第十章定态问题的常用近似s

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近似方法——精选推荐

程。

2 近似方法大多数复杂反应，特别是气相反应中出现自由原子，自由基或激发态分子都是反应性非常强的物种。

一般由分子分裂产生自由原子或自由基的反应活化能都在几百千焦，而自由基、自由原子进一步反应的活化能都很低或接近于零，最大也不过几十千焦，这种情况下自由原子、自由基的消耗速率常常是生成速率的上亿倍。

对涉及这样一些活泼中间物的动力学过程，处理时常采用稳态近似。

该方法的要点是：在反应过程中有多少个高活性中间物种，根据稳态近似就可以有多少个其浓度随时间变化率等于零的代数方程。

解这些代数方程可求出中间物种的稳态近似浓度表达式，将其代入总反应速率的表达式中，使这些中间物种的浓度项不出现在最终的速率方程中。

〖例8—1〗设反应 A 2 + BC == AB + AC 按下面历程进行：A 2−→−1k 2A A + BC−→−2k B + AC B + A 2−→−3k AB + A 2A −→−4k A 2 试推导该反应的速率方程。

对自由原子A 和B 可应用稳态近似（下标ss 表示处于稳态）。

解：按稳态近似 0A][2]B][A [A][BC][]A [2d d[A]2423221ss ≈-+-=k k k k t0]B ][A [A ][B C ][d d [B ]232ss ≈-=k k t解方程组求出 212141ss ]A [A][⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k , BC][]A [B][212214132ss -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 则反应速率 r =]B][A [d d[AB]23k t =BC][]A [21221412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k 上面的例子充分表明了使用稳态近似方法处理反应历程问题的优越性。

对于封闭体系，由于反应物不断消耗得不到补充而产物又不断积累，要维持中间产物浓度不随时间而变，严格说是不可能的，因此稳态处理法只是一种近似的方法。

三平衡假定(equilibrium hypothesis)对于包含对峙反应的连续过程，如A +B I P k 1k -1k 2对由反应物A+B 生成最终产物P 的连续过程而言，当k 1 >> k 2时步骤I −→−2k P 是该连续反应的速率控制步骤，（关于连续反应存在速率控制步骤时的动力学处理，在前面已经讨论过）如果还有k –1>>k 2 ，即生成中间产物I 和它分解回反应物这两个基元反应比由它生成最终产物P 的过程要容易进行得多，在这种情况下反应物与中间产物的浓度很接近于平衡浓度。

备考高考物理复习攻略之方法汇总专题2 近似计算法(含解析)

宽放市用备阳光实验学校专题02近似值计算法目录一、近似物理模型导致的近似值 (1)二、数学方法近似导致的近似值 (3)近似计算是物理问题中一种常用的估算方法，由此求出的物理量是近似值。

近似值的背后潜藏着一个确的真实值，近似值是对物理问题近似的描述，近似值与真实值存在着差值。

一类差值来源于物理模型的近似，另一类差值来源于数学方法的近似。

如果我们拨开包围在真实值周围的层层迷雾，就可以找寻出近似值背后的真实值。

一、近似物理模型导致的近似值近似值与真实值之间误差的第一种来源是物理模型的近似。

物理模型是对物理问题的简化与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态模型。

由于学生的知识结构的限制，在构建物理模型时，对研究对象做太多的简化，所构建的物理模型不能一步到位，把不该忽略的问题忽略了，导致了物理模型的缺陷，也是一种近似模型。

用这样的物理模型进行估算求出近似解也无不可，如果从精确计算来说，却不够至臻完善。

典例1. 〔1卷〕最近，我国为“九号〞研制的大推力型发动机联试，这标志着我国重型运载的研发取得突破性进展。

假设某次中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为×106 N，那么它在1 s时间内喷射的气体质量约为A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg 【答案】B【解析】设该发动机在t s时间内，喷射出的气体质量为m，根据动量理，Ft mv=，可知，在1s内喷射出的气体质量634.8101.6103000m Fm kg kgt v⨯====⨯，故此题选B。

【总结与点评】此题中构建物理模型非常关键，以在t s时间内喷射出这气体作为研究对象，忽略气体的重力，不计这流体与其他流体之间的相互作用，这样的物理模型是一种近似描述喷出气体运动过程的的物理模型。

针对训练1a.〔卷〕一攀岩者以1m/s的速度匀速向上攀登，途中碰落了岩壁上的石块，石块自由下落。

方程的近似解

方程的近似解大家好，我今天要谈论的是“方程的近似解”。

令()为有限多元函数，求解()=0的根，称为求解方程。

求解方程的方法很多，但它们能够准确求得根却不多。

在实际工作中，很多时候我们需要寻找近似解。

近似解指的是某个方程的接近解，但不完全等于0。

近似解的意义在于它们比根更容易求得，但仍可以用于算法的一些计算和应用。

通常来说，要找到近似解，就需要定义某个误差量来度量它们之间的差异。

在具体应用中，我们可以将误差量作为近似解的公式来计算。

以下是一些常用的近似解求取方式：（1）平方根法：平方根法是其中一种最古老的方法，可以用来计算一个方程的近似解。

它使用迭代法求出方程的近似解，直到解收敛为偶函数为止。

（2）牛顿法：牛顿法是另一种比较古老的方法，它使用多项式近似函数和偏导数来对方程求解。

它最初是由牛顿发明的，后来被改进。

牛顿法可用来计算一个特定方程的近似解，但它也有其缺点，即在特定情况下，它可能无法收敛到解。

（3）梯度下降法：梯度下降法是一种非常流行的数值方法，它可以用来求解一个多变量函数的极小值。

它使用步长来移动步长，以便在每个步骤上求出一个近似解。

该方法也有一定的局限性，它有可能陷入局部最小值。

（4）拟牛顿法：拟牛顿法是一种近似求解方程的近似方法，它使用迭代法更新解，直到解收敛到某个精度为止。

它的优点在于它的执行速度很快，而且可以在高精度下求得一个近似解。

以上就是关于求取方程的近似解的介绍。

有了这些算法，我们可以更容易地求出近似解，让方程更容易求解。

它们可以帮助我们更快地解决一些复杂的数值问题。

在实际应用中，我们还可以组合使用这些方法，在一定精度范围内，以更快的速度解决一些复杂的数值问题。

总之，方程的近似解对于许多数值计算问题来说是非常有用的，近似解的求取方法也有很多，比如平方根法、牛顿法、梯度下降法和拟牛顿法等。

我们可以根据实际应用情况，灵活选择这些方法，帮助我们更快地解决这些问题。

10定态问题的常用近似方法

(1) (0) (0) (1) a [ E E ] W E kn k n mk mn n mn k 1
a [E
考虑两种情况 1. m = n
(1 ) mn
(0) m
E
(0) n
] W mn E mn
(1 ) n
E
(1) a mn
(1 ) n
W nn
(2) (1) (0) (2) ˆ : H 0 | n W | n E n | n 2
E
(1) n
|
(1) n
E
(2) n
|
(0) n

整理后得：
ˆ E ( 0 ) ] | ( 0 ) 0 [ H 0 n n ˆ E ( 0 ) ] | ψ ( 1 ) [W E ( 1 ) ] | ψ ( 0 ) [H 0 n n n n ˆ E ( 0 ) ] | ( 2 ) [W E (1) ] | (1) E ( 2 ) | ( 0 ) [ H 0 n n n n n n
[

(0) n (0) n
|
(1 ) n
|] [|
(0) n
|
(1 ) n
]
(0) (0) (1) | n n | n
(1) (0) (1) (1) n | n 2 n | n
1 [a
（2）态矢的一级修正 |ψ n(1)>
令
(1) (1) (0) | n a kn | k k 1

为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|ψn>的归一化条件证明上式展开系数中ann(1)= 0 证：

包辛尼斯克近似成立条件-解释说明

包辛尼斯克近似成立条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：包辛尼斯克近似是一种用来估计复杂问题的方法，在许多科学领域都有广泛的应用。

它基于对问题的简化处理，通过建立近似模型来解决实际中较复杂或难以求解的情况。

本文旨在介绍包辛尼斯克近似的定义、成立条件以及其在各个领域中的应用。

通过深入研究和讨论，我们可以更好地理解和应用包辛尼斯克近似，在实际问题中取得更好的效果。

在正文部分，我们将首先介绍包辛尼斯克近似的准确定义，详细解释其基本原理和关键步骤。

接着，我们将探讨包辛尼斯克近似成立的条件，分析在什么情况下可以使用该方法来近似求解问题。

随后，我们将重点介绍包辛尼斯克近似在不同领域中的应用。

无论是物理学、经济学还是工程学等，包辛尼斯克近似都有着广泛的应用范围。

我们将通过具体案例和实际问题来说明其中的应用思路和具体步骤。

最后，我们将对包辛尼斯克近似进行评价，并展望未来在该领域的研究方向。

我们将总结整篇文章的主要观点，并提出一些可以进一步拓展和研究的问题。

通过对包辛尼斯克近似的全面介绍和讨论，我们希望读者能够对该方法有更深入的了解，并在实际问题中灵活应用，达到更好的问题求解效果。

请继续阅读后续内容，详细了解包辛尼斯克近似的相关知识和应用。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以参考如下：2. 文章结构本文将按照以下结构来探讨包辛尼斯克近似的成立条件及其应用领域。

具体结构如下：2.1 包辛尼斯克近似的定义在本部分，我们将对包辛尼斯克近似的定义进行详细介绍。

我们将解释包辛尼斯克近似的含义以及其在数学和统计学中的应用。

通过这一部分的阐述，读者将对包辛尼斯克近似的概念有一个清晰的理解。

2.2 包辛尼斯克近似的成立条件这一部分将详细探讨包辛尼斯克近似成立的条件。

我们将介绍数学领域中被提出的一些基本假设，以确保包辛尼斯克近似的有效性和适用性。

通过分析这些条件，我们可以更好地理解包辛尼斯克近似的局限性和适用范围。

《一维定态问题》课件

《一维定态问题》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学中有广泛的应用，例如描述电子在一维势场中的行为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电子能带等问题时，可以把复杂的多维系统简化为一维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实现量子计算提供了基础，如量子比特的储存和操作等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板上演示一维定态问题的解析求解过程。

新教材苏教版高中数学必修第二册第十章三角恒等变换知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213．又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π．又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用【例3】已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解] ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33．又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6． ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．10.2 二倍角的三角函数知识点倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α．(1)T 2α对任意角α都成立吗？(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．重点题型类型1 直接应用二倍角公式求值【例1】 (对接教材P 63例1)已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π．又因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213．于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119．对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…．类型2逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α．[解]原式＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1．1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．类型3活用“倍角”关系巧解题【例3】已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的值．本题中角“π4－x”与角“π4＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的转换？[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝1213．∴cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2413．1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．[解]∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，由sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，得cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝1213，cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169．2．(变结论)本例条件不变，求sin 2x－2sin2x1－tan x的值．[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513．∵sin 2x－2sin2x1－tan x＝2sin x cos x－2sin2x1－sin xcos x＝2sin x(cos x－sin x)cos x－sin xcos x＝2sin x cos x＝sin 2x，又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×25169＝119169．∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝119169．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：(1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.10.3 几个三角恒等式知识点1 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2， sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2， cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2， cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2．知识点2 半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αsin 2α＝1－cos 2α2， cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2．重点题型类型1 应用和差化积或积化和差求值【例1】求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70° ＝34．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.类型2 万能代换公式的应用【例2】设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．利用万能代换公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.[证明] 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )21＋t 2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t2，故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.类型3 f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质【例3】求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[解] f (x )＝53×1＋cos 2x 2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－22．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] f (x )＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．2．(变条件)本例中，函数解析式变为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )，求f (x )的单调减区间．[解] ∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ．1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简． (2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 2．对三角函数式化简的常用方法 (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．。

高二物理竞赛课件：定态问题的常用近似方法

4
k
( 0 ) n
cii , 1,2,, k
i 1
相应的一级近似能量为
En
E
(0) n
E (1) n
如果
E
(1) n
有重根，则某个能态仍是简并的，相应
的0级近似波函数仍不能确定。
因而求解一级近似能量和0级近似波函数的关键仍是求 Hˆ ' 在简并态 i (i 1,2,, k) 中的矩阵元
H 'k1
H '12 H '22 En(1)
H 'k2
H '1k c1
H
H '2k
'k
k
E (1) n
c2
ck
0
由久期方程可得E
(1) n
E (1) n1
,
E
(1) n2
,,
E
(1) nk
，并分别代入
上式可得一组系数{ci ()} 从而给出
E (1) n
(
1,2,, k)
所对应的0级近似波函数：
E (0) 1
E (0) 3
E (0) 1
| a |2
E (0) 1
E (0) 3
E2
E (0) 2
H '22
| H '12 |2
E (0) 2
E (0) 1
| H '32 |2
E (0) 2
E (0) 3
E (0) 2
| b |2
E (0) 2
E (0) 3
E3
E (0) 3
H '33
| H '13 |2
E1(0)
1

固体物理三大近似

固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。

在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。

本文将介绍固体物理中的三大近似方法。

第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。

在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。

这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。

通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。

第二大近似是布洛赫定理。

布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。

根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。

这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。

第三大近似是有效质量近似。

在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。

为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。

有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。

通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。

综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。

这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。

量子力学(第十章微扰论)

1

(0)

(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)

ˆ E 1 (1) H

利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2

(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)

(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率考虑各向同性电介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为

平衡态近似

① 稳态近似：② 平衡态近似：k-1很大时，且k2最小k2这步反应很慢，称控制步骤用该步骤的反应速率代替整个反应的速率其它反应相对较快，都已近似处在平衡态——这就是平衡态5基元反应的速率理论就是从分子基本性质入手，研究速率常数的具体表示式即A和活化能E的物理意义及数值反应速率的理论很多，但都不够完善比较成熟的速率理论有两个：1) 简单碰撞理论在分子运动论基础上，以硬球碰撞为模型，也叫硬球碰撞理论2) 过渡态理论在统计热力学和量子力学基础上建立的10§7-1 简单碰撞理论（1918）Leuis研究双分子气相基元反应，得到了与阿氏公式相似的速率公式一. 基本观点：a) 把分子看成无结构刚球（无内部运动）分子接触碰撞才有可能起反应实际分子或原子接近时斥力加大，就改变方向使分子远离，这就完成一次碰撞两分子所能达到的最小距离称为碰撞直径（有效直径）11碰撞直径稍大于分子直径（或稍大于两分子的半径和）单位时间单位体积内分子间的碰撞次数——碰撞频率b) 只有活化分子碰撞才能反应活化分子是指高能量的分子，或称激烈碰撞才能反应这种能发生反应的激烈碰撞－－有效碰撞12有效碰撞率（q）：有效碰撞占总碰撞的分数（碰撞分数）不发生反应的碰撞只传递能量c) 发生碰撞的两个分子沿质心连线方向上的相对平动能超过一定值（E C）时才是有效碰撞E C: 临界能，或称阈能不同的反应有不同阈能相对平动能≥ E C 时的碰撞才是有效碰撞13说明：①两个分子的运动方向都在质心连线方向时为迎头碰撞这时体系总的相对平动能与质心连线方向的相对平动能相同②两分子的运动方向不在质心连线方向则将其分解成连线方向和垂直方向，只看连线方向上的相对平动能是否大于E C碰撞后能否发生反应，只取决于质心连线方向上的相对平动能E C14151617二. 硬球碰撞模型a) 碰撞频率Z AB :单位时间，单位体积内分子的碰撞次数例： A + B ⎯→ P （气相基元反应）分子半径：r A , r B平均运动速度：u A , u B单位体积内的分子数目（密度）：n A , n B 碰撞截面：σ ＝ π d2d 为两分子刚好碰撞的距离有效碰撞间距：d = d = r r A + + rr B①B分子不动，一个A以u A的速度运动②单位时间内π d2u A的圆筒内的所有B分子都与这个A分子碰撞即一秒钟内一个A分子与B分子的碰撞次数为：Z AB=π d2u A. . n n B③单位体积内n A个A分子的碰撞次数为Z AB=π d2u A. . n n A . . n n B④B也在运动，A B的相对运动速度u A BZ AB=π d2 u A B. n A . n B1819A 、B 分子间的相对运动速度与它们的运动方向有关，有三种极端情况：可认为其运动方向的平均值是90o的直角分子运动论：气相分子的平均运动速度若知m, r , 可以从理论上计算出Z AB oE C的计算在碰撞理论中没有给出一般只是借用实验测定的E a值因而这个公式是半经验的，故碰撞理论也是半经验理论252. A计算与A实验比较两者相差很大，原因：①计算中把分子看成刚球实际上分子都有内部结构，相互作用②只考虑能量因素，能量≥ E C就能反应实际存在空间效应，由于空间阻碍可能使碰撞变为无效③由于碰撞的延续时间也可能使能量≥ E C的碰撞无效28P：不能从理论上计算从实验数据与计算结果的对比中得到绝大多数P在1∼10-9之间，大于1的很少例：环戊二烯⎯→二聚物P = 3×10-7 K + Br2⎯→ KBr+Br. P = 4.8CH3.+ CH3. ⎯→C2H6P = 0.22C2H4 + H2⎯→ C2H6P = 1.7×10-6分子反应：碰撞→有效碰撞→空间因子→发生反应303. 对碰撞理论的评价成功之处：① 从微观上揭示了质量作用定律的本质，分子碰撞频率与浓度乘积成正比，正是反应速率与浓度成正比的由来② 碰撞理论说明了阿氏公式的指数项/RT的物理意义：有效碰撞分率e-Ea Ea/RT③ 碰撞理论给出的的直线关系比阿氏公式更精确31不足之处：① 未能从理论上说明几率因子P的物理意义及计算方法② 不能由理论上计算出活化能，活化能必须由实验测定这就失去了由理论预测k 的能力，使这个理论成为半经验理论32。

定态近似方法

179第八章定态近似方法§8.1 非简并态微扰论1, 基本方程组假定H 可以划分为两部分：0H 和H ′，0H 为H 的基本部分并且其定态问题可精确求解，称为参照系；而H ′是妨碍H 可精确求解的部分。

并且假定H ′比0H 小，以致可将H ′看作是对0H 的一种小扰动。

在此划分下,定态方程成为这里上标“()0”表示未受H ′扰动的参照系统的物理量。

按上面的假设，(){}0n E 、(){}0n ψ（下面简记它为(){0n ）是已知的。

将系统H 的态ψ相对于未受扰动的参照系态(){}0n （注意它们是完备的）作展开：(8.2)代入(8.1)式中，得()()()()∑∑=′+nn nnnn E c n H E c 00两边乘以()0k ，利用(){}0n 的正交归一性质，得()()()L ,,,k ,cH c E E nnknkk2100=′=−∑ (8.3)其中，()()00n H k H kn ′=′。

列出不同k 值的方程就得到一个线性联立方程组。

这个方程组就是定态微扰论的基本方程组，它们是下面进行各阶微扰近似计算的出发点。

在这个方程组中，未知数列是{}n c ，未知的本征值是E 。

注意，至此还未做任何近似。

180通常情况下，微扰项H ′中总含有一个小参量，以表示此项是一个微扰。

在下面逐阶近似中，为便于鉴别和计数含有这个小参量各种幂次的各阶近似，可以假想引入一个无量纲的参量λ，并将H H H ′+=0改写为()H H H ′+=λλ0，在对λ的各阶近似展开完成之后，再令1=λ，予以还原。

于是，先把E 、n c 按微扰级别（参量λ的幂次）展开：()()()()()()+++=+++=LL210210n n n n c c c c E E E E (8.4) 其中，()1E 和()1n c 含λ一次幂项，为一阶小量；()2E 和()2n c 含有2λ，为二阶小量。

它们分别表示微扰H ′对()0E 和()0nc 的一阶和二阶修正。

定态Schrodinger 方程

n (r ) n (r )
（2）几率密度流与时间无关
i J n (r , t ) [n (r , t )n (r , t ) n (r , t ) n (r , t )] 2

i [ n (r ) exp(iEnt / ) n (r ) exp( nt / ) iE 2 n (r ) exp( nt / ) n (r ) exp(iEnt / )] iE
§2.5 定态Schrodinger 方程
1.定态Schrodinger方程
2.Hamilton算符和能量本征值方程
3.求解定态问题的步骤 4.定态的性质
1.定态Schrodinger方程
有外场情况下的定态 Schrodinger 方程：
2 i ( r , t ) [ 2 V ( r )]( r , t ) t 2
和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。
此方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。
2.Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton 算符
i t E [ 2 V ] E 2
vr不随时间变用分离变量法一个是时间的函数一个是坐标的函数要相等必定等于一个常数波函数此方程称为定态schrodinger方程r也可称为定态波函数或可看作是t0时刻r0的定态波函数
量子力学基本假定 I
波函数完全描述粒子的状态,从这个波函数可
以得出体系的所有性能。波函数应该满足连续、
有限、单值条件。
量子力学基本假定 II
3.求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。步骤：

平衡态近似

平衡态近似
平衡态近似
_________________
平衡态近似是一种计算技术，它是一种模型，用于模拟复杂系统的行为。

它建立在物理学的基础上，使用数学方法来模拟物理系统的行为。

它是一种可以模拟复杂系统的行为的模型，可以用来描述物理系统的行为。

平衡态近似的核心思想是，在描述一个复杂的物理系统时，可以将其分解成许多相对简单的子系统，而这些子系统都处于平衡态。

因此，可以使用这些子系统之间的相互作用来模拟整个物理系统的行为。

因此，平衡态近似是一种非常有用的计算技术，可以用来解决许多复杂的物理问题。

平衡态近似的核心思想有许多应用，其中最重要的应用之一是优化。

在优化中，平衡态近似可以用来有效地求解优化问题，例如最小二乘法和最小交叉熵法。

它可以用来寻找最优解，也可以用来减少计算复杂度，使得优化问题可以得到很好的解决。

另外，平衡态近似也可以用来解决许多物理问题。

它可以用来求解机械系统的平衡态，也可以用来求解力学、电力学、流体力学等问题。

此外，它还可以用于分子动力学中，可以用来预测分子间相互作用的力学效应。

最后，平衡态近似也可以用于生物学和化学中，可以用来求解生物和化学反应之间的关系。

例如，可以用它来求解生物体的代谢过程和化学反应之间的关系。

此外，它还可以用于生物抗性方面，例如，可以用来预测抗生素对生物体的作用效果。

总之，平衡态近似是一种非常有效的计算技术，它可以用来解决许多复杂的物理、生物和化学问题。

它具有很强的通用性，能够有效地应用于不同领域，从而帮助我们更好地理解复杂系统的行为。

复习资料近似代数

一、名词解释（试卷中所有的名词，不限名词解释中）代数运算，结合律，交换律，分配率群，单位元，逆元，群的阶，元素的阶子群，不变子群，左（右）陪集，商群循环群，模n 加群，变换群，置换群，对称群，交换群，克莱因4元群（K4）对换，k-轮换，群同态，群同构环，零元，负元，单位元，逆元，零因子整环，除环，域，交换换子环，子整环，子除环，子域特征，理想，最大理想，环同态，环同构二、计算题。

1、求Zn 的所有子群（或某阶子群）。

2、求Sn 的某阶所有元素。

3、求Sn 的关于某个子群的左陪集分解。

4、求Sn 的某几个元素生产的子群5、 Zn[x]上的元素的四则运算（加减乘）6、 Zn 的所有理想。

例1：试求Z18所有4阶子群。

例2,：试求Z8的所有子群。

例3,：试求S4所有2阶元。

例4：试求S6的子群<(12),(13)>中所有元素。

例:5：试求S3关于{（1），（12）}的左陪集分解。

例6：[]x Z x g x f 6)(),(∈，[][]3()42f x x x =-++、[][]()23g x x =-，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 。

例7：求Z8的所有理想。

三、证明题。

1、设G 是半群，如果对任意的,a b G ∈，若a b ≠则ab ba ≠，证明abc ac =。

2、若群G 中最高阶元素是2阶的，证明：1、群G 是交换群。

2、若G 的阶大于4则k4是其子群，进而G 的阶总是4的倍数。

3、若a m <>=，试证明/(,)na m m n =4、若G 为交换群，且,a m b n ==，试证明/(,)ab mn m n =3、N G ，/6G N =，证明：g G ∀∈，6g N ∈。

4、关于子群的积交并，是否还是子群。

5、关于正规子群的积交并，是否还是正规子群。

6、证明：含非零元的有限无零因子交换幺环是域。

7、证明：无零因子环中的非零元，关于加法的阶均相同。

3.3 紧束缚近似

§ 3.3.2 微扰作用与能带的形成显然，在独立电子近似和周期场近似下Bravais晶格中的单电子 Hamilton算符可改写成如下形式
2 2 ˆ ˆ Ha r u (r Rl ) H ' U (r ) u (r Rl ) u(r R‘ l ) ve (r ) 2 me ‘ l ( l ) 于是，Bravais晶格中的单电子定态SchrÖdinger方程为 ˆ ˆ ˆ H (r ) ( H a H ' ) (r ) (r ) 如果将独立电子近似和周期场近似下Bravais晶格中的单个电子进一步简化为紧束缚电子，则有 ˆ ' H ˆ H a
ˆ H ˆ H ˆ' H a
这样，在原子内束缚电子的定态SchrÖdinger方程的近似解的基础上，应用量子力学中的微扰理论就可以近似地求解晶体中的单电子定态SchrÖdinger方程
原子内束缚电子的定态SchrÖdinger方程在有关原子的量子力学理论中已经近似解出，原子内束缚电子的各单电子能级及其相应的定态波函数(在固体物理学中，通常又称为电子的原子轨道函数或原子轨道)如表所示：能级
§ 3.3 紧束缚近似
在本节中，将以绝缘体晶体和半导体晶体中的s、 p价电子以及过渡族金属晶体中的d价电子等价电子在
晶体中的行为特点为基础，建立起近似地求解独立电
子近似和周期场近似下晶体中单个电子运动的定态
SchrÖdinger方程的另一种近似方法——紧束缚电子
近似方法。其物理图象及结果较适用于过渡族金属中
Rl
其运动将遍及整个晶体体积区域，故而常将描述晶体中共有化电子运动状态的单电子定态波函数称为电子的晶体轨道函数或晶体轨道。与此同时，在其它离子实和其它价电子的微扰作用下，N重简 (a) 并的能级 i 将进一步分裂成N个密集的能级从而形成一个能带，

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