第1讲 最优化理论与方法概述
最优化理论与方法概述
分类：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等
特点：多目标、多约束、多变量、非线性等
应用领域：经济、金融、工程、科学计算等
最优化问题的分类
线性规划问题
整数规划问题
动态规划问题
非线性规划问题
组合优化问题
03
最优化理论的基本概念
函数的方向导数和梯度
牛顿法的基本原理
迭代过程收敛于函数的极小值点或鞍点
牛顿法适用于非线性、非凸函数的最优化问题
牛顿法是一种基于牛顿第二定律的数值优化方法
通过选择一个初始点，并迭代地沿着函数的负梯度方向进行搜索
拟牛顿法的基本原理
拟牛顿法的基本思想
拟牛顿法的迭代过程
拟牛顿法的收敛性分析
拟牛顿法的优缺点比较
05
最优化方法的收敛性和收敛速度
未来发展趋势与展望
最优化方法在深度学习中的应用
最优化方法在深度学习中的未来发展
最优化方法在深度学习中的优势与挑战
最优化方法在深度学习中的应用案例
深度学习中的优化问题
最优化方法在金融工程中的应用
投资组合优化：利用最优化方法确定最优投资组合，降低风险并提高收益
风险管理：通过最优化方法对金融风险进行识别、评估和控制，降低损失
极值点：函数在某点的函数值比其邻域内其他点的函数值都小或都大
最优值点：函数在某点的函数值比其定义域内其他点的函数值都小
最优化理论的基本概念：寻找函数的极值点和最优值点，使函数达到最小或最大值
函数的凸性和凹性
凸函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的下方
凹函数：对于函数图像上的任意两点，连接它们的线段都在函数图像的上方
最优化理论与方法
最优化理论与方法什么是最优化？最优化是一种以最佳结果为目标的技术。
它的主要任务是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
本文将从定义、方法、应用等几个方面来探讨最优化理论与方法。
一、简介最优化是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学。
它是一种数学理论，用于求解多变量最优化问题的数学模型，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
它的思想是：希望能够将一个复杂的解决问题分解成若干简单的子问题，以便更好地求解。
最优化理论是一种科学，它涉及到多重条件下的变量求值，以实现最大化或最小化某个系统的特定性能或目标。
最优化理论可以应用于各种工程领域，如机械、航空、船舶、结构、动力、电力能源、汽车等。
二、原理最优化方法基于一组影响结果的变量，以及它们的限制条件。
主要的最优化方法可以分为精确法和近似法。
精确法求解非线性规划问题，其最终结果非常精确，但求解它的计算代价更高。
而近似法的最终结果仅大致最优，但求解计算代价较低，广泛用于工程优化设计。
最优化方法解决的问题可以分为有约束和无约束两大类。
有约束优化问题指系统内各变量受到某些限制条件的制约。
而无约束优化问题不需要考虑任何限制条件，只要达到优化目标即可。
三、应用最优化方法在工程和科学领域中有着广泛的应用，并且日益增多。
在机械设计领域，可以采用最优化方法优化设计结构的参数和性能，以更好地满足设计要求；在空间控制领域，可以采用最优化方法优化机械系统的控制参数；在机器人规划领域，可以采用最优化方法解决运动规划问题；在多异构系统优化设计领域，可以采用最优化方法综合优化系统的性能等。
最优化的应用不仅仅限于以上领域，还广泛应用于其他领域，如计算机图形学、信号处理、投资组合管理、生物学、医学、金融、科学计算等。
四、结论最优化理论与方法是一种研究变量空间中满足限制条件下实现最大和最小化的解决问题的科学，它的主要目标是寻找最佳的解决方案，以最小的代价来实现目标。
最优化理论与方法综述
最优化理论与方法综述优化理论是以数量分析为基础，以寻找具有确定的资源、技术约束的系统最大限度地满足特定活动目标要求的方案为目的，帮助决策者或决策计算机构对其所控制的活动进行实现优化决策的应用性理论。
优化理论又称为数学规划，依据优化理论对具体活动进行数学规划的方法成为优化方法。
在中国，优化理论通常被划为运筹学的范畴，所以在有些书籍中，线性规划理论被称为运筹学的一个分支。
优化理论的主要分支结构为：优化理论最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。
最优化问题数学模型的一般形式为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧++=≥===,,,2,1,0,,,2,1,0..,zoptpmmixcmixct sxfii无约束优化问题的解法●解析解法●数值解法：最速下降法；Newton法；共轭梯度法；拟Newton法；信赖域法约束优化问题的解法●解析方法：Lagrange法●数值解法：●外罚函数法●内障碍罚函数方法●广义Lagrange乘子法●序列二次规划方法线性规划的解法：●单纯形法：小型●对偶单纯形法● 内点算法：大型整数规划的解法：● 分支定界法● 割平面法求解非线性规划问题⎩⎨⎧≤≤≤vubx vlb x G t s x F 0)(..)(min 的MATLAB 命令为1)x=constr (‘fun’,x0)2)x=constr(‘fun’,x0,options)3)x=constr (‘fun’,x0,options ,vlb,vub)实例：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x 万元, 则可得效益x 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.设变量i x 表示第i 年所使用的资金数,则有 4,3,2,1,04.5321.121.1331.14841.121.14401.1400..max 43213212114321=≥≤+++≤++≤+≤+++=i x x x x x x x x x x x t s x x x x z i建立函数文件FUN44.Mfunction [f,g]=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;键入命令x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];options=[];x=constr('fun44',x0,options,vlb,vub)fun44(x)得到1.438.152,2.126,2.104,2.864321=====z x x x x。
最优化理论与方法概述
x 的二阶偏导
2 f X 2 f X x2x1 xnx1 2 f X 2 f X 2 x n x 2 x2 2 2 fX f X 2 x 2 x n x n
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ， 恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题的整体最优解。
) 定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x* ，使得对于 * 一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x *是最优化问题 的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
例：求目标函数 f ( x) x12 x22 x32 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。 f X f X 解：因为 2 x1 2 x2 2 x2 2 x1 2 x3 3 x
1
x2
f X 2 x3 2 x2 x3
f x f x0 f x0 ( x x0 )
T
1 ( x x0 )T 2 f x0 ( x x0 ) o(|| x x0 ||2 ) 2
4、极小点及其判定条件
对于一元连续可微函数 ( ) ，有如下最优性条件：
(i )
（一阶必要条件） 若 *为 ( ) 的局部极小点，则 ( * ) 0 ；
T 2
t f X 0 tp p
T
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
1 定理：设 f : Rn R具有二阶连续偏导数。则：
最优化理论与方法第一章资料
minf (x) s.t.g(x)0,
xD.
目标函数 约束函数 有限点,决 集策变量
7
1.1 组合优化问题
组合优化问题的三参数表示：
(D,F, f ) D:决策变量定义域
Fx| xD,g(x)0,可行域 ,有限点集
f :目标函数 xF:可行解（点）
x :最优解，如x果 F, f (x)minf (x)| xF.
其中
(1.4) 总 路 长 (1.5) 只 从 城 市 i出 来 一 次 (1.6) 只 走 入 城 市 j一 次
, n , (1.7) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路
(1.8) 决 策 变 量
dij:城 市 i与 城 市 j之 间 的 距 离 , s :集 合 s中 元 素 的 个 数 ，
从算法中选取一种对于所研究的问 题来说是 基本操作 的原操作，以该 基本操作 在算法中重复执行的次数 作为算法运行时间的衡量准则。
1.3 计算复杂性的概念
算法计算量的度量之例——TSP枚举法
计算量的统计： 城市数n 第一城市为始终点，计算一条路径（ 1,i2, ,in,1） 长度的基本运算 为两两城市间距离的n个数求和,共有(n1)!条路径,
（3）更新被除数和除数：m←n，n←r，转(1)。
解二.
开始
输入m、n
r=m%n
r=0?
是
否
m←n，n←r
输出n
解三.
Euclid(int m, int n) { int r; while(n!=0)
{ r=m%n; m=n; n=r; }
printf(“%d”, m) }
1.3 计算复杂性的概念
1．有穷性 对于任意一组合法输入值，在 执行有穷步骤之后一定能结束，即： 算法中的每个步骤都能在有限时间内完成；
最优化理论与方法第一章
约束条件的处理方法
转化法
将约束条件转化为无约束的形式，通过引入新的变量或等价变换，将约束问题转化为无 约束问题求解。
参数法
将约束条件作为参数引入目标函数中，构造新的目标函数，通过求解新的目标函数得到 最优解。
约束优化问题的求解方法
拉格朗日乘子法
通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转 化为无约束优化问题，通过求解无约束优化 问题得到最优解。
最优化问题广泛应用于各个领域，如 经济、工程、科学计算等，是解决资 源分配、生产调度、投资决策等实际 问题的关键工具。
分类
线性与非线性
根据目标函数是否为线性函数，可以 分为线性最优化和非线性最优化问题 。线性最优化问题是指目标函数和约 束条件都是线性函数的问题，而非线 性最优化问题则是指目标函数或约束 条件中至少有一个是非线性函数的问 题。
最优化理论与方法在各个领域都有广 泛的应用，如经济、金融、工程、物 流等。随着科技的发展和大数据时代 的到来，最优化理论与方法在数据挖 掘、机器学习等领域也发挥着越来越 重要的作用。
掌握最优化理论与方法对于提高个人 和组织的竞争力具有重要意义，也是 当前社会对高素质人才的基本要求之 一。
章节概述
本章将介绍最优化理论与方法的基本概念、原理和应用，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整 数规划等。
03
最优化方法概述
一阶方法：梯度法、最速下降法等
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通过沿着负梯度的方向搜索，寻找函数的最小值。适用于目标函数连续且可微的情况。
最速下降法
利用目标函数的负梯度方向作为搜索方向，逐步逼近函数的最小值点。适用于凸函数或非凸函数，但需要满足一 定的收敛条件。
二阶方法：牛顿法、拟牛顿法等
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论是一种用于解决实际问题的有效方法。
它可以帮助我们找到解决实际问题的最佳解决方案。
本文将介绍最优化理论的基本概念，以及它的特点和应用。
最优化理论的基本概念是：最优化理论旨在求解一个或多个变量的最优解，使得系统的某种目标函数的值达到最优。
最优化理论的目标函数可以是最大化或最小化函数。
最优化理论具有非常强大的表达能力，可以通过不同的方式来求解最优解。
最优化理论具有三个主要特点：第一，它拥有解决问题的高效率和精确性；第二，它可以有效地处理多变量优化问题；第三，它可以通过数学模型有效地实现最优解的有效求解。
最优化理论应用非常广泛，它可以应用于工程，金融，计算机，经济，生物技术，社会科学等。
在工程领域，最优化理论可以用来解决资源分配问题，能源分配问题，分布式计算问题和工程优化问题；在金融领域，它可以用来解决财务优化问题，保险业绩优化问题和金融模拟优化问题；在计算机领域，它可以用于解决计算机视觉问题和搜索算法等；在经济领域，它可以用于解决交易问题，价格优化问题，风险优化问题，以及经济模型优化问题；在生物技术领域，它可以用于研究蛋白质结构及其疾病发病机制；在社会科学领域，它可以用于研究社会现象及其规律。
在任何领域，最优化理论都拥有以上优势，可以提高系统性能和精确度，特别是在现代计算机技术竞争激烈的时代，最优化理论的应用更加广泛。
最优化理论可以有效地满足多个变量的最佳解，以提高系统性能。
综上所述，最优化理论是一种有效的求解多变量优化问题的理论，能够有效地提高系统性能和精确度。
它具有高效率，准确性，可扩展性，应用范围广泛等优点。
最优化理论是一种在许多领域，尤其是工程，金融，经济，计算机，生物技术和社会科学领域都有广泛应用的理论和方法。
它的应用已经使系统的性能和精确度得到了极大的提升，为解决实际问题提供了有效的理论和方法。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是研究如何找到使某个目标函数取得最大值或最小值的问题。
最优化理论和方法是解决最优化问题的一类数学方法。
随着现代科学技术的发展，最优化理论和方法在工程、经济、管理等领域有着广泛的应用。
最优化问题可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指目标函数只受自变量的约束，而约束问题则在自变量取值的同时还受到一定的约束条件。
最优化问题的数学描述为：\begin{align*}&\text{最小化} \quad f(x)\\&\text{约束条件} \quad g(x) \le 0\\&\quad\quad\quad\quad h(x) = 0\\\end{align*}其中，f(x)是目标函数，g(x)是不等式约束条件，h(x)是等式约束条件，x是自变量。
最优化问题的解即为使目标函数取得极小值或极大值的自变量值。
解的存在性和唯一性与目标函数和约束条件的性质有关。
解的性质可以通过最优性条件来判定，最优性条件包括一阶导数条件和二阶导数条件。
最优化理论和方法可以分为数学规划方法和数值优化方法。
数学规划方法是一类用数学方法求解最优化问题的方法。
其中，线性规划是最基本的数学规划方法之一。
线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题具有特殊的结构，可以通过线性规划算法高效地求解。
线性规划的应用非常广泛，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
非线性规划是一类目标函数或者约束条件中存在非线性项的最优化问题。
非线性规划问题的求解相对更加困难。
常用的非线性规划算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是一类目标函数或者约束条件中自变量取整数值的最优化问题。
整数规划问题具有离散性的特点，求解整数规划问题比线性规划问题更加困难。
常用的整数规划算法包括枚举法、分支定界法和割平面法等。
数值优化方法是一类用数值计算方法求解最优化问题的方法。
数值优化方法主要分为直接搜索法和迭代法。
最优化基础理论与方法
目录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解方法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解方法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究方向 (3)2.2非线性规划求解 (4)2.2.1一维搜索 (4)2.2.2无约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5二次规划 (5)2.2.6非线性规划算法未来研究方向 (5)2.3组合规划求解方法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 网络流规划 (7)2.4多目标规划求解方法 (7)2.4.1 基于一个单目标问题的方法 (7)2.4.2 基于多个单目标问题的方法 (8)2.4.3多目标规划未来的研究方向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究方向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平面算法 (9)2.6.2 凹性割方法 (9)2.6.3 分支定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究方向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电力系统中的应用及发展趋势 (12)3.1 电力系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电力系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电力系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解方法 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种优化问题的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
最优化理论与方法1(2014-简版)甄选范文
最优化理论与方法1(2014-简版)《最优化理论与方法》讲义(上)第一章绪论1.1 学科简介最优化这一数学分支，为这些问题的解决提供了理论基础和求解方法。
最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科。
1.1.1 优化的含义优化是从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。
（1）来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程；（2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示)或极小(以min表示)的过程。
1.2 发展概况第一阶段—人类智能优化第二阶段—数学规划方法优化第三阶段—工程优化第四阶段—现代优化方法1.3研究意义研究意义：最优化在本质上是一门交叉学科，它对许多学科产生了重大影响，并已成为不同领域中很多工作都不可或缺的工具。
应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、交通运输、国防工业以及科学研究等诸多领域。
总之，它是一门应用性相当广泛的学科，讨论决策的问题具有最佳选择之特性。
它寻找最佳的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。
1.4 示例例1 资源分配问题某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为P万元，B产品单位价格为B P万元。
每生产一个单位AA产品需消耗煤a吨，电E a度，人工L a个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤C b吨，电E b度，人工L b个人日。
C现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。
分析：(1)产值的表达式；(2)优化变量确定：A 产品x，B 产品B x；(3)优化约束条件：A①生产资源煤约束；②生产资源电约束；③生产资源劳动力约束。
例2 指派问题设有四项任务1B 、2B 、3B 、4B 派四个人1A 、2A 、3A 、4A 去完成。
每个人都可以承担四项任务中的任何一项，但所消耗的资金不同。
设i A 完成j B 所需资金为ij c 。
如何分配任务，使总支出最少?分析：设变量⎪⎩⎪⎨⎧=任务完成不指派，任务完成指派j j i ij B A B A x 0,1则总支出可表示为：ij i j ij x c S ∑∑===4141数学模型：ij i j ij x c S ∑∑===4141min∑===414,3,2,1,1..j iji xt s∑===414,3,2,1,1i ijj x{}4,3,2,1,,1,0=∈j i x ij1.5 最优化的数学模型最优化的数学模型是描述实际优化问题目标函数、变量关系、有关约束条件和意图的数学表达式，并能反映物理现象各主要因素的内在联系，是进行最优化的基础。
数学中的优化理论与最优化方法
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
第1讲最优化理论与方法概述
第1讲最优化理论与方法概述
优化理论与方法是科学技术、工程技术及社会经济领域最基本的理论与方法之一，它包括有效管理信息、数据资源、计算资源、计算方法及其运用于完成一定任务的整个过程。
优化理论与方法的基本特征是求解问题的最优解，即能够以最少的代价实现最大的效果。
因此，这门学科也有时被称为优化算法、优化方法、最优化理论与方法等。
优化理论与方法一般涉及到分析、求解、估算、定制和能力提升等基本活动。
它主要是通过分析、提取、重新组合有效信息，以最少的费用实现最大效益，系统地实现数据决策的动态过程，最终达到给定目标的一种科学过程。
优化理论与方法的应用范围十分广泛，既可以应用到工业管理、经济管理等领域，也可以应用到物理、化学、生物和生态学中，甚至可以用于地理系统分析和空间规划等方面。
在求解优化问题时，可以采取数学优化方法，也可以采用模拟优化方法，或利用一组算法和经验性算法等复杂技术来实现多目标的最优化。
常见的优化方法包括数学规划、非线性规划、半定规划、综合规划、多目标优化法、博弈论、动态规划、多变量优化及经验性算法等，这些方法可以根据具体问题，选择最合适的解决办法。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法，是一个非常重要的和有效的研究主题，它涉及到多个领域的优化问题，从物理场景到社会科学、从工程科学到金融工程。
本文将重点介绍关于最优化理论与方法的基本概念、研究方法、应用前景以及存在的问题。
一、最优化理论与方法的基本概念最优化理论与方法，是一种有效的求解优化问题的研究方法。
它通过将优化问题转变为一种数学模型，来求解该最优解。
最优化理论与方法可以应用于许多领域，比如计算机图形学、自然语言处理、组合优化、多目标优化等领域的优化问题。
最优化问题的求解主要分为两个方面，即理论方法和数值方法。
理论方法可以通过分析和构造最优化模型来实现最优化的求解，而数值方法则是通过计算机自动运行穷举、搜索算法等来实现最优化求解。
二、最优化理论与方法的研究方法为了有效地解决最优化问题，需要采用合理的研究方法，包括： 1、建立优化模型：首先要建立优化模型，即根据实际情况，通过数学技术来构建相关的优化模型。
2、优化分析:建立优化模型后，可以通过分析模型中的各个变量，以及其对最优解的影响，从而寻找最优解。
3、优化求解：在优化分析中，有时可以使用极小值法或者极大值法来求解最优解。
4、优化实施：最后，可以将所得到的最优解，通过合理的实施方案，实施在实际应用中，从而获得更高的效果。
三、最优化理论与方法的应用前景最优化理论与方法的应用越来越广泛，对科学技术的发展也起到了极大的作用。
未来最优化理论与方法在许多领域都将发挥重要作用，有可能被应用在社会科学领域，如决策分析、规划决策、社会网络分析、多级规划等社会科学问题上；在可持续发展领域，优化理论与方法也可以被用于多种可持续发展问题，如资源有效分配、生态系统服务价值评估等；在军事问题上，最优化理论与方法可以被用于抗衡战争、复杂武器装备配置等问题，等等。
四、最优化理论与方法存在的问题最优化理论与方法还存在一些问题，包括：1、运算复杂度：最优化理论与方法往往需要计算较大量的数据，运算复杂度较高。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法概述最优化理论与方法是研究如何在给定约束条件下找到最优解的数学学科。
这个最优解是指在一定条件下使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
最优化理论与方法可以应用于不同领域的问题，如工程、经济、管理等，解决各种实际问题。
最优化问题的基本形式可以表示为：\begin{align*}&\text{minimize}\quad f(x),\\&\text{subject to}\quad g_i(x)\leq 0, \quad i =1,2,\ldots,m\\&\phantom{\text{subject to}}\quad h_i(x) = 0, \quad i =1,2,\ldots,p\end{align*}\]其中，$x$是优化变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_i(x)$是约束条件函数，$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的个数。
无约束优化方法是在没有约束条件的情况下寻找目标函数的最优解。
其中包括以下几种方法：1.法：由于目标函数可能是复杂的、非线性的，法通过遍历解空间的不同点来找到取得最优解的点。
法的效率通常取决于算法的选择和范围的设定。
2.等式约束的优化方法：当目标函数满足一些特定的条件时，可以使用这种方法来找到最优解。
这种方法通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来确定最优解。
3.迭代法：迭代法是最常用的优化方法之一，它通过从初始点开始，不断迭代求解优化问题，直到满足终止条件。
常用的迭代法包括梯度下降法和牛顿法等。
约束优化方法主要是在满足一定的约束条件下求解最优解。
其中包括以下几种方法：1.等式约束的优化方法：当目标函数存在等式约束条件时，可以使用拉格朗日乘子法或者KKT条件法来求解最优解。
这种方法通过引入拉格朗日乘子来将等式约束转化为无约束优化问题。
2.不等式约束的优化方法：当目标函数存在不等式约束条件时，可以使用罚函数法、投影法或者序列二次规划法来求解最优解。
最优化理论与方法
最优化理论与方法
一、优化理论
1、数学优化理论
数学优化理论是指从数学角度研究如何求解优化问题的理论，也就是
说如何找到满足约束条件的最优值，以最大化或最小化目标函数的值。
它
是数学分析和应用数学解决实际问题的理论基础。
数学优化理论主要研究
的内容包括求解约束条件的最优值的方法和算法、算法的优劣比较和选择、特殊问题的特性、最优控制理论、非约束优化问题、多目标优化问题等。
2、随机优化理论
随机优化理论是指通过有限的或无限的随机试验来求解模糊优化函数
的数学模型。
它研究的是过程中探索函数的估值，以及试验的技术问题，
例如：优化的路径，调整规则，控制收敛精度，弱迭代全局，复杂度分析
等等。
使用随机优化的方法可以实现对函数局部和全局极值的多次和对比，而且复杂度比较低，不易受到初始解的影响，因而被广泛应用于进行复杂
优化问题的求解。
3、迭代优化理论
迭代优化理论是基于迭代法来解决优化问题的理论。
最优化理论与方法
最优化理论与方法最优化理论与方法是理论和实践科学领域研究的重要内容，它关乎社会发展和科技进步。
最优化理论与方法旨在求解使某一系统所有参数和状态获得最优结果的技术。
它以实际应用为目的，通过模型建立、数学求解、数据分析和实验验证，以达到最佳的目的。
最优化理论与方法涉及到各种学科，可以归纳为几个方面。
1. 优化模型：优化模型是对求解问题的数学化抽象的表达，它反映了系统的状态、参数和决策，以及它们之间的相互作用。
所有优化问题均可以建立为优化模型，例如线性规划、非线性规划和多目标规划模型等。
2. 优化算法：优化算法是一种数学方法，可以在解决问题时寻求最优解。
常用的优化算法有梯度下降法、模拟退火法、遗传算法和模糊系统等。
3. 优化软件：优化软件是一类用于计算和求解优化问题的计算机程序，能够快速有效地查找最优解。
常用的优化软件有MATLAB、Scilab和GAMS等。
4. 优化实验：优化实验是针对优化问题进行实际测试，以确认最优解是否真正最优，同时还可以考察优化算法和软件的稳定性、可靠性和准确性。
以上就是最优化理论与方法的基本内容，它们贯穿了优化问题的整个求解过程。
它们的应用已经广泛渗透到社会经济、医药和环境、军事和其他领域中，可以说最优化理论与方法是当今科学技术发展进步的重要支撑。
最优化理论与方法在实际应用中存在一些问题。
首先，解决问题需要在模型、算法和软件上进行大量的工作，这需要花费大量的时间和精力；其次，优化模型本身可能存在缺陷和不完善的地方，这可能导致求解过程中存在误差或失败；最后，最优解的可靠性和准确性也受到实验的限制，有时结论可能不能完全证明。
为了解决上述问题，优化理论与方法需要传承和发展，更多的研究广泛考虑各种因素，创研新模型、新算法和新软件，更新优化实验，以求解我们面临的复杂问题。
此外，优化理论与方法的发展也将促进科学技术的发展，与社会发展紧密相连，为人类社会发展提供更多的可能性。
综上所述，最优化理论与方法是当今科学技术发展和社会发展的重要组成部分，它贯穿着整个解决问题的过程，如果要解决复杂问题，需要不断更新和发展，才能获得最优解和最终收获。
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法是应用数学中最重要的一个学科，也是数学应用的
一个重要组成部分。
最优化理论的研究主要是针对一定的目标函数（即要
达到的期望值），通过其中一种有效的算法或方法，来找到最优解或最优
化解（即最大值或最小值）。
最优化理论与方法分为三类：算法，凸优化，无约束优化。
一、算法：
算法是最优化理论的基础，是可以由人或计算机完成的一系列有限次
数的操作，用来解决特定的数学问题。
算法可分为数值算法、梯度下降算法、增量型算法、收敛算法、动态规划算法、局部算法、物体检索算法等。
二、凸优化：
凸优化是求解优化问题的一类重要技术，通过求解被称为凸集的函数
的极值来求解优化问题。
凸优化的重要方法包括拉格朗日算法、随机化算法、凸规划等。
三、无约束优化：
无约束优化是求解优化问题的一类重要技术，主要用于求解没有任何
约束条件的最优解，其中常见算法有弗拉马克（Frank-Wolfe）算法、拉
格朗日拉斯特（Lagrangian Relaxation）算法、新康登（Newton-Cotes）算法和模拟退火（simulated annealing）算法。
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CUMT
1.1 最优化方法的形成和发展
内容章节
第一讲 最优化理论与方法概述
第二讲 线性规划及Matlab求解
第三讲 无约束最优化问题与Matlab求解 第四讲 约束最优化问题的最优性条件 第五讲 约束最优化数值算法 第六讲 启发式算法（模拟退火、遗传算法）
数学规划法
通过直接实验，进行结果的比较，获得函数的极值或问题的 实验法 最佳参数。 把同一问题的许多可能的典型解进行估计、研究分析，以确 情况研究法 定其最优解。
CUMT
主要内容
1.1 最优化方法的定义 1.2 最优化问题数学模型的构成 1.3 最优化问题的分类 1.4 最优化方法的解题步骤 1.5 广义最优化方法的种类 1.6 最优化方法效果举例
CUMT
或
2
2
3.凸集与凸函数 (在无约束规划中常用到，具有很好的极值性) (1) 凸集 对任意的
线性规划：目标函数和约束条件均为线性函数关系的最优化 问题，即 f ( X )与g ( X ) 都是一次函数； 非线性规划：目标函数和约束条件中有一个或一个以上非线 性关系函数式的最优化问题。
按目标函数的个数分
单目标最优化问题：只有一个目标函数的最优化问题； 多目标最优化问题：含有多个目标函数的最优化问题。
1.1 最优化方法的形成和发展
生活中常见的最优化问题 测量云龙湖水深的最大值问题 自驾游旅行的最优路线 城市公共自行车租赁点最佳布局问题 城市交通信号灯配时问题 飞机场停机位分配的问题 月球探测器着陆轨道控制
最优化方法与运筹学的区别与联系
① 内容不同。最优化方法包括数学规划、最优控制和计算数学， 运筹学主要包含数学规划问题。 ② 侧重点不同。最优化方法侧重于算法，运筹学侧重于数学建 模。
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针对决策变量x1, x2,…xn来进行分类
连续型
离散型
线性规划 LP (有、无约束)
非线性规划NLP (有、无约束)
整数规划
动态规划
网络与 组合优化
泛函极值 最优控制问题
最优化方法 解析方法 数值算法 启发式算法
精确算法
CUMT
主要内容
1.1 最优化方法的定义 1.2 最优化问题数学模型的构成 1.3 最优化问题的分类 1.4 最优化方法的解题步骤 1.5 广义最优化方法的种类 1.6 最优化方法效果举例
CUMT
1.1 最优化理论与方法的形成和发展
公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳 比例为1.618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。 在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。 如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代 城堡几乎都建成圆形的原因。
x1 , x2 , x3
min f ( X ) = 20x1 + 90 x2 + 840x3
CUMT
该数学模型的最优化求解是一个很简单的数学问题，其最 优解为：
* * 其最优值是： x1 = 150 x2 = 100 * x3 = 50
优化下料方法与原顺序下料方法相比较，有明显效果： 料头减少为129000-54000=75000（mm），节约钢材58%
f x 分量的偏导数都存在， 0 i 1, 2,..., n 则称函数u=f(x)在
x0 x1 0 , x2 0 ,..., xn 0
T
处对于自变量 x x1 , x2 ,..., xn 的各
T
该点的一阶导数。
xi
CUMT
(1) 梯度
等式约束 不等式约束
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min f ( X ) = ( x - a)2 + b
x* = a
f (X *) = b
f (X )
g( X ) = x = c x* = c
*
b
( x - a) 2 + b
0
2
a
f ( X ) = (c - a) + b
x= c
x
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按所包含方程式的特性分
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利用古典的微分学、变分学及拉格朗日乘子法等数学工具， 求出函数极值。对于高次非线性问题等复杂问题求解困难。 解析法 利用函数局部区域的一些特性及一些点的函数值等条件，通 数值法 过数学迭代程序进行计算，逐步调优并逼近函数的最优点。
用几何作图的方法，画出图形，从图形上直接观察，找出函 数的极值点。只适用于容易作图的较简单问题。 图解法
2 f x0 2 f x0 ... x1x2 x1xn 2 f x0 2 f x0 H x ... 2 x2 x2xn 2 f x0 2 f x0 ... 2 xn x2 xn
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了解、分析待最优化的问题
建立数学模型
（性能指标、设计变量、目标函数、约束条件）
选择最优化方法 编写计算程序
（给出初始数据） 上机计算 输出 最优化 结果
结果检讨与决策
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主要内容
1.1 最优化方法的定义 1.2 最优化问题数学模型的构成 1.3 最优化问题的分类 1.4 最优化方法的解题步骤 1.5 广义最优化方法的种类 1.6 最优化方法效果举例
f (X *)
- f (X )
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*
X*
X
目标函数
f (X )
最优化问题数学模型的典型形式
CUMT
主要内容
1.1 最优化方法的定义 1.2 最优化问题数学模型的构成 1.3 最优化问题的分类 1.4 最优化方法的解题步骤 1.5 广义最优化方法的种类 1.6 最优化方法效果举例
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按约束条件有无及其约束式的性质分
CUMT
说明和提示
节约的比例数大，效果明显。有的问题，如果基数大，即 便节约费用百分之一二，也很有意义，如空间技术； 有一些问题，在求解之前或求解过程中，还要用到数学优 化方法以外的其他优化方法，如实验法、情况研究优化， 甚至设计者的经验与技能。在前提限制条件确定和总体方 案优选以后，才能用数学优化的方法进行参数的优化设计。 一种数学方法可以求解一个最优化问题；而一个最优化问 题可以先后用几种数学方法找到最终的最优值。即其数学 方法与求解的问题不应视为只有唯一的对应性。为了提高 运算速度和求解效果，对有的问题可以相互联系地选用具 有不同特点的方法。
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1.2 最优化方法的定义和数学模型
1.2.2 最优化方法的数学模型
设计向量Biblioteka 目标函数f (X )
性能指标
约束条件
CUMT
最优化方法数学模型基本要素
性能指标
目标函数
约束条件
设计变量
CUMT
约束条件
CUMT
约束条件
不等式约束将设计空间划分为两部分，一部分满足约束条 件，另一部分不满足约束条件。
CUMT
数学预备知识
1. 向量与范数 设向量 x x1 , x2 ,..., xn , y y1, y2 ,..., yn
T
范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛 函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内 的所有向量赋予非零的正长度或大小。用
-范数
x
表示
CUMT
最优化方法 列出所有可能的下料方案，择其方案中料头最短的3种设 计成如表的优化下料方案：
（mm） 规格 方案
1080
1040
根数（根）
970
每根棒料料头长度
I II III
0 0 2
1 0 0
2 3 0
CUMT
3000-1×1040-2×970=20 3000-3×970=90 3000-2×1080=840
CUMT
1.1 最优化方法的形成和发展
参考书籍
1. 最优化理论与方法，袁亚湘，孙文瑜编，科学出版社， 1997年版。 2. 运筹学与最优化方法，吴祈宗，侯福均编，机械工业出版 社，2013年版。 3. 最优化方法与最优控制，王晓陵，陆军编，哈尔滨工程大 学出版社，2008年版。 4. 最优化计算方法及其MATLAB程序实现，马昌凤等编，国 防工业出版社，2015年版。
(海塞矩阵)
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(3) 多元函数的Taylor展开 一阶Taylor展开
1 T f x0 x f x0 f x0 x xT 2 f x0 x x 2 0 1 二阶Taylor展开 1 T f x0 x f x0 f x0 x xT 2 f x0 x 0 x 2 1 T f x0 x f x0 f x0 x xT H x0 x 0 x 2
第七讲 最优控制理论
CUMT
主要内容
1.1 最优化方法的形成和发展 1.2 最优化问题的定义和数学模型 1.3 最优化问题的分类 1.4 最优化方法的解题步骤 1.5 广义最优化方法的种类 1.6 最优化方法效果举例
CUMT
1.2 最优化方法的定义和数学模型
1.2.1 最优化方法的定义 最优化方法即是解决最优化问题的方法，主要运用数学方法研究各种 系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 最优化问题是指在一定的约束条件下，决定某个或某些可控制的因素 应有的合理取值，使所选定的目标达到最优的问题。 最优化方法主要研究数学规划和最优控制两类问题的求解方法。 Optimal method，Optimization of methods，Optimization， Optimum…“Opt”