高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

专题二复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如 a + bi 的数叫做复数（其中a，b R ）；复数的单位为i ，它的平方

2 . 其中a 叫做复数的实部， b 叫做虚部

等于－1，即i 1

实数：当 b = 0 时复数a + b i 为实数

虚数：当 b 0 时的复数 a + bi 为虚数；

纯虚数：当 a = 0 且 b 0 时的复数a + b i 为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

a bi c di a c且

b d（其中，a，b，c，d，R）特别地a bi 0 a b 0

（3）共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi ，把 2 2

z a b 叫做复数z 的模；

【2】复数的基本运算

设z a b i ，z2

a2 b2 i

1 1 1

（1）加法：z z a a

b b i ；

1 2 1 2 1 2

（2）减法：z z a a

b b i ；

1 2 1 2 1 2

（3）乘法：z z a a b b a b

a b i 特别

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2

2

2

z z a

b 。

（4）幂运算：

1

i i i 2

1 3

i i i 41

5

i

i

i 6 1

【3】复数的化简

z c di

a bi

（a,b是均不为0 的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母

化为实数：z

ac bd ad bc i

c di c di a bi

2 2

a bi a bi a bi a b

c di

对于z a b 0

a bi ，当

c d

a b

时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为

c di

z xi

a bi

进一步建立方程求解

二．例题分析

【例1】已知z a 1 b 4 i ，求

（1）当a,b 为何值时z 为实数

（2）当a,b 为何值时z 为纯虚数

（3）当a,b 为何值时z 为虚数

（4）当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数 2

z (x 1) (x 1)i 为纯虚数，则实数x的值为A． 1 B ．0 C 1 D ．1或1

【例2】已知z1 3 4i ；z2 a 3 b 4 i ，求当a, b 为何值时z1=z2【例3】已知z 1 i ，求z ，z z ；

【变式1】复数z 满足z 2

1

i

i

，则求z 的共轭z

【变式2】已知复数z

3 i

2

(1 3i)

，则z z=

A. 1

4

B.

1

2

C.1

D.2

【例4】已知z1 2 i ，z2 3 2i （1）求z1 z2 的值；

（2）求z z 的值；

1 2

（3）求z z .

1 2

【变式1】已知复数z 满足z 2 i 1 i ，求z 的模.

【变式2】若复数 2

1 ai 是纯虚数，求复数 1 ai 的模.

【例6】若复数

a 3i

z a R

1 2i

（i 为虚数单位），

（1）若z 为实数，求a的值（2）当z 为纯虚，求a的值.

【变式1】设a是实数，且

a 1 i

1 i 2

是实数，求a的

值..

【变式2】若

y 3i

z x, y R

1 xi

是实数，则实数xy 的值是.

【例7】复数z cos3 i sin3 对应的点位于第象限

【变式1】i 是虚数单位,

1 i

4

( )

1-i

等于( )

A．i B．-i C ．1 D．-1

【变式2】已知

Z

1＋i

=2+i, 则复数z=（）

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式3】i 是虚数单位，若17i

2 i

a bi (a,

b R) ，则乘积ab 的值是

（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15

【例8】复数z 7

3

i

i

= （）

（A）2 i （Ｂ）2 i （Ｃ） 2 i （Ｄ） 2 i

【变式4】已知i 是虚数单位，

3

2i

1 i

（）

Ａ1 i Ｂ 1 i Ｃ1 i Ｄ． 1 i

【变式5】已知i 是虚数单位，复数13i

1 i

= （）

A. 2 i

B. 2 i

C. 1 2i

D. 1 2i

【变式6】已知i 是虚数单位，复数

1 3i

1 2i

（）

(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1 －i

3

i i 1

【变式7】已知i 是虚数单位，则

（）

i 1

(A) 1 (B)1 (C) i (D) i