2015年高考数学复习学案：解三角形

合集下载

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式教学案

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式第四章 (对应学生用书(文)、(理)49～50页)1. (必修4P 105例1改编)已知sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin2α＝__________．答案：－2425解析：∵ sin α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴ α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35.∴ sin2α＝2sin αcos α＝－2425.2. (必修4P 108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝________．答案：－53解析：∵ sin α＋cos α＝33， ∴ (sin α＋cos α)2＝13，∴ 2sin αcos α＝－23，即sin2α＝－23.∵ α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴ 2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )，∴ 4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )，∴ 2α为第三象限角，∴ cos2α＝－1－sin 22α＝－53.3. (必修4P 108习题3.2第3题改编)若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝________．答案：－725解析：∵ sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴ cos θ＝35，∴ cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 4. (必修4P 106练习第1(1)题改编)函数f(x)＝sinxcosx 的最小正周期是________．答案：π解析：∵ f(x)＝sinxcosx ＝12sin2x ，∴ T ＝2π2＝π.5. (必修4P 108习题 3.2第5(3)题改编)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α＝________．答案：－2sin α2解析：∵ 5π2≤α≤7π2，∴ 5π4≤α2≤7π4. ∴1＋sin α＋1－sin α＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝－⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2－⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－2sin α2.1. 二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tanα1－tan 2α．2. 降幂公式 sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2；sin αcos α＝sin2α2．[备课札记]题型1 化简求值例1 计算：(tan10°－3)·sin40°. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°－3cos10°cos10°·sin40°＝2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°cos10°＝－2sin50°sin40°cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.变式训练计算：sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin10°cos10°＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°·sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝2sin50°·sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1.题型2 给值求值例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求：(1) tan2α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：(1) 因为tan α＝12，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43. (2) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝45，cos2α＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.备选变式（教师专享）已知α＋β＝3π4，则cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝________．答案：12解析：原式＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2c osαcosβ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1－22cos (α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos (α－β)＝12. 题型3 给值求角例3 已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵ tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴ 0<α<π2.∵ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴ 0<2α<π2，∴ tan (2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵ tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴ 2α－β＝－3π4.备选变式（教师专享）已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，求cos θ2.解：∵θ为第三象限角，|cosθ|＝m ， ∴θ2为第二或四象限角，cos θ＝－m.∵sin θ2＋cos θ2>0，∴θ2为第二象限角，∴cos θ2＝－1＋cosθ2＝－1－m2. 题型4 二倍角公式的应用例4 (2013·盐城二模)已知函数f(x)＝4sinxcos(x ＋π3)＋ 3.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcos π3－sinxsin π3)＋3＝2sinxcosx －23sin 2x ＋3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.所以T ＝2π2＝π.(2) 因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f(x)min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f(x)max ＝2.备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝－2sin 2x ＋23sinxcosx ＋1. (1) 求f(x)的最小正周期及对称中心；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f(x)的最大值和最小值．[审题视点] 逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解．解：(1) f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.1. (2013·四川)设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α＝________．答案：3解析：由sin2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3， ∴ tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3.2. 已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan2θ＝__________．答案：－247解析：∵ a ∥b ，∴ －4sin θ－3cos θ＝0，∴ tan θ＝－34，从而tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3. 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin (2α＋π12)＝__________．答案：17250解析：设α＋π6＝θ，cos θ＝45，sin θ＝35，sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝2cos 2θ－1＝725，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin2θ·cos π4－cos2θ·sin π4＝17250.4. (2013·贵州)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．答案：16解析：因为sin2α＝23，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12×⎣⎡⎦⎤1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(1－sin2α)＝16.1. 已知sinθ＋cosθ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝________．答案：－725解析：将sinθ＋cosθ＝15两边平方，得sinθcosθ＝－1225，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，则sinθ－cosθ＝±75.又π2≤θ≤3π4，所以cosθ＜0，sin θ＞0，所以sinθ－cosθ＝75，故cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－725.2. 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝________．答案：－79解析：由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，得cos2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝79，即cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝79，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－79. 3. 若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值．解：由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π.又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. cosx ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210，从而sinx ＝－7210，tanx ＝7.故原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x1－tanx＝2⎝⎛⎭⎫－7210·⎝⎛⎭⎫－210＋2⎝⎛⎭⎫－721021－7＝－2875.4. 已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωxsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω＞0)的最小正周期为π2.(1) 写出函数f(x)的单调递增区间；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围．解：(1) f(x)＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12.因为T ＝π2，所以2π2ω＝π2(ω＞0)，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋12.于是由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2，解得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )．所以f(x)的增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z )．(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，32.1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用．3. 降幂公式是解决含有cos 2x 、sin 2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．[备课札记]。

【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件专题2 第2讲三角变换与解三角形

而 b2＋c2≥2b c ，∴b c ＋4≥2b c ，∴b c ≤4 (当且仅当等号成立 )， 1 3 3 所以 S△ABC＝2b cs n i A＝ 4 b c ≤ 4 ×4＝ 3，当△ABC 的面积取最大值时， b＝c.
b＝c 时
π 又 A＝3，故此时 △ABC 为等边三角形．
3．三角变换的基本策略： (1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆．
专题二第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
三角形形状的判定
(文)已知向量
1 m＝sinA，2与
n＝(3，sinA＋ 3
cosA)共线，其中 A 是△ABC 的内角． (1)求角 A 的大小； (2)若 BC＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状．
专题二第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
2．倍角公式 ( 1 ) s n i2 ( 2 ) c o s 2 ( 3 a ) tn 2 α＝2 s n i αc o s α； α＝c o s 2α－s n i 2α＝2 c o s 2 a tn α α＝ . 1－a tn 2α
1－c o s α s n i α α ＝ s 2＝1＋c n i α . o s α
专题二第二讲ห้องสมุดไป่ตู้
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
4．正弦定理接圆的直径 s n i A＝s n i B＝s n i C＝2R(2R 为△ABC 外 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2b cc o s A， b2＝a2＋c2－2a cc o s B， c2＝a2＋b2－2a bc o s C. a b c )．

高考备考解三角形导学案

()()()CB AC B A CB A tan tan cos cos sin sin -=+-=+=+ 解三角形的常见题型导学案班级：姓名：练习3、(范围问题）、已知函数().cos 22sin 312x x x f +-=()()()()的取值范围。

求，且的对边分别为，，的角设集合；时的的最大值及取得最大值求c b A f a c b a x x f +==∆,01,,,C B A ABC 21三、易错分析、及简便算法的形状为（）求中，已知在三角形ABC ,cos sin 2)sin()(sin ABC .2∆=-++A A A B A BA. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.直角或等腰三角形四、小结（1）出现“在△ABC 中”字样，一般都是解三角形问题，必定结合正弦定理或者余弦定理解题；（2）一个等式中同时出现A 、B 、C 三个角，必用π=++C B A 来转化，形式如下：（3）一般情况下，已知条件中边多用余弦定理，角多用正弦定理；（4）三角形解的个数：可通过“大边对大角，小边对小角”来取舍；（5）三角形中的常用结论：○若sin2A ＝sin2B ，则三角形为等腰三角形或直角三角形； ○若sinA ＝sinB ，则三角形为等腰三角形； ○若sinA ＝cosB,则作业：完成此卷课后作业：1、已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b=sin （A+C ），cos （A ﹣C ）+cosB=c ．（1）求角A 的大小；（2）求b+c 的取值范围．注意：此题辨析应该用解范围为题的哪种方法？ 2、（2014全国Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角为60=∠MAN ，C 点的仰角45=∠CAB ，以及75=∠MAC ，从C 点测得60=∠MCA 已知山高BC=100m ，则山高MN=3、.若====C ,6,3,3则πA b a4、设===∆B 6A ,tan ,,,,,，求若的对边分别为的内角πA b a c b a CB A ABC====∆A 3,3,1,,C B A .1则，若的对边为，，的内角πC c a c b a ABC 656.ππ或D 3.πC 65.πB 6.πA BB A -2A 2ππ=+=或45-ABC中，若2b c。

2015高中数学第一章解三角形复习课教案新人教A版必修5

1解三角形复习课（一）沅陵七中黄有圣2016.12.3●教学目标知识与技能：1.梳理解三角形的知识点，及时查找知识点的漏洞，建立知识之间的联系，形成知识体系。

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确解三角形，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点1. 正弦定理，余弦定理的掌握。

2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。

●教学过程（课件上课）【复习导入】1．正弦定理: R Cc B b A a 2sin sin sin === （2R 可留待学生练习中补充） B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===∆. 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 求角公式：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 222-+= 2．思考：各公式所能求解的三角形题型？正弦定理: 已知两角和一边、两边和其中一边的对角，求其他边角余弦定理：已知两边和夹角、已知三边、两边和其中一边的对角，求其它边角注意：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。

高考数学解三角形应用举例

第23讲解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！下方 ###的角叫俯角(如图①).2．方位角从指北方向！！！顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α，即由指北方向！！！顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！！！二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C 适用于任意三角形.( √ )(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为⎣⎡⎭⎫0，π2. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( B )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析如图所示，∠ACB ＝90°.又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( A ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D ．2522m解析由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝502(m).4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C .解析如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222×32＝ 6. 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！ 8 ###海里.解析如图，由题意知在△ABC 中， ∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8(海里).一距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点C ，点D ，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则点A ，B ###km.解析如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km). 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为 5 km.二高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】要测量电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为！！！ 40 ###m.解析设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.三角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝( B )A ．217B ．2114 C ．32114D ．2128解析如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里).由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos (∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 第1题图第2题图2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ解析由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ），即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1． 4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.易错点不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°）＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙距离最短.(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.课时达标第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( B )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin 10°千米C．2cos 10°千米D．cos 20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(A)A．2315B．516C．23116D．115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋153) m解析设建筑物高度为h，则htan 30°－htan 45°＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是！！！32###n mile/h.解析设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA ＝60°，他从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为！！！ 16米 ###.解析如图，设DN ＝x 米，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0.∴x ＝16. ∴N 与D 之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝！！！ 150 ###m.解析在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在△MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.三、解答题10．已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇，岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得 sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离.解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米).(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3. 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，所以AB ＝2－3＝6－22(百米). 12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值. 解析(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310 km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km).故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α·sin α＝ 9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2). ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学理二轮专题复习教案：三角变换与解三角形(含考情解读+变式训练

第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题一般为1～2题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．考点一三角变换例1 (2013·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4 ＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－725， ∴f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725. 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； ③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． (2)(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．答案 (1)3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. (2)∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 考点二正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sinB .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A ＝3a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C .即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A .∴2sin B cos A ＝3sin B .∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6. (2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2，即x 2＋⎝⎛⎭⎫x 22－2x ·x 2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3. 考点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°.在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin ∠EAC ＝AE sin C ，所以sin C ＝AE ·sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝AB sin C， ∴AB ＝BC ·sin C sin 120°＝4x ·12x 32＝433. 在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t ＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.【规律总结】1．求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．(3)再次观察代数式的结构特点．2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.【押题精练】1．在△ABC 中，已知tanA ＋B 2＝sin C ，给出以下四个结论： ①tan A tan B ＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中正确的序号为________．答案 ②④解析依题意，tan A ＋B 2＝sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sinA ＋B 2cos A ＋B 22cos 2A ＋B 2＝sin (A ＋B )1＋cos (A ＋B ) ＝sin C 1＋cos (A ＋B )＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan A tan B＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2， ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)， ∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2， ∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2， ∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4. (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. 由f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x )]＝－cos(π3＋x ) ＝2sin 2(x 2＋π6)－1＝－12. (2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0<B <2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B 2＋π6＋12∈⎝⎛⎭⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、填空题1．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________．答案 2525解析根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45. 又cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525. 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________．答案－45解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45， sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45. 3． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于________．答案 π6解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6. 4．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的范围是________．答案 (2，3)解析设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B . 又∵C ＝2B <π2，∴B <π4. 又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2， ∴B >π6，即π6<B <π4， ∴22<cos B <32，2<2cos B < 3. 5．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于________．答案 2－ 3解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3. 6． (2013·重庆改编)计算：4cos 50°－tan 40°＝________. 答案 3解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.7． (2013·福建)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 3解析 sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案－255解析由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.9．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________. 答案 11解析依题意，利用三角形面积相等有：12AB ×h ＝12AC ·BC sin 60°， ∴12×3×43＝12ACBC ·sin 60°， ∴AC ·BC ＝83. 利用余弦定理可知cos 60°＝AC 2＋BC 2－AB 22ACBC， ∴cos 60°＝AC 2＋BC 2－32×83，解得：AC 2＋BC 2＝173. 又因(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC＝173＋163＝11， ∴AC ＋BC ＝11.二、解答题10．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，2a ＝b ＋c ，bc ＝18，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)由f (A )＝12，得sin(2A ＋π6)＝12. ∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6. ∴A ＝π3. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc .又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a 2＝4a 2－3×18，即a 2＝18，a ＝3 2.11．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35. 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．(2013·福建)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上， (1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α). 故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON ＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°)＝1sin (45°＋α)[32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)] ＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α) ＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin(2α＋30°).因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 3.。

2015届高考数学教材知识点复习导学案32

【学习目标】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．预习案1．正弦定理asin A ＝＝＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径．变式：a ＝，b ＝，c ＝ .a ∶b ∶c ＝ ∶ ∶ .2．余弦定理a 2＝；b 2＝；c 2＝ .变式：cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝ .sin 2A ＝sin B ＋sin C －2sin B sin C cos A .3．解三角形(1)已知三边a 、b 、c .运用余弦定理可求三角A 、B 、C .(2)已知两边a 、b 及夹角C . 运用余弦定理可求第三边c(3)已知两边a 、b 及一边对角A . 先用正弦定理，求sin B ：sin B ＝b sin A a .①A 为锐角时，若a <b sin A ，；若a ＝b sin A ，；若b sin A <a <b ，；若a ≥b ，．②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，；若a >b ，．4．已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理，先求出一边，后求另一边．4．三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．【预习自测】1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π32．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝ ( ) A.1010 B.105 C.31010 D.553．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.5．△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20,102，2033，10和5的情况下，求相应的角C .探究案题型一：利用正余弦定理解斜三角形例1.(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求B ，C 及边c .(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．拓展1：(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝________.(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b－c ＝0.①求A ； ②若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .题型二：面积问题例2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．拓展2.△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ； (2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．题型三：判断三角形形状例3;(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形拓展3. (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．(2)在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三个内角，a 、b 、c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc . ①求角A 的大小；②若sin B sin C ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型四：解三角形的应用例4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.拓展4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A －3sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第三章+三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三

2
4
2
2

关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,

若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .

正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,

由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5

2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角、负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合

α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合

3
3
3
1 10π
1
π

2015届高考数学一轮总复习 4-7解三角形应用举例

2015届高考数学一轮总复习4-7解三角形应用举例基础巩固强化一、选择题1．(文)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a B.3aC.2a D．2a[答案] B[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B.(理)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为()A.3B．2 3C．23或 3 D．3[答案] C[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或2 3.2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102n mile B．103n mileC．202n mile D．203n mile[答案] A[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°，∴BC＝102，故选A.3．海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )A ．103n mile B.1063n mileC ．52n mileD ．56n mile[答案] D[解析] 在△ABC 中由正弦定理得10sin45°＝BC sin60°，∴BC ＝5 6.4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10° C ．2cos10° D ．cos20° [答案] C[解析] 如图，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°，在△ABD 中，由正弦定理得1sin10°＝ADsin160°， ∴AD ＝2cos10°. 5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1 D.22[答案] C[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD＝50(6－2)·sin45°50＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.6．如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5n mileB ．23n mile C.13n mileD ．32n mile[答案] C[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A [解析]解法1：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.解法2：在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ， ∴BC ＝AB －100.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴ABAB －100＝3，∴AB ＝150＋503≈237.二、填空题8．(2014·镇江月考)一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案] 30 2[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝302(km)．9．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为________．[答案]32[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ ，在△OPR 中，由正弦定理得2sin120°＝OP sin ∠ORP ，在△ORQ 中，1sin30°＝OQ sin ∠ORQ，两式两边同时相除得OQ OP ＝tan ∠OPQ ＝32.三、解答题10．港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20n mile 后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？[解析] 在△BDC 中，由余弦定理知， cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝－17，∴sin ∠CDB ＝437.∴sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －π3)＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝5314.在△ACD 中，由正弦定理知AD sin ∠ACD ＝CDsin A⇒AD ＝5314×21÷32＝15(n mile)．∴此时轮船距港口还有15n mile.能力拓展提升一、选择题11．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．2030mD ．30m[答案] A[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝103，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝300，∴BC ＝10 3.12．(2012·湖南文，8)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394 [答案] B[解析] 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2AB ×12，AB 2－2AB－3＝0，∴AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，则BC 边上的高AD ＝AB sin B ＝3×sin60°＝332. 二、填空题13．(2012·重庆理，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.[答案]145[解析] 由已知sin A ＝45，sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理csin C ＝b sin B ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.14.(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面212m ，树上另一点B 离地面112m ，某人在离地面32m 的C 处看此树，则该人离此树________m 时，看A ，B 的视角最大． [答案] 6[解析] 过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－112＝5(m)，BF＝112－32＝4(m)，AF ＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4FC ，∴tan α＝[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝9FC －4FC 1＋36FC 2＝5FC ＋36FC ≤52FC ·36FC＝512.当且仅当FC ＝36FC，即FC ＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．三、解答题15．(2012·河北衡水中学调研)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m 到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ＝60°，求山高h (单位：m)．[解析] 在三角形ABP 中， ∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β) ＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理得 AP sin ∠ABP ＝ABsin ∠APB ，∴AP sin (180°－γ＋β)＝10sin (γ－α)，∴AP ＝10sin (γ－β)sin (γ－α).又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，∴山高为h ＝AP sin α＝10sin αsin (γ－β)sin (γ－α)＝52(m)．16．在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11：00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11：10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离． [解析] (1)设船速为x km/h ，则BC ＝x6km.在Rt △P AB 中，∠PBA 与俯角相等为30°， ∴AB ＝1tan30°＝ 3.同理，Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得 BC ＝(3)2＋(33)2－2×3×33cos60°＝213， ∴x ＝6×213＝221km/h ， ∴船的航行速度为221km/h. (2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，∴当航行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．此时，AD ＝AB ·AC ·sin60°BC＝3×33×32213＝3714. ∴PD ＝1＋(3714)2＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km.考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．补充说明1．解斜三角形应用题常见题型测量距离问题、测量高度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．根据实际问题构造三角形是应用的关键[例1] 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A (3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析] 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD .设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6， ∴BC ＝6，∵cos ∠CBA ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB ＝6＋(3－1)2－426·(3－1)＝22，∴∠CBA ＝45°，即B 在C 正东． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．[点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．备选习题1．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°，AB 两船距离为3km ，则B 到C 的距离为( )A.19km B ．(6－1)km C ．(6＋1)km D.7km[答案] B[解析] 由条件知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，设BC ＝x km ，则由余弦定理知9＝x 2＋4－4x cos120°，∵x >0，∴x ＝6－1. 2.(2012·西安五校二模)如图，在某港口A处获悉，其正东方向距离20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B处营救渔船．(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(已知cos49°＝21 7)[解析](1)由题意，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠CAB＝120°，∵CB2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠CAB，∴CB2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700，∴BC＝107，所以接到救援命令时救援船距渔船的距离为107n mile.(2)△ABC中，AB＝20，BC＝107，∠CAB＝120°，由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠CAB，即20sin∠ACB＝107sin120°，∴sin∠ACB＝217.∵cos49°＝sin41°＝217，∴∠ACB＝41°，故救援船应沿北偏东71°的方向救援．3.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan 12)的方向做匀速直线航行，速度为105n mile/h.(1)求出发后3h 两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．[解析] 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t ，由θ＝arctan 12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，故x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，(1)令t ＝3，则P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.即两船出发后3h ，相距534n mile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4h ，相距最近，距离为202n mile. (3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为202n mile ，故两船不可能相遇．。

2015高考数学解三角形

专题四解三角形1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C = ．2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ．3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（）A B ．2 C ． D ．35.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD的长。

6.（15年安徽文科）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC 。

7.（15年福建理科）若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．8.（15年福建文科）若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．9.(15年新课标1理科)10.（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求CB ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，DC =22求BD 和AC 的长.11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin B C ∠∠ ；（II ）若60BAC ∠= ,求B ∠.12.(15年陕西理科) C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．13.（15年陕西文科）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a = 与(cos ,sin )n A B = 平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.14.（15年天津理科）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为12,cos ,4b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值；（II ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.。

【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题三三角函数、解三角形

专题三三角函数、解三角形1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．43B ．2 3C. 3D.322.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位 4.在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3945.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.436.已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝17.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.329.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cos A＝－24.(Ⅰ)求sin C和b的值；(Ⅱ)求cos⎝⎛⎭⎫2A＋π3的值．12.已知函数f(x)＝A cos⎝⎛x4⎭⎫＋π6，x∈R，且f⎝⎛⎭⎫π3＝ 2.(1)求A的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B. (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．14.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BC sin A ＝AC sin B ，则AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3. 2.A y ＝cos2x ＋1⇒y ＝cos x ＋1⇒y ＝cos(x ＋1)＋1⇒y ＝cos x ＋1，故选A.3.C y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos(2x ＋1) 或y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)． 4.B由余弦定理得12＝4＋AB 2－72×2AB，解得AB ＝3， ∴BC 边上的高h ＝AB ·sin60°＝332. 5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α.∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2×（－3）1－9＝34. 6.C f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x 2＝1＋sin 2x 2. ∴f (lg 5)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 15 ＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1. 7.D 由题意知c ＝b －1，a ＝b ＋1.由3b ＝20a ·cos A ，得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，则a ＝6，c ＝4. 8.C 原式＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12. 9.17250 根据cos(α＋π6)＝45， cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1 ＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12) ＝sin[(2α＋π3)－π4] ＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250. 10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3. (Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144. 又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0，因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1. (Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144，得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34， sin2A ＝2sin A cos A ＝－74. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218. 12.解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，解得A ＝2.(2)f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85，即cos β＝45. 因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ b sin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6] ＝2sin2x －2sin(2x ＋π3) ＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x ) ＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ， A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12. (Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34. 法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C ＝34.16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 又由－π<φ≤π得φ＝π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)．因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．。

2015高考总复习数学(文)课件：7.2解三角形应用举例

图 7-2-4 解：在ABD 中，设 BD＝x，则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos∠BDA，即 142＝x2＋102－2· 10x· cos60°，整理，得 x2－10x－96＝0，
解得 x1＝16，x2＝－6(舍去)．
由正弦定理，得
BC BD ＝， sin∠CDB sin∠BCD
5．如图 7-2-3，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105°，行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它
10 6 3 向右转 135°后继续前行回到出发点，那么 x＝_______.
图 7-2-3
考点1
16 ∴BC＝ · sin30°＝8 2 ≈11.3(km)． sin135° 答：两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km.
【方法与技巧】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.
【互动探究】 1．在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若∠CAB＝
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
2．如图 7-2-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA ＝45°，且 AB＝200 米．则 A，C 两点的距离为( A )
图 7-2-2
200 6 A. 3 米 100 6 C. 3 米 B．100 D．200 6米 2米
在 Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，则 BD＝ 3 AB＝30 3 (m)．
在△BCD 中，BC＝30 m，BD＝30 3 m，∠CBD＝30°，由余弦定理，得 CD2＝BC2＋BD2－2BC· BD· cos∠CBD

高考数学一轮复习解三角形教案理教案

图二abc CBA图一cabA BC某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形教案理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt ABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。

（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC 中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B 、C的对边。

（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。

5、实际问题中的应用。

（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。

（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质教学案

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质第四章 (对应学生用书(文)、(理)44～46页)1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π.2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin (ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝⎛⎭⎫150，0和⎝⎛⎭⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin (ωx ＋φ)和y ＝Acos (ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝⎛⎭⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝⎛⎭⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝⎛⎭⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6再用3p代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

2015届高考数学总复习第三章第八节解三角形的应用课时精练试题文(含解析)

第八节解三角形的应用1．(2013·绍兴模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2 cos10°.故选C 项.答案：C2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．答案：A3．在相距2 km 的A 、B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离是( )A ．2 3 kmB ．3 2 km C. 6 km D ．3 3 km 解析：由题意，C ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝ABsin 45°，所以AC ＝2sin 45°·sin 60°＝6(km)．答案：C4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟解析：t 小时后，甲、乙两船的距离为s ，s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514(小时)＝514×60＝1507(分钟)时，甲、乙两船的距离最近．故选A.答案：A5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m解析：如图，设塔高为h ，在Rt△AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt△AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC2＋CD 2－2 OC ·CD cos∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5 h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．答案：C6．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为45°，假设建筑物高50 m ，设山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝____________.解析：在△ABC 中，AB ＝100 m ，∠CAB ＝15°， ∠ACB ＝45°－15°＝30°，由正弦定理得100sin 30°＝BCsin 15°，∴BC ＝200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50 m ，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90° ＋θ，由正弦定理知，50sin 45°＝200sin 15°＋θ，解得cos θ＝3－1.答案：3－17．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S 的距离为______海里(结果保留最简根式)．答案：10 2 8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠ CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30.答案：309．某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．解析：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6，∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin 45°sin 60°＝23CD .同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6，∠BCD ＝30°，根据正弦定理得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD . 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理有AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝42(km)．所以炮兵阵地到目标的距离为42 km.10．(2013·郑州二模)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？解析：作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos∠MOI ＝45.设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理：(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45，求得v 2＝25t 2－400t＋2 500＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －82＋900≥900，∴当t ＝18时，v 的最小值为30，∴其行驶距离为vt ＝308＝154(公里)．故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了154公里．11．(2012·韶关二模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中c ＝2，且cos A cos B ＝b a ＝31.(1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB ＝θ，用θ的三角函数表示△PAC 的面积，并求△PAC 面积最大值．(1)证明：由正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，整理为sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∵b a＝31，∴A ＝B 舍去．由A ＋B ＝π2可知C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．(2)解析：由(1)及c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3. 在Rt△PAB 中，PA ＝AB ·cos θ＝2cos θ，∴S △PAC ＝12·AC ·PA sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝3cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ·32－cos θ·12 ＝34 (3sin 2θ－cos 2θ)－34＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6－34，π6＜θ＜π2.∵π6＜θ＜π2，∴π6＜2θ－π6＜5π6 . 当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，S △PAC 最大值等于34.。

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)47～48页)1. (必修4P 98第1题改编)sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________．答案：22解析：sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°·sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 2. (必修4P 104习题5改编)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan (α＋β)＝________．答案：1解析：tan (α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3. (必修4P 94习题2(1)改编)若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝__________．答案：－210解析：由α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝35，得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210.4. (必修4P 99第10题改编)计算： 2cos10°－sin20°cos20°＝________．答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin20°cos20°＝2（cos30°cos20°＋sin30°sin20°）－sin20°cos20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos20°＋12sin20°－sin20°cos20°＝ 3.5. (必修4P 115第6题改编)计算： sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°·sin8°＝________．答案：2－3 解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，∴ 原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3.1. 两角差的余弦公式推导过程2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos (α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos (α＋β)＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin (α－β)＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ sin (α＋β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ tan (α－β)＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβtan (α＋β)＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tan αtanβ4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝ba.φ的终边所在象限由a 、b 的符号来确定.题型1 化简求值例1 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________．答案：1解析：∵ tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝tan （18°－x ）＋tan （12°＋x ）1－tan （18°－x ）tan （12°＋x ）＝tan30°＝33， ∴ tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]，于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1. 变式训练求值：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.解：∵ tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°＝3，∴ tan20°＋tan40°＝3－3tan20°tan40°， ∴ tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 题型2 给值求角例2 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．答案：π4解析：(解法1)依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，∴ cos (α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0.∵ α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝π4. (解法2)∵ α、β都是锐角，且sin α＝55＜22，sin β＝1010＜22，∴ 0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2，∴ cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，sin (α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22.∴ α＋β＝π4. 备选变式（教师专享）已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.解：∵ 0＜β＜α＜π2，∴ 0＜α－β＜π2.又cos (α－β)＝1314，∴ sin (α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0＜β＜π2，∴ β＝π3.题型3 给值求值例3 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin (α＋β)的值．解：∵π4＜α＜3π4，∴ －3π4＜－α＜－π4， ∴ －π2＜π4－α＜0.又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45.∵ 0＜β＜π4，∴ 3π4＜3π4＋β＜π.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，∴ cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213.∴ sin (α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin(3π4＋β)·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝3665＋2065＝5665. 备选变式（教师专享）已知α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，tan (α－β)＝－13，求cos β的值．解：∵ α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ －π2＜α－β＜π2.又tan (α－β)＝－13＜0，∴ －π2＜α－β＜0.∴1cos 2（α－β）＝1＋tan 2(α－β)＝109.∴ cos (α－β)＝31010，sin (α－β)＝－1010.又sin α＝45，∴ cos α＝35.∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝35×31010＋45×⎝⎛⎭⎫－1010＝1010. 例4 (2013·常州期末)已知α、β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1) 求sin (α－β)的值；(2) 求cos β的值．解：(1) ∵ α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ －π2＜α－β＜π2.又tan (α－β)＝－13＜0，∴ －π2＜α－β＜0.∴ sin (α－β)＝－1010. (2) 由(1)可得，cos (α－β)＝31010. ∵ α为锐角，sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 备选变式（教师专享）已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos (α－β)的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ 2α∈(0，π)．∵ cos α＝13，∴ cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴ sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ α＋β∈(0，π)，∴ sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，∴ cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.1. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝__________．答案：－1010解析：由题意知cos φ＝55，sin φ＝－255.由相邻两条对称轴间距离为π3，得T 2＝π3，即T ＝2π3，∴ 2πω＝2π3，ω＝3.∴ f(x)＝sin(3x ＋φ)．f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝sin π4cos φ＋cos π4sin φ＝22×55＋22×⎝⎛⎭⎫－255＝－1010.2. 函数f(x)＝sin2x ·sin π6－cos2x ·cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为_________．答案：⎣⎡⎦⎤－5π12，π12解析：f(x)＝sin2xsin π6－cos2x ·cos 5π6＝sin2xsin π6＋cos2xcos π6＝cos(2x －π6)．当2kπ－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f(x)单调递增．取k ＝0得－5π12≤x ≤π12，∴ 函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12.3. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos α＝__________．答案：33－410解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，得sin α·cos π3＋cos α·sin π3＋sin α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.∵ －π2＜α＜0，∴ －π3＜α＋π6＜π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.∴ cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410.4. (2013·贵州)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案：－105解析：由tan ⎝⎛⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13.因为θ为第二象限角，利用tan θ＝sin θcos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105.1. 已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________．答案：1解析：∵tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，∴tan β＝1－tanα1＋tanα＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α.又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为________．答案：－45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sinα＋12cosα＝－45.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求： (1) tan(α＋β)的值；(2) α＋2β的值．解：(1) 由已知条件及三角函数的定义可知cosα＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3） ×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.4. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －34π，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；(2) 已知cos (β－α)＝45，cos (β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.(1) 解：f(x)＝sinxcos7π4＋cosxsin 7π4＋cosxcos 3π4 ＋sinxsin 3π4＝2sinx －2cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以T ＝2π，f(x)min ＝－2.(2) 证明：cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45，①cos (β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－45.②①＋②，得cos αcos β＝0，于是由0＜α＜β≤π2cos β＝0＝π2. 故f(β)＝2[f(β)]2－2＝0.1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ① 化为特殊角的三角函数值；② 化为正、负相消的项，消去求值；③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系． 3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：① 已知正切函数值，选正切函数；② 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．请使用课时训练（A ）第4课时（见活页）.[备课札记]。

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第四章三角函数、解三角形 4.5

§4.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1． y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2. 如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3. 函数y1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × )(2)将y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × )(3)y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位得到的．( √ ) (4)y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )2．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4答案 A解析将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． 3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.4．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.5．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________．答案 6，π6解析由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪将f (x )化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．方法二将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．题型二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．思维启迪 (1)根据周期确定ω，据f (0)＝3和|φ|<π2确定φ；(2)由点(0,1)在图象上和|φ|<π2确定φ，再根据“五点作图法”求ω.答案 (1)D (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.(2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )．题型三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的应用例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x .∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 思维升华利用函数的图象确定解析式后，求出y ＝f (x )＋f (x ＋2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将ωx ＋φ视为一个整体)求函数最值．(1)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s答案 (1)A (2)D解析 (1)∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标为 x 1、x 2且|x 2－x 1|min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2. (2)T ＝2π2π＝1，∴选D.三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)(2013·山师附中模拟)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维启迪 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)．第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)．第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．方法与技巧1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．失误与防范1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x前面的系数提出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 A解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin 2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.3．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( )A.π12B.π6C.5π6D.7π12答案 D解析图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ，令k ＝1时，φ＝7π12，故选D.4．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3答案 C解析由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－32]∪[32，＋∞)答案 D解析当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．二、填空题6．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________________________. 答案143解析依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143.7．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．答案－1或－5解析依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 三、解答题9． (2013·天津)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin(2ωx －π6)－12，由f (x )的周期T ＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴f (x )＝sin(4x －π6)－12，由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是[－π12＋k π2，π6＋k π2](k ∈Z )． (2)由题意，得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又∵0<x <π，∴0<x ≤π3，∴－π6<4x －π6≤7π6，∴－12<sin(4x －π6)≤1，∴－1<sin(4x －π6)－12≤12，∴f (x )的值域为(－1，12]．B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安答案 A解析由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 4．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后，得到函数g (x )的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，故所求函数f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后得g (x )＝2sin[2(x ＋m )－π6]＋a 要使g (x )的图象关于y 轴对称，只需2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )．即m ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以m 的最小值为π3.5． (2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。