2015年高考数学复习学案：解三角形

【考点概述】

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题． 【重点难点】

三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题．

【命题趋势】

1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察，故三角形中三角问题常常与其他

数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变形的技能及三角函数的应用意识．

2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现（2010年江苏卷第13题，2010年上海理科卷第18题，2010年全国理科卷第16题、2010年天津理科卷第15题、2010年北京理科卷第10题、2010年广东理科卷第11题、2010年山东理科卷第15题等），但近几年来以解答题形式出现的频率较高（2010年江苏卷第17题、2010年陕西理科卷第17题、2010年福建理科卷第19题、2009年海南理理科卷第17题、2009年天津理科卷第17题、2009年辽宁理科卷第17题、2009年安徽理科卷第16题、2009年浙江理科卷第18题等），因为与实际问题的联系密切，今后这部分仍然是高考命题的一个热点．

【知识要点】：

1、 正弦定理：

C

c

B b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A B

C a b c =

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角．

(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理：

=2

a A bc c

b cos 22

2

-+； cos A ＝bc

a c

b 22

22-+

=2

b B a

c c a cos 22

2

-+； cos B ＝ac

b c a 22

22-+

=2

c C ab b a cos 22

2

-+； cos C ＝ab

c b a 22

22-+

利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角．

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21=

∆＝A bc B ac sin 2

1

sin 21=．

4、射影定理： a ＝c cos B ＋b cos C ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A ，

【基础训练】

1、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4

cos 5

A =-

，求sin B ＝ ． 2、在ABC ∆中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝5︰7︰8，则B ＝ ．

3、在ABC ∆中，B A sin sin >是A ＞B 的 条件（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”）．

4、在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos A

B

b a =则ABC ∆的形状是 ．

【典例分析】：

例1、（1）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝32，A ＝30°，则B ＝ ．

变式1：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，则边c ＝ ．

变式2：在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝33，b ＝32，A ＝30°，则B 有几解？

例2：在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2

sin

2)2cos(12

C

B A +=++π． (Ⅰ)求角A 的大小；

（Ⅱ）当a ＝6时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．

例3：如图：在ABC ∆中，若4,7b c ==，BC 的中点为D ，且7

2

AD =，求cos A ．

【巩固练习】

1、（2010年北京理10）在△ABC 中，若b ＝ 1，c

23

C π∠=

，则a ＝ ． 2、( 2010年上海理18) 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111

,,13115

，

则此人根据上述条件，下列说法正确的是 ．

（1）不能作出这样的三角形 （2）可作出一个锐角三角形 （3）可作出一个直角三角形 （4）可作出一个钝角三角形

3、(2009年广东理6) 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0

60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ． 4、(2010年广东理11)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b

A ＋C ＝2

B ，则sin

C ＝ .

5、 (2010年全国理16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2

DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC

的面积为3∠BAC ＝______ _ ．

【课外作业】

1、（2010年山东理15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，

若a =

2b =

，

sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．

2、(2007年山东理11)在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的序号是 ．

（1）2

AC AC AB =⋅ （2） 2

BC BA BC =⋅ （3）2AB AC CD =⋅ （4） 2

2

()()

AC AB BA BC CD AB

⋅⨯⋅=

3、(2008年海南理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值

为 ．