量子力学中几种表象及其之间的关系

量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。

态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。

微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。

常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。

而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。

关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。

ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。

由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。

那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。

将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。

称{an （t ）}是该状态在Q 表象中的波函数。

如果Q 的全部本征值Q λ组成连续谱，对应本征函数是u λ（x ）则ψ(x,t)按u λ（x ）展开的式子为a λ(t)就是Q 表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。

从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。

表象的概念与几何学中坐标系的概念类似。

一个特定的Q 表象→一个特定的坐标系 本征函数→基矢波函数是态矢量ψ在各基矢方向“分量”→坐标分量)()()()()()(),(t a t a dx t a x u x u dx x u t x m mn nn n n nm m ==⎰=ψ⎰∑∑**δdxx u t x t a n n )(),()(*ψ⎰=2)(),(t a t Q w n n ={})),(,),(),(()(21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=t a t a t a t a n n λλλd t u t a t x )()(),(⎰=ψ写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。

设在x 表象中，算符 作用于波函数ψ(x,t)后得到一新的波函数并设在Q 表象中波函数ψ(x,t)和Φ（x,t ）分别以{a1(t),a2(t),…,an(t),…} 和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)为 本征函数，则可得以 乘等式两边，再对整个空间积分，得{Fmn}就是算符 在Q 表象中的表示。

{Fmn}可排列为一矩阵，Fmn 代表第m 行n 列元素，在 的本征值组成连续谱的情况下，也可看作是矩阵元。

),(),(),(t x xi x F t x ψ∂∂-=Φ∧∑∑∧∂∂-=nn n n n n x u x i x F t a x u t b )(),()()()( ),2,1(,)(),()(),2,1(),()(⋅⋅⋅=∂∂-⎰=⋅⋅⋅==∧*∑m dx x u xi x F x u F m t a F t b n mmn n nmn m 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n n n n mn F F F F F F F F F F 212222111211}{dxx u xi x F x u F )(),()(''λλλλ∂∂-⎰=∧如动量表象中算符 的矩阵元为 坐标表象中，算符 的矩阵元为坐标表象()()()222,,,2i x t V x t x t t m x ψψ⎡⎤∂∂=-+⎢⎥∂∂⎣⎦对),(t x V 不显含时间t ，则),(t x ψ 可以分离变量x 与t()()/,iEt x t ex ψψ-=并设()x n ψ是正交归一的，即()()*nm mn dx x x ψψδ=⎰'')''()'',()'''('dx x x x i x F x x F x x -∂∂--⎰=∧δδ )'()','(x x x i x F -∂∂-=∧δdxx xi x F x F p p p p )(),()(''ψψ∂∂-⎰=∧* 坐标表象的波函数 (),x t ψ给出t 时刻到粒子处于()2,x t dx ψ~x x dx +之间的几率(),x t ψ满足Schrodinger设上述定态方程的解为()(),,1,2,......n n x E n ψ=()()/,n iE t n n nx t C ex ψψ-=∑C n为迭加常数，由初始条件决定。

动量表示 ()/1ipx px eψ=)(x pψ构成正交完备集，体系的波函数),(t x ψ可以用 )(x pψ展开，即()()()*,,pp t dx x t x ϕψψ=⎰则含时Schrodinger 方程的一般解为若()(),0x t x ψϕ==则()()*n nC dx x x ψϕ=⎰动量算符p ix∂=-∂其相应的本征态为P,本征函数为两边同乘()*'p dx x ψ⎰()()()()()**'',,p pp dx x t x dx dp p t x x ψψϕψψ=⎰⎰⎰()()()()()*',,'',p pdp p t dx x dp p t p p p t ϕψψϕδϕ==-=⎰⎰⎰()(),,x t p t ψϕ与有一一对应的关系()(),,x t p t ψϕ若是归一的，则是归一的。

()()()222,,,2i x t V x t x t t m x ψψ⎡⎤∂∂=-+⎢⎥∂∂⎣⎦()()()()()22**2,,,2p p dx x i x t dx x V x t x t t m x ψψψψ⎡⎤∂∂=-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰()()()()2',,'',2pp p i p t p t dp V t p t t m ϕϕϕ∂=+∂⎰Q 表象()()ˆˆˆmmmmmm mmmmmmQ x G x QabaQ bψϕϕϕϕ===∑∑∑∑给出t 时刻粒子的动量在之间的几率，或 是粒子的动量的几率密度。

()2,p t dp ϕ~p p dp +()2,p t ϕ(),p t ϕ满足的方程两边同乘 ()*pdx x ψ⎰111211*********2.........m m n n nm m m Q Q Q a b Q Q Q a b Q Q Q a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭***ˆ:m m n mm n m mmm nmm nmm mnm mnmdx a Q dx b dx a Q b Q ab ϕϕϕϕϕδ===∑∑⎰⎰⎰∑∑∑表象变换**:mn mn n mn mnndx a dx b b ψψϕδ==∑∑⎰⎰S 矩阵式么正的显然，任意波函数 (),n n n nnnx t a b ϕψψ==∑∑设表象“A ”中()12A a a ψ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其基为nϕ算符()()()*ˆmn mL dx x L x x ϕϕ=⎰记 *mn mnS dx ψϕ=⎰则mn n mnS a b =∑或 ()()B A S ψψ=SL L ABS +=所以有且并不失一般性。

参考文献周世勋 《量子力学》 曾谨言 《量子力学》卷Ⅰ 还有百度百科，文库等网上资源()()()()()()()()()()()()()()()()***********ˆˆ'''''''''n n m mn m n m n mmn A n mnm mn A n mnm mn A n nmm mn A n nm m mndx c L d c ddx L dx x x dx x x Ldxdx x x x x Ldx x x Ldx x x S L Sαβαβαβαβϕϕϕϕϕψϕψϕϕψψψϕϕψ===/=/=/⋅=/∑∑⎰∑⎰∑⎰⎰∑⎰∑⎰⎰∑()BL αβ/力学量在“A ”，“B ”中的关系 在A 中 ()*ˆA mn m n L dx L ϕϕ=⎰在B 中 ()*ˆB Ldx Lαβαβψψ=⎰又有**,,n n nnn n n n nnc c dxd d dx ααββψϕϕψψϕϕψ====∑⎰∑⎰。