数学选修2-1知识点整理

若p ⇒q,q p,则p 是q 的充分不必要条件; 若p q,q ⇒p,则p 是q 的必要不充分条件;

若p ⇒q,q ⇒p,则p 是q 的充要条件;

若p q,q p,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 第一章 常用逻辑用语

p q p q ⎧⎪⎨

⎪⎩定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句

1、命题形式：“若,则”.其中叫做命题的条件，叫做命题的结论

2、四种命题的关系：

结论：原命题和逆否命题、逆命题和否命题真假性相同

3、充分条件和必要条件

“若p,则q ”为真命题，则p ⇒q ，就说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

4、充分必要条件的集合判断法

{|()}{|()}A x p x B x q x ==成立，成立

,A

B 若则p 是q 的充分不必要条件；,A 若B 则p 是q 的必要不充分条件；,A B =若则p 是q 的充要条件。

5、简单的逻辑联结词

（1）“且”，∧p q ，有假则假；（2）“或”，∨p q ，有真则真；（3）“非”，⌝p ，真假相反。 6、命题的否定和否命题

命题的否定:条件不变，只否定结论； 否命题：条件和结论都否定。 7、全称量词和全称命题

全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给… 符号：∀ 全称命题：∀x ∈M,p(x)（读作：对任意x 属于M ，有p(x)成立） 全称命题的否定：∃x 0∈M,⌝p(x 0) 8、存在量词和特称命题

存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有的、对某个… 符号：∃ 特称命题：∃x 0∈M,p(x 0)（读作：存在M 中的元素x 0，使p(x 0)成立） 特称命题的否定：∀x ∈M,⌝p(x)

第二章 圆锥曲线与方程

1、曲线与方程： 直角坐标系中，若曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线。

2、椭圆的定义：

我们把平面与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于|12F F |）的点的轨迹叫做椭圆。 两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点.|12F F |叫做焦距。

122||||MF MF a += （2a>2c ） 12||2F F c =

若2a=2c,则点M的轨迹是线段12

F F；若2a<2c，则点M的轨迹不存在。

4、若已知两点求椭圆方程，若椭圆的焦点位置不确定，可设为一般方程221(0,0,)

mx ny m n m n

+=>>≠

5、椭圆上的点到焦点的距离最大和最小的点都是长轴的端点，最大值=a+c,最小值=a-c。

6、直线与椭圆位置关系

联立直线与椭圆方程，代入法消y，得关于x的一元二次方程20

Ax Bx C

++=，求24

B AC

∆=-

若∆>0，则直线与椭圆相交，有两个交点；若∆=0，则直线与椭圆相切，有一个交点；

若∆<0，则直线与椭圆相离，没有交点；

7、弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线和圆）

若斜率为k的直线与椭圆相交于A,B两点，设

1122

(,),(,)

A x y

B x y，则

弦长||

AB==

8、中点弦问题（点差法）

若直线交椭圆

22

22

1

x y

a b

+=于A,B两点，且AB的中点为00

(,)

M x y，则设

1122

(,),(,)

A x y

B x y；

12

12

2

2

x x

x

y y

y

+

⎧

=

⎪

⎨+

⎪=

⎩

12

12

AB

y y

k

x x

-

=

-

把点A,B 代入椭圆方程，得：22

1122121212122222

22221()()()()01

x y x x x x y y y y a b x y a b a

b ⎧+=⎪+-+-⇒+=⎨⎪+=⎩

9、双曲线的定义

把平面与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线. |MF 1|-|MF 2||=2a （0<2a<|F 1F 2|） |F 1F 2|=2c

若2a=2c ，则点M 的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线； 若2a>2c ，则点M 的轨迹不存在。

11、抛物线的定义

把平面与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做准线。

焦点 (,0)2p

F (,0)

2p

F - (0,)

2p F (0,)

2p F -

准线 2

p x =-

2

p x =

2p y =-

2p y =

顶点 原点（0,0）

对称轴 x 轴

y 轴

围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

离心率

e=1

抛物线22(0)y px p =>的焦半径、焦点弦、通径： 焦半径：1||2

p

AF x =+

焦点弦：12||AB x x p =++

通径：垂直对称轴的焦点弦，长度为2p

第三章 空间向量与立体几何

1、共线向量：(0)a b b a b λ≠⇔=

2、向量的数量积：||||cos ,a b a b a b =<>

3、空间向量的坐标运算：

111222121212

121212222

111(,,)(,,)

,,00

||a x y z b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z a x y z λλλλ==⇔=⇔===⊥⇔=⇔++==++ 4、向量法证明平行和垂直

线面平行：直线与法向量垂直；线面垂直：直线与法向量平行； 面面平行：法向量互相平行；面面垂直：法向量互相垂直。 5、异面直线所成角

,a b θ两异面直线所成角为，它们的方向向量为

||cos |cos ,|||||a b a b a b θ=<>=

6、直线与平面所成角

||

sin |cos ,|||||a n a n a n θ=<>=

7、二面角的平面角

||

|cos ||cos ,|||||m n m n m n θ=<>=

8、点到平面的距离