第十章 定态问题的常用近似s

|
xk 1,k
|2 ]
k
1 2
h 0
q2E 2
2m02
(25)
即所有能级都下降了 qE 2m02 ，这对于能谱
形状(均匀分布)并无影响，但波函数将发生变
化，一级微扰近似波函数为
k
(
x)
(0) k
(x)
n
H nk
E(0) k
E(0) n
(0) n
(0) k
(
x)＋
qE
h0
1
k
2
1
(0) k 1
E E(0) E(1) 2E(2) L
(2)
(0) (1) 2 (2) L
(3)
式中 E(0，) (0) 是零级近似解。把(2),(3)式代入
(A)式中，得到
(Hµ0 W )( (0) (1) 2 (2) L )
(
E(0) n
E(1)
2E(2)
L
) ( (0)
10.1.2 电介质的极化率 考虑各相同性电介质在外电场作用下的极
化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。
设沿x方向加上以均匀外电场 E ，对带电 q
的离子，Hamilton量为
H
h2 2m
d2 dx2
1 2
m02 x2
qE
x
(19)
因为外电厂沿 x 方向，对y，z方向的振动不发
n
1 2
h0
,
n
0,1, 2,
（23）
可求出
1
xnk
a
k
2
1
n,k 1
k
2
n,k
1
(24)
Ek
E(0) k
H kk
n
| Hnk |2
E(0) k
E(0) n
(注意：Hkk =0)
k
1 2
h0
q2E 2
h0
n
| xnk (k
|2 n)
k
1 2
h0
Fra Baidu bibliotek
q2E 2
h0
[|
xk 1,k
|2
=1
E(0) k
E(0) n
使微扰论计算收敛较快，因为高级微扰修正 的计算是很麻烦的。
(b) 计算中，要充分利用 H的对称性以及相
应的选择定则，以省掉一些不必要的计算。 (c) 从(11b),(14),(16)各式可以看出，如在 Ek(0)的近
邻有一条或几条其他能级(即近简并情况)，则 上述微扰论也不大适用。需用其他办法来处 理(见10.2.3的讨论)。
得出，它可与零级近似波函数合并，剩下的二级修正
波函数部分与 k(0)正交。
讨论
(a) 用微扰论处理具体问题的同时，要恰当的选
取 H0。在有的问题中，H0 和 H 的划分是很
显然的，例如在Stark效应和Zeeman效应中 分别把外电场和外磁场的作用看成微扰。 但 在有些问题中，特别是在某些模型理论计算
(m≠k) (10)
至于
a (1) k
,可以证明,可以取值为零。因此在一
级近似下：
Ek
E(0) k
Wkk
E(0) k
Hkk
(11a)
k
(0) k
n
H nk
E(0) k
E(0) n
(0) n
(11b)
应当注意，这里是讨论非简并能级Ek(0) 及相
应波函数
(0) k
如何受到微扰的影响。
是指对
n
电偶极矩为
qE
D 2 m02
q
2q2E
m02
(28)
极化率定义为 D E ，则极化率为
2q2
m02
2 0
(29)
讨论：
本题可严格求解，并可以与微扰论计算结
果比较。在Schrödinger方程
h2 2m
d2 dx2
1 2
m02 x2
qE
x
E
(30)
中，令
ax ，a m0 h
(31)
能得到在全空间有界的解，即能量可能取为
En
n
1 2
h0
1 2
02
h0
n
1 2
h0
q2E2
2m02
(37)
与微扰论计算结果式(22)完全相同。相应的本
征函数为
n
Nn
exp
1 2
2
Hn ()
Nn exp 12（－0）2 Hn (－0 )
Nn
exp
1 2
a（2 x－x0）2
H
n [a( x－x0
可证明与式(26)波函数相同。
值得注意，当无外电场时，x0 0 ，式(38)即
谐振子的基态波函数 0 (x)。而均匀外场E 的影
响，相当于把波函数 0 (x) ，变成 0 (x x0 ),
x0 qE m02。但对原来的谐振子的Hamilton量
H0 来讲， 0 (x x0 )不再是 它的基态，也不是 它的本征态，而是 H0 的无穷多个本征态的叠
E a (0) (1) km
E (1) mk
(8)
其中：
Wmk
(
(0) m
,W
(0 k
)
)
式(8)中，当m=k时，得
E (1)
Wkk
(
(0) k
,W
(0) k
)
(9)
E(1)即能量的一级修正，它是微扰在零级波
函数下的平均值。
式(8)中,当m≠k时，得：
a (1) m
Wmk
E(0) k
E(0) m
已解出，它的能级有一些是非简并的，也可能
有一些是简并的(例如，中心力场中粒子的基
态是非简并的，而激发态则大多是简并的)。
在本节中，我们将讨论非简并的能级怎样受到
微扰的影响，所以在式(1)中，简并量子数并
没有明显的表达出来。
我们按逐步近似的精神来求解Schrödinger
方程(A)。为此，将受微扰的能级和波函数视为 的 函数，并展为 的幂级数如下：
第十章 定态问题的常用近似方法
在量子力学中，体系的能级和定态波函 数可以通过求解定态Schrödinger方程得到。 但除了少数体系外,大多数问题不能严格求 解，而必须采用近似方法。例如微扰论，变 分法等。各种近似方法都有其优缺点和适用 范围，其中应用最广泛的就是微扰论。
设体系不显含时间的Hamilton为 Hµ ,能量
中, 往往根据如何使计算简化来决定 H0和 H
的划分，同时兼顾计算结果的精确度。
即一方面要求 H0的本征值的计算比较容易, 或 H0 的 本征解已知(不管它是怎样求出的)，
还要求 H的矩阵元的计算也较容易。另一方
面，又要求 H 的主要部分尽可能包含在 H0
中，使 H 的矩阵元比较小，以保证
H nk
本征方程为
Hµ E
(A)
在一般情形下，要严格求解这个方程是困难
的，但是如果 Hµ可以分成两部分
Hµ Hµ0 Hµ Hµ0 W
(B)
其中 Hµ0 的本征值及本征函数是已知的，或 者容易解出。而另一部分Hµ很小，可以看作
是加于Hµ0上的微扰。其中 往往是刻画某种相
互作用强度的参数，是一个小量，即| |= 1 ，Hµ 称为微扰。假设 Hµ0的本征值及本征函数较容
则
d2 d 2
2
0
2qE
mh0
2E h0
再令 则
0 qE 0 mh0
0
2E
h0
02
d 2 2 0 d 2
(32) (33) (34) (35) (36)
式(36)与谐振子的能量本征方程完全相同[见
§3.3 式(6)]。只当 2n 1(n 0,1, 2,L )时,才
(
x)
k
2
(0) k 1
(
x)
(26)
既原来零级波函数
( k
0)
中，混进了与它邻近的两
条能级的波函数
。 (0)
k 1
在不加外场时，在具有确定宇称的
( k
0)
态下,
粒子位置的平均值：
x
(
(0) k
,
x
(0) k
)
0
这是很自然的 , 因为本来我们的坐标原点就取在
谐振子的平衡位置。当加上外电场时 , 粒子平衡
公式(11b)及(14)是非简并微扰论中最常用到的 基本公式，微扰对波函数的修正,通常计算到一 级，而对能量的修正，则计算到二级。从公式 (11b)及(14)可以看出，若在 Ek(0) 能级邻近，有另 外一条或几条能级存在(近简并情况)，则上列公 式不大合用,需要用另外方法来处理(见下节)。 在二级近似下，波函数可以表示为
易解出，或已有现成的解(不论如何得到的)， 则可以在这个基础上，把微扰 Hµ的影响逐级考
虑进去，以得出方程(I)的尽可能接近于精确解 的近似解。
微扰论的具体形式是多种多样的，但基本 精神相同，即逐级近似。
§10.1 非简并微扰论
10.1.1 一般公式
设
Hµ0
(0) n
E(0) (0) nn
(1)
或
(4c)
(Hµ0 E(0) ) (2) (E(1) W ) (1) E(2) (0)
LL
以下逐级求解。
首先不考虑微扰的时候,体系处于H0非简并
能级 Ek(0) ,即
E (0)
E(0) k
(5)
(k选定，它可以是任一非简并态),相应的波函
数为：
(0)
( k
0)
(6)
• 一级近似解
令
(1)
a (1) k
0
）
E(2)
n
an(1)Wkn
n
WnkWkn
E(0) k
E(0) n
n
| Wnk
E(0) k
|2 E(0)
n
因此，在准确到二级近似下，能量本征值为：
Ek
E(0) k
Wkk
2
n
| Wnk
E(0) k
|2 E(0)
n
Ek
E(0) k
Hkk
n
| Hnk
E(0) k
|2 E(0)
n
(14)
a(1) (0) nn
n
(7)
把式(5),(6),(7)代入(4b)，得
a E W E a E (1) (0) (0) nn n
(0)
(0)
(1) (0)
(1) (0)
k
k
nn
k
n
n
两边左乘
(0) m
并积分，利用
H0
的本征函数的正
交归一性，可得
a E (1) (0) mm
Wmk
位置将发生偏离,用式(26)既(24)不难求出：
x (k , xk )
2 qE
h0
1
k+ 2
1 xk
,k
1
k
2
xk
,k
1
qE
m02
(27)
即平衡位置偏离了qE m02。正离子沿电场方向
挪了| q | E m02 ，而负离子则沿电场反方向挪 动了| q | E m02 。因此，由于外点场而产生的
一切n(n ≠ k)的相应能级和量子态求和，En 既可
以是非简并的，也可以是有简并的，在后一种
情况下， n
表示要对属于
En
的所有简并态求和,
这在(11b)式中未明显标记出来。
• 二级近似解
令：
(2)
a(2) (0) nn
n
(12)
代入式(4c)中，并利用式(5),(6)及一级近似解，
可得
a E (2) (0) nn
(1)
2 (2)
L
)
等式两边同次幂的 系数值应相等,故有
0 ：
Hµ0 (0) E(0) (0)
(4a)
1 ：Hµ0 (1) W (0) E(0) (1) E(1) (0)
或
(Hµ0 E(0) ) (1) (E(1) W ) (0)
(4b)
2 ：Hµ0 (2) W (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0)
k k (0)
n
'
(
E
(0
H
' nk
) k
E
(0)
n
)
n
(
0)
m
'
n
'
(Ek (0)
H
' mn
H
nk
'
E (0)m )(Ek (0)
E (0) n
)
H
' mk
H
' kk
(
E
(0) k
E(0)m )2
(0) m
1
2
n
'
(Ek
H' 2 nk
(0)
E (0) n
)2
k
(0)
其中最后一项可利用归一化条件（准确到二级近似）
)]
(38)
其中
x0 0 a qE m02
是有外电场E 的情况下，谐振子的新的平衡点
的位置。与式(27)的结果式完全相同的。当然，
波函数(38)与一级微扰波函数(26)并不完全相同,
但如式(38)对 作Taylor展开,准确到微扰(即 E ）
的一次幂项，并利用Hermite多项式的递推关系，
生影响，故略去不加讨论，取
H0
h2 2m
d2 dx2
1 2
m02 x2
(20)
H ' qE x
(21)
H0 即谐振子Hamilton量,其本征函数为(见3.4节)
(0) n
(
x)
Nn
exp
(1
2)a2 x2
Hn (ax)
(22)
a m0 / h
Nn 为归一化常数。相应的能量本征值为
利用公式
E (0) n
加，这就是应用极为广泛的谐振子相干态，是 Schrodinger在1926年发现的。它具有很多重要 的特性,例如具有最小的不确定度 xp x 2 ， 波包不扩散，波包中心的运动与经典谐振子完 全相同。
(0) n
W
a(1) (0) nn
n
n
E(0) k
a(2) (0)
nn n
Wkk
n
an(1)
(0) n
E(2) (0) k
等式两边左乘 ，并积分，得
(0) m
a E (2) (0) mm
' an(1)Wmn
E a (0) (2) km
Wkk
a(1) m
E(2)
mk
n
当 m=k
时，上式给出（考虑到