中值定理解题与求极限方法

例1

设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可微，且0)(≠'x g 。证明至少有一点

()b a ,∈ξ使得：

)

()

()()()()(ξξξξg f g b g a f f ''=--。

[分析]：要证的等式即为：)]()()[()()]()([ξξξξg b g f g a f f -'='-，即

0])()()()()()([='--=ξx b g x f x g a f x g x f

记 )()()()()()()(b g x f x g a f x g x f x F --=，则这个)(x F 可用作证明此题的辅助函数。

[证明]：作辅助函数)()()()()()()(b g x f x g a f x g x f x F --=，则 )(),(x g x f 在],[b a 上连续、在),(b a 内可微， )(x F ∴在],[b a 上连续、在),(b a 内可微，

且)()()()(b g a f b F a F -==。

由Rolle 定理，至少有一点()b a ,∈ξ，使0)(='ξF ，即

0])()()()()()([='--=ξx b g x f x g a f x g x f

0)()()()()()()()(='-'-'+'b g f g a f g f g f ξξξξξξ 0)(≠'x g ，当然有0)(≠'ξg ； )

()()()()()(ξξξξg f g b g a f f ''=--∴

例2

设)(x f 在],[b a 上可微)0(b a <<，证明至少存在一点()b a ,∈ξ使得

a

b

f a f b f ln )()()(ξξ'⋅=- [分析]：要证的等式即为

ξ

ξξξ=''=

'⋅=--x x f f a b a f b f ][ln )

()(ln ln )()( 只须对用Cauchy 中值定理即可。

[证明]：x x f ln ),( 在],[b a 上可微，且01

)(ln ≠=

'x

x ，

∴ 由Cauchy 中值定理，至少有点),(b a ∈ξ，使得

)(1)(ln ln )()(ξξξ

ξf f a b a f b f '⋅='=--，即a

b

f a f b f ln )()()(ξξ'⋅=- 。

以上两例的分析过程中，我们运用了“倒推法”将辅助函数构造了出来。虽然这种

“构造”的方法仍然是在“凑”，但已不再是随机的和无把握的了。因为采用了“倒推法”，而“倒推”的目的是要寻找“原函数”。既然如此，我们是否可以不去凑，而改用不定积分的方法直接“求”出这个“原函数”呢？

如在例2中，我们可以将要证的等式变形为

ξξ1

ln )()()(⋅-=

'a

b a f b f f )0(>>a ξ 两边对ξ积分，得：C a

b a f b f f +-=

ξξln ln )

()()( （C 为任意常数） 即C a b a f b f f =--

ξξln ln )()()(，可取x a

b a f b f x f x F ln ln )

()()()(--=。 容易验证：a

b a

b f b a f b F a F ln ln )(ln )()()(-=

=。

可见，这样求出的)(x F 满足Rolle 定理。于是，对)(x F 应用Rolle 定理即可。

例3

设)(x f 于],[21x x 上可微，且021>x x ，证明：至少存在一点),(21x x ∈ξ，使得

)()()

()

(1

212

121ξξξf f x f x f x x x x '⋅-=-。

[分析]：将要证的等式两边同乘以

2

1

ξ

，得：

22212121)

()(1)()

(1

ξξξξξf f x f x f x x x x '⋅-=

⋅- 两边对ξ积分，得：C f x f x f x x x x +-=⋅--

ξ

ξξ)

(1)()

(1

212121

即

C x f x f x x x x f =⋅--

ξ

ξ

ξ1

)()(1

)

(212121 可取 x

x f x f x x x x x x f x F 1

)()

(1

)()(212121⋅--=

可以验证：2

12121)

()()()(x x x f x f x F x F --=

=。

于是，可由Rolle 定理证之。

[注]：此题也可用Cauchy 定理证明。简述如下：

2

11221

212121)

()()()(1

x x x f x x f x x f x f x x x x --=-

例4

用Rolle 定理证明Cauchy 定理。

[分析]：要证

)

()

()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--，即

0)()]()([)()]()([='--'-ξξf a g b g g a f b f

两边对ξ积分，得：

C f a g b g g a f b f =---)()]()([)()]()([ξξ

可取 )()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x F ---=

可以验证：)()()()()()(a f b g a g b f a F b F -==。即满足Rolle 定理条件。 例5

设)(x f 在]1,0[上可微，0)0(=f ，且当)1,0(∈x 时，0)(>x f 。证明：至少有

一点)1,0(∈ξ，使得：

)

1()

1()()(2ξξξξ--'='f f f f 。 [分析]：在上面等式中对ξ积分，得：C f f ln )1(ln )(ln 2+--=ξξ 即 C f f =-⋅)1()(2

ξξ

可取)1()()(2x f x f x F -⋅=，这里0)1()0(==F F 。可用Rolle 定理。