第五节_等积变换

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六年级等积变换刘军辉

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (等积变换) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、同步题型分析题型1：等积变换的基本应用。

例1：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】连接BE．∵3EC AE=∴3ABC ABES S=又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABC ADES S==．例2：如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC的面积.【解】根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。

题型2：等积变换的能力提升。

例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEFS=⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．例2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H12EFGB S =边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． P DCBAA B C D(P )PDC BA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．检测题3：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

等积变换(公开课)课件

C
B
A
F
G
H
注：以定值AB为基础，作AB的平行线即得。共6个点
3、如图,在平面直角坐标系中，已知点A坐标（2,4），直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2 从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M 到点A时停止移动:
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
• （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, • ①用m的代数式表示点P的坐标； • ②当m为何值时，线段PB最短； • （3）当线段PB最短时，相应的抛 • 物线上是否存在点Q，使△ PMA • 的面积与△QMA的面积相等，若 • 存在，请求出点Q的坐标；若不
今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH (如图12－4)．求这两次扩展的区域(即阴影
部分)面积共为多少㎡？
S△DEA= 2S△DEC
S△DCA= 4.5
2、探究: 在如图12－1至图12－3中，△ABC的面积为a ．
(1)如图12－1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA ．若△ACD的面积为S1，则S1=___(用含a的代数式表示)； (2)如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，
• 存在，请说明理由．
五、小结:
1、常见图形：
2、常用方法：（1）、找中点分割拼图;(2)、利用全等、折叠、对称、等底同高等方法进行转换。
六、方法变式：
1.在平行四边形ABCD中，E在AC上， AE=2CE，F在AD上，DF=2AF，如果△DEF 的面积是2，求□ABCD的面积.
S△DEF= 2S△AEF
学习目标：
1、熟悉等积变换对应的常见图形； 2、掌握等积变换需要具备的条件并能用等积变换的方法解决实际问题。

《等积变形问题》课件

应用广泛
等积变形问题的应用范围广泛，涵盖了建筑设计、地图制作、数学建模等多个领域。
继续探索
等积变形问题只是数学世界的冰山一角，还有更多有趣且挑战性的数学问题等待我们去探索和解决。
在数学中的应用
1 变量的关系
等积变形问题可以帮助我们理解变量之间的关系，如面积和边长的关系、体积和半径的关系等。
2 图形的性质
通过等积变形问题的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，如面积保持不变的图形变形。
3 应用于积分
等积变形问题的思想也可以应用于积分中，帮助我们求解复杂的积分问题。
解决等积变形建筑设计
等积变形可以帮助建筑设计师在设计过程中保持建筑物的总面积不变，从而灵活调整建筑形状和尺寸。
2
地图投影
地图投影是通过等积变形的方法将地球的曲面展示在平面上，从而解决地球表面在平面上的表示问题。
3
轮胎设计
等积变形可以应用于轮胎设计，帮助优化轮胎的形状，提高车辆的性能和操控稳定性。
《等积变形问题》PPT课件
欢迎来到《等积变形问题》PPT课件！通过本课件，我们将一起探索等积变形问题的定义、分类、应用以及解决方法。让我们一起开始吧！
等积变形问题的定义
等积变形问题指的是在几何中，物体的形状或者大小发生变化，但其面积不变。这是一个有趣且挑战性的数学问题，需要灵活的思维和创造性的解决方法。
等积变形问题的分类
平面等积变形
平面等积变形是指在平面上的变形，如图形的旋转、镜像、扭曲等，同时保持图形的面积不变。
立体等积变形
立体等积变形是指在三维空间中的变形，如物体的拉伸、压缩、伸缩等，同时保持物体的体积不变。
其他等积变形
除了平面和立体等积变形，还存在其他形式的等积变形问题，如曲线等积变形等。

七年级等积变换知识点讲解

七年级等积变换知识点讲解等积变换是初中数学中重要的一个概念，也是七年级学习的内容之一。

等积变换指的是一个图形通过平移、旋转、翻折等方式变换后，其面积大小保持不变。

本文将为大家详细讲解七年级等积变换的知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

一、等积变换的基本概念等积变换指的是经过平移、旋转、翻折等操作后，图形的面积不发生变化。

平移是指将图形沿一个方向上移动一定距离，旋转是指将图形按照一定角度围绕某一点旋转，翻折是指将图形沿着某一直线对称。

这些变换都可以使图形保持原有的面积不变，即为等积变换。

二、等积变换的性质等积变换具有以下性质：1、面积不变性：经过等积变换后，图形的面积不改变。

2、形状不变性：等积变换不改变图形的形状。

3、长宽比例不变性：图形的长宽比例在等积变换前后保持不变。

4、相似性：等积变换可以使一个图形与其变换后的图形相似。

三、等积变换的应用等积变换在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

其中在几何学中，等积变换最常见的应用之一是优化图形的布局和设计。

通过等积变换，可以保证图形的大小和形状不变，从而更好地实现图形的优化设计。

另外，在物理学中，等积变换也有很多应用。

比如，当一个物体在引力作用下下落时，其形状有可能会发生变化，但是如果我们将物体进行等积变换，那么物体的面积将不会发生变化。

在计算机图形学中，等积变换也是非常重要的。

计算机图形学常用于图形处理、动画制作和游戏开发等领域。

通过等积变换可以实现对图形的平移、旋转、翻折等操作，从而实现更加精细的图形设计和动画效果。

四、等积变换在七年级的学习和考试中的应用在七年级的初中数学中，等积变换是非常重要的概念。

通过等积变换，可以更好地理解和掌握平移、旋转、翻折等平面变换的知识。

此外，在考试中，等积变换也是常出现的题型之一。

常见的等积变换的考试题型有：1、图形的平移、旋转、翻折等操作后，求变换后的面积。

2、求在等积变换下，两个图形是否相似。

等积变换

20dm 15dm （2）
求下列平行四边形的面积
20dm
6cm
12cm 16dm
15dm
15cm （1）
（2）
【解析】（1）15×6=90（平方厘米）（2）16×15=240（平方分米）
答：面积分别为90平方厘米和240平方分米
求下列平行四边形的面积
20cm
18cm （1）
16cm
15dm 14dm
D
A
11
F
B
C
解析：连接CG，可知△BFG的面积等于△BFC的面积20÷2=10 答： △BFC的面积10。
G E
练三
等边△ABC和等边△CDE的面积分别为10和40，点B、C、D在同一条直线上，点F是EC的中点，点G是AB的中点，求△GFD的面积。
E
11
A
F
G
B
C
D
练三
等边△ABC和等边△CDE的面积分别为10和40，点B、C、D在同一条直
J
I
11
H
A
DF
G
B
CE
练五
如图，有三个正方形ABCD、EFGH和JCGI，其中JCGI的边长是9，正方
形EFGH的边长是5，那么△AJF的面积是多少？
J
I
11
解析：连接AC,FC 则AC∥JF
H
A
DF
S△AFJ S△JCF 9 (9 5) 2 18
答：三角形AJF的面积是为18
25dm
（2）
求下列平行四边形的面积
20cm
15dm
18cm
16cm
14dm
25dm
（1）
（2）

等积变形定理及其应用Microsoft_Word_文档

等积变形定理及其应用对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质： 1. 两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。

2. 把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。

这两条性质，是面积割补的理论基础。

定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。

推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积.推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。

反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行.例1. 凸四边形ABCD 的两组对边中点连线EF , GH 相交于O . 求证: 1.2AEOG CFOH ABCD S S S +=证明: 连接OD , OA ，OB ，OC .则 ()12AEOG AOE AOG AOD AOB S S S S S ∆∆∆∆=+=+ ()12CFOH COF COH BOC COD S S S S S ∆∆∆∆=+=+ 所以 AEOG CFOH S S + ()11.22AOD AOB BOC COD ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++= 例2.如图，四边形ABCD 中，E 和F 分别为对角线BD 和AC 的中点. 过E 、F 的直线交AB 和CD 分别于M 和N .已知△ABN 的面积为25平方厘米，求△CDM 的面积. 答：25.解：因为E 是BD 的中点，则BMN DMN S S ∆∆=；因为F 是AC 的中点，则AMN CMN S S ∆∆=. 相加即得25.ABN CDM S S ∆∆== 例3. 右图中ABCD 是个直角梯形（90DAB ABC ∠=∠=）. 以AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米. 连结BE 交AD 于 P ，连结PC . 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：连接AE ，BD . 因为AD//BC ，则PDC PDB S S ∆∆=，又AB//ED ，则EAD EBD S S ∆∆=.所以EPD PDC EPD PDB S S S S S ∆∆∆∆=+=+阴影EBD EAD S S ∆∆==116.36 3.1822ADEF S ==⨯=（平方厘米）. 例4.过梯形ABCD 的顶点A 作平行于腰 DC 的直线交下底BC 于E 点，交BD 于点 F . 已知三角形ABE 的面积等于15，求三角形BCF 的面积. 答：15.解：因为F 为梯形ABED 对角线 AE 、BD 的交点，所以三角形ABF 的面积=三角形DEF 的面积. 连接DE . 三角形DEF 的面积=三角形CEF 的面积所以，三角形CBF 的面积=三角形ABE 的面积=15.例5. 在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ，使得线段EF 平行于对角线BD.求证：三角形BCE 与三角形CDF 等积. 证明：△BCE 的面积=△BDE 的面积 =△BDF 的面积=△C DF 的面积例6. 四边形ABCD 中，M 是AD 的中点， N 是BC 的中点.已知.ABNM DCNM S S = 求证：AD//BC .证明：连接AN ，DN .由于MN 为△AND 的一条中线，所以,AMN DMN S S ∆∆=又已知,ABNM DCNM S S = 所以 .ABN DCN S S ∆∆=（等量减等量其差相等）由于△ABN 与△DCN 的底边在一条直线BC 上，且BN=CN ，点A ，D 在BC 同侧，由定理2可得，AD//BC .例7．P 为五边形ABCDE 内一点，,3AB BP AB ⊥=厘米,4BP =厘米.又AE //,BP PD //BE ，ED //BC . 联结.CE 求三角形CDE 的面积.解：由,3,4,AB BP AB BP ⊥==得 ABP ∆面积为6.联结,PE BD ，则 ,ABP EBP EBD CDE S S S S ∆∆∆∆===所以1134 6.22CDE ABP S S AB BP ∆∆==⋅⋅=⨯⨯=答: 6平方厘米.例8. P 为三角形ABC 内一点,过P 作12//A B AB ,1212//,//.B C BC C A AC求证: 三角形111A B C 与三角形222A B C 的面积相等.（考虑3种不同的证法）提示: 连接A 1C 2, C 1B 2, B 1A 2.22PA B ∆面积=21PA B ∆面积=11PA B ∆面积同理可得22PA C ∆面积=12PA C ∆面积=11PA C ∆面积； 22PB C ∆面积=21PB C ∆面积=11PB C ∆面积；相加得三角形111A B C 与三角形222A B C 的面积相等.例9.如图，四边形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于E .,.AF CE BG DE ==如果四边形ABCD 的面积等于2009平方厘米，求EFG ∆的面积.提示：连接AG ，利用等积变形定理得EFG ∆的面积为2009平方厘米. 例10.在五边形12345A A A A A 中, 如果 135424153521//,//,//,A A A A A A A A A A A A4132//,A A A A 求证:5243//.A A A A分析：要证5243//.A A A A只需234A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 但4132//A A A A ，有234A A A ∆面积=231A A A ∆面积但3521//,A A A A 有231A A A ∆面积=251A A A ∆面积，又 2415//,A A A A 有251A A A ∆面积=451A A A ∆面积；注意到1354//,A A A A 所以451A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 因此，234A A A ∆面积=534A A A ∆面积，所以5243//.A A A A例11. 已知ABCDEFG 是凸七边形. 证明: 如果//,//,//,AC EF BD FG CE GA//,//DF AB EG BC 和//FA CD ,那么//.GB DE分析:要证//.GB DE 只需证BDG ∆面积=BEG ∆的面积.因为//,BD FG 有BDG ∆面积=FDB ∆的面积; 由//,DF AB 有FDB ∆的面积=ADF ∆的面积; 由//FA CD ,有ADF ∆的面积=ACF ∆的面积; 由//,AC EF 有ACF ∆的面积=ACE ∆的面积; 由//,CE GA ,有ACE ∆的面积=GCE ∆的面积由//EG BC ,有GCE ∆的面积=GBE ∆的面积,因此，BDG ∆面积=GBE ∆的面积.故得证//.GB DE例12. 如图所示，正方形ABCD 的面积为36 cm 2，正方形EFGH 的面积为256 cm 2，三角形ACG 的面积为27 cm 2，则四边形CDHG 的面积为 cm 2.（第17届华杯赛初赛网络版试题）答：77解：由条件知，正方形ABCD 的边长为6cm. 正方形EFGH 的边长为16 cm. 连接EG ，则45,ACE CEG ∠==∠所以AC//EG . 因此ACGE 是梯形，所以27==∆∆ACG ACE S S .即27=EC ⨯⨯621，所以EC = 9，因此CH =916-=7，因为四边形CDHG 是个梯形，所以四边形CDHG 的面积 =7727)166(=⨯+（cm 2）. 定理2. 凸四边形ABCD 的对角线AC , BD 相交于O . 则.ABD CBD S AOS CO∆∆=EFAD E F证明: 由共边定理,得AOD AOBCOD COBS S AO k S CO S ∆∆∆∆===, 所以,AOD COD AOB COB S kS S kS ∆∆∆∆== 相加得 ()AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 所以.AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 即.ABD CBD S AOk S CO∆∆==特别地, 由ABD CBD S S ∆∆=可以得出结论AO=CO .为用面积方法证明线段相等提供了新思路.例13. 右图中, 正方形ABCD 的面积为840平方厘米，AE =EB ，BF =2FC ，DF 与EC 相交于G . 则四边形AEGD 的面积为平方厘米.（第17届华杯赛决赛小高网络版试题6）答: 510解. 连结DE , EF , 则△DEC 的面积=420. △EBC 的面积=210 .△EFC 的面积=13⨯△EBC 的面积13=⨯210=70.所以4206701DEC EFC S FG GD S ∆===，所以6.7DG FD = △DGC 的面积=66140120.77DFC S ∆⨯=⨯=所以四边形AEGD 的面积=四边形AECD 的面积-△DGC 的面积630120510.=-= 例14如图所示，直角三角形ACB 的两条直角边 AC 和BC 的长分别为14 cm 和28 cm ，CA 和 CB 分别绕点A 和B 点旋转 90至DA 和EB . 若DB 和AE 相交于点P ，求三角形P AB 的ABC DEP面积.（第17届华杯赛决赛初一网络版试题12）答：56.解：易知，45,DCA BCE ∠=∠=90,ACB ∠=所以，DCE 是一条直线.延长DA ，EB 相交于H . 则.DH EH ⊥12828421144232ABE ADEAH BES PB DP S AD EH ∆∆⨯⨯====⨯⨯，因此 44.437PB PB DB DP PB ===++而141498.2ADB ADC S S ∆∆⨯=== 所以449856.77PAB DAB S S ∆∆=⨯=⨯=例15．在△ABC 的边AB ，BC 和CA 上分别取点R ，P ，Q ，使得线段AP ，BQ 和CR 相交于一点M .证明：如果,,AMQ AMR BMR BMP CMP CMQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===和那么M 是△ABC 三条中线的交点.证明：已知条件中给出的面积，我们通过右图中所示的S 1，S 2和S 3来表示. 因为△ARM 和△BRM 高相同，所以12.S ARS RB = 类似可得13232,2S S AR S S RB +=+ 也就是12S AR S RB ==132322S S S S ++，由此推出 ()()12321322,S S S S S S +=+ ()3120,S S S ⇒-=因为30,S > 所以S 1=S 2，即AR=RB ，也就是CR 是△ABC 的一条中线.同理类似可证AP 和BQ 也是△ABC 的中线.因此M 是△ABC 三条中线的交点.例16. 如图，梯形ABCD 中，过对角线的交点O 引梯形两底的平行线分别交腰AD 、BC 于点M 和N . 求证：OM=ON.解：如图，连接MB ，有NBD BOC AOD BMD S S S S ∆∆∆∆=== 在四边形MDNB 中，因为NBD BMD S S ∆∆=，所以ON = OM .（思考：进一步可证2.ADN CBO S S ∆∆=）例17.在凸四边形ABCD 中，延长边AB 到1B ，使1BB AB =；延长BC 到1C ，使1CC BC =；延长CD 到1D ，使1DD CD =；延长DA 到1A ，使.1AA DA =请你证明：四边形1111D C B A 的面积是四边形ABCD 面积的5倍.证明：由下左图，连接11,,,CA CB AD设12,.ABCACDS s Ss ==则1112,BB C Ss =1122,A DD Ss =所以11BB C S +11122()2A DD ABCD Ss s S =+=……①同理由上右图，连接11,,,C D BA BD 设34,.ABDBCDSs Ss ==则1132,A AB Ss =1142,C CD Ss =所以 11A AB S+11342()2C CD ABCD Ss s S =+=……②① + ②得 11BB C S+11A DD S+11A AB S +114C CD ABCD SS =所以 1111A B C D S =11(BB C S +11A DD S+11A AB S+11)5.C CD ABCD ABCD SS S +=例18．如图，在直角ABC ∆的两直角边AC 、BC 上分别作正方形ACDE 和 CBFG . 连结AF 、BE 分别交 BC 、AC 于Q ，P . 求证：CP = CQ . 证明：注意AG = AC + CG = D C + CB = BD因为ABC BCE BPD ∆=∆=∆ ABC ACF AQG ∆=∆=∆所以AQG BPD ∆=∆ 即21BD ×CP =21AG ×CQ . 由于AG = BD ，所以CP = CQ.例19. 如右图所示, 四边形ABCD 的面积为6, 点M , N , P , Q 分别为各边的中点. 点O 为ABCD 内的一点. 连接OM 并延长至E 点, 使得2OM ME =, 同样的方式可得点F , G , H . 则四边形EFGH 的面积为 . 答: 27.解. 连接,,,MN NP PQ QM , 因为点,,,M N P Q 分别为四边形ABCD 各边的中点, 所以四边形MNPQ 的面积为四边形ABCD 面积的一半, 即四边形MNPQ 的面积为 3.因为2ME OM =且2NF ON =, 容易得到三角形OEF 的面积是三角OMN 的面积的9倍.同理可得三角形OFG 的面积是三角形ONP 的面积的9倍；三角形OGH 的面积是三角形OPQ 的面积的9倍；三角形OHE 的面积是三角形OQM 的面积的9倍.所以四边形EFGH 的面积是四边形MNPQ 的面积9倍, 即四边形EFGH 的面积为27.例20．如图, 在五边形ABCDE 中, M ，N 分别是AB ，AE 的中点. 四边形AMPN ，△CPM ， △ CPD ，△DPN 的面积分别是9，6，9，6. 求五边形ABCDE 的面积.解：易知30.AMCDN S =连接MN ，设,MNP S x ∆=则:66:9x =推得 4.x =所以94 5.AMN S ∆=-=连接AC ，AD ，分别交MN 于F ，G . 由15//MCD NCD S S MN ∆∆==⇒CD . 在四边形AMCN 中， 51,462AMN CMN S AF FC S ∆∆===+ 同理可证1.2AG DG = 连接DF ，则6915.FCD MCD S S ∆∆==+=由于1,7.52AFD AF S FC ∆=⇒=，22.5.ACD S ∆= 因此3022.57.5.AMC AND AMCDN ACD S S S S ∆∆∆+=-=-= 由于M ，N 分别是AB ，AE 的中点，,,BMC AMC DNE AND S S S S ∆∆∆∆== 7.5.BMC DNE AMC AND S S S S ∆∆∆∆+=+=所以 ABCDE AMCDN BMC DNE S S S S ∆∆=++=30 +7.5 = 37.5. 例21. 平行四边形ABCD 的边AD 上任取一点N ，过N 作平行于对角线AC 、 BD 的直线分别交边AB 、CD 于点M 和K.证明：三角形NMB 与NKC 等积.11。

等积变形

课前预习：让学生观察发现生活中的等积变形课前：回想一下，关于长方体，我们已经会了些什么？师先集体问，再同桌互相考一考师：要求长方体的高，该怎么办？解决问题一、复习引入师：这是一个棱长1分米的正方体，体积是多少？现在我把4个这样的正方体拼起来，拼成的体积是多少?为什么?师：这样拼呢?师：在这个过程中，什么变了?什么没有变?生：形状变了，但体积没有变。

师：形状变了，体积不变。

(板书)在数学中，我们将这种现象称为等积变形。

板书：等积变形。

齐说.师：想一想，你还见过哪些形状改变但体积不变的现象?生：用一块橡皮泥捏出各种东西，形状变了，但体积始终没有变。

生：将一碗水倒在杯子里，形状变了，但体积不会变。

师：现在我们来实验一下，这是一块橡皮泥，如果将它没入水中，它的体积会使水面上升，请看，此刻水面在这个位置，用笔画一条线，请你来捏一捏，这时，它的形状怎样？体积呢？请看，水面还在这个位置，说明体积不变。

这就是等积变形。

今天，我们就利用等积变形的原理来解决一些问题。

板书课题：解决问题二、探究新知１、学习例３师：请看屏幕，先默读几遍，一起读一读。

师：读题后，你知道了什么?师：这当中什么变了，什么没变？生：形状变了，体积不变。

师：你从哪看出来的？师：钢坯是制作钢材的原型，这里的锻，就是用锤击的方法把它从正方体变成长方体，形状怎么样（师点击）？体积呢？（不变）怎么不变？能说具体点吗？生：也就是长方体钢材的体积=正方体钢坯的体积（师板书）。

师：求什么？（师点击）要求长方体的高，必须知道些什么？（板书：高？）生：要求长方体的高必须知道长方体的体积和长方体的底面积。

师：你能从题中挖出这些条件吗？试着在练习本上列出算式，并解答。

抽生板演一种方法师：说说你每步的含义，师：说得不错，再请个同学来说说，这个8000表示什么？那第二个8000也表示正方体的体积吗？想想它应该表示什么？为什么？师：要求长方体的高必须用长方体的体积除以它的底面积。

面积法与等积变换(PPT)5-4

提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得关于 r 的方程,解方程即可.
思考4
面积法与等积变换
主要知识：(见教程 P417 ) 1.面积公式
S△ ABC
1 2 aha
1 ab sin C
2
2R2 sin
பைடு நூலகம்
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
思考 3.如图,在四边形 ABCD 中, △ABD,△BCD,△ABC 的面积比是 3:4:1, 点 M , N 分别在 AC,CD 上 , 满足 AM : AC CN : CD,并且 B, M , N 共线,求证: M 与 N 分别是 AC 和 CD的中点.(1983 年全国高中联赛题)
3.等积变换
一个图形经过变形,但面积保持不变,这种变形称为
等积变换.
漕运：～粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【漕渡】动军事上指用船、筏子等渡河。【漕河】名运漕粮的河道。【漕粮】名漕运的粮食。【漕运】动旧时指国家从水道运输粮食，供应京城或接济军需。【槽】①名盛牲畜饲料的长条形器具：猪～｜马～。②名盛饮料或其他液体的器具：酒～｜水～。③（～儿）两边高起，中；李贝斯特 / 李贝斯特；间凹下的物体，凹下的部分叫槽：河～｜在木板上挖个～。④〈方〉量门窗或屋内隔断的单位：两～隔扇｜一～窗户。⑤〈方〉量喂猪从买进小猪到喂大卖出叫一槽：今年他家喂了两～猪。【槽床】名安放槽的架子或台子。【槽坊】?ɑ名酿酒的作坊。【槽钢】名见页〖型钢〗。【槽糕】〈方〉名用模子制成的各种形状的蛋糕。也叫槽子糕。【槽头】名给牲畜喂饲料的地方。【槽牙】名磨牙（）的通称。【槽子】?名槽???。【??】斫??（），地名，在湖南。【螬】见页［蛴螬］。【艚】〈书〉一种木船。【艚子】?名载货的木船，有货舱，舵前有住人的木房。【草】（艸、④騲）①名高等植物中栽培植物以外的草本植物的统称：野～｜青～｜割～。②名指用作燃料、饲料等的稻、麦之类的茎和叶：稻～｜～绳｜～鞋。③旧指山野、民间：～贼｜～野。④〈口〉雌性的（多指家畜或家禽）：～驴｜～鸡。【草】（艸）①形草率；不细致：潦～｜字写得很～。②文字书写形式的名称。a）汉字形体的一种：～书｜～写｜真～隶篆。）拼音字母的手写体：大～｜小～。③初步的；非正式的（文稿）：～案｜～稿。④〈书〉起草：～拟。【草案】’名拟成而未经有关机关通过、公布的，或虽经公布而尚在试行的法令、规章、条例等：土地管理法～｜交通管理条例～。【草包】名①用稻草等编成的袋子。②装着草的袋子，比喻无能的人：这点儿事都办不了，真是～一个！【草本】形属性词。有草质茎的（植物）。【草本】名文稿的底本。【草本植物】有草质茎的植物。茎的地上部分在生长期终了时多枯死。【草编】名①一种民间手工艺，用玉米苞叶、小麦茎、龙须草、金丝草等编成提篮、果盒、杯套、帽子、拖鞋、枕席等。②用这种工艺制成的产品。【草标儿】名旧时集市中插在比较大的物品（多半是旧货）上表示出卖的草棍儿，有时也插在人身上作为卖身的标志。【草草】副草率；急急忙忙：～了事｜～收场｜～地看过一遍。【草测】动工程开始之前，对地形、地质进行初步测量，精确度要求不很高：新的铁路线已开始～。【草场】名用来放牧的大片草地，有天然的和人工的两种。【草虫】名①栖息在

等积变换模型--五大模型

等积变换模型—五大模型一、等积模型简介。

1. 等底等高的两个三角形面积相等；2. 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；如图1所示，CD :BD :△△=ACD ABD S S ;3. 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；如图2所示，BF :AE :△△=BCD ACD S S4. 在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，BCD ACD S S △△=；反之，如果BCD ACD S S △△=，则直线AB//CD 。

二、将三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？练习：1.画一画：用三种不同方法，把下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为2:1:1。

2.画一画：用三种不同的方法将下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为4:3:1。

3.如图，在梯形ABCD中，共有8个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？三、三角形中的等积变换。

例1：在如图三角形ABC中BD:DC=2:3，AE=EB，甲乙两个图形的面积比是多少？例2：如图所示，三角形ABC 被分成四个小三角形，其中三个三角形的面积分别为8平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。

已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。

例4：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

练习：1. 如图所示，在三角形ABC 中，CE=ED=DB ，AF=FB ，三角形ABC 的面积是24平方分米，那么，三角形FDE 的面积是多少平方分米？2. 已知一个大三角形被分成四个小三角形，其中有三个三角形的面积分别是3，4，6，求阴影部分的面积？3. 已知图中△ABC 的每边长都是96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE 和CF 的长度之和是多少厘米？4. 如图，已知三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

等积变换的运用

等积变换的运用李国雄（江西省全南第二中学 341800）等积变换是指在解某些几何问题时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，这种方法也称面积法，在初中数学中非常重要，为了说明其重要性，下面选取几例，供读者参考。

例1：如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC=8，BC=6，求CD 的长。

解：在Rt △ABC 中， ∵AC=8 BC=6 ∴AB=22BC AC +=2268+=10 ∵S △ABC =21AC·BC=21AB·CD∴21×8×6=21×10×CD ∴CD=4.8例2：如图，直角三角形ABC ，∠C=90°，AC=4，BC=3，P 为AC 上的一动点(不和A 、C 重合），PD ⊥AB 于D ，设CP=x ，PD=y ，试求y 关于x 的函数解析式。

解：连结BPBA在Rt △ABC 中，∠C=90° AC=4 BC=3 ∴AB=5∵S △ABC =S △PCB +S △APB21BC·AC=21×BC×CP+21AB·PD3×4=3x+5y 5y=12-3x y=51253+-x∴所求的解析式为y=51253+-x评析：上述两例，都利用了同一个三角形的面积相等，比用勾股定理、三角形相似等知识来进行解答，显得既方便又快捷。

例3：如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，圆的半径为R ，求图中阴影部分的面积。

解：连接OC 、OD∵C 、D 是半圆上的三等分点 ∴AC=CD=BD ∴CD ∥AB∴△ACD 和△OCD 中，CD 边上的高相等即S △ACD =S △OCD S 阴=S扇=360602R π=261R πB例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AC⊥BD于O，AC=8，求AB+CD的长。

等积变换

我变
胖
了
阿基米德洗澡的故事
请你听故事
阿基米德是古希腊伟大的数学家、力学家。约公元前287 年出生于西西里岛的叙古拉，公元前212年卒于同地。
请认真观察
实验中有哪些变量与不变量
“我变胖了”指的是?
变化前的体积＝变化后的体积。
V前
＝
V后
思考与交流
将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖” 形圆柱，高变成了多少？
x
布置 1、Ｐ167习题5.7 1、2、3。作 2、看课本Ｐ165 “读一读”，业
Byebye!
锻压
回答：相等关系：
V前＝ V后
2 πr h=πR H2
，
即:
，
设未知数设锻压后圆柱的高为x厘米：
π×5 ×36=π×10 x。所列方程为：，
2
2
等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积
解决问题
V前
＝
V后
解：设锻压后圆柱的高为x厘米根据题意得：
× 52×36 = × 102 x × 25×36 = × 100 x
本节课你学会了什么？
谈谈你的收获
1、列方程解应用题的一般分析过程：找等量关系设求知数列方程
2、列方程解应用题的书写过程：（审清题意）解：设……则…… 根据题意列方程解方程检验答：………………… 3、等积变形
V前
＝
V后
等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变形
C前
＝ C后
课后思考
一个长方形水箱，从里面量长40㎝，宽30㎝，深30㎝，箱中水面高10㎝，放进一个棱长20㎝的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？

实践与探索-等积变形PPT课件.ppt

讨论3 如果设长为x厘米，则宽是什么？(x-4)厘米讨论4 长、宽、周长都有式子来表示，那么它
们之间有什么等量关系？方程怎么样列？
讨论5 你能解出来吗？试试看. 2(x+x－4)=60
讨论6 长和宽都求出了，怎么求面积？试试看. 讨论7 这题能不能直接设面积为未知数？
比较一下：（1）和（2）两个长方形面
小明爸爸
3.用直径为20mm的圆钢锻造成长、宽、高分别是 300mm、300mm、80mm的长方体钢板，问需截取圆钢多长？（精确到1mm，取3.14）
4.用直径为4cm的圆钢锻造一个质量0.58kg的零件毛坯,如果每立方厘米这种钢质量为7.8g,那么应截取这种圆钢多长？（精确到0.1cm，取3.14）
们之间有什么等量关系？方程怎么样列？
2(
2 3
x＋x)
＝60
讨论4 你能解出来吗？试试看.
讨论5 你能接下去算出它的面积来吗？试试看.
• 用一根60厘米长的铁丝围成一个长方形（2）如果宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.
讨论1 要求长方形的面积必先知道什么？长和宽讨论2 那么这题关键是要先求出哪个数量？长或宽
2r
h V＝r²h
V＝r²h
V＝r²h
V＝abc
V＝abc c ab
V＝abc
课堂练习题
1.把底面直径为2cm，高为10cm的瘦长圆柱形钢质零件，锻压成直径为4cm的矮胖圆柱形零件，求这个零件的高是多少？
2.将一块长30mm,宽40mm,高70mm的长方体的铁块,锻造成长35mm,宽64mm的长方体的铁块,问锻造后的铁块的高是多少毫米?
• 用代数式表示：
长方形的周长是60厘米，且宽是x厘米，则长是_(_3_0_-x_)_厘米，面积呢？ (30-x)x

小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)

小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)目录模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升模型一——《等积变换》一、知识点梳理等积变换是指平面图形在平移、旋转、翻折、错位四种变换中，不改变其面积大小的变换。

在等积变换中，图形的各个部分相对位置关系保持不变，因此，等积变换也称为等面积变换或保角变换。

在等积变换中，我们需要掌握以下几个概念：1.平移：指图形沿着某一方向移动一段距离，保持图形大小和形状不变。

2.旋转：指图形绕某一点旋转一定角度，保持图形大小和形状不变。

3.翻折：指图形沿着某一直线对称，保持图形大小和形状不变。

4.错位：指图形中的各个部分按照一定规律移动，保持图形大小和形状不变。

二、例题精讲例1：如图，正方形ABCD经过变换后得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与正方形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。

其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将正方形ABCD逆时针旋转了90度得到的，因此，该变换是旋转变换。

例2：如图，图形ABCD经过变换得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与图形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。

其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将图形ABCD沿着直线EF翻折得到的，因此，该变换是翻折变换。

三、自我提升1.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小发生了改变，那么这个变换是什么变换？2.如果一个图形经过等积变换后，其形状发生了改变，那么这个变换是什么变换？3.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小和形状都没有发生改变，那么这个变换是什么变换？四、答案与解析本部分为题目的答案和解析，帮助读者检验自己的答题情况和巩固知识点。

等积变换

例3：利用等积变换作图
根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。

基本图形：
例题：
（1）如图△ ABC ，过A 点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。

你能过AB 边上一点E 作一条直线EF ，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？
（2）有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
（3）如图，欲将一块四方形的耕地中间的一条折路MPN 改直，但不能改变折路两边的耕地面积的大小，应如何画线？
（4）已知：如图，五边形ABCDE ，用三角尺和直尺作一个三角形，使该三角形的面积与所给的五边形ABCDE 的面积相等。

B C E
第4题
N B A P M D。

等积变形的极值原理及应用

等积变形的极值原理及应用1. 等积变形简介等积变形是指在物体保持体积不变的情况下发生的形状变化。

在等积变形过程中，物体的形状和体积会发生改变，但整体的体积保持不变。

等积变形常见于弹性力学、材料力学、流体力学等领域。

2. 极值原理的介绍极值原理是数学和物理学中的一个重要概念，用于描述函数或物理量在某种条件下取得最大值或最小值的规律。

等积变形的极值原理指在等积变形过程中，某些物理量会达到最大值或最小值。

3. 等积变形的极值应用等积变形的极值原理在多个应用中发挥重要作用，以下是其中几个典型的应用：3.1 弹性薄板的最小曲率在弹性力学中，等积变形的极值原理可以用来确定薄板的最小曲率。

薄板在受到外部力作用时，会出现曲率变化。

通过等积变形的极值原理，可以确定薄板在承受外部力的情况下，产生最小曲率的形状。

3.2 流体的最小阻力在流体力学中，等积变形的极值原理可以应用于流体的最小阻力问题。

当流体从一个管道流经另一个管道时，通过等积变形的极值原理，可以确定两个管道连接的形状，以使流体通过的阻力达到最小。

3.3 材料的最佳形状设计等积变形的极值原理在材料力学中也有广泛的应用。

通过等积变形的极值原理，可以确定材料的最佳形状设计，以满足特定的力学性能要求。

例如，在设计汽车外壳时，可以利用等积变形的极值原理确定最佳的外壳形状，以提高汽车的结构强度和整体性能。

4. 等积变形的数学描述等积变形的数学描述可以通过拉格朗日乘子法来解决。

拉格朗日乘子法是一种优化方法，用于在受到一定约束条件的情况下，求解函数的最值。

对于等积变形问题，可以通过引入拉格朗日乘子，将等积条件作为约束条件，从而求解出极值。

5. 结论等积变形的极值原理在多个领域中都有广泛应用，并且可以通过数学方法进行描述和求解。

通过应用等积变形的极值原理，可以实现优化设计、提高性能，并且能够更好地理解和解释一些自然和工程现象。

因此，深入研究等积变形的极值原理及其应用是非常有意义的。