第五章统计量及其分布复习自测题

4、设随机变量 X 与 Y 都服从标准正态分布，则（ （A） X + Y 服从正态分布； （C） X 2 , Y 2 都服从 χ 2 分布；
（B） X 2 + Y 2 服从 χ 2 分布； （D） X 2 Y 2 服从 F 分布。
__
5、设 X 1 , X 2 ," , X n 是总体 N ( µ , σ 2 ) 的一样本， X 为样本均值， 记
1
二、填空题 1、 X 1 , X 2 ," , X n 是总体 X 的简单随机样本的条件是：
__
。
2、设 X 1 , X 2 ," , X n 是取自于 0—1 分布b(1, p) 的样本， X 为样本均值， S 2 为样本方 差，则X1 , X2 ,…, Xn的概率分布为 ； E( X ) =
2 (9) = 19.0228 ，故 P { S > 2.908} ≈ 0.025 ； 而 χ 0.975
（2）因为
X −µ S2 n
~ t ( n − 1) ，得
X −4 ~ t (9) ，所以 2.5 10
P{ X > 6.569} = P{
X −4 > 3.2496} ，而 t0.995 (9) = 3.2498 ，故 P{ X > 6.569} ≈ 0.005 2.5 10
__
， D( X ) =
16
__
， E(S 2 ) =
。 时，
3、设 X 1 , X 2 ," , X 17 是取自总体 N (2,1) 的样本，而 Y = ∑ ( X i − 2)2 ,则当 C =
i =1
C ( X 17 − 2)
Y 服从自由度为
的 t 分布。 时 P { X ≤ λ } = 0.05 。 。
2、 设电子元件的失效时间服从均值为 2000/3 小时的指数分布， 今独立测试了 5 个元件， 记录它们的失效时间，求没有元件在 800 小时前失效的概率。 3、设 X ~ N (0,1) ，而 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 都服从 N (0, 4) ，且 X , Y1 , Y2 , Y3 , Y4 相互独立，
∑ xi
n
n− ∑ x i
i =1
n
； p ， 5、
p(1 − p) ， p(1 − p ) 。 n
0.95 。 6、 F (1, n ) 。
2 (5) = 1.1455 。 4、 χ 0.05
三、计算题 1、解： X 1 , X 2 , X 3 独立且都服从 N (1, 4) ，得 E ( X i ) = 1 ，
t0 = t0.995 (4) = 4.6041
3
4 X −µ 4、解： 样本均值 X ~ N ( µ , ) ， ~ N (0, 1) ， n 2 n
__
__
X −µ 从而 P {| X − µ |≤ 0.1} = P {| |≤ 0.05 n } = 2Φ(0.05 n ) − 1 ， 2 n
x 7、解：样本的联合概率分布为 p( x1 ," , xn ;θ ) = ∏ θ (1 − θ ) i = θ n (1 − θ ) i =1 ， i =1
n
∑ xi
n
取 T = ∑ xi ,并令 g (T ,θ ) = θ n (1 − θ ) T , h( x1 ," , xn ) = 1 ，则
T=
4X
∑ Yi2
i =1
4
，试确定 t 0 使 P {| T |> t0 } = 0.01 。
4、设总体 X 服从方差为 4 的正态分布， X 1 , X 2 ," , X n 是一样本，求 n 使样本均值与 总体均值之差的绝对值不超过 0.1 的概率不小于 0.95。 5、设 X 1 , X 2 ," , X 10 为总体 N (4, σ ) 的样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差，试（1）
)。
X −µ s1 s3 n−1
；
；
(B) t=
X −µ s2 s4 n−1
。
；
(C) t=
X −µ n
(D) t=
X −µ n
6、设随机变量 X ~ N (0,1) ，而 uα 满足 P { X ≤ uα } = α ，若 P{ X < x } = 1 − α ，则 x = （A） uα 2 ； （B） u1−α 2 ； （C） u1− 2α ； （D） u(1−α ) 2 。
2
__
（2）若 σ 2 未知，而 S = 2.5 ，求 P{ X > 6.569} 。 若已知 σ 2 = 4 ，求 P { S > 2.908} ； 6、分别从方差为 36 和 16 的两个正态总体中抽取容量为 10 和 8 的两个独立样本，求 第一个样本方差不大于第二个样本方差的 8.28 倍的概率。 试给出一 7、 设 x1 , x 2 ," , x n 是取自几何分布 P ( X = x ) = θ (1 − θ ) x , x = 0,1, 2," 的样本， 个充分统计量。
2、解：令 5 个元件的失效时间为 x1 ," , x 5 ，则 x1 ," , x 5 独立且都服从均值为 2000/3 小时的指数分布，其概率密度为 p( x ) =
3 3x exp{− }, x > 0; 从而所求概率为 2000 2000
5
P{ x(1) ≥ 800} = P{ x1 ≥ 800," , x5 ≥ 800} = ∏ P { xi ≥ 800}
）
（A）
1
Βιβλιοθήκη Baidu
σ
2
∑ ( Xi − µ)
i =1
n
2
； （B）
1
σ
2
∑ ( X i − X )2 ；
i =1
n
（C）
X −µ
σ2 n
； （D ） )
X −µ S2 n
。
2、设随机变量 X ~ N (1, 4) ， X 1 , X 2 ," , X n 为 (A)
的样本，则 (
X −1 X −1 X −1 X −1 ~ N (0,1) (B) ~ N (0,1) (C) ~ N (0,1) (D) ~ N (0,1) 2 4 2 n 2
i =1
=∏∫
i =1
5
+∞
800
3 3x exp{ − }dx = e −6 2000 2000
4 2
⎛Y ⎞ 3、解：由条件得 ∑ ⎜ i ⎟ ~ χ 2 (4) 且与 X 独立，从而 T ~ t (4) ； i =1 ⎝ 2 ⎠
而由 P{| T |> t0 } = 2 P {T > t0 } = 2 − 2 P{T ≤ t0 } 得 P{T ≤ t 0 } = 0.995 ，因此
2 2 2 2 = 36, σ 2 = 16 ，而两个样本方差依次记为 s1 , s2 ， 6、解：两总体的方差记为 σ 1
2 2 s1 σ 12 4 s1 由抽样分布的结论，有 2 2 = 2 ~ F (9, 7) ， s2 σ 2 9 s2
2 2 2 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪s ⎪ ⎪ 4 s1 ⎪ ⎪ s1 ⎪ 8.28 3.68 P P 8.28 ≤ = ≤ ≤ ，而 F (9, 7) = 3.68 ，所以 从而 P ⎨ 1 ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = 0.95 0.95 2 2 2 9 s s s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭
4、设 X ~ χ 2 (5 ) ，则 λ =
5、设 X ~ F ( n, n ) ，若 P { X > λ } = 0.05 ，则 P{ X > 1 λ } = 6、设 T ~ t ( n ) ，则 T 2 ~ 三、计算题 1、设总体 X 。
2 2 X3 ), D( X 1 X 2 X 3 ) 。 ~ N (1, 4) ， X 1 , X 2 , X 3 是 X 的样本，试求 E ( X 12 X 2
1
3、设 X 1 , X 2 ," , X n 是总体 N ( µ , σ 2 ) 的一样本，则 （A） χ 2 ( n − 1) ； （B） χ 2 ( n ) ；
σ
2
∑ ( X i − µ )2 ~ （
i =1
n
）
（C） N ( µ , σ 2 ) ； ）
（D） N ( µ , σ 2 n ) 。
2
第五章 统计量及其分布 复习自测题解答
一、单项选择题 1、 （B） ； 二、填空题 1、 X 1 , X 2 ," , X n 相互独立且与X 同分布。 2、 P ( X 1 = x1 ," , X n = x n ) = p i =1 (1 − p ) 3、4 ， 16 。 2、 （C） ； 3、 （B） ； 4、 （C） ； 5、 ( B ) ； 6、 （B） 。
__
__
欲使 2Φ(0.05 n ) − 1 ≥ 0.95 ，则 Φ(0.05 n ) ≥ 0.975 ， 0.05 n ≥ 1.96 ⇒ n ≥ 1536.64 ， 得 n 至少为 1537。 5、解： （1）因为
( n − 1) S 2
σ2
=
9S 2 9S 2 ~ χ 2 (9) ，所以 P { S > 2.908} = P { > 19.027} ， 4 4
第五章 统计量及其分布 复习自测题
一、单项选择题 1、设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， µ 未知，而 σ 2 已知， X 1 , X 2 ," , X n 为一样本，
X=
__
__ 1 n 1 n 2 ， X S = X − X ( )2 ，则以下样本的函数为统计量的是（ ∑ ∑ i i n i =1 n − 1 i =1
E ( X i2 ) = D( X i2 ) + [ E ( X i )]2 = 5 ， i = 1, 2, 3 ；
2 2 2 2 2 2 X2 X3 ) = E( X 1 )E( X 2 )E( X 3 ) = 125 ， 从而 E ( X 1 2 2 2 D( X 1 X 2 X 3 ) = E ( X 1 X2 X3 ) − [ E ( X 1 X 2 X 3 )] 2 = 2 2 2 E( X 1 )E( X 2 )E( X 3 ) − [ E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X 3 )]2 = 124
i =1
n
p( x1 ," , xn ;θ ) = g (T ,θ )h( x1 ," , xn ) ，所以 T = ∑ xi 为充分统计量。
i =1
n
4
2 s1 n n 1 n 1 n 2 2 1 2 2 2 2 1 2 = X i − X ) , s2 = ∑ ( X i − X ) , s3 = X i − µ ) , s4 = ∑ ( X i − µ ) ( ( ∑ ∑ n − 1 i =1 n i =1 n − 1 i =1 n i =1
则服从自由度为 n − 1 的 t 分布的随机变量是 ( (A) t =