(新北师大)3、截一个几何体_练习4

3截一个几何体

基础知识屣本技能

|| 仁截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截岀的面叫做截面. 如图所示，阴影部分就是截面. 谈重点截面的理解

①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是 这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形•②截面的形状与所截几何体有关，也与所截 角度和方向有关•③对于同一个几何体，

截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同•同

一个几何体可能有多种不同形状的截面.

【例11下列关于截面的说法正确的是 A.截面是一个平面图形

C.同一个几何体，截面只有一个

解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截岀的面叫做截面”可知， A 是正确

的；截面与几何体的形状有关，

B 是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的

截面一般不同，所以 C ，D 是错误的•故选 A.

答案：A

2. 正方体的截面 正方体截面的形状： 如图所示，正方体的截面的形状可以是： (1) 三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形

(2) 四边形(包括正方形、 (3) 五边形，如图⑤. (4) 六边形，如图⑥.

Z ； /

27

正方

②

正方体中不同形状的截面的截法：

(1) 沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形.

(2) 图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截岀等边 三角形 (3) 过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截岀等腰三角形 且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截岀等腰三角形.

(4) 分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截岀梯形. ___________

(5) 只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截岀五边形或六边形. 【例21下列说法正确的是(). ①正方体的截面可以是等边三角形

②正方体不可能截岀七边形

③用一个平面截正方

体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形

④正方体的截面中边数最多的

().

B .截面的形状与所截几何体无关 D.同一个几何体，截面的形状都相同

)，如图①.

)，如图②③④.

长方形、梯形等 -■I

丿---

(如图),

二M 形

梯闿

④

⑤

是六边形

A.①②③④

B.①②③

C.①③④

D.①②④

解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以 最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能 是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确.

答案：D 3.

圆柱、圆锥、球的截面 (1)圆柱的截面

用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分.

(2)圆锥的截面

用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分.

⑶球体的截面

用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆.

解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找岀它与几何体的几个面相交，同时注 意截面是否与底面平行或垂直.

答案：圆长方形三角形

基本方法屣本能力

4.

根据截面判断几何体 (1)常见几何体截面的比较

常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体.棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱 柱、六棱柱……其中以正方体为代表.

各种几何体的截面如下表：

【例3】下列几何体的截面分别是

图形截面

0 ADDBOO

A © O

(2)根据截面判断原几何体的方法：

①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面•例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台.

②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截

面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成_____________________ 【例4- 11 一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的

A.圆柱和圆锥

C.球体和圆柱

D.正方体和圆锥

解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可

以截岀三角形，故选 C.

答案：C

【例4-21 一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判

断这个几何体的名称(写岀一种几何体的名称即可).

分析：本题考查由截面的形状判断几何体•用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、

球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体•综合两个条件可得该

几何体可能是圆柱.

解：这个几何体可能是圆柱.

点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断岀几何

体的形状.

5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数

一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、.棱数和面数与该图形的形状有关... 用一个平面截掉

正方体的一个角，剩余部分的顶点数、棱数和面数情况：

截面过顶点的

个数

顶点数棱数面数

0 10 15 7

1 9 14 7

2 8 1

3 7

3 7 12 7

［例5- 11

个

解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有

答案：9

【例5- 21如图，条

棱，有—

9 个.

用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有个

面.

个顶点，有

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