等腰三角形和轴对称
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
第18讲 等腰三角形与轴对称
(2)作CH⊥BQ交BQ于H,则PQ＝2HQ，
在Rt△BHC中，由已知和(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°， ∴CH＝4. 在Rt△CHQ中，HQ＝ CQ2 CH 2 52 42 =3，
∴PQ＝2HQ＝6.
【对点训练】
7.(2011·茂名中考)如图，已知△ABC 是等边三角形，点B，C，D，E在同 一直线上，且CG＝CD，DF＝DE， 则∠E＝______度． 【解析】∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝ 1 ∠GDC.同理，
பைடு நூலகம்
特 折叠问题是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠 别 前后的图形全等. 提 醒
【例1】(2011·昭通中考)如图所示，将矩形纸片ABCD折叠， 使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若 ∠EFC′=125°，那么∠ABE的度数为( )
(A)15°
(B)20°
(C)25°
(D)30°
180 80 50 . 2
4.(2012·宁波中考)如图，AE∥BD，C是BD
上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB =________度. 【解析】∵∠ACD=110°,∴∠ACB=70°. ∵AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=70°.
∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACD=110°,
2.等边三角形的性质和判定 相等 60° (1)性质：①等边三角形的三条边_____，三个角都等于_____. 三条 ②等边三角形是轴对称图形，有_____对称轴. ③三线合一. (2)判定：
等边 ①三个内角都是60°的三角形是_____三角形.
②有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【即时应用】
垂直且平分 (1)定义:___________一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平 分线.
八年级数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性
初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版【本讲教育信息】教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式一一等边三角形的轴对称性及其相关性质。
•重、难点:1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件;2. 等边三角形的概念及其性质。
三.知识要点：1. 等腰三角形(1)等腰三角形是轴对称图形。
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
(2)等腰三角形的性质(等腰三角形的判别法)①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。
(简称“三线合一”)②等腰三角形的两底角相等。
(简称“等边对等角”)③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(简称“等角对等边”) ☆ ( 3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 等边三角形(a)三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
(b)等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60 o(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)【典型例题】例1.已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为( )(A)2, 2, 6 ( B) 3, 3, 4(C) 4, 4, 2 ( D) 3, 3, 4 或4, 4, 2分析：可采用排除法。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2, 2, 6不满足；而3，3，4或4, 4, 2都满足题意。
答：选D。
例2. O为锐角△ ABC的/ C平分线上一点，0关于AC、BC的对称点分别为P、Q,则△ POQ - -定是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形分析：设OP、0Q分别交AC、BC于E、F,由线段的对称轴是它的垂直平分线知：1 1OE_AC，且0E = 0P;同理OF_BC,且OF = 0Q;2 2由角平分线的性质知：0E = OF,贝U 0P= 0Q。
等腰三角形的判定知识讲解
O
A
B
学习目标：
1. 掌握等腰三角形的判定定理.
重点
2、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的
计算和证明。
重点
3、理解勾股定理逆定理的证明方法。 难点
自学课本P89---90，并完成学案----自主学习
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成 “如果------那么-----”形式。
∴ BA=BC（等角对等边） ∵AB=20（12-10）=40
A
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里
大
显
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分 线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
身 (1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、
手 FC之间的关系；
AA
赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
O
A
B
课堂小结
今天你学到了什么?
1、等腰三角形的判定定理：等角对等边。
2、用构造直角三角形证明了勾股定理的逆定理。 3、会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和 证明。
反
馈 1、如图，把一张矩形的纸沿对 D E
C
矫 角线折叠，重合部分是一个等
正 腰三角形吗？说明理由。
400
750
小试牛刀
例1：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从 A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从 B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
C
80° N 北
∴ ∠C = ∠A
B 40°
中考数学 专题19 轴对称与等腰三角形(知识点串讲)(解析版)
专题19 轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1 图形的轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．轴对称的性质：1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。
2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。
轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1.找到关键点，画出关键点的对应点，2.按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】D【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）A．l1B．l2C．l3D．l4【答案】C【详解】观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C．3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；中考数学复习资料D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选D.5．（2019·山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】A【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A.考查题型一画对称轴的方法1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【解析】(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，5），（－2，1）．（1）写出点C 及点C 关于y 轴对称的点C ′的坐标；（2）请作出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′；（3）求△ABC 的面积．【答案】 （1）点C （-1，3）， 点Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为4【详解】（1）点C （-1，3），点C ˊ(1，3)；（2）如图所示；（3）S △ABC ＝3×42×31×22×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．12-⨯12-⨯12-⨯3．（2019·甘肃中考模拟）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于33⨯ABC ∆DEF ∆ABC ∆DEF ∆某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的．DEF∆【答案】见详解.【解析】如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过点的水平线对称，此时C 和重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过点的C F B 对角线对称轴对称，此时和重合，个即为所画.B E 4DEF ∆考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围1．（2013·江苏中考真题）已知点P （3，2），则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是 ，点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是 ．【答案】（－3，2）；（－3，－2）【解析】试题分析：关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P （3，2）关于y 轴对称的点P 1的坐标是（－3，2）。
初中数学知识点精讲精析 等腰三角形的轴对称性
2.5 等腰三角形的轴对称性学习目标1.知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；3．会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力。
知识详解1. 等腰三角形的定理等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴，等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）2.三边相等的三角形叫等边三角形或正三角形。
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4. 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
5. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
6. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
轴对称重点和难点
轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。
重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。
难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。
变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
精品经典 轴对称与等腰三角形 重难点题型汇总140题
轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。
分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N，求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题：在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限，且a为整数.根据要求完成下列各题：(1)a= ；A点坐标为；(2)A点关于x轴对称的点坐标为；A点关于y轴对称的点坐标为； A点关于原点对称的点坐标为；(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为；A点关于直线x=-2对称的点坐标为；A点关于直线y=-3对称的点坐标为；(4)连接OA,将OA绕点O旋转900，则旋转后A点对应坐标为；2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2，使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300，连接BP1，BP2，P1P2，判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250，求∠BAC的度数。
4.如图，已知Rt △ABC,∠ACB=900，AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点，M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点，连接MN 、MC,当MN+MC 最小时，画出M 、N 的位置.5.如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是________；若∠AOB=320，则∠EPF=6.如图,在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =48cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长。
等腰三角形的轴对称性ppt课件
F NE
B
M
C
27.如图,在△ABC中，∠C=900，
∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，
求证:DE=2AB.
A
D
F E
BC
那么∠A＝1_2_0_ °，∠B＝_3_0_ °，∠C ＝_3_0_ °．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少
度？若顶角为50°，
若底角为50°，
则另外两角为65°、65° 则另外两角为50°、80°
3.(1)等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm, 则它的周长为__15_c_m__.
定相等吗?为什么?
连接BD
∵AB=AD
B
∴∠ABD=∠ADB
又∠ABC=∠ADC
∴∠DBC=∠BDC
∴BC=DC
A D
C
13.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP，CP分 别是∠ABC 和∠ACB的角平分线 ,PD∥AB, PE∥AC ，则△PDE的周长是_____cm
5
A
P
B
1 2
3
D
645 C E
例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，
点D在BC上，且AD＝BD，求证: ∠ADB＝∠BAC.
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
∠ADB=180°-2∠B
AD＝BD ∠B=∠BAD
∠BAC=180°-∠B-∠C
B
D
C
AB＝AC
∠B=∠C ∠BAC=180°-2∠B
4.如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE.
若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点之间的距离为 ( D )
A.0.5 km
B.0.6 km
C.0.9 km
11、轴对称与等腰三角形
轴对称与等腰三角形知识点1、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
注意：①等腰三角形的顶角不一定是锐角，但是底角一定是锐角；②钝角三角形也可以是等腰三角形2、等腰三角形的性质①等边对等角：等腰三角形的两底角相等；②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；③等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角角平分线（三线合一）所在直线。
注意：①等腰三角形的性质是指在同一个等腰三角形而言的；②三线合一要注意位置，在等腰三角形中所有的中线、角平分线等并不是合一的。
3、等腰三角形的判定①有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）②三线合一也能作为判定等腰三角形的依据③推论在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半1-9、如图，已知在等腰三角形ABC 中，AC AB =，BC AE //．求证：AE 平分∠DAC ．例2、等腰三角形的判定2-1、如图，OC 平分∠AOB ，OB CD //，若cm OD 3=，则CD 等于.2-2、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 上的高，AE 分别交CB 、CD 于E 、F ，且CF CE =，求证：AE 平分∠BAC .2-3、如图，△ABC 中，∠ACB =90º,CD ⊥BA 于D ，AE 平分∠BAC 交CD 于F ，交BC 于E ，求证△CEF 是等腰三角形。
DC AB 02-5、如图，在△ABC中，AB知识点2、等边三角形1、等边三角形的定义三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形2、等边三角形性质：①每个角都是60°；②轴对称图形；③有3条对称轴。
3、等边三角形的判定定理①三边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形(等腰三角形性质)说课稿 (新版)沪科版-(新版)沪
《等腰三角形》一、说教材分析：1．教材内容:本课是等腰三角形,本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用。
通过等腰三角形的特征反映在一个三角形中等边对等角关系，并且对轴对称图形特征的直观反映（三线合一）,对以后直角三角形和相似三角形学习起到相当重要的作用。
2、教学目标：(1)认知目标：要求学生掌握等腰三角形的特征和三线合一的特征，使学生会用等腰三角形的特征进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法；(2)能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力；使学生初步学会分析几何证明题的思路，从而提高学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力；(3)情感目标：通过亲自动手，发现“等腰三角形两底角相等”和“三线合一”特征，对学生进行数学美育教育。
3、教学重难点:(1)教学重点：等腰三角形两底角相等的特征是本课的重点。
(2)教学难点:等腰三角形“三线合一”特征的运用是本课的难点。
4、教具准备:为了使学生了解这堂课，本节课要求学生自制若干个不同等腰三角形和一般性三角形纸片模型。
二、说教学方法：由于八年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及八年级学生刚刚学习轴对称图形，对轴对称图形的分析相对比较好，再加上八年级学生思维的感官性，所以本课由学生通过翻折等腰三角形纸片去发现等腰三角形的两个特征,也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中,我通过实验观察，采用教具直观教学法，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学。
教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式,培养学生的数形结合的思想。
对于等腰三角形的“两底角相等”和“三线合一”这两个特征，通过让学生动手操作，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形，以及一般三角形的模版，从而让学生逐步通过等腰三角形的轴对称变换探索出相关的特征。
苏科版八年级数学上册轴对称尺规作图专题：轴对称、等腰三角形、将军饮马培优
轴对称尺规作图专题：轴对称、等腰三角形、将军饮马培优一．【轴对称类】： Eg1.【方格类轴对称】：【例】： 作图题:如图是由5个小正方形组成的图形，请你用4种不同的方法分别在每个图中各添加一个小正方形，使所得的图形是轴对称图形。
[来源:学科网]【跟踪练习1】：如图，阴影部分是由3个小正方形组成的图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑1个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．【跟踪练习2】：如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．【跟踪练习3】：如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．Eg2.【格点类轴对称】：【例1】：在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC 和格点三角形DEF ，且ABC ∆和DEF ∆ 关于某条直线成轴对称，请在如图①~⑥所示的网格中画出六个这样的DEF ∆.(每种方案均不相同)【跟踪练习】：请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形与图中三角形成轴对称，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）EABC D【例2】：如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△A 1B 1C 1 ； (2)在直线DE 上画出点Q ，使最小．【跟踪练习1】：如图，在正方形网格上的一个△ABC ． ⑴ 作△ABC 关于直线MN 的对称图形(不写作法)；⑵ 以P 为一个顶点作与△ABC 全等的三角形（规定点P 与点B 对应，另两顶点都在图中网格交点处)，则可作出____________个三角形与△ABC 全等． (3) 在直线MN 上找一点Q ，使QB+QC 的长最短.【跟踪练习2】：.如图,点A,B,C 都在方格纸的格点上,请你再找一个格点D,使点A,B,C,D组成一个轴对称图形．这QC QA样的点D最多能找到个．【跟踪练习2】：. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度.线段AD的两个端点都在格点上，点B是线段AD上的格点，且BD=1，直线l在格线上.(1)在直线l的左侧找一格点C,使得△ABC是等腰三角形(AC<AB)，画出△ABC.(2)将△ABC沿直线l翻折得到△A′B′C′.试画出△A′B′C′.(3)画出点P,使得点P到点D、A′的距离相等,且到边AB、AA′的距离相等.【跟踪练习3】：方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．（1）在图1中画出一个以A、B、C、D为顶点的格点四边形，使其为轴对称图形；（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于20；（3）直接写出图3中△FGH的面积是________________．【跟踪练习4】：.在图示的方格纸中，（1）画出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？（3）在直线MN上找一点P，使得PB+PA最短．（不必说明理由）．★【跟踪练习5】：在如图所示的网格中，线段AB和直线l如图所示：（1）借助图中的网格，在图1中作锐角．．△ABC，满足以下要求：①C为格点（网格线交点）；②AB=AC．（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且PA ＝PB．（友情提醒：请别忘了标注字母！）（3）在图2中的直线l上找一点Q，使得△QAB的周长最小，并求出周长的最小值是．【跟踪练习6】：如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB 和直线MN,点A,B,M,N 均在小正方形的顶点上.(1).在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上), 使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形,点A 的对称点为点D, 点B 的对称点为点C;(2).请直接写出四边形ABCD 的周长和面积.Eg3.【等腰三角形类】：【例】：如图，直线l 1、l 2相交于点A ，点B 是直线外一点，在直线l 1、l 2上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形．满足条件的点C 有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个（图1）B Al（图2）B Al⊥，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、【跟踪练习】：如图，射线AM与BN，MA AB⊥，NB AB点D满足：CPD△为等腰直角三角形，这样的等腰直角三角形可以画（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【例】：图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．A和点B在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可)；(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形(画一个即可)；【跟踪练习】：如图A、B在方格纸的格点位置上．若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（）A．4个B．6个C．8个D．10个l 2BAl 1Eg4.【垂直平分线与角平分线类】：【例】：“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如图），准备建一个燃气控制中心站P ，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。
等腰三角形性质判定等边
A
D
C
同步练习2
判断正误（口答） 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC， ∴ ∠ADC＝∠BDC. (等边对等角) C
A
D
B
请注意哦！
• “等边对等角”必须在同 一个等腰三角形中才成立
• “三线合一”是对等腰三角 形的底边上的高、中线和顶 角平分线而言的。
例1
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80 求∠C和∠A的度数． A
图片欣赏
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高速公路
一.基本概念
等腰三角形
1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC , ABC 就是等腰三角形
顶角
2.等腰三角形的基本要素:
相等的两边叫做腰 另一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角
底角 B 腰
A
腰
C
底边
底角
B
A
C
B
AC=BC 腰：
要记得 哦!!
A
B
C
同步练习1
等腰三角形“三线合一”性质
用几何语言表示为：
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD是角平分线， AD ⊥____ BC ，____=____ BD CD 。 ∴____ （2）∵AB=AC，AD⊥BC， CAD，____=____ BD CD ； ∴∠BAD ___=∠___ （3）∵AB=AC，AD是中线， B BAD = ∠＿ CAD ，____ AD ⊥____ BC ∴∠＿ （4） ∵AB=AC ∴∠B=∠C (等边 对等角）
一、复习 什么叫轴对称图形和轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴 对称图形。这条直线叫做对称轴。 对于两个图形，如果沿一条直线对折后， 它们能完全重合，那么称这两个图形成 轴对称。这条直线就是对称轴。