不变量

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物理学中的守恒律与不变量

物理学中的守恒律与不变量物理学是一门自然科学，研究物质的本质和相互作用的规律。

在物理学中，守恒律和不变量是非常重要的概念，这些概念帮助我们描述物理现象，并且在很多理论和实验研究中都扮演着重要的角色。

一、守恒律的概念守恒律是指在物理世界中，某些量的总量在时间上保持不变的基本规律。

这些量可以是能量、动量、角动量、电荷、质量等等，它们都是物理学中非常基础的概念，在我们观察和研究物理世界中都扮演着重要的角色。

在守恒律的定义中，有两个关键字，一个是“总量”，一个是“时间上不变”。

这意味着在一个封闭系统中，守恒量在整个系统中的总量是不会发生变化的，这个规律在物理学中是非常严格的。

二、守恒律的种类在物理学中，有很多种不同的守恒律。

我们来看一下其中比较常见的几种。

1. 能量守恒定律能量守恒定律是指在一个封闭系统中，能量的总量始终保持不变，只能从一种形式转换成另一种形式。

例如，光能可以转化为电能，电能可以转化为热能，但总能量不变。

2. 动量守恒定律动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总动量一直保持不变。

如果一个物体的动量增加，那么另一个物体的动量就会减少，使得总动量保持不变。

3. 角动量守恒定律角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总角动量一直保持不变。

如果一个物体的角动量增加，那么另一个物体的角动量就会减少，使得总角动量保持不变。

4. 电荷守恒定律电荷守恒定律是指在一个封闭系统中，正电荷和负电荷的总量始终保持不变。

这个定律在电磁学中非常重要。

三、不变量的概念不变量是指在某些物理变化中，保持不变的量。

不变量和守恒律有一些相似之处，但是它们之间也有一些不同之处。

守恒律是指在整个系统中，某些量的总量是不会发生变化的。

而不变量是指在一个单独的物理变化中，某些量是不会发生变化的。

举例来说，如果我们在某个位置抛出一个物体，那么这个物体在不同的时间和位置上的速度和加速度都会发生变化，但是它的动量和动能是不会发生变化的，这些量就是不变量。

不变量

例 2 化简方程 x 2 + 7 y 2 + z 2 + 10 xy + 10 yz + 2 xz + 8 x + 4 y + 8 z − 6 = 0 并指出它是什么曲面.
定理3.3 定理
二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：二次曲面用不变量表示它的简化方程如下：
2 2 2
I4 =0 ; (1) 当 I 3 ≠ 0 时, λ1 x + λ2 y + λ3 z + I3 I4 2 2 (2) 当 I 3 = 0, I 4 ≠ 0时, λ1 x + λ2 y ± 2 − z = 0 ; I2 K I 3 = I 4 = 0, I 2 ≠ 0 时, λ1 x2 + λ2 y2 + 2 = 0 ; (3) 当 I2
a14 x y a24 =0 a34 z a44 1
其中，λ是任意实数，经过坐标变换α = T α ′后，上式将变为
' a11 − λ ' a12 y′ z ′ 1) ' a13 ' a14 ' a12 ' a22 − λ ' a23 ' a24 ' a13 ' a23 ' a33 − λ ' a34 ' a14 ' a24 ' a34 ' a44
定理3.2 定理
在保持原点不动的直角坐标变换（即坐标旋转变换）下， K1 , K 2是不变量，称为半不变量.
证明: 证明设直角坐标变换为α = T α ′，其中，T 是正交矩阵，
考虑如下二次曲面
a13 a11 −λ a12 a a −λ a 22 23 (x y z 1 12 ) a13 a23 a33 −λ a24 a34 a14

抓不变量解题技巧

抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。

不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。

通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。

以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。

这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。

2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。

这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。

3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。

使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。

4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。

这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。

5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。

通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。

6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。

例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。

以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。

第23讲不变量原理

第23讲不变量原理有一句容易记住的话：如果有重复，寻找不改变的东西！——A·恩格尔大千世界在不断地变化着，既有质的变化，更有量的变化。

俗话说：“万变不离其宗”。

在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种规律，这就需要我们透过表面现象，找出事物变化中保持不变的规律，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。

寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。

从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。

20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。

影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量。

一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。

经典例题解析让我们通过一个简单例子来揭示不变量原理。

例1 在某部落的语言中一共只有两个字母：A和B，并且该语言具有以下性质：如果从单词中删去相连的字母AB，则词义保持不变。

或者说：如果在单词中的任何位置增添字母组合BA或AABB，则词义不变。

试问，能否断言单词ABB与BAA词义相同？解应当注意：在保持词义不变的各种增或删的变化之中，A与B总是增删同样的个数。

因此这些变化不会改变单词中两种字母的个数之差。

例如在如下一串“保义变化”中B始终比A多一个：B BBA BAABBBA BABBA→→→。

回到原来的问题：在单词ABB中，B比A多一个；而在单词BAA中，B却比A少一个！因此我们不能断言：这两个单词同义。

上述解答用实例说明了不变量原理运用的主要思路。

我们面对某些对象，对于它们可以进行一定类型的操作，在操作之后便提出了这样的问题：能否由一种对象变为另一种对象？为了回答这个问题，我们构造出某种量，这种量在所作的操作之下保持不变。

如果这种量对于所言的两个对象是不同的，那么便可给予所问的问题以否定的回答。

例2 10名乒乓球运动员参加循环赛,每两名运动员之间都要进行比赛.在循环赛过程中,1号运动员获胜x1次,失败y1次;2号运动员获胜x2次,失败y2次,等等.求证:x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.证明每个运动员共比赛9场,其获胜与失败总数和为9,即x i+y i=9(1<=i<=10).既然每场比赛一些运动员获胜,另一些运动员要失败,那么x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,从而(x12+x22+…+x102)-(y12+y22+…+y102) = (x12-y12)+…+(x102-y102) = 9[(x1+x2+…+x10)-(y1+y2+…+y10)] = 0所以x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.3,4,12出发，每一步可以选其中两个数,a b，并把它们换成例 3 从数组{}0.60.8a b -以及0.80.6a b +。

不变量

' a11 ' a12 y z 1) ' a13 ' a14 ' a12 ' a22 ' a23 ' a24 ' a13 ' a23 ' a33 ' a34 ' a14 ' a24 ' a34 ' a44
( x
x y 0 z 1
I 2 , I3 I3. I1 I1 , I 2 T T A T I4 0 TT
T 0
0 1
A T
a44 0
T 0
1 T 0 0 1
0 A 1 T

a44
TT A T A I4.
a22 a23 a24
K 2 a12 a22 a24 a13 a33 a34 a23 a33 a34 a14 a24 a44 a14 a34 a44 a24 a34 a44
定理3.2
在保持原点不动的直角坐标变换（即坐标旋转变换）下， K1 , K2是不变量，称为半不变量.
证明: 设直角坐标变换为 T ，其中，T 是正交矩阵，
T
' 1
a44 3 K12 K 2 A ,
比较和 2的系数得到
K K1, K K2 .
' 2
于是K1 , K2在保持原点不动的直角坐标变换下是不变的.
定理（1）当 I3 I4 0 时，K 2 是不变量
（2）当 I2 I3 I4 K2 0时， K1 是不变量
T 0 1 T 0 1 0 a44

不变量解题四种方法

不变量解题四种方法一、引言不变量是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种问题。

在解题过程中，我们可以根据不变量的特性来判断某些事物是否发生了改变，从而得出结论。

本文将介绍四种使用不变量解题的方法。

二、方法一：数学归纳法1. 定义不变量：在使用数学归纳法时，需要定义一个与题目相关的不变量。

2. 假设成立：假设当n=k时，不变量成立。

3. 证明当n=k+1时也成立：利用假设成立的条件和题目条件，证明当n=k+1时，不变量仍然成立。

4. 结论：由数学归纳法可知，在所有正整数下，该不变量均成立。

三、方法二：矛盾法1. 假设反面命题为真：在使用矛盾法时，需要先假设反面命题为真。

2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。

3. 得出结论：由于假设反面命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。

四、方法三：最值法1. 寻找最值：在使用最值法时，需要寻找一个与题目相关的最值。

2. 证明不变量：通过对最值的分析，得出一个与题目相关的不变量。

3. 利用不变量解题：根据不变量的特性，可以得出结论。

五、方法四：反证法1. 假设反命题为真：在使用反证法时，需要假设反命题为真。

2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。

3. 得出结论：由于假设反命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。

六、总结以上四种方法都是基于不变量的思想来解决问题。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法。

同时，在使用这些方法时也需要注意分析问题、定义不变量等细节问题。

浅谈“不变量”在物理解题中的应用

浅谈“不变量”在物理解题中的应用在物理中，有许多物理量是不变的，如:质量、密度、比热、容器容积、物体体积、导体电阻大小等。

如果我们能巧妙地抓住这些不变量，就能顺利的解决有关问题。

一、质量不变例：一块90g的冰熔化成水后,体积是多少?解:由m水=m冰，得∨水﹦∨冰=90g÷1g∕cm3=90cm3二、、容器容积不变例：有一只空瓶的质量是20g，装满水后质量是120g，倒干净后再装满酒精质量是105g，问该酒精是否是纯酒精？解：由于瓶子容积不变，酒精和水的体积相同，先求出水的体积为100cm3就是酒精的体积，再用酒精的质量85g除以水的体积得到酒精的密度为0.85g∕cm3大于纯酒精的密度，因而不是纯酒精。

三、密度不变例：一位同学根据公式，密度=质量÷体积，得出结论;物质的密度跟它的质量成正比,跟它的体积成反比。

你认为这位同学的说法对不对？为什么？答：密度是物质的一种特性，同种物质不变，与质量和体积无关。

当然也可以说质量增大，体积也增大相同的倍数，比值不变。

四、物体体积不变例：飞机设计师为减轻飞机重量，将一钢制零件改为铝制零件，使其质量减少104kg,则需铝的质量是多少？(ρ铝=2.7×103kg/m3,ρ钢=7.9×103kg/m3)解：飞机上钢制零件改为铝制零件后，零件的体积不变，质量却减少了104kg，可以设所需铝的质量为m,则原来钢制零件的质量为m+104kg。

据体积相同，列出关系：m/ρ铝=（m+104kg）/ρ钢，代入数值后，求得m=54kg。

五、导体电阻不变例：一导体的电阻为15欧，当加在它两端的电压增大3v时，导体的电流将增大多少？解：设导体两端原来的电压为u1,电流为I1，则有I1=u1/R，设导体后来的两端电压为U2,电流为I2,由于电压增大后电阻不变，则有I２=U２/R两式相减，I2-I1=(U2-U1)/R，即△I=△U/R=3/15=0.2(A)。

不变量问题公式

不变量问题公式一、题目。

1. 有一杯盐水，盐和水的比是1:10，再放入2克盐，新盐水重35克，求原来盐水中盐和水各多少克？- 解析：新盐水重35克，原来盐水重35 - 2 = 33克。

因为原来盐和水的比是1:10，设原来盐有x克，则水有10x克，x+10x = 33，11x = 33，解得x = 3克，那么水有10×3 = 30克。

2. 某工厂甲车间人数与乙车间人数比为3:2，从甲车间调10人到乙车间后，甲车间人数与乙车间人数比变为7:8。

求原来甲、乙车间各有多少人？- 解析：设原来甲车间有3x人，乙车间有2x人。

调动后甲车间有3x - 10人，乙车间有2x+10人，根据调动后比例可得(3x - 10):(2x + 10)=7:8，即8(3x -10)=7(2x + 10)，24x-80 = 14x + 70，24x-14x = 70 + 80，10x = 150，x = 15。

所以原来甲车间有3×15 = 45人，乙车间有2×15 = 30人。

3. 一个分数，分子与分母的和是45，如果分子加上3，分母不变，这个分数就等于1。

求原来的分数。

- 解析：设原来分子为x，分母为y，则x + y=45，(x + 3)/(y)=1即x+3 = y。

将y=x + 3代入x + y = 45中，得x+(x + 3)=45，2x+3 = 45，2x = 42，x = 21，则y = 21 + 3 = 24，原来的分数是(21)/(24)。

4. 甲、乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5。

求两包糖的总重量。

- 解析：设乙包糖原来重x克，则甲包糖原来重4x克。

(4x - 10):(x +10)=7:5，5(4x - 10)=7(x + 10)，20x-50 = 7x + 70，20x - 7x = 70+50，13x = 120，x=\frac{120}{13}\)。

小学数学不变量练习题

小学数学不变量练习题在小学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些关于不变量的练习题。

不变量是指在一个变化过程中保持不变的量或性质。

通过解决这些不变量练习题，可以帮助我们培养逻辑思维和数学推理能力。

接下来，我们将通过一些具体的例题来讨论不变量的应用。

题目一：有一个篮子里初始放着6个苹果和4个梨，现在小明从篮子中取出一个水果并吃掉，然后放入3个橙子。

请问，取出水果之前和之后，篮子中水果的总数和水果种类的数量有何变化？解答一：篮子中水果的总数在取出水果之前是10个（6个苹果+4个梨），取出水果之后是9个（10个-1个）。

水果种类的数量在取出水果之前是2种（苹果和梨），取出水果之后仍然是2种（苹果和梨）。

因此，从取出水果之前到之后，篮子中水果的总数减少了1个，但水果种类的数量保持不变。

题目二：有一组数字序列：1，4，7，10，13，...，如果按照规律继续下去，第20个数字是多少？并求出每两个相邻数字的差值。

解答二：观察数字序列可以发现，每两个相邻数字的差值都是3。

因此，我们可以利用不变量来解决这个问题。

首先，我们找出数字序列中的一个不变量，即任意一个数字减去它的横向前一个数字的差值。

在这个序列中，可以选取数字4和数字1来计算这个差值，结果为3。

接着，我们可以利用不变量来直接计算出第20个数字。

第20个数字是第1个数字加上前19个数字间隔的总和，即1 + 3 × (19-1) = 1 + 3 ×18 = 1 + 54 = 55。

综上所述，在这个数字序列中，每两个相邻数字的差值始终为3，而数字序列中的不变量是3。

根据这个不变量，我们可以计算出第20个数字为55。

题目三：在一个数字游戏中，小明从100开始，每次可以进行下面两种操作之一：将当前数字加5，或者将当前数字乘以3。

请问，小明经过若干次操作后，能否得到数字117？解答三：这个题目可以通过逆向思维和不变量的概念来解决。

我们先找出一个不变量，即在任何步骤中，小明所得到的数字与100的差值。

不变量理论

射影微分不变量是曲线上关于单点导数和位置的一个非常复杂的函数。它是一个局部不变量，通过研究曲线射影变换前后曲线的曲率、挠率等局部特征的函数关系获得，但是由于这种不变量受噪音影响大、计算复杂，实际应用并不常见。
谢谢观看
由定义可见， I(P)为由参数计算出来的标量，可以是实数或复数，而且只要变换T属于同一变换群 G，则 I(P)与变换T的具体参数无关。
历史发展
希尔伯特在1892年之前主要研究不变量理论；他对这一课题最重要的贡献是在1890和1893年发表的。要理解它们在不变量理论历史中的地位，一个很有用的方法就是读一读希尔伯特自己为1893年的国际数学家大会准备的对这一理论的介绍。
布尔、凯莱和西尔维斯特论述不变量理论的早期作品发表之后的30年里，很多时间耗在计算特殊不变量上。除了前面提到的英国数学家之外，对这项活动做出重要贡献的还有克莱布什和齐格弗里德·海因里希·阿龙霍尔德(1819～1884)，他们发现了三元三次形式的不变量，并确立了“符号”计算法。把这项工作系统化，就是要找出不变量的完整系统或基础；就是说，给定一个n次的x的形式，求出有理整数不变量及共变式的最小个数，使得任何其他有理整数不变量或共变式能够用完全集的有理系数表示为一个有理整数形式。埃尔朗根大学的数学教授保罗·戈尔丹(1837～1912)证明了存在二元形式的有限完全集。他表明，每个二元形式都有一个不变量与共变式的有限完全系，而且，任何二元形式的有限系都有这样一个系。戈尔丹的证明很笨拙，但显示了完全系如何能够计算；1886年，弗兰兹-梅尔滕斯(1840～1927)提供了一个更流畅的归纳证明，并没有显示系。希尔伯特1888年的著名成果更加一般，被称作“基本定理”。它作为论文《论代数形式理论》的定理1发表在1890年的《数学年刊》上。照例，希尔伯特把一个代数形式定义为一个某些变量的整有理齐次函数，它的系数是某个“有理域”中的数。该定理声称：对于任何有n个变量的形式所组成的无穷序列，都存在一个数m，使得该序列中的任何一个形式都可以表示为

不变量方法

不变量方法方法论有三种：第一种是已知量，第二种是相对已知量，而第三种是不变量。

举个例子，要求证x＋y＝5，这是一个已知量，根据它列出了x ＋y＋z＝5， y＋z＋x＋y＝5，再用这些去验证得到的答案。

这个已知量叫做已知量，也叫做条件。

我们要想证明x＋y＝5，就必须得到x＋y＋z＝5，因为已知量x＋y，所以y＋z＋x＋y必然成立，因此得到y＋z＋x＋y＝5，所以x＋y＝5，那么原来求证的已知量x＋y＝5，已经变成了相对已知量。

下面就是我们要做的事情了，要用这个已知量和相对已知量去求证x＋y＝5，于是我们想到了一种方法，也就是不变量方法，就是求证的时候，把x＋y换成z，将y＋z换成x，而其余的未知量没有改变。

下面举几个例子，希望能够让大家明白什么是不变量方法。

比如说有些人会问“黑板是长方形还是正方形”的问题，如果只告诉他黑板是长方形，而其余的未知量都没有发生改变，那么怎么可能回答得上来呢？可是如果告诉他答案就是长方形，而不告诉他任何关于长方形的信息，那么他又怎么可能猜到黑板是长方形的呢？这就是不变量方法，在无形中给了你已知条件，让你自己去寻找相应的信息。

再举个例子，一个公司里的老总突然间死亡了，很多人都想知道谁是凶手，可是警察却一点头绪都没有，于是他们想到了利用不变量方法，从法律上看，凶手是不可能被判刑的，因为他是善良的好人，而从其余的未知量来看，凶手没有动机、时间和金钱，从不杀人的心理学来看，凶手也没有犯罪的胆子，因此完全可以推测出凶手就是老总的父亲。

这就是不变量方法，当你不知道未知量的时候，你可以通过已知量获得一个猜测，然后再反过来推断未知量。

最后来个数学定义，不变量方法也叫做矛盾法则，可以表示为“已知量x＋y＝x＋y＋z，相对已知量x＋y＋z＝x＋y＋z＋x＋z，并且与条件无关”，于是我们可以通过条件得到相对已知量和不变量，进而通过不变量方法证明已知量。

最终得到x＋y＝5，其余的未知量不发生变化。

不变量的分析及原理

不变量的分析及原理
不变量的分析及原理可以概括为:
1. 不变量的定义
不变量是指在程序执行过程中其值保持不变的变量或表达式。

2. 不变量的作用
不变量可以用于描述某个算法或数据结构的重要性质,它在程序的预条件、后条件以及循环不变式中起到重要作用。

3. 不变量的分析
分析一个程序,找到其关键数据中的保持不变的部分,抽象出不变量。

不变量通常反映了问题的核心特征。

4. 不变量的设计
设计一个程序时,需要确定其不变量,并通过初始化和维护使其在程序执行中保持正确。

5. 不变量的证明
要通过数学推导来严格证明一个不变量的正确性,确保它在所有情况下都成立。

6. 不变量的应用
应用不变量进行程序正确性证明,以及用于程序调试和错误检测。

总之,不变量是程序正确性分析中一个非常重要的概念,需要通过仔细设计、推导和验证,并在程序开发中得以正确应用。

一般二次曲线不变量的探讨

一般二次曲线不变量的探讨
在数学中，一般二次曲线能够描述所有抛物线和圆，其标准方程为：
y=ax²+bx+c
一般二次曲线有8个不变量：
1、由一般二次曲线的标准方程得到的不变量，包括a，b，c三个参数；
2、一般二次曲线的顶点的坐标，也是不变的；
3、当给出两点的坐标时，可以求出抛物线的焦点坐标，焦点也是不变的；
4、一般二次曲线的两条对称轴的斜率也是常数；
5、抛物线的焦点到两条对称轴的距离也是不变的，即焦距；
6、一般二次曲线的切线斜率和切线方程也是不变的；
7、抛物线围成的图形的面积是不变的；
8、抛物线上某点到顶点的距离也是不变的，只要点不发生变动，距离
也不会改变。

不变量

两个数量之间的倍数关系，常常随着数量的增加或者减少而发生改变，这类题目容易变化，但解答时只要认真审题，能在数量变化中找到不变量，以此作为突破口，问题就能得到解决。

例1：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须从乙仓库运走多少吨？(甲不变)分析与解：在从乙仓库运走粮食前后，乙仓库的存粮变少了，两个仓库存粮的总量也变少了，但甲仓库的存粮不变，这是本题解题的关键。

即108吨就是乙仓库现有存粮的3倍，乙仓库现在有粮食108÷3=36吨，所以必须从乙仓库运走140-36=104吨。

验证：108÷(140-104)=108÷36=3，答案正确。

例2：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须运进多少吨到甲仓库？(乙不变)分析与解：在运进粮食到甲仓库前后，甲仓库的存粮变多了，两个仓库存粮的总量也变多了，但乙仓库的存粮不变，这是本题解题的关键。

甲仓库现有存粮即乙仓库存粮的3倍，也就是140×3=420吨，所以必须运进420-108=312吨到甲仓库。

验证：(108+312)÷140=420÷140=3，答案正确。

例3：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？(和不变)分析与解：在从乙仓库运粮食到甲仓库前后，甲仓库的存粮变多了，乙仓库的存粮变少了，但两个仓库存粮的总量不变，这是本题解题的关键。

即(108+140)吨就是乙仓库现有存粮的(3+1)倍，乙仓库现在有存粮(108+140)÷(3+1)=62吨，所以必须从乙仓库运出140-62=78吨放入甲仓库。

验证：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。

例4：甲仓库原有存粮108吨，乙仓库原有存粮140吨，要使乙仓库存粮数是甲仓库的3倍，必须分别从两个仓库同时运走吨。

六年级奥数-17“不变量”解题

“不变量”解题1.认识不变量2.能用不变量解题1.学会找出有用的不变量2.抓住题目的不变量，把单位“1”往不变量统一一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

总量不变这类应用题的特点是：题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1.小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。

问小芳借了多少本故事书给小丽？练习1.有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。

例2.某校合唱队人数是舞蹈队人数的23，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的87，原合唱队有多少人？练习1.某校一年级有两个班，一班人数是二班人数的53，从二班调5人到一班后，一班人数是二班的人数的97，求原来一、二班有多少人？关键在于找出总人数是不变量部分不变这类应用题的特点是：两个量中的一个量发生了变化，而另一个量不变。

解题时可以把这个不变的量作为解题突破口，寻找解题方法。

例1.有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖?练习1.有含盐率15％的盐水200千克，要使含盐率降为5％，需要加水多少千克？分析题目找到不变的部分就是解题的关键例2.小军原有的钱数是小明的43，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的175。

第十六讲不变量法

第十六讲不变量法【知识概述】小明今年9岁，小东今年10岁，过年前，小明兴奋地对小东说：“小东，过完年我就长大一岁了。

就和你一样大了。

小东听了他的话后哈哈大笑起来：“难道我就不长大了吗？”是的，过完年大家都会长一岁，小明长大了一岁，小东也会长大一岁，因此小东仍然会比小明大一岁。

由此我们可以发现一个很重要的规律，两个人的年龄差是不变的，生活中像这样的例子还有很多，我们要学会利用这样的不变量解决问题。

例题精学例1 学校第一次花60元买了20根跳绳，照这样计算，第二次比第一次多花33元，第二次买了多少根跳绳？同步精练1.一台织布机5小时织布30米，照这样的效率，再织2小时，共织布多少米？2.张丰去少年宫，3分钟走180米，照这样的速度，他还要走6分钟，张丰家离少年宫有多远？3.李强和妹妹去奶奶家，2小时走了8千米，照这样的速度，去奶奶家还要走4小时。

他们家离奶奶家有多少千米？例2 三(1)班原来有36人，男生人数比女生人数多6人，后来又转来几名男生，这时男生人数是女生人数的2倍，三（1)班现有多少人？同步精练1.汽车从甲城到乙城，3小时行了108千米，照这样的速度又行了5小时才到达乙城。

甲、乙两城相距多少千米？2.某车间计划12小时生产1600个零件，结果前3个小时就完成了480个。

照这样的工效，比原计划提前几小时完成任务？例3 一辆汽车，上午行3小时，下午用同样的速度行5小时，下午比上午多行86千米。

求汽车的速度。

同步精练1.某商店上午卖出皮鞋18双，下午卖出同样的皮鞋23双。

下午比上午多收款425元。

每双皮鞋多少元？2.4个工人5小时生产零件100个，照这样计算，6个工人8小时生产零件多少个？3.3头牛4天吃了120千克的草料，照这样计算，10头牛15天需要多少千克的草料？例4 某工厂生产一批农具，25个工人用28天完成，因生产紧迫，需要提前8天完成，应增加多少工人？同步精练1.学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用了45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够在校班级用多少天？2.一个粮食加工厂加工面粉5000千克，4小时加工了2000千克，照这样计算，加工完剩下的面粉还要几小时？3.一个采石场原来4辆汽车每天共运矿石288吨。

不变量定义方程

不变量定义方程【最新版】目录1.引言：不变量的概念2.不变量的定义3.不变量的性质4.不变量在数学中的应用5.结论：不变量的重要性正文1.引言：不变量的概念在数学中，不变量是指在特定变换下保持不变的量。

在各种数学问题中，不变量起着至关重要的作用，它们可以帮助我们简化问题，揭示问题的本质。

为了更好地理解不变量，我们需要先了解什么是不变量。

2.不变量的定义设 f(x) 是一个函数，如果对任意 x，有 f(T(x))=f(x)，则称函数f(x) 是关于变换 T 的不变量。

其中，T(x) 表示变换作用于 x 后的结果。

简单来说，不变量就是在某种变换下保持不变的量。

3.不变量的性质不变量具有以下性质：（1）封闭性：若 f(x) 和 g(x) 都是关于变换 T 的不变量，则f(x)+g(x) 和 f(g(x)) 也是关于变换 T 的不变量。

（2）线性性：若 f(x) 和 g(x) 都是关于变换 T 的不变量，且 a、b 为常数，则 af(x)+bg(x) 也是关于变换 T 的不变量。

（3）不变性：若 f(x) 是关于变换 T 的不变量，则 f(f(x)) 也是关于变换 T 的不变量。

4.不变量在数学中的应用不变量在数学中有广泛应用，例如：（1）在微积分中，求解常微分方程时，不变量可以帮助我们简化问题。

（2）在线性代数中，不变量可以用来研究矩阵的性质。

（3）在物理学中，不变量可以用来描述物理系统的运动规律。

5.结论：不变量的重要性不变量在数学和实际问题中具有重要意义。

通过研究不变量，我们可以简化问题，更好地理解问题的本质。

小红讲数学不变量

小红讲数学不变量
什么叫“不变量”？小红认为在解决问题时，条件发生了各种变化后，但是某个量或者某种关系恒定不变，这个量或者关系就成为解决问题的突破口的数学思想方法。

小红：下面我通过一个题目来说明“不变量”的数学思想方法。

健健今年8岁，妈妈今年32岁，多少年后，妈妈的年龄是健健年龄的3倍？
（1）初看这个题目似乎只能通过列举法来解决问题。

尝试操作后，我们会发现需要列举很多次，比较麻烦，肯定不是一种最合理的解法。

（2）当问题很难，没有头绪时，记得用“不变量”来思考问题。

今年和多少年后有什么东西始终没有发生变化呢？对了！是妈妈与健健的年龄差始终不变。

因此我们求出今年妈妈与健健的年龄差：32-8=24（岁）
（3）多少年后，妈妈与健健的年龄差等于今年妈妈与健健的年龄差，即也相差24岁。

（4）利用“归一思想”（不知道什么是“归一思想”可以看我前天的文章）发现多少年后，妈妈与健健的年龄差刚好是2个健健的年龄：3-1=2
（5）此时健健的年龄：24÷2=12（岁）
（6）健健经过了多少年：12-8=4（年）。

不变量应用题解题思路

不变量应用题解题思路数学，作为一门严谨的科学，有着广泛的应用范围。

在数学的学习过程中，不变量是一种常见的概念。

不变量是指在一个过程中保持不变的量，而在解题过程中，不变量的应用非常重要，可以帮助我们理清问题的思路，简化解题过程。

本文将以一些具体的数学问题为例，来探讨不变量的应用。

首先，让我们回顾一下不变量的定义。

不变量是指在某种变化过程中，保持不变的量。

换句话说，不变量可以帮助我们找到问题中保持恒定的性质。

在解题中，我们可以利用这个恒定性质来简化问题，或者推导出问题的解答。

一个经典的例子是约瑟夫问题。

约瑟夫问题是一个有趣而古老的问题，它描述了一群人围成一圈报数，每次报到某个数字的人出局，剩下的人继续报数，直到最后只剩下一个人为止。

那么，在这个问题中，我们可以发现一个不变量，即“剩余人数除以报数数字的余数”。

这个不变量在每一轮中都保持不变。

通过观察，我们发现，只有当剩余人数为1时，才能满足这个不变量。

因此，我们可以通过不变量的应用推导出问题的解答，即最后剩下的人的编号。

再来看一个实际应用中的问题。

假设有一些正方形和长方形砖块，它们的边长和宽度都是整数。

我们希望将这些砖块拼成一条长的砖墙，使得砖墙的高度尽可能高，并且每一层砖墙的长度等于砖墙的总长度。

这个问题可以使用不变量来解决。

我们定义不变量为“当前砖墙的总长度除以砖墙的高度”。

起初，这个不变量的值为0。

我们逐步添加砖块到砖墙中，每次添加的砖块的长度都等于当前砖墙的高度。

那么，每次添加后，不变量的值都会增加一。

当我们无法添加更多的砖块时，也就是不变量的值无法进一步增加时，说明我们已经找到了满足要求的砖墙。

这是一个典型的应用了不变量的解题思路。

通过定义一个合适的不变量，我们将一个复杂的问题简化为一个易于理解和求解的问题。

在这个例子中，不变量帮助我们找到了满足要求的砖墙的解答。

除了上述例子之外，不变量在数学的其他领域也有广泛的应用。

在代数学中，我们可以通过定义多项式的某些属性作为不变量，推导出多项式的根的性质。

相对论不变量

相对论不变量相对论不变量是相对论中的一个重要概念，它在描述物理现象时起到了至关重要的作用。

相对论不变量是指在洛伦兹变换下保持不变的物理量。

它们的存在使得我们能够在不同参考系中进行物理规律的描述和分析。

一个经典的相对论不变量是能量-动量四维矢量的长度平方，即质量。

在相对论中，质量不再是一个固定不变的量，而是与观察者的参考系相关。

然而，质量的不变性使得它成为相对论中的一个重要概念。

无论在哪个参考系中观察，质量都是不变的，这是相对论理论中的一个基本原理。

另一个重要的相对论不变量是间隔。

间隔是描述两事件之间的时空距离的物理量。

在相对论中，间隔可以是时空的，也可以是空间的。

根据间隔的正负号，我们可以判断两事件之间的因果关系。

间隔的不变性使得相对论能够描述事件之间的因果关系，从而建立了相对论的因果结构。

除了质量和间隔，相对论还有许多其他的不变量，如电荷、自旋等。

这些不变量在相对论中具有重要的物理意义，它们的不变性使得相对论能够描述自然界中的各种物理现象。

相对论不变量的存在与发展，对于物理学的发展产生了深远的影响。

它们为我们理解宇宙的本质提供了重要的线索，也为我们设计和实现各种实验提供了理论依据。

相对论不变量的研究不仅仅是理论物理学的重要领域，也是实验物理学的重要内容。

相对论不变量是相对论中的重要概念，它们的存在使得我们能够在不同参考系中进行物理规律的描述和分析。

相对论不变量的研究对于理解宇宙的本质和推动物理学的发展具有重要的意义。

通过对相对论不变量的深入研究，我们可以更加深入地理解自然界的规律，并为人类社会的发展做出更大的贡献。