y2＝2x
交于 M、N 两点，则|MN|＝________.
第14页/共58页
课堂互动讲 练
【思路点拨】 由已知易得动 点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q 点的坐标关系，代入即可．
【解】 法一：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
→→
故 由QA·QB＝ 4⇒ (－ 1－ x)(1－ x) ＋(－y)(4－y)＝4，
第15页/共58页
课堂互动讲 练
(3)列式——列出动点P所满足的 关系式．
第3页/共58页
基础知识梳 理
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 两
①Δ>0，直线l与圆锥曲线有一 交点． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线无有 公共
点．
平行
③Δ<0，直线平l与行圆锥曲线 公共点．
(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l
与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线为抛物
线时，l与抛物线的对称轴
．
第4页/共58页
→→
故 由QA·QB＝ 4 ⇒ (－ 1－ x)(1 － x)＋ (－y)(4－y)＝4，
即x2＋(y－2)2＝32(*)
设点P的坐标为P(u，v)，
∵P、Q关于直线l：y＝2(x－4)对
第18页/共58页
课堂互动讲
练
∴PQ 与直线 l 垂直，于是有
uv－－xy＝－12
①
因为 PQ 的中点在 l 上，所以有
基础知识梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果
某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系：这个方程的解
曲线
上的点(1)曲线上点的坐标都 曲线的方程
是
方程的曲．线
(2)以这个方程的解为坐标的点都是
．那么这个方程叫
Βιβλιοθήκη Baidu
第1页/共58页
基础知识梳 理
如果只满足第(2)个条件，会 出现什么情况？
课堂互动讲
练
于是有xy00－－20×2＝－1
，
y0＋2 2＝2(x0＋2 0－4)
即2y0y－0＋2xx00－ ＋41＝ 8＝00 ⇒xy00＝＝－8 2 .
故动点 P 的轨迹方程为(x－8)2＋(y＋
2)2＝9.
第17页/共58页
课堂互动讲 练
法二：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
第12页/共58页
课堂互动讲 练
(5)参数法：当动点P(x，y)的坐 标之间的关系不易直接找到，也没 有相关点可用时，可考虑将x，y均 用一中间变量(参数)表示，得参数 方程，再消去参数得普通方程．
第13页/共58页
课堂互动讲 练
例1 已知 A(－1,0)，B(1,4)，在平面上 →→
动点 Q 满足QA·QB＝4，点 P 是点 Q 关 于直线 y＝2(x－4)的对称点，求动点 P 的轨迹方程．
答案：2 6
第9页/共58页
三基能力强 化
5．设 P 为双曲线x42－y2＝1 上一动点， O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则 点 M 的轨迹方程是______________．
答案：x2－4y2＝1
第10页/共58页
课堂互动讲 练
考点一 求动点的轨迹方程
求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：直接利用条件建立 x，y之间的关系f(x，y)＝0.