江苏省南京市金陵中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题Word版含解析

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江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题百度文库

一、等差数列选择题1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（）A ．4B ．6C ．7D ．82．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝24．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（） A ．160B ．180C ．200D ．2206．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．2407．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +8．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸9．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200B ．100C ．90D ．8010．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（）A ．24B ．23C ．17D ．1613．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（） A ．51B ．57C ．54D ．7216．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2217．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15B ．20C ．25D ．30二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，()21212n n a a -=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列25．题目文件丢失！26．题目文件丢失！27．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 28．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝029．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值【详解】解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =，故选：A 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=，所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 6．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 7．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 8．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ． 9．C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C 10．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 11．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．A 【分析】由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值【详解】解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=，故选：A. 13．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 14．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d d S n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-，对称轴为92n =，因为n ∈+N ，02d<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 15．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 16．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-，则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 17．C【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=，故选：C . 20．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.22．AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.23．ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC24．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;选项B: 2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11n n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.25．无26．无27．ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x f x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.28．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 29．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.30．BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．。

江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则AB = .2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为0x +=,则实数m 的值为 .7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a = .8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 .9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2(3cos ,cos )n x x =.(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且132m n ⋅=-.求cos2x 的值. 16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,且过点1)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=.(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和. 20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e=相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值； (2)设函数()()a h x ax g x x =--在区间1(,e)e内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210L x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线L '的方程.22.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系xOy相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(θ为参数,[0,2]θπ∈),直线l 的极坐标方程为cos()4p πθ-=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.试卷答案一、填空题. 1. {2,4,6,8} 2. 5 3. 120 4. 45. 37. 31n-8.169. [5,13] 10.311. 36 12. 10(,]3-∞ 13. 111(,)(,1)32214. 5{|4a a <-或3}4a >- 二、解答题.15. 解(1)当3x π=时，1]m =-，1]4n =，所以311442m n ⋅=-=.(2) 2cos cos m n x x x ⋅=-112cos2222x x =-- 1sin[2]62x π=--，若122m n ⋅=-.则11sin[2]6222x π--=-，即sin[2]6x π-=. 因为[0,]4x π∈，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos[2]6x π-= 所以cos2cos[[2]]66x x ππ=-+cos[2]6x π=--1sin[2]62x π-⨯12=-=16.证明(1)因为在PAD ∆中, ,AP AD AM PD =⊥，所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点, 所以MN 是PDC ∆的中位线, 所以MN DC ∥. 因为底面ABCD 是矩形, 以AB DC ∥, 所以MN AB ∥.又AB ⊂平面PAB , MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB . (2)因为平面PAD ⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD CD AD =⊥，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ,所以CD AM ⊥. 因为CD AD ⊥,CD AM ⊥, CD PD D =,CD ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以AM ⊥平面PCD .17.解(1)易得AD 垂直平分BC ，1CD BD ==则1cos CE EB θ==，tan ED θ=，tan AE θ=，于是11()cos cos f θθθ=++2sin tan cos θθθ-=+因为E 在CD 之间,所以03πθ<<，故2sin ()cos f θθθ-=+，03πθ<<.(2) 22cos (2sin )(sin )()cos f θθθθθ----=，03πθ<<，令()0f θ=,得1sin ,26πθθ==，故当06πθ<<，()0f θ<，()f θ递减,当sin 62ππθ<<,()0f θ>,()f θ递增,所以,当6πθ=时, min ()()6f f πθ==12-+=答:当6DCE π∠=时, ()f θ最小值为18.解(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c =，由题意知22311,4c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2,1,a b =⎧⎨=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)设00(,)A x y ,则00(,)B x y --,010y k x =,又F , 所以直线AF的方程为y x =-.由221,4y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得2200(7)x x --20070x -+=.因为0x x =是该方程的一个解,所以点C的横坐标C x =又点(,)C C C x y在直线y x =-上，所以C C y x =-=C的坐标为同理,点D的坐标为，所以2k =101472y k x ==，即存在7m =,使得217k k =.19.(1)证明:因为*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+，21(1)2n n a p S ++=-+所以两式相减得211(1)n n n a a p a +++-=-, 即21n n a pa ++=，当1n =时211(1)2a p a pa =-+=，所以*1,()n n a pa n N +=∈，又因为1p >,所以11n nn n a a p p++=，所以数列{}n na p是常数列, 112,2n n n n a a a p p p p -===，所以{}n a 是以2为首项, p 为公比的等比数列.(2)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n np n -=1(1)()2017n n n n -+所以20182b =.(3)由(1)得12n n a p -=.2121log ()n n b a a a n==(1)221log (2)n n n p n -=(1)2121log (22)n n n k n -+1121n k -=++. 因为322322(21)n n k b k ---=+，所以当11n k ≤≤+时, 32n n c b =-，当2n k ≥+时，32n n c b =-. 因此数列{}n c 的前2(21)k +项的和22k T +121()k b b b +=-++++2222()k k k b b b ++++++0121k k +++=-++(1)(2)2+121k k k k ++++++ (1)221k k k +=-++2(1)(22)(1)22121k k k k k k ++++=++. 20. (1)设直线2y x e =与函数()1n f x c x =相切于点00(,1n )P x c x ，函数()1n f x c x =在点00(,1n )P x c x 处的切线方程为: 0001()c y c nx x x x -=-，02c x e=，把0,0x y ==代入上式得0,2x e c ==. 所以,实数c 的值为2. (2)①由(1)知()21n ah x ax x x=--, 设函数()h x 在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22()a a h x a x x x'=+--2220ax x ax -+==, 则220ax x a -+=,设2()2m x ax x a =-+,因为121x x =,故只需0,20,()0,am e ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩,所以, 2211e a e <<+.②因为121x x =,所以，121()()M f x f x ax =-=1221221n (21n )a ax ax x x x ----- 11121n a ax x x =---1111(21n )a ax x x -- 21112221n aax x x =--由21120ax x a -+=,得12121x a x =+,且111x e<<. 12111211222121x x x M x x x +=-+222111211121n 4(1n )12x x x x --=-+. 设21x t =,211t e <<,令11()4(1n )+12t t t t ϕ-=-， 221()4()(+1)2t t t ϕ'=-222(1)0(1)t t t --=<+， ()t ϕ(在21(,1)e 上单调递减,从而21(1)()()t e ϕϕϕ<<，所以,实数M 的取值范围是28(0,)1e +. 高二数学Ⅱ（附加题）21. 解(1)由题知 2 11 3MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1 10 32 17 2⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以0 3)2l 7 det(2MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，根据逆矩阵公式,得121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)设由L 上的任意一点(,)P x y '''在T 作用下得到L '上对应点(,)p x y .由 2 11 3x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2,3'x y x x y y ''-=⎧⎨''+=⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧'=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=，即5470x y +-=.即直线L 的方程为5470x y +-=. 22.解(1)由,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22:13x C y +=，由cos ()4p πθθ-=cos sin 4p p θθ+=,即:40l x y +-=.(2)在22:13x C y +=上任取一点,sin )P θθ(02)θπ≤≤，则点P 到直线l的距离为d=|2sin()4|πθ+-=，02θπ≤≤，当sin()13πθ+=-，即76πθ=时，max d =23. 解(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()1()P A P A =-2211(1)25p =--=，解得35p =.(2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3, 且24(0)(1)25P X p ==-=, 2(1)(1)P X p p ==-24(1)(1)125p p p +--=， 327(3)125P X p ===，故(2)1(0)P X P X ==-=54(1)(3)125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望24()2125E X =+⨯54272133125125125+⨯=.24.解(1)如图,以D 为坐标原点,分别以直线1,,DA DC DD 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -，易得1(0,2,3)A B =-,设BE a =,则(0,2,)AE a =，因为1A B AE ⊥,所以1(0,2,3)AB AE ⋅=- (0,2,)430a a ⋅=-=，解得43a =,即4(0,2,)3AE =, 又1(2,2,3)D B =-,(2,2,0)AC =-, 所以1(2,23)D B AE ⋅=-4 (0,2,)03⋅=,所以1D B AE ⊥, 且1(2,2,3)(2,2,0)0D B AC ⋅=-⋅-=，所以1D B AC ⊥，又AE AC A =，所以1D B ⊥平面AEC . (2) 4(0,2,)3AE =，1(2,0,3)D A =-，1(0,2,3)DC =-，设平面1ACD 的一个法向量(,,)n x y z =，则110,0,D A n D C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230,230,x z y z -=⎧⎨-=⎩令0z =，则3x y ==，即(3,3,2)n =，sin |cos ,AE θ=<|||||AE n n AE n ⋅>=⋅423=2⨯⨯==22.。

江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析

江苏省南京市中学2018年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s参考答案：C【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故选C【点评】本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度．2. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A．34949 B． 34950 C．34951 D．35049参考答案：B略3. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C 解析：4. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）（A） k＞4? （B）k＞5? （C）k＞6? （D）k＞7?参考答案：A略5. 已知二项分布ξ～B（4，），则该分布列的方差Dξ值为（）A．4 B．3 C．1 D．2参考答案：C【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据比例符合二项分布，根据所给的二项分布的表示式，把n，p，q的结果代入方差的公式，做出要求的方差的值．【解答】解：∵二项分布ξ～B（4，），∴该分布列的方差Dξ=npq=4××（1﹣）=1故选：C．6. 设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为A. B.C. D. 1参考答案：C略7. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）A．16 B．12 C．10 D．8参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，∴PH=EF=，HF=PE=，∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．故选：B．【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．8. 已知复数满足，则的实部（）A.不小于B.不大于C.大于D.小于参考答案：B1. 已知集合,，则=A. B. C. D.参考答案：D略10. 设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p 的值分别是()A．50， B．60， C．50， D．60，参考答案：B由得二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正三角形内圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的___________.参考答案：略12. 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为___ _______参考答案：略13. 已知点，，则向量的坐标为▲.参考答案：（-5，6，-1）略14. 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．参考答案：x2+（y+1）2=18【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3， |AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：3【分析】先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.【详解】因为，，且，令，则，令得，显然，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此；因为对任意的恒成立，所以；即，所以，因此，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，故最小值为3，所以故答案为3【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.16. 已知函数的导函数为，且满足，则＝ . 参考答案：略17. 将正整数1，2，3，…按照如图的规律排列，则100应在第列．参考答案：14【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】先找到数的分布规律，求出第n列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．【解答】解：由排列的规律可得，第n列结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n+1）个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是13×（13+1）=91，第14列的第一个数字是14×（14+1）=105，故100应在第14列．故答案为：14【点评】此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市金陵中学2019届高二年级下学期数学检测卷(1)Word版含答案

金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。

临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!金陵中学2018-2019学年高二年级数学检测卷（1）学号________ 姓名_______________一、填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

1．已知集合A ＝{x|x 2＜3x ＋4，x ∈R }，则A ∩Z 中元素的个数为▲．2．函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为▲．3已知i 是虚数单位,则1－2i2＋i 等于▲．4．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输出s 的值是▲．5．已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是▲．6．若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角的余弦为▲．7．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝▲．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为▲．9．已知实数x ，y 满足x ＋y ＞2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则c ＝▲．11．若函数f(x)＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是▲．12．若命题“x ∈[1，3]，x 2－ax ＋4≥0”是真命题，则a 的取值范围是▲．填空题答题区1．2．3．4．5．．开始输入n i ←１，s ←１i ≤ns ←s ＋(i －1)Yi ←i ＋1输出s 结束N（第4题）6．7．8．9．10．．11．12．二、解答题(共6小题，总分80分)13．（本小题14分）已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx．（1）求函数f(x)的最小正周期和值域；（T－13）（2）若α为第二象限角，且f(α－π3)＝13，求cos2α1－tanα的值．（T－14）14．（本小题14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E?F分别是BD?BB1 的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1CD；（T－15）（2）求证：EF⊥AD1．（T－16）15．（本小题14分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8－200＝1000(元)．设购买某商品得到的实际折扣率＝实际付款额商品的标价．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（1）写出当x ∈（0，1000]时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（T －17）（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于23?（T －18）16．（本小题11分）正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(a n ＋12)2．（1）证明数列{a n }为等差数列并求其通项公式；（T －19）（2）设c n ＝1a n a n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明:13≤T n ＜12．（T －20）17．（本小题11分）已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x －1．（1）用a表示b，c；（T－21）（2）若f(x)≥lnx在[1，＋∞）上恒成立，求a的取值范围．（T－22）18．（本小题16分）如图，已知椭圆C：x24＋y2＝1的上?下顶点分别为AB，点P在椭圆上，且异于点AB，直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点MN．（1）设直线APBP的斜率分别为k1?k2，求证:k1・k2为定值；（T－23）（2）求线段MN的长的最小值．（T－24）金陵中学高二年级数学检测卷（1）解答1．4 2．(0，6] 3．－i 4．11 5．18 36．－127． 68．369．710．±511．(－3，－1)∪(1，3) 12．(－∞，4]13．(1)因为f(x)＝1＋cosx －3sinx ＝1＋2cos(x ＋π3)，所以函数f(x)的周期为2π，值域为[－1，3]．……6分(2)因为f (α－π3)＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13．因为cos2α1－tan α＝cos 2α－sin 2αcos α－sin αcos α＝cos α(cos α＋sin α)＝cos 2α＋cos αsin α，因为α为第二象限角，所以sin α＝223．所以cos2α1－tan α＝19－229．……14分14．(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连结B 1D 在平面BB 1D 内，E?F 分别为BD ?BB 1的中点，∴EF ∥B 1D ．又∵B 1D ?平面A 1B 1CD ，EF ?/平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD ．……………………7分(2)∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴A 1D 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1．又A 1D ∩A 1B ＝A 1，∴AD 1⊥平面A 1B 1D ，∴AD 1⊥B 1D ．又由(1)知，EF ∥B 1D ，∴EF ⊥AD 1．………………14分15．(1)∵500÷0.8＝625∴y ＝0.8，0＜x ＜625，0.8x －100x，625≤x ≤1000．当x ＝1000时，y ＝0.8×1000－1001000＝0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．……6分(2)当x ∈[2500，3500]时，0.8x ∈[2000，2800] ①当0.8x ∈[2000，2500)即x ∈[2500，3125)时，0.8x －400x ＜23解得x ＜3000 ∴2500≤x ＜3000；…10分②当0.8x ∈[2500，2800]即x ∈[3125，3500]时，0.8x －500x ＜23解得x ＜3750 ∴3125≤x ≤3500；……13分综上，2500≤x ＜3000或3125≤x ≤3500 即顾客购买标价在[2500，3000)∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于23．。

【精品高二数学期末】2019-年江苏省南京市高二第二学期数学期末试题+答案

2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =U ____________.2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是____________.3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为____________.4.如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为____________.6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>一条渐近线方程为30x +=,则实数m 的值为____________. 7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________.9.若实数,x y 满足条件14,23,x y x y -≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y =-的取值范围为____________. 10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()3sin g x x =,两曲线()y f x =与()y g x =在区间(0,)2π上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为____________.11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10=OB ，6OD =. 若28DA DC ⋅=-u u u r u u u r ,则BC BA ⋅的值为____________.12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为____________. 13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程. 15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-r ,23,cos )n x x =r .(1)当3x π=时,求m n ⋅的值；(2)若[0,]4x π∈，且3132m n ⋅=-.求2cos x 的值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD , AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：(1) MN ∥平面PAB ;(2) AM ⊥平面PCD .17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).(1)求()f θ的解析式；(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值.18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3,且过点1(3,)2.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线CD AB ,的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足21=a ,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列}{n b 满足2121log ()n n b a a a n =L . (1)求证:数列{}n a 是等比数列；(2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2y x e =相切,其中e 是自然对数的底数.(1)求实数c 的值；(2)设函数()()a h x ax g x x=--在区间1(,)e e 内有两个极值点. ①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ,求实数M 的取值范围 .高二数学Ⅱ(附加题)21.已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. (1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210l x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线'l 的方程.22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-＝. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为)10(<<p p .现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X的概率分布及数学期望()E X .24.如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, B A AE 1⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求θsin 的值.2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A B =U ____________.【答案】{2,4,6,8}【解析】分析：{}2,4,6,8A B ⋃=详解：因为{}2,4A =,{}2,6,8B =,A B ⋃表示A 集合和B 集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以{}2,4,6,8A B ⋃=点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2.已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是____________.【答案】5【解析】分析：先将复数z 右边化为a bi +形式，然后根据复数模的公式计算详解：因为()21214434z i i i =-=--=-- 所以z =点睛：复数计算时要把复数化为a bi +形式，以防止出错.3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为____________.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为10005 240012=女学生中抽取的人数为50人所以5n5012⨯=所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.4.如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.【答案】4【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环详解：第一次循环后：S=7，n=6；第二次循环后：S=13，n=5；第三次循环后：S=18，n=4；1818<不成立，结束循环所以输出值为4点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥111A AB D -的体积为____________.【答案】3【解析】分析：等体积转化111111A A AB D A B D V V --=详解：根据题目条件，在长方体1111ABCD A B C D -中,111111A A AB D A B D V V --= =1133232⨯⨯⨯⨯=3所以三棱锥111A AB D -的体积为3点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会. 6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为30x +=,则实数m 的值为____________. 【答案】3【解析】分析：双曲线2221(0)x y m m-=>的焦点在x 轴上，所以其渐近线方程为1y x m =±，根据条件，所以m 3详解：因为双曲线2221(0)x y m m-=>的焦点在x 轴上，所以其渐近线方程为1y x m=±，又因为该双曲线一条渐近线方程为0x +=,即y = 所以m点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x 轴上时为y b x a =±，当焦点在y 轴上时为y a x b=±.7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -==,则数列{}n a 的通项公式为n a =____________.【答案】13n -【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列{}n a 为等比数列，52378,13a a S -== 所以()41131781131a q a q a q q ⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩解得：113a q =⎧⎨=⎩ 所以13n n a -=点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________.【答案】1 6【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足2m n>的有6种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n,则共有6636⨯=种结果，满足2m n>共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种则2m n>”的概率是61P366==点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式()AP A事件包含的基本事件个数试验的基本事件总数=求解.9.若实数,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则42z x y=-的取值范围为____________. 【答案】[5,13]【解析】分析：根据,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩画出可行域，然后分析42z x y=-的最值详解：,x y满足条件14,23,x yx y-≤+≤⎧⎨≤-≤⎩即4132x yx yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎪⎨-≤⎪⎪-≥⎩，画出可行域：根据可行域可知，目标函数42z x y =-在A 点处取得最小值，在C 点处取得最大值13A ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，71C ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以42z x y =-的取值范围为[]5,13点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

2018-2019学年高二下期末数学试题(文)含答案

2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。

）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。

；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二(下)期中数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.5分）函数f （x ）=lg （-x 2+2x+3）的定义域为___ ．3.（填空题.5分）若复数 1+ai 1−i 为纯虚数.i 是虚数单位.则实数a 的值是___ ．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．10.（填空题.5分）若曲线C 1：y=3x 4-ax 3-6x 2与曲线C 2：y=e x 在x=1处的切线互相垂直.则实数a 的值为___ ．11.（填空题.5分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a 2−b 2c =3.则c=___ ．12.（填空题.5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f （2x-3）≤2的x 的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2-2ax+a 2-1.若关于x 的不等式f （f （x ））＜0的解集为空集.则实数a 的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0.当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15的所有解的和为___ ．15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值；（2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.O.E 分别为B 1D.AB 的中点．（1）求证：OE || 平面BCC 1B 1；（2）求证：平面B 1DC⊥平面B 1DE ．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后.经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x）.其中f（x）= {x216+2(0＜x≤4)x+142x−2 (x＞4).当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m的最小值．19.（问答题.16分）设函数f k(x)=2x+(k−1)•2−x（x∈R.k∈Z）．（1）若f k（x）是偶函数.求k的值；（2）设不等式f0（x）+mf1（x）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2.若g（x）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．20.（问答题.16分）记f′（x）.g′（x）分别为函数f（x）.g（x）的导函数．若存在x0∈R.满足f （x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0）.则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=lnx存在“S点”.求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a.g（x）= be xx．对任意a＞0.判断是否存在b＞0.使函数f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S点”.并说明理由．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）已知集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{-1}【解析】：利用交集的定义求解．【解答】：解：∵集合A={-2.-1}.B={-1.2.3}.∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．【点评】：本题考查交集的求法.是基础题.解题时要认真审题．2.（填空题.5分）函数f（x）=lg（-x2+2x+3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-1.3）【解析】：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解出即可得到定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则需-x2+2x+3＞0.解得.-1＜x＜3．则定义域为（-1.3）．故答案为：（-1.3）．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.注意对数的真数必须大于0.考查运算能力.属于基础题．3.（填空题.5分）若复数1+ai为纯虚数.i是虚数单位.则实数a的值是___ ．1−i【正确答案】：[1]1【解析】：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】：解：∵复数 1+ai 1−i = (1+ai )(1+i )(1−i )(1+i ) =1−a+(1+a )i 2 = 1−a 2+1+a 2i 为纯虚数. ∴ {1−a2=01+a2≠0 .解得a=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义.属于基础题．4.（填空题.5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本.则应从高一抽取的学生人数为___ 名．【正确答案】：[1]32【解析】：先求出高一学生在总体中所占的比例.再用样本容量乘以此比例.即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】：解：高一学生在总体中所占的比例为 44+3+3 = 25 .故应从高一年级抽取的学生人数为80× 25 =32.故答案为：32．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和方法.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比.属于基础题．5.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出S 的值是___ ．【正确答案】：[1]35【解析】：根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】：解：k=1.k ＞5不成立.S=0+12=1.k=1+2=3.k=3.k ＞5不成立.S=1+32=10.k=3+2=5.k=5.k ＞5不成立.S=10+52=35.k=5+2=7.k=7.k ＞5成立.输出S=35.故答案为：35【点评】：本题主要考查程序框图的识别和判断.利用模拟运算法是解决本题的关键．6.（填空题.5分）一只口袋内装有大小相同的5只球.其中3只白球.2只黑球.从中一次性随机摸出2只球.则恰好有1只是白球的概率为___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】：解：从中一次性随机摸出2只球.基本事件总数n= C 52=10 .恰好有1只是白球的基本事件个数m= C 31C 21=6 .∴恰好有1只是白球的概率P= m n =610 = 35．故答案为： 35 ．【点评】：本题考查概率的求法.是基础题.解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.（填空题.5分）已知变量x.y 满足 {2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0.则2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：作出不等式组对应的平面区域.设z=x+y.利用z 的几何意义.先求出z 的最大值.即可得到结论．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y.则y=-x+z.平移直线y=-x+z.由图象可知当直线y=-x+z 经过点A 时y=-x+z 的截距最大.此时z 最大．由 {2x −y =0x −2y +3=0.解得 {x =1y =2.即A （1.2）. 代入z=x+y 得z=1+2=3．即z=x+y 最大值为3.∴2x+y 的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】：本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算.利用z 的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））.则函数y=f （x-1）的值域为___ ．【正确答案】：[1][0.2）【解析】：由指数函数的单调性求出函数f （x ）=|2x -2|（x∈（-1.2））的值域.再由函数图象的平移得答案．【解答】：解：∵x∈（-1.2）.∴ 2x ∈(12，4) . 2x −2∈(−32，2) .则f （x ）=|2x -2|∈[0.2）.y=f （x-1）的图象是把函数f （x ）左右平移得到的.函数值域不发生变化.∴函数y=f （x-1）的值域为[0.2）．故答案为：[0.2）．【点评】：本题考查了函数的值域的求法.考查了函数图象的平移.是基础题．9.（填空题.5分）已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.|φ|＜ π2 ）的图象上有一个最高点的坐标为（2. √2 ）.由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点（6.0）.则此解析式为___ ．【正确答案】：[1]y= √2 sin （ π8 x+ π4 ）【解析】：根据函数的最高点的坐标确定A.根据函数零点的坐标确定函数的周期.利用最值点的坐标同时求φ的取值.即可得到函数的解析式．【解答】：解：∵函数图象的一个最高点为（2. √2）.∴A= √2 .x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6.0）.∴ T4=6-2=4.即函数的周期T=16.∵T= 2πω=16.∴ω= π8.此时函数y=f（x）= √2 sin（π8x+φ）.∵f（2）= √2 sin（π8×2+ψ）= √2 .∴sin（π4+φ）=1.即π4+φ= π2+2kπ.即ψ= π4+2kπ.∵|φ|＜π2.∴当k=0时.φ= π4.∴这个函数的解析式为y= √2 sin（π8 x+ π4）．故答案为：y= √2 sin（π8 x+ π4）【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.根据条件确定A.ω.φ的取值是解决本题的关键．10.（填空题.5分）若曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1] 13e【解析】：分别求出两个函数的导函数.求得两函数在x=1处的导数值.由题意知两导数值的乘积等于-1.由此求得a的值．【解答】：解：由y=3x4-ax3-6x2.得y′=12x3-3ax2-12x.∴y′|x=1=-3a.由y=e x.得y′=e x.∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直.∴-3a•e=-1.解得：a= 13e．故答案为：13e．【点评】：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程.函数在某点处的导数.就是曲线过该点的切线的斜率.是中档题．11.（填空题.5分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.若tanA=7tanB. a2−b2c=3.则c=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式.进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题.化简求得a.b和c的关系式.然后根据已知条件可直接求得c．【解答】：解：∵tanA=7ta nB.∴ sinA cosA =7• sinBcosB．∴sinAcosB=7sinBcosA.∴a• a2+c2−b22ac =7•b• b2+c2−a22bc.整理得8a2-8b2=6c2. ①∵ a2−b2c=3. ②① ② 联立求得c=4.故答案为：4【点评】：本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.（填空题.5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数．若f （-1）=-2.则满足f（2x-3）≤2的x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.2]【解析】：根据题意.由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数.且f（1）=-f（-1）=2.进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1.解可得x的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）是定义在R上的奇函数.且在（-∞.0]上为单调增函数.则在f（x）在[0.+∞）上也是增函数.故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2.则f（1）=-f（-1）=2.则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1.解可得x≤2.即不等式的解集为（-∞.2]；故答案为：（-∞.2]．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x 的不等式．13.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1.若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]a≤-2【解析】：由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1.不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1.原不等式的解集为空集.得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集.求出a的范围．【解答】：解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1.那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时.f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1.+∞）若原不等式的解集为空集.则（*）的解集为空集.那么（a-1.a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．【点评】：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围.属于中档题．14.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0f (x −1)+1，x ＞0 .当x∈[0.100]时.关于x 的方程f （x ）=x- 15 的所有解的和为___ ．【正确答案】：[1]10000【解析】：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和.找出规律作和即可．【解答】：解：x∈[0.1）时.f （x ）=（x-1）2+2（x-1）+1=x 2. 令f （x ）=x- 15.得：x 2-x+ 15=0.∴x 1+x 2=1； x∈[1.2）时.f （x ）=（x-1）2+1. 令f （x ）=x- 15 .得：x 3+x 4=3. x∈[3.4）时.f （x ）=（x-2）2+2. 令f （x ）=x- 15 .得：x 5+x 6=5. ….x∈[n .n+1）时.f （x ）=（x-n ）2+n. 令f （x ）=x- 15 .得：x 2n+1+x 2n+2=2n+1. x∈[99.100]时.f （x ）=（x-99）2+99. 令f （x ）=x- 15 .得：x 199+x 200=199. ∴1+3+5+…+199=10000. 故答案为：10000．【点评】：本题考查了分段函数问题.考查了分类讨论以及二次函数的性质.是一道基础题． 15.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．已知bcosC+ccosB=2acosA ．（1）求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .求△ABC 的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式.即可求角A 的大小；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 .根据向量的数量积.求出AB•AC 的大小即可.求△ABC 的面积【解答】：解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA. 即sin （B+C ）=2sinAcosA. 则sinA=2sinAcosA. 在三角形中.sinA≠0. ∴cosA= 12 . 即A= π3 ；（2）若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 . 则AB•ACcosA= 12 AB•AC= √3 . 即AB•AC=2 √3 .则△ABC 的面积S= 12 AB•ACsinA= 12×2√3×√32 = 32．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用.以及三角形面积的计算.利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）=ax 2+x-a.a∈R ．（1）若函数f （x ）有最大值 178 .求实数a 的值；（2）解不等式f （x ）＞1（a≥0）．【正确答案】：【解析】：（1）函数f （x ）有最大值 178 .则 {a ＜0−4a 2−14a=178.解之.即可求实数a 的值；（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即（x-1）（ax+a+1）＞0.再分类讨论.确定不等式的解集．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）有最大值 178 .所以a≥0.不满足题意； ∴ {a ＜0−4a 2−14a=178. ∴8a 2+17a+2=0.∴a=-2或a=- 18 ．（2）f （x ）=ax 2+x-a ＞1.即ax 2+x-（a+1）＞0.即（x-1）（ax+a+1）＞0a=0时.解集为（1.+∞）a＞0时.解集为（-∞.-1 −1）∪（1.+∞）．a【点评】：本题考查函数的最值.考查解不等式.解题的关键是确定方程两根的大小关系．17.（问答题.14分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.O.E分别为B1D.AB的中点．（1）求证：OE || 平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．【正确答案】：【解析】：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.可证四边形OEBF是平行四边形.又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.可证OE || 面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC.再证BC1⊥面B1DC.而BC1 || OE.OE⊥面B1DC.又OE⊂面B1DE.从而可证面B1DC⊥面B1DE．【解答】：证明：（1）：连接BC1.设BC1∩B1C=F.连接OF.…2分DC .因为O.F分别是B1D与B1C的中点.所以OF || DC.且OF=12又E为AB中点.所以EB || DC.且d1=1..即四边形OEBF是平行四边形.从而d2=d3=32所以OE || BF.…6分又OE⊄面BCC1B1.BF⊂面BCC1B1.所以OE || 面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1.BC1⊂面BCC1B1.所以BC1⊥DC.…10分又BC 1⊥B 1C.且DC.B 1C⊂面B 1DC.DC∩B 1C=C. 所以BC 1⊥面B 1DC.…12分而BC 1 || OE.所以OE⊥面B 1DC.又OE⊂面B 1DE. 所以面B 1DC⊥面B 1DE ．…14分【点评】：本题主要考查了平面与平面垂直的判定.直线与平面平行的判定.属于基本知识的考查．18.（问答题.16分）某地发生地质灾害.使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后.决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后.经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf （x ）.其中f （x ）= {x 216+2(0＜x ≤4)x+142x−2 (x ＞4) .当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4.试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m.为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化.试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意.写出y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .再对每一段考虑大于等于4.解出x 的范围.求并集即可；（2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .确定各段的单调性.求出值域.再求并集.为使4≤y≤10恒成立.则4≤y min .且10≥y max 即可．【解答】：解：（1）由题意.当药剂质量为m=4.所以y=4f （x ）= {x 24+8(0＜x ≤4)2x+28x−1(x ＞4) .当0＜x≤4时 x 24 +8≥4.显然符合题意．当x ＞4时2x+28x−1≥4.解得4＜x≤16.综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y=m•f （x ）= {mx 216+2m (0＜x ≤4)m (x+14)2x−2(x ＞4) .得在区间（0.4]上单调递增.即2m ＜y≤3m ；在区间（4.7]上单调递减.即 7m 4≤y ＜3m .综上7m 4≤y ≤3m .为使4≤y≤10恒成立.只要 7m 4≥4 且3m≤10即可.即 167≤m ≤103．所以应该投放的药剂质量m 的最小值为 167 ．【点评】：本题考查分段函数的应用.考查函数的单调性及应用：求值域.注意函数的各段解析式.属于中档题．19.（问答题.16分）设函数 f k (x )=2x +(k −1)•2−x （x∈R .k∈Z ）．（1）若f k （x ）是偶函数.求k 的值；（2）设不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4的解集为A.若A∩[1.2]≠∅.求实数m 的取值范围；（3）设函数g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2.若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.求实数λ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据函数是偶函数.建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1.2]≠∅.等价为不等式在[1.2]内有解.利用参数分离法进行转化求解即可．（3）求出g （x ）的解析式.根据函数存在零点转化为方程有根.利用参数分离法进行求解即可．【解答】：解：（1）若f k （x ）是偶函数. 则f k （-x ）=f k （x ）.即2-x +（k-1）•2x =2x +（k-1）•2-x .即2-x -2x =（k-1）•2-x -（k-1）•2x =（k-1）（2-x -2x ）. 则k-1=1.即k=2；（2）f 0（x ）=2x -2-x .f 1（x ）=2x .则不等式f 0（x ）+mf 1（x ）≤4等价为2x -2-x +m2x ≤4. ∵A∩[1.2]≠∅.∴不等式在[1.2]内有解. 即m2x ≤4-2x +2-x . 则m≤4−2x +2−x2x=4•2-x +（2-x ）2-1. 设t=2-x .∵1≤x≤2.∴ 14 ≤t≤ 12 . 设4•2-x +（2-x ）2-1=t 2+4t-1. 则y=t 2+4t-1=（t+2）2-5. ∵ 14≤t≤ 12.∴当t= 12时.函数取得最大值y= 14+2-1= 54.要使不等式在[1.2]内有解.则m≤ 54 .即实数m 的取值范围是 (−∞，54] ；（3）f 0（x ）=2x -2-x .f 2（x ）=2x +2-x .则f 2（2x ）=22x +2-2x =（2x -2-x ）2+2. 则g （x ）=λf 0（x ）-f 2（2x ）-2=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4. 设t=2x -2-x .当x≥1时.函数t=2x -2-x .为增函数.则t≥2- 12 = 32 .若g （x ）在x∈[1.+∞）有零点.即g （x ）=λ（2x -2-x ）-（2x -2-x ）2-4=λt -t 2-4=0. 在t≥ 32 上有解. 即λt=t 2+4.即λ=t+ 4t .∵t+ 4t ≥2 √t •4t =4.当且仅当t= 4t .即t=2时取等号. ∴λ≥4.即λ的取值范围是[4.+∞）．【点评】：本题主要考查函数与方程的综合应用.求出函数的解析式.利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．20.（问答题.16分）记f′（x ）.g′（x ）分别为函数f （x ）.g （x ）的导函数．若存在x 0∈R .满足f （x 0）=g （x 0）且f′（x 0）=g ′（x 0）.则称x 0为函数f （x ）与g （x ）的一个“S 点”．（1）证明：函数f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”；（2）若函数f （x ）=ax 2-1与g （x ）=lnx 存在“S 点”.求实数a 的值；（3）已知函数f （x ）=-x 2+a.g （x ）=be xx．对任意a ＞0.判断是否存在b ＞0.使函数f （x ）与g （x ）在区间（0.+∞）内存在“S 点”.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据“S 点”的定义解两个方程.判断方程是否有解即可；（2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数.结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】：解：（1）证明：f′（x ）=1.g′（x ）=2x+2.则由定义得 {x =x 2+2x −21=2x +2.得方程无解.则f （x ）=x 与g （x ）=x 2+2x-2不存在“S 点”；（2）f′（x ）=2ax.g′（x ）= 1x .x ＞0. 由f′（x ）=g′（x ）得 1x =2ax.得x= √12a . f （ √12a ）=- 12 =g （ √12a ）=- 12 lna2.得a= e2 ；（3）f′（x ）=-2x.g′（x ）= be x (x−1)x 2.（x≠0）.由f′（x 0）=g′（x 0）.假设b ＞0.得b e x 0 =- 2x 03x 0−1＞0.得0＜x 0＜1.由f （x 0）=g （x 0）.得-x 02+a= be x 0x 0 =- 2x 02x 0−1.得a=x 02- 2x 02x0−1. 令h （x ）=x 2- 2x 2x−1 -a=−x 3+3x 2+ax−a1−x.（a ＞0.0＜x ＜1）. 设m （x ）=-x 3+3x 2+ax-a.（a ＞0.0＜x ＜1）.则m （0）=-a ＜0.m （1）=2＞0.得m （0）m （1）＜0. 又m （x ）的图象在（0.1）上不间断. 则m （x ）在（0.1）上有零点. 则h （x ）在（0.1）上有零点.则存在b＞0.使f（x）与g（x）在区间（0.+∞）内存在“S”点．【点评】：本题主要考查导数的应用.根据条件建立两个方程组.判断方程组是否有解是解决本题的关键．。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_10

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。

）1.复数（为虚数单位）的虚部是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。

【详解】，因此，该复数的虚部为，故选：A。

【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。

2.已知～，则 ( )．A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的数学期望，计算出，再利用期望的性质求出的值。

【详解】，，因此，，故选：B。

【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.函数在区间上的最大值为（）.A. 17B. 12C. 32D. 24【答案】D【解析】【分析】对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。

【详解】，则，令，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，，因此，函数在区间上的最大值为，故选：D。

【点睛】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。

4.已知，则函数单调递减区间为( )．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。

【详解】函数的定义域为，，令，得，因此，函数的单调递减区间为，故选：B。

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。

5.设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：当时，；当时，，故，应选答案A。

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期中复习数学试题

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期中复习数学试题一、填空题1．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3，…，2a n＋3的方差为_________．2．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取一个容量为30人的样本，则高级职称人数应为_____________．3．同时投掷大小不同的两颗骰子，所得点数之和是5的概率是_____________．4．执行如图所示的程序框图，若输入x＝0．1，则输出的m的值是_____________．5．将数字1、2、3填入标号为1、2、3的三个方格里，每格填上一个数字，则方格的标号与所填的数字有相同的概率是_____________．6．(1＋x)10(1＋1x)10展开式中的常数项为_____________．7．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．8．已知样本9,10,11,,x y的平均数是10，则xy=．9．若有容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据4，则新样本的平均数和方差分别为_____________．10．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）11．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线xy=上的概率为．12．某徒工加工外形完全一样的甲、乙两种零件．他加工的5个甲种零件中有2个次品，2个乙种零件中有1个次品，现从这7个零件中随机抽取2个，则能抽到甲种零件的次品的概率为___．13．在20⎛⎝的展开式中，x的无理项共有_________项．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．二、解答题15．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测（1）求出表中所表示的数分别是多少？（2）画出频率分布直方图．（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？由直方图确定此组数据中位数是多少？16．一个口袋内装有形状、大小都相同的2个白球和3个黑球．(1)从中一次随机摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)从中随机摸出一个球，不放回后再随机摸出一个球，求两球同时是黑球的概率；(3)从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．18．摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？20．设有一个4×4网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上,设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点．（1）求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；（2）求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期中复习数学试题一、填空题1．数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3，…，2a n＋3的方差为_________．【答案】24σ【解析】设数据12,,,n a a a 的平均值为12na a a x n+++=，则()()()2222121n a x a x a x n σ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，则数据1223,23,,23n a a a +++的平均数12232323'23n a a a x x n++++++==+ ，所以数据1223,23,,23n a a a +++ 的方差()()()()()()222222112121423'23'23'n n a x a x a x a x a x a x n n σ⎡⎤⎤⎡=+-++-+++-=-+-++-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦。

江苏省南京市金陵中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

江苏省南京市金陵中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题。

1.已知集合，则_____．【答案】【解析】试题分析：考点：集合的表示方法和交集的运算.2.函数的定义域为______．【答案】【解析】试题分析：考点：对数函数的定义域，一元二次不等式的解法3.若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是______．【答案】1.【解析】试题分析：因为，所以考点：纯虚数概念4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．【答案】32【解析】试题分析：设高一年级抽取名学生，所以，高一年级抽取24名学生考点：分层抽样5.如图是一个算法流程图，则输出S的值是______．【答案】35【解析】试题分析：执行算法流程，有，不满足条件，不满足条件，不满足条件，满足条件，输出的值．考点：程序框图．6.一只口袋内装有大小相同的5只球其中3只白球2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为【答案】0.6【解析】试题分析：从中一次性随机摸出2只球共有种基本事件, 恰好有1只是白球包含种基本事件，因此所求概率为考点：古典概型概率7.若变量满足，则的最大值为．【答案】8【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），再作直线，向上平移直线，增大，当过点时，取得最大值3，因此的最大值为8．考点：简单的线性规划问题．8.已知函数，则函数的值域为．【答案】【解析】试题分析：当时，，．考点：函数的值域．9.已知函数的图象上有一个最高点的坐标为由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与轴交于点则此解析式为【答案】【解析】试题分析：由题意得：,又，，所以考点：三角函数解析式10.若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则实数a的值为______．【答案】【解析】试题分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a 的值．根据在处的切线与曲线在处的切线互相垂直，可得．考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程【方法点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f′（x 0）的几何意义是在曲线y ＝f （x ）上点P （x 0，y 0）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s （t ）对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y －y 0＝f′（x 0）（x －x 0）．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同． 11.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若则c=______．【答案】4 【解析】分析：切化弦后，用正弦定理和余弦定理化角为边，再变形可得．详解：∵，∴，∴，∴，∴．点睛：本题考查正弦定理与余弦定理，在解三角形问题中，深深用这两个正理进行边角转换，如果等式两边是关于边的齐次式，则可直接由正弦定理化为的等式，反之如等式两边是关于的齐次式，则可直接化为的等式；如等式中有余弦，则要用余弦定理化角为边．12.已知函数是定义在R 上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数在R上的单调性，然后结合函数在特殊点的函数值即可确定不等式的解集.【详解】根据题意，函数是定义在R 上的奇函数，且在上为单调增函数，则在在上也是增函数，故函数在R上也是增函数；又由，则，则解可得，即不等式的解集为故答案为：【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．13.已知函数，若关于x 的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是．【答案】.【解析】试题分析：因为，所以当且仅当时等式的解集为空集，因此实数a 的取值范围是考点：解不等式14.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为__________．【答案】10000【解析】试题分析：，此时两解的和为1；，此时两解的和为3；……，此时两解的和为，199；所以所有解的和为；考点：1.函数的周期性；2.分段函数；3.等差数列的求和公式；4.归纳推理；二、解答题。

江苏省南京市金陵中学高二数学等差数列练习试题百度文库

一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．278B ．52C ．3D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（） A ．7B ．12C ．14D ．213．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．05．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．56．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．147．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．49 8．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21B ．20C ．19D ．19或2011．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．32B ．92C ．2D ．912．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24014．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +15．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 16．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（）A ．10B ．145C ．300D ．32017．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（） A ．48B ．60C ．72D ．2418．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（） A ．36B ．48C ．56D ．7219．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2120．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（） A ．32B ．33C ．34D ．35二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列22．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =28．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列29．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=，所以11298a d a d +=+，即1a d =-，所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选：A 2．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 3．C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 4．A 【分析】转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 5．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 6．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 8．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B.10．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 11．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--，所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 12．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 13．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 14．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 15．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 16．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。

2018-2019学年高二下学期期末考试_6

2018-2019学年高二下学期期末考试一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得出．【详解】复数.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2.设，其中是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式运算即可.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的求导公式，属于基础题．3.因为正弦函数是周期函数，是正弦函数，所以是周期函数，以上推理（）A. 结论正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确【答案】C【解析】【分析】首先要分清谁是大前提、小前提和结论，继而判断对错得出结果．详解】根据演绎推理得：小前提：是正弦函数，错误．故选：C．【点睛】本题考查演绎推理，涉及了三角函数的图象和性质，属于基础题．4.已知，则“”是“直线和直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线和直线平行，得；反之不成立，例如时，两条直线重合．【详解】由直线和直线平行，可得．反之不成立，例如时，两条直线都为，所以两条直线重合．∴是“直线和直线平行”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，属于基础题．5.已知双曲线:的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得出的关系，再求出与的关系，即可计算双曲线的离心率．【详解】双曲线:的一条渐近线方程为，即，∴，∴，∴双曲线的离心率为＝＝．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线与离心率的计算问题，属于基础题．6.下列说法错误的是（）A. 命题：存在，使，则非：对任意，都有；B. 如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题一定是真命题；C. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不是偶数”；D. 命题“存在，”是假命题【答案】C【解析】【分析】由命题的否定形式可判断A；由复合命题的真值表可判断B；由命题的逆否命题形式可判断C；由二次方程的解法可判断D．【详解】命题：存在，使，则非：对任意，都有，故A正确；如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题为假命题，那么命题一定是真命题，故B正确；命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不全是偶数”，故C错误；由于命题的判别式，则方程无实数解，所以不存在，，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定和复合命题的真假、四种命题和存在性命题的真假，考查推理能力，属于基础题．7.甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（）A. 甲先到教室B. 乙先到教室C. 两人同时到教室D. 谁先到教室不确定【答案】B【解析】【分析】设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．则甲所用的时间为：．乙所用的时间，满足+，解得．则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故选：B．【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.【详解】解：由程序框图知：第一次循环：初始值为0，不满足，故，；第二次循环：当，不满足，故，；第三次循环：当，不满足，故，；第四次循环：当，不满足，故，；此时，，满足，退出循环，输出，故选D.【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.9.设函数，则是（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，判断的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断在上的单调性．【详解】∵函数，；∴，∴是上的偶函数，又，当时，二次函数是减函数，所以函数在也是减函数．故选：D．【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，属于基础题．10.函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得（3）与（2）的几何意义，又由﹣＝为直线的斜率，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，设为函数的上的点，则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，﹣＝，为直线的斜率，结合图象分析可得﹣；故选：D．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．11.已知是双曲线上任意一点，过点分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的值是（）A. B. － C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可．【详解】设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．＝（，），＝（，），则＝＝﹣＝﹣＝﹣．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（）A. 且B.C. 或D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，构造新函数，利用导函数判断新函数的单调性，利用原函数的极值，列出不等式求解的范围即可．【详解】由题意，求得函数的导数，令，即.则．设，得．当时，得；当时，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．当时恒成立，所以无极值，所以．故选：D．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力以及构造法的应用，属于中档题．二.填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【解析】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．14.函数在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：的导数为，在点（0,1）处的切线斜率为，即有在点（0,1）处的切线方程为.故答案为：.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程：比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，即．类似上述过程，则_____．【答案】【解析】【分析】通过已知得到求值方法，先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），即可得解．【详解】由已知，令，则，所以，解得或（舍）.故答案为：．【点睛】本题考查了类比推理，注意对应关系，让知识正确迁移，属于基础题．16.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则．【答案】或．【解析】试题分析：设，，，设，∴，，或．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．三.解答题（共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知复数，其中是虚数单位．（1）当为何值时，复数是纯虚数？（2）若复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，求的模．【答案】（1）0；（2）见解析【解析】【分析】（1）直接由复数的实部为0，且虚部不为0，列式求解即可；（2）由实部与虚部的和等于0列式求得，进一步求得，则| |可求．【详解】（1）由复数是纯虚数，得，即时，是纯虚数；（2）∵复数对应的点在复平面内第二，四象限角平分线上，由，即，得或.当＝﹣时，＝，则||＝＝；当＝1时，＝0，则||＝0．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的模，属于基础题．18.为了了解高三学生的心理健康状况，某校心理健康咨询中心对该校高三学生的睡眠状况进行抽样调查，随机抽取了50名男生和50名女生，统计了他们进入高三后的第一个月平均每天睡眠时间，得到如下频数分布表．规定：“平均每天睡眠时间大于等于8小时”为“睡眠充足”，“平均每天睡眠时间小于8小时”为“睡眠不足”．高三学生平均每天睡眠时间频数分布表（Ⅰ）请将下面的列联表补充完整：（Ⅱ）根据已完成的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”？附：参考公式＝3841【答案】（I）见解析；（II）没有的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表；（Ⅱ）由表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【详解】（Ⅰ）根据题意知，男生平均每天睡足8个小时的有18人，女生平均每天不足8个小时的有38人，由此列联表如下；（Ⅱ）根据列联表中数据，计算K2＝＝≈1.714＜2.706，所以没有90%的把握认为“睡眠是否充足与性别有关”．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．19.请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：（1）如果，则；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证．【详解】（1）方法一、（综合法）因为，所以，所以.因为，所以.方法二、（分析法）要证，即为≥＝，即证≥，由＞0，上式显然成立，则原不等式成立；（2）方法一（分析法）要证，即证，即证.即证，即证，即证.因为，所以成立.由上述分析可知成立.方法二、由2﹣＝，且﹣3＝，由2＜，＜3，可得＜+3，可得＞，即2﹣＞﹣3成立．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和综合法，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．20.某城市公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值都不超过，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这组数据中随机选取组数据后，求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）；（2），见解析；（3）18【解析】【分析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．【详解】（1）设“从这组数据中随机选取组数据后，剩下的组数据不相邻”为事件.记这六组数据分别为，，剩下的两组数据的基本事件有，共种，其中相邻的有共种，所以.（2）后面组数据是：间隔时间（分钟）等候人数（人）因为，，所以，，所以，，所以，当时，,；当时,,；所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.（3）由，得，故间隔时间最多可设置为分钟.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，求线性回归直线方程及其应用等知识，属于中档题．21.已知椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的方程（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2），见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得关于a，b，c的方程组，求出a，b，c即可求椭圆的方程；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．【详解】（1）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，．得椭圆过点，得，解得，所以椭圆的方程为：.（2）设，的中点.由，得，所以，.①当时，线段的垂直平分线的方程为.令，得，即.若，则，那么；若，则，，所以或.②当时，.综上所述，存在点满足条件，取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键，属于中档题．22.已知函数．（1）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；（2）若只有一个零点，且，求取值范围．【答案】（1）；（2），或【解析】【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，切线方程，可令，求得，再由二次函数的最值求法，可得所求；（2）若只有一个零点，且，可得，按，，分类讨论的单调性，得的极小值都大于，解不等式可得所求范围．【详解】（1）的导数为，在点处的切线斜率为，且，所以切线方程为令，得，由，可得在上递增，可得的最小值为；（2）因为，令，可得或，当时，在，上递增，在上递减，且，，若只有一个零点，且，则，解得，所以；当时，在，上递增，在上递减，且，若只有一个零点，且，则，或，解得或；当时，，得在上递增，且，所以只有一个零点，且，满足题意.综上：，或.【点睛】本题考查导数的运用：求函数的切线方程和单调性、极值，考查化简运算能力，分类讨论的思想，属于中档题．2018-2019学年高二下学期期末考试一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得出．【详解】复数.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．2.设，其中是自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式运算即可.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的求导公式，属于基础题．3.因为正弦函数是周期函数，是正弦函数，所以是周期函数，以上推理（）A. 结论正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确【答案】C【解析】【分析】首先要分清谁是大前提、小前提和结论，继而判断对错得出结果．详解】根据演绎推理得：小前提：是正弦函数，错误．故选：C．【点睛】本题考查演绎推理，涉及了三角函数的图象和性质，属于基础题．4.已知，则“”是“直线和直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线和直线平行，得；反之不成立，例如时，两条直线重合．【详解】由直线和直线平行，可得．反之不成立，例如时，两条直线都为，所以两条直线重合．∴是“直线和直线平行”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，属于基础题．5.已知双曲线:的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得出的关系，再求出与的关系，即可计算双曲线的离心率．【详解】双曲线:的一条渐近线方程为，即，∴，∴，∴双曲线的离心率为＝＝．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线与离心率的计算问题，属于基础题．6.下列说法错误的是（）A. 命题：存在，使，则非：对任意，都有；B. 如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题一定是真命题；C. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不是偶数”；D. 命题“存在，”是假命题【答案】C【解析】【分析】由命题的否定形式可判断A；由复合命题的真值表可判断B；由命题的逆否命题形式可判断C；由二次方程的解法可判断D．【详解】命题：存在，使，则非：对任意，都有，故A正确；如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么命题为假命题，那么命题一定是真命题，故B正确；命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则不全是偶数”，故C错误；由于命题的判别式，则方程无实数解，所以不存在，，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定和复合命题的真假、四种命题和存在性命题的真假，考查推理能力，属于基础题．7.甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（）A. 甲先到教室B. 乙先到教室C. 两人同时到教室D. 谁先到教室不确定【答案】B【解析】【分析】设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．则甲所用的时间为：．乙所用的时间，满足+，解得．则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．故选：B．【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.【详解】解：由程序框图知：第一次循环：初始值为0，不满足，故，；第二次循环：当，不满足，故，；第三次循环：当，不满足，故，；第四次循环：当，不满足，故，；此时，，满足，退出循环，输出，故选D.【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.9.设函数，则是（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，判断的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断在上的单调性．【详解】∵函数，；∴，∴是上的偶函数，又，当时，二次函数是减函数，所以函数在也是减函数．故选：D．【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，属于基础题．10.函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，设为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得（3）与（2）的几何意义，又由﹣＝为直线的斜率，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，设为函数的上的点，则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率，﹣＝，为直线的斜率，结合图象分析可得﹣；故选：D．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．11.已知是双曲线上任意一点，过点分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的值是（）A. B. － C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】设，则，即，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可．【详解】设，则，即，由双曲线的渐近线方程为，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．＝（，），＝（，），则＝＝﹣＝﹣＝﹣．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（）A. 且B.C. 或D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，构造新函数，利用导函数判断新函数的单调性，利用原函数的极值，列出不等式求解的范围即可．【详解】由题意，求得函数的导数，令，即.则．设，得．当时，得；当时，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，所以或．当时恒成立，所以无极值，所以．故选：D．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力以及构造法的应用，属于中档题．二.填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【解析】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．14.函数在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：的导数为，在点（0,1）处的切线斜率为，即有在点（0,1）处的切线方程为.故答案为：.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程：比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，即．类似上述过程，则_____．【答案】【解析】【分析】通过已知得到求值方法，先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），即可得解．【详解】由已知，令，则，所以，解得或（舍）.故答案为：．【点睛】本题考查了类比推理，注意对应关系，让知识正确迁移，属于基础题．16.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则．【答案】或．【解析】试题分析：设，，，设，。

2018-2019学年江苏省南京市江宁区高二下学期期末学情调研卷数学试题

2018-2019学年度第二学期期末学情调研卷高二数学★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，则集合AB =______. 【答案】{}3,5【解析】【分析】根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可【详解】{}1,3,5A =,{}3,4,5B ={}35A B ，∴⋂=故答案为{}35，【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。

2.已知i 为虚数单位，则复数(1)(3)i i -+=_______.【答案】42i -【解析】【分析】由复数乘法法则即可计算出结果【详解】(1)(3)i i -+()23(13)42i i i =-+-=-.【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种；所以所求的概率是56P =．考点：古典概型概率5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有_____辆.【答案】150【解析】【分析】先计算出速度在70km /h 以下的频率，然后再计算出车辆的数量【详解】因为速度在70km /h 以下的频率为(0.020.03)100.5+⨯=，所以速度在70km /h 以下的汽车有0.5300150⨯=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单6.函数()2()lg 76f x x x=+-的定义域是_____.【答案】(1,7)-【解析】【分析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.【答案】32【解析】【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【详解】由图可知：A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.将点7,12π⎛⎝7212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=.所以3(0)22f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．【答案】14【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+762d ⨯=﹣28+42=14．故答案为：14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x =的焦点恰好是双曲线2221x y a -=的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_____.【答案】4y x =±【解析】【分析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出a 的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的半焦距3c ==，解得a =故其渐近线方程为y x =，即4y x =±. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和a 的值，然后可得渐近线方程，较为基础10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【答案】112【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为2的正方形，其面积2122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =，如果3AC BM ⋅=-，则AB AD ⋅=________.【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2A B A D ⋅= 考点：向量数量积12.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为______.1【解析】【分析】画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标的和【详解】由1()()02g x f x =-=，得1()2f x =，则1()()2g x f x =-的零点就是()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标. 由已知，可画出()f x 的图象与直线12y =（如下图），根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，则0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即12y =与2log (1)(01)y x x =+<…的交点的横坐标.由21log (1)2x +=，解得1C x ，即1()()2g x f x =-1. 【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线(0)1m y m x =>+在1x =处的切线为l ，则以点(2,1)-为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______.【答案】22(2)(1)2x y -++=【解析】【分析】由题意先求出切线为l 的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l 相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程【详解】因为1m y x =+，所以2(1)m y x '=-+，当1x =时，2m y =，4m y '=-，即切点为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线斜率4m k =-，则l 的方程为(1)24m m y x -=--，即(3)4m y x =--，所以直线l 恒过定点(3,0)A .又直线l 与以点(2,1)C -为圆心的圆相切，则圆的半径r 等于圆心C 到直线l 的距离d ，又当AC l ⊥时，d 最大，所以max max r d AC ===故所求圆的标准方程为22(2)(1)2x y -++=.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力14.设,0a b >，关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1.则a b的最小值______.【答案】4【解析】【分析】化简3232x xx xa b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果【详解】因为,0a b >，所以()3212323232x x x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x xa ab b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-⋅+ 1312x a a b b b +=-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭在(0,1)上单调递增，又关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立，所以11a a b N b b +=-+，1312a ab M b b +=-+，因为M N -的最小为1，所以113112a ab b M N b b ++-=-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭…，即23(1)1135222135511131212b b a b b b b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭+===++-++厖，所以4a b …，当且仅当23b b =，即3b =时取“=”，即a b的最小值为4. 【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =. （1）求b 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）b =（2 【解析】【分析】(1)运用余弦定理计算出b 的值(2)由正弦定理计算出sin A 的值，运用两角和的正弦公式计算出结果【详解】（1）解：在ABC ∆中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.（2）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.因为a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-故sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 4426A A ππ=+= 【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单16.三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.（1）求证：EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF AB ，由线面平行的结论有//EF 平面ABC ；(2)利用题意可得：CE AD ⊥，AD EF ⊥，结合线面垂直的结论则有AD ⊥平面CEF ．试题解析：（1）∵E ，F 分别为BD ，AD 的中点∴//EF AB∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC∴//EF 平面ABC（2）∵CB CD =，E 为BD 的中点∴CE BD ⊥∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CE ⊂平面BCD∴CE ⊥平面ABD AD ⊂平面ABD ∴CE AD ⊥∵//EF AB ，AB AD ⊥ ∴AD EF ⊥ ∵CE ⊂平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，CE EF E ⋂=∴AD ⊥平面CEF ．点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围；（2）求管道长度u 的最小值.【答案】（1）2010cos 20sin u θθ-=+，0cos 5θ<<（2）(20+ 【解析】【分析】(1)由三角函数值分别计算出CE 、CF 、FA 的长度，即可求出管道长度u 的表达式，求出cos θ的取值范围(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为10sin CF θ=，10tan OF θ=，1020tan AF θ=-，所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θθθθ-=+-=+，其中，0cos 5θ<<. （2）由2010cos 20sin u θθ-=+，得21020cos sin u θθ-'=，令0u '=，1cos 2θ=，当10cos 2θ<<时，0u '>，函数()u θ增函数；当1cos 2θ<<0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2θ=，即3πθ=时，min 1201022020sin 3u π-⨯=+=+答：管道长度u的最小值为(20+.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法18.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>12⎫⎪⎭在椭圆C上.椭圆C的左顶点为A.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A作直线l与椭圆C交于另一点B.若直线l交y轴于点C，且OC BC=，求直线l 的斜率.【答案】（1）2214xy+=（2）4±【解析】【分析】(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程(2)由题意设直线斜率，分别求出OC、BC的表达式，令其相等计算出直线斜率【详解】解：（1）由题意知：2222212121bab⎧⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪⎝⎭+=解得：2241ab⎧=⎨=⎩，所以，所求椭圆C方程为2214xy+=.（2）由题意知直线l的斜率存在，设为k，l过点(2,0)A-，则l的方程为：(2)y k x=+，联立方程组2214(2)xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y整理得：()222214161640k x k x k+++-=，令(),B B B x y ，()0,C C y 由22164214B k x k --=+，得222814B k x k-=+，将0x =代入(2)y k x =+中，得到2C y k =，所以|2|OC k =，||0B BC =-=，由OC BC =，得：|2|k =解得：218k =，∴k =.所以直线l 的斜率为±【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法19.若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1n a n =+∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若正项等比数列{}n b ，满足22b =，7892b b b +=，求1122n n n T a b a b a b =++⋯+；（3）对于（2）中的n T ，若对任意的*N n ∈，不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-（2）见解析；（3）133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)先计算出1a 的值，由11n n n a S S ++=-，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式(2)先求出等比数列{}n b 的通项公式，运用错位相减法计算出n T 的值(3)讨论n 为偶数和奇数时两种情况，分别求出满足要求的实数λ的取值范围，即可得到结果【详解】解：（1）因为()241n n S a =+，且0n a >，由()21141a a =+得11a =，又()21141n n S a ++=+，所以11444n n n a S S ++=-()()22111n n a a +=+-+， ()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以10n n a a ++≠，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，又11a =，所以21n a n =-.（2）设{}n b 的公比为q ，因为7892b b b +=，22q q +=，所以1q =-（舍）或2q =， 11b =，12n n b -=.记1122n n A a b a b a b =++⋅⋅⋅+21113252(21)2n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，232123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅，()2112222(21)2n n A n --=+++⋅⋅⋅+--⋅，()21(21)212222n n A n -=-⋅--+++()(21)21222(23)23n n n n n =-⋅---=-⋅+所以1122(23)23n n n n T a b a b a b n =++⋅⋅⋅+=-⋅+.（3）不等式()11(1)212n n n T λ+⋅-<+可化为136(1)22n n n λ-⎛⎫-⋅<-+ ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，13622n n λ-⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，记136()22n g n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以min [()]g n λ<. 11669(2)()22222n n ng n g n +-+-=+-=-， 2n =时，(2)()g n g n +<，4n …时，(2)()g n g n +>，即(4)(2)g g <，4n …时，()g n 递增，min 13[()](4)4g n g ==，即134λ<，当n 为奇数时，13622n n λ-⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，记136()22n h n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以max [()]h n λ>. (2)()h n h n +-1166922222n n n +-=--+=-+， 1n =时，(2)()h n h n +>，3n …时，(1)()h n h n +<，即(3)(1)h h >，3n …时，()h n 递减，max [()](3)3h n h ==-，所以3λ>-综上所述，实数λ的取值范围为133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求解通项公式时可以运用1112n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论20.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2()(1)12a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1【解析】【分析】(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x--'=，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有l n e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++-=='-=-++． ① 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增．（Ⅱ）原题等价于对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0ag x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-． ()()11'a a a x a g x ax x x ---=+=．令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >．∴ 函数()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增， ()max g x 为1e e a g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者．设()h a = ()()1e e e 2e a a g a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()0a >，则()e e 220a a h a -=+->='，∴ ()h a ()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max g x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e ag a =-+． ∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．设()=e e 1a a a ϕ--+ ()0a >，则()=e 10aa ϕ'->．所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤．∵0a >，∴ a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21.已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A . 【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大【答案】max 5d =【解析】【分析】将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值【详解】cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简为cos sin ρθρθ+= 则直线l的直角坐标方程为x y +=.设点P 的坐标为(cos ,sin )αα，得P 到直线l的距离d =，即d =，所以：max 5d =.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题，较为基础，需要掌握解题方法23.已知a ，b 是正数，求证：22144a b ab ++…. 【答案】见证明【解析】【分析】运用基本不等式即可证明【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +….所以2211444a b ab ab ab +++=厖. 即22144a b ab++…. 当且仅当1a =，12b =时取等号【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件24.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14-. 【解析】【分析】可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC 。

2018-2019江苏省南京市高二期末考试数学（文） Word版

南京市2018—2019学年度第一学期期末调研高二数学（文科） 2019.01注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题〜第14题)、解答题（第15题〜第20题）两部分。

本试卷满分为160分，考试时间为120分钟。

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内，试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内。

考试结束后，交回答题卡。

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知命题ex e x p x≥∀,0＞:，写出命题p 的否定： ▲ .2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 22=的准线方程为 ▲ .3.己知x e x f x sin )(⋅=，则)0('f 的值为 ▲ .4.已知复数z 满足(z-2)i=l+i (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ .5.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C: 1422=+y x 上一点，若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为 ▲ 。

6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y ，则y x z 2+=的最小值为▲ 。

7.在平面直角坐标系xOy 中，“m >0”是“方程122=+my x 表示椭圆”的 ▲ 条件。

(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）8.在平面角坐标系xOy 中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为 ▲ 。

9. 已知函数a xe xf x+=)(在（0，+∞)上的最小值为2e ，则实数a 的值为▲ 。

10.在平面角坐标系xOy 中，点A(4,0)，点B(0,2),平面内点P 满足15=⋅,则 PO 的最大值是 ▲ 。

11.在平面直角坐标系xOy 中，点F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右焦点，过点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点。

江苏省南京市江宁区2018_2019学年高二数学下学期期末学情调研卷(含解析)

江苏省南京市江宁区2018-2019学年高二数学下学期期末学情调研卷（含解析）一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，则集合A B =I ______.【答案】{}3,5【解析】【分析】根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可【详解】{}1,3,5A =Q ,{}3,4,5B ={}35A B ，∴⋂=故答案为{}35，【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题。

2.已知i 为虚数单位，则复数(1)(3)i i -+=_______.【答案】42i -【解析】【分析】由复数乘法法则即可计算出结果【详解】(1)(3)i i -+()23(13)42i i i =-+-=-.【点睛】本题考查了复数的乘法计算，只需按照计算法则即可得到结果，较为简单3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种；所以所求的概率是56P =．考点：古典概型概率5.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有_____辆.【答案】150【解析】【分析】先计算出速度在70km /h 以下的频率，然后再计算出车辆的数量【详解】因为速度在70km /h 以下的频率为(0.020.03)100.5+⨯=，所以速度在70km /h 以下的汽车有0.5300150⨯=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单6.函数()2()lg 76f x x x=+-的定义域是_____.【答案】(1,7)-【解析】【分析】对数函数的定义域满足真数要大于零【详解】由2760x x +->，解得17x -<<，故定义域为(1,7)-.【点睛】本题考查了对数的定义域，只需满足真数大于零即可，然后解不等式，较为简单7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.【答案】32【解析】【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果【详解】由图可知：3A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==. 将点7,312π⎛⎝732312πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=. 所以33(0)332f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．【答案】14【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 7．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得a 1=﹣4，d=2，∴S 7=7a 1+762d ⨯=﹣28+42=14．故答案为：14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x =的焦点恰好是双曲线2221x y a -=的一个焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为_____.【答案】4y x =±【解析】【分析】由题意计算出抛物线焦点坐标，即可得到双曲线焦点坐标，运用双曲线知识求出a 的值，即可得到渐近线方程【详解】因为抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的半焦距3c =，解得a =故其渐近线方程为y x =±，即4y x =±. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，结合题意分别计算出焦点坐标和a 的值，然后可得渐近线方程，较为基础10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【答案】112 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为2的正方形，其面积22122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGHV -=⨯⨯=. 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =u u u u r u u u u r ，如果3AC BM ⋅=-u u u r u u u u r ，则AB AD ⋅=u u u r u u u r ________.【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3.2AB AD ⋅=u u u r u u u r 考点：向量数量积12.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为______. 【答案】21-【解析】【分析】画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标的和【详解】由1()()02g x f x =-=，得1()2f x =，则1()()2g x f x =-的零点就是()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标. 由已知，可画出()f x 的图象与直线12y =（如下图），根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，则0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即12y =与2log (1)(01)y x x =+<…的交点的横坐标. 由21log (1)2x +=，解得21C x =，即1()()2g x f x =-21. 【点睛】本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题13.在平面直角坐标系xOy 中，曲线(0)1m y m x =>+在1x =处的切线为l ，则以点(2,1)-为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______.【答案】22(2)(1)2x y -++=【解析】【分析】由题意先求出切线为l 的直线方程，可得直线恒过定点，在满足题意与直线l 相切的所有圆中计算出圆半径，即得圆的标准方程【详解】因为1m y x =+，所以2(1)m y x '=-+，当1x =时，2m y =，4m y '=-，即切点为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线斜率4m k =-，则l 的方程为(1)24m m y x -=--，即(3)4m y x =--，所以直线l 恒过定点(3,0)A .又直线l 与以点(2,1)C -为圆心的圆相切，则圆的半径r 等于圆心C 到直线l 的距离d ，又当AC l ⊥时，d 最大，所以max max r d AC ===，故所求圆的标准方程为22(2)(1)2x y -++=.【点睛】本题考查了求与直线相切的圆的标准方程，需先求出切线方程，解题关键是理解题意中半径最大的圆，即圆心与定点之间的距离，需要具有转化的能力14.设,0a b >，关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在区间(0,1)上恒成立，其中M ，N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1.则a b的最小值______.【答案】4【解析】【分析】化简3232x xx x a b ⋅-⋅+，结合单调性及题意计算出M ，N 的表达式，由M N -的最小值为1计算出结果【详解】因为,0a b >，所以()3212323232x x x x x x x x x a a b a b b y b b ⎛⎫⋅+-+⋅ ⎪⋅-⎝⎭==⋅+⋅+1232x x xa ab b b ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=-⋅+ 1312x a a b b b +=-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭在(0,1)上单调递增，又关于x 的不等式3232x x x x a N M b ⋅-<<⋅+在(0,1)上恒成立，所以11a a b N b b +=-+，1312a ab M b b +=-+，因为M N -的最小为1，所以113112a ab b M N b b ++-=-++11113112a b b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪+⎝⎭…，即23(1)1135222135511131212b b a b b b b b b b b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭+===++-++厖，所以4a b …，当且仅当23b b =，即b ==”，即a b的最小值为4. 【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =. （1）求b 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）b =（2）26 【解析】【分析】(1)运用余弦定理计算出b 的值(2)由正弦定理计算出sin A 的值，运用两角和的正弦公式计算出结果【详解】（1）解：在ABC ∆中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.（2）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.因为a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-故sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin 4426A A ππ=+= 【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，熟练运用公式来解题，较为简单16.三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点.（1）求证：EF P平面ABC；=，求证：AD⊥平面CEF.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF AB，由线面平行的结论有//EF平面ABC；(2)利用题意可得：CE AD⊥，AD EF⊥，结合线面垂直的结论则有AD⊥平面CEF．试题解析：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⋂平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E⋂=∴AD⊥平面CEF．（2）若CB CD点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”17.为迎接新中国成立70周年，学校布置一椭圆形花坛，如图所示，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点.现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE OF =，沿CE 、CF 、FA 铺设管道，设CFO θ∠=，若20m OA =，10m OC =，（1）求管道长度u 关于角的函数及cos θ的取值范围；（2）求管道长度u 的最小值. 【答案】（1）2010cos 20sin u θθ-=+，250cos 5θ<<（2）(203)m +【解析】【分析】(1)由三角函数值分别计算出CE 、CF 、FA 的长度，即可求出管道长度u 的表达式，求出cos θ的取值范围(2)由(1)得管道长度u 的表达式，运用导数，求导后判断其单调性求出最小值【详解】解：（1）因为10sin CF θ=，10tan OF θ=，1020tan AF θ=-，所以u CE CF AF =++20102010cos 2020sin tan sin θθθθ-=+-=+，其中，0cos θ<<. （2）由2010cos 20sin u θθ-=+，得21020cos sin u θθ-'=，令0u '=，1cos 2θ=，当10cos 2θ<<时，0u '>，函数()u θ增函数；当1cos 2θ<<0u '<，函数()u θ为减函数. 所以，当1cos 2θ=，即3πθ=时，min 1201022020sin3u π-⨯=+=+答：管道长度u的最小值为(20+.【点睛】本题考查了运用三角函数求解实际问题，在求最值时可以采用求导的方法判断其单调性，然后求出最值，需要掌握解题方法18.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12⎫⎪⎭在椭圆C 上.椭圆C 的左顶点为A . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率.【答案】（1）2214x y +=（2）4±【解析】【分析】(1)由题意中椭圆离心率和点在椭圆上得到方程组即可求出椭圆方程(2)由题意设直线斜率，分别求出OC 、BC 的表达式，令其相等计算出直线斜率【详解】解：（1）由题意知：2222212121b a b ⎧⎛⎫⎪-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫ ⎪⎝⎭=解得：2241a b ⎧=⎨=⎩，所以，所求椭圆C 方程为2214x y +=.（2）由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，l 过点(2,0)A -，则l 的方程为：(2)y k x =+，联立方程组2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()222214161640k xk x k +++-=，令(),B B Bx y ，()0,C C y由22164214B k x k --=+，得222814B k x k -=+，将0x =代入(2)y k x =+中，得到2C y k =，所以|2|OC k =，||0B BC =-=，由OC BC =，得：|2|k =解得：218k =，∴4k =±.所以直线l的斜率为4±. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在解答过程中运用设而不求的方法，设出点坐标和斜率，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式计算出长度，从而计算出结果，需要掌握解题方法19.若各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S，且()*1n a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若正项等比数列{}n b ，满足22b =，7892b b b +=，求1122n n n T a b a b a b =++⋯+；（3）对于（2）中的n T ，若对任意的*N n ∈，不等式()11(1)212nnn T λ+⋅-<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-（2）见解析；（3）133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)先计算出1a 的值，由11n n n a S S ++=-，推出数列为等差数列，继而得到数列通项公式 (2)先求出等比数列{}n b 的通项公式，运用错位相减法计算出n T 的值(3)讨论n 为偶数和奇数时两种情况，分别求出满足要求的实数λ的取值范围，即可得到结果【详解】解：（1）因为()241n n S a =+，且0n a >，由()21141a a =+得11a =，又()21141n n S a ++=+，所以11444n n n a S S ++=-()()22111n n a a +=+-+，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以10n n a a ++≠，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，又11a =，所以21n a n =-.（2）设{}n b 的公比为q ，因为7892b b b +=，22q q +=，所以1q =-（舍）或2q =，11b =，12n n b -=.记1122n n A a b a b a b =++⋅⋅⋅+21113252(21)2n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，232123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅L ，()2112222(21)2n n A n --=+++⋅⋅⋅+--⋅，()21(21)212222n n A n -=-⋅--+++L ()(21)21222(23)23n n n n n =-⋅---=-⋅+所以1122(23)23nn n n T a b a b a b n =++⋅⋅⋅+=-⋅+.（3）不等式()11(1)212nn n T λ+⋅-<+可化为136(1)22nn n λ-⎛⎫-⋅<-+ ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时，13622n n λ-⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，记136()22n g n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以min [()]g n λ<. 11669(2)()22222n n ng n g n +-+-=+-=-， 2n =时，(2)()g n g n +<，4n …时，(2)()g n g n +>，即(4)(2)g g <，4n …时，()g n 递增，min 13[()](4)4g n g ==，即134λ<，当n 为奇数时，13622n n λ-⎛⎫>--⎪⎝⎭，记136()22n h n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以max [()]h n λ>.(2)()h n h n +-1166922222n n n+-=--+=-+， 1n =时，(2)()h n h n +>，3n …时，(1)()h n h n +<，即(3)(1)h h >，3n …时，()h n 递减，max [()](3)3h n h ==-，所以3λ>-综上所述，实数λ的取值范围为133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用错位相减法求数列的和以及恒成立问题，在求解通项公式时可以运用1112n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 的方法，需要掌握错位相减法等求数列的和，在解答恒成立问题时将其转化为函数问题，注意分类讨论20.已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2()(1)12a x f x a x x e ++≥++-对于任意1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求正实数a 的取值范围.【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增. (2) (]0,1【解析】【分析】(1)对函数求导得到()()()1x a x f x x--'=，讨论a 和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()()2111x a x a x a x a f x x a x x x-++-=='-=-++． ① 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； ②若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增．（Ⅱ）原题等价于对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立，设()ln ,0ag x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-．()()11'a a a x ag x ax xx---=+=．令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >． ∴ 函数()g x 在1,1e⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()max g x 为1e ea g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e g = ()e e a f a =-+中的较大者．设()h a = ()()1e e e2e aag a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0a >，则()e e 220a a h a -=+->='， ∴ ()h a ()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max g x ⎡⎤=⎣⎦ ()e e ag a =-+．∴ e e 1a a -+≤-，即e e 10a a --+≤．设()=e e 1aa a ϕ--+ ()0a >，则()=e 10aa ϕ'->．所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤． ∵0a >，∴ a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21.已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】21A =⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩ 同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大【答案】max 5d = 【解析】【分析】将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，运用点到直线的距离公式计算出最大值【详解】cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简为cos sin ρθρθ+=则直线l 的直角坐标方程为x y +=设点P 的坐标为(cos ,sin )αα，得P 到直线l 的距离d =，即2sin 4242d α+- ⎪⎝⎭=，所以：max 5d =.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，运用点到直线的距离公式计算出最值问题，较为基础，需要掌握解题方法23.已知a ，b 是正数，求证：22144a b ab++…. 【答案】见证明【解析】【分析】运用基本不等式即可证明【详解】证明：因为a ，b 是正数，所以2244a b ab +…. 所以221144244a b ab ab ab+++=厖. 即22144a b ab++…. 当且仅当1a =，12b =时取等号【点睛】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件24.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC PA ===，3AD =，E 是PB 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】可以以AB 为x 轴、AD 为Y 轴、AP 为Z 轴构建空间直角坐标系，写出AE BC BP→→→、、的空间坐标，通过证明AE BC AE BP ⊥⊥，得证AE ⊥平面PBC 。

江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题

江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题参考公式：样本数据n x x x x ...,,321的方差22)(1x x n s i -=其中i x nx 1=. 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1.复数z=(l+2i)(3-i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲.2.为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人。

若其他年级共有学生2000 人，则该校学生总人数是▲.3.下图是一个算法流程图,若输入x 的值为2,则输出y 的值为▲.4.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm),所得数据均在区间[80, 130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲ 株树木的底部周长大于110 cm.5.已知一组数据6, 7, 8, x ，y 的平均数是8,且xy= 90,则该组数据的方差为6.某种产品每箱装6个，其中有4个合格，2个不合格，现质检人员从中随机抽取2个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是7.执行右图所示的伪代码，则输出的5的值是_.8.在区间[2, 4]上随机地取一个实数x ，若实数x 满足m x ≤||的概率为32,则=m 9.已知命题:p 任意R x ∈，012≥++ax ax 恒成立，命题:q 方程11222=--+ay a x 表示双曲线。

若“q p ∧”为真命题，则实数a 的取值范围为 ▲ .10.在54)1()1(y x +-的展开式中，5x 项的系数为▲.(用数字作答）11.已知双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)的左顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1:2, 则该双曲线的渐近线方程为▲.12.—场晚会共有7个节目丄B 、C 、D 、E 、F 、G,要求第一个节目不能排G ，节目A 必须排在前4个，节目D 必须后3个，则有 ▲种不同的排法。

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江苏省南京市金陵中学2018-2019学年下学期期末考试高二数学试题数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.1. 设集合,,则____________.【答案】{2,4,6,8}【解析】分析：详解：因为,,表示A集合和B集合“加”起来的元素，重复的元素只写一个，所以点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2. 已知复数,其中是虚数单位,则的值是____________.【答案】5【解析】分析：先将复数z右边化为形式，然后根据复数模的公式计算详解：因为所以=5点睛：复数计算时要把复数化为形式，以防止出错.3. 某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么的值为____________.【答案】120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为女学生中抽取的人数为50人所以所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.4. 如图是一算法的伪代码,则输出值为____________.【答案】4【解析】分析：按照循环体执行，直到跳出循环详解：第一次循环后：S=7，n=6；第二次循环后：S=13，n=5；第三次循环后：S=18，n=4；不成立，结束循环所以输出值为4点睛：程序题目在分析的时候一定要注意结束条件，逐次执行程序即可.5. 如图,在长方体中, ,,则三棱锥的体积为____________.【答案】3【解析】分析：等体积转化详解：根据题目条件，在长方体中,==3所以三棱锥的体积为3点睛：在求解三棱锥体积问题时，如果所求椎体高不好确定时，往往要通过等体积转化，找到合适的高所对应的椎体进行计算，体现了数学中的转化与化归思想，要深刻体会.6. 在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则实数的值为____________.【答案】【解析】分析：双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，根据条件，所以的值为详解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，又因为该双曲线一条渐近线方程为,即所以的值为点睛：双曲线渐近线方程：当焦点在x轴上时为，当焦点在y轴上时为.7. 设各项均为正数的等比数列的前项和为，若,则数列的通项公式为____________.【答案】【解析】分析：根据基本量直接计算详解：因为数列为等比数列，所以解得：所以点睛：在等比数列问题中的未知量为首项和公比，求解这两个未知量需要两个方程，所以如果已知条件可以构造出来两个方程，则一定可以解出首项和公比，进而可以解决其他问题，因此基本量求解是这类问题的基本解法.8. 将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则“”的概率是____________.【解析】分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足的有6种详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,则共有种结果，满足共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种则”的概率是点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式求解.9. 若实数满足条件则的取值范围为____________.【答案】【解析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值详解：满足条件即，画出可行域：根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值，所以的取值范围为点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。

10. 在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.【解析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标详解：由可得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.11. 如图,在平面四边形中, 是对角线的中点,且，. 若,则的值为____________.【答案】36【解析】分析：利用极化恒等式可快速解决此题详解：如图，O为BC中点， (1) (2)把(1)式和(2)式两边平方相减得：该结论称为极化恒等式所以在本题中运用上述结论可轻松解题，所以所以点睛：极化恒等式是解决向量数量积问题的又一个方法，尤其在一些动点问题中运用恰当可对解题思路大大简化，要注意应用.12. 若对满足的任意正实数,都有,则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】分析：正实数满足，可求得，由可求得恒成立，利用双钩函数性质可求得a的取值范围.详解：因为，又因为正实数满足解得：由可求得根据双钩函数性质可知，当时有最小值所以的取值范围为点睛：（1）基本不等式是每年高考中必考的考点，要熟练掌握；（2）恒成立问题要注意首选方法是分离参数，将参数分离后让不等式的另一边构造为一个新函数，从而解决新函数的最值是这类问题的基本解题思路.13. 在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为，若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.【答案】【解析】分析：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论详解：椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限，，当时，，即，解得又因为，所以当时，，即且解得：综上或点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到a和c之间的不等关系，有时可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知识综合分析.14. 对于任意的实数,记为中的最小值.设函数，，函数,若在恰有一个零点,则实数的取值范围是 ____________.【答案】或【解析】分析：函数可以看做由函数向上或向下平移得到，在同一个坐标系中画出和图象即可分析出来详解：如图，设，所以函数可以看做由函数向上或向下平移得到其中在上当有最小值所以要使得,若在恰有一个零点,满足或所以或点睛：函数问题是高考中的热点，也是难点，函数零点问题在选择题或者填空题中往往要数形结合分析比较容易，要能够根据函数变化熟练画出常见函数图象，对于不常见简单函数图象要能够利用导数分析出其图象，数形结合分析.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.15. 在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所以.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.16. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面, ,点在棱上,,点是棱的中点,求证：(1) 平面;(2) 平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】分析：(1)，所以点是棱的中点，所以，所以，所以平面. (2)先证明平面所以，又因为，所以平面.详解：证明：(1)因为在中, ，所以点是棱的中点.又点是棱的中点,所以是的中位线,所以.因为底面是矩形,以,所以.又平面, 平面,所以平面.(2)因为平面平面, 平面，平面平面，所以平面.又平面,所以.因为,, ,平面,平面,所以平面.点睛：线面垂直的判定和性质定理的应用是高考一直以来的一个热点，把握该知识点的关键在于判定定理和性质定理要熟练掌握理解，见到面面垂直一般都要想到其性质定理，这是解题的关键.17. 如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄和供电站恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且位于河流的两岸,村庄侧的河岸所在直线恰经过的中点.现欲在河岸上之间取一点,分别修建电缆和,.设,记电缆总长度为 (单位:千米).(1)求的解析式；(2)当为多大时,电缆的总长度最小,并求出最小值.【答案】（1），；（2）当时, 最小值为.【解析】分析：易得，，，，. (2)求导，令,得，故当，，递减，当,,递增，当时,详解：(1)易得垂直平分，则，，，于是，因为在之间,所以，故，.(2) ，，令,得，故当，，递减,当,,递增,所以,当时, .答:当时, 最小值为.点睛：此题为三角函数的实际应用题，解题时要注意分析题目中的条件，常常跟正余弦定理，三角函数比值关系等几何关系结合在一起考查，不难，但是综合性强；第二问求最值如果不能转化为三角函数求得最值，那就通过导数来分析.18. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）存在,使得.详解：(1)设椭圆的方程为，，由题意知解得所以椭圆的方程为.(2)设,则,,又,所以直线的方程为.由消去，得.因为是该方程的一个解,所以点的横坐标. 又点在直线上，所以，从而点的坐标为(同理,点的坐标为(，所以，即存在,使得.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键.19. 设数列的前项的和为,且满足,对,都有 (其中常数),数列满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)若,求的值；(3)若,使得,记,求数列的前项的和.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】分析：(1)因为两式相减，时所以数列是等比数列(2) (3).所以显然分类讨论即可详解：(1)证明:因为,都有，所以两式相减得,即，当时，所以，又因为,所以，所以数列是常数列, ，所以是以2为首项, 为公比的等比数列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得..因为，所以当时, ，当时，.因此数列的前项的和.点睛：数列问题中出现一般都要用这个原理解题，但要注意验证时是否满足；等比数列常常跟对数运算结合在一起，很好的考查了数列的综合分析问题能力，因此在计算时要熟练掌握对数相关运算公式.20. 在平面直角坐标系中,已知函数的图像与直线相切,其中是自然对数的底数.(1)求实数的值；(2)设函数在区间内有两个极值点.①求实数的取值范围；②设函数的极大值和极小值的差为,求实数的取值范围 .【答案】（1）2；（2）①；（2）.【解析】分析：(1)直接利用导数的几何意义即可求得c值(2)函数在区间内有两个极值点，则在区间内有两个不同跟即可；的极大值和极小值的差为进行化简分析；详解：(1)设直线与函数相切于点，函数在点处的切线方程为: ，，把代入上式得.所以,实数的值为.(2)①由(1)知,设函数在区间内有两个极值点，令,则,设,因为,故只需,所以, .②因为,所以，由,得,且..设,,令，，(在上单调递减,从而，所以,实数的取值范围是.点睛：导数问题一直是高考中的必考考点，也是难点，函数在某区间有两个极值点，说明该函数的导函数在该区间内有两个解，在此类问题中经常跟二次函数结合在一起考查，所以要熟练掌握二次函数根的分布.高二数学Ⅱ(附加题)21. 已知矩阵，.(1)求；(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2) 由，即解得，即.详解：(1)由题知，所以，根据逆矩阵公式,得.(2)设由上的任意一点在作用下得到上对应点.由，即解得，因为,所以，即.即直线的方程为.点睛：(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键，要会掌握其运算公式(2)一直线在对应的变换作用下所得直线的方程计算不难，不要算错一般都可以解决.22. 在直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线的参数方程为,(为参数, ),直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线上的点到直线的最大距离.【答案】（1）.；（2）时，.（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．试题解析：⑴由得，∴由得⑵在上任取一点，则点到直线的距离为≤3． 7分∴当－1，即时，. 10分考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.23. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是.(1)求的值；(2)设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解析】分析：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,所以, (2)的所有可能值为,计算其对应概率即可.详解：(1)设事件:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件:“前两次投篮均不中”,依题意, ，解得.(2)依题意, 的所有可能值为,且,，，故.的概率分布列为:数学期望.点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.24. 如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3, ,垂足为,交于点.(1)求证: ⊥平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴, 轴, 轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算平面法向量，所以即可解题详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2) ，，，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落在坐标轴上，这样方便计算.。

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