编号77山西大学附中高三年级空间向量及其运算

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号77

空间向量及其运算

【学习目标】复习空间向量的概念，熟练空间向量的坐标运算，会用空间向量解决立体

几何问题. 【学习重点】空间向量的坐标运算及其应用.

【学习难点】向量法的应用.

【学习过程】

（一）基础梳理

1．空间直角坐标系及有关概念

2、空间向量的概念及运算

空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循_________________法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算__________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。

3、空间向量的有关定理

（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b _______，a ∥b 的充要条件是_________________________

（2）共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是_______________________________________________________

注：若a 与b 确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。

（3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c _________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得_______________。其中，

_____________叫做空间的一

个基底。

4．空间向量的坐标表示

(1)空间向量运算的坐标表示 设a ＝321,,(a a a )，b ＝),,(321b b b ，

则a ＋b ＝_______________， a －b ＝____________________，

λa ＝_________________， a •b ＝______________________.

(2)重要结论

a ∥

b ⇔___________⇔_________________________________；

a ⊥

b ⇔___________⇔_________________________； a ＝____________________________________________；

>

(3)空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，已知点),,(111c b a A ，),,(222c b a B ，则B A ,两点间的距离B A ＝____________________

（二）巩固练习： 1．已知)1,3,2(--=a r ，)4,0,2(=b r ，)2,6,4(--=c r

，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对

2．ABC ∆的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于 ( )

A ．5 B.41 C ．4 D ．52

3．在正方体1111D C B A ABCD -中，给出以下向量表达式：

①(11A D －1A A )－AB ； ②(1BC BB +)－11D C ；

③(AD AB -)－21DD ； ④(11B D ＋1A A )＋1DD .

其中能够化简为向量1BD 的是 ( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

4．在以下命题中，不正确的命题个数为( ) (1)已知D C B 、、、A 是空间任意四点，则A D D C C B B A +++＝0. (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ， c ＋a }构成空间的另一个基底． (3)|( a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. (4)对空间任意一点O 和不共线的三点C B 、、A ，若C zO B yO A xO P O ++= (其中x 、y 、R z ∈)，则C B 、、、A P 四点共面．( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5．在四面体ABC O -中，OA ＝a ，OB ＝b ，C O ＝c ，D 为BC 的中点，

E 为AD 的中点，则E O 可表示为(用a ，b 、c 表示)． ( )

A.c b a 414121++

B.c b a 213121-+

C.c b a 414131++

D. c b a 414131+-

6．已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，

若1AE AA =＋AB xy AD +，则x 、y 的值分别为 ( )

A ．1=x ，1=y

B ．1=x ，2

1=

y

C ．21=x ，21=y

D ．2

1=x ，1=y

7．正方体1111D C B A ABCD -中，EF 是异面直线AC 与D A 1的公垂线，则EF 与1BD 所成的角是 ( )

A ．︒90

B ．︒60

C ．︒30

D ．︒0

8．已知)3,2,1(A ，)2,1,2(B ，)2,1,1(P ，点Q 在直线OP 上运动．当B Q A Q

•取最小值时，点Q 的坐标为______．

9.三菱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都相等， ︒=∠=∠6011CAA BAA ,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________.

10．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是︒60，则对角线1AC 的长是________．

11．在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅＝________.

12．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．