2018年高二下学期期中考试数学文科试卷
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。
2017-2018年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）和解析答案
第1页（共23页）页）-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库精品文库---baiduwenku**推荐下载推荐下载**百度文库 绝对精品--2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜2}，i 为虚数单位，a ＝|1+i |，则下列选项正确的是（ ） A ．a ∈MB ．{a }∈MC ．{a }⊄MD ．a ∉M2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） （1）y ＝sin x （x ∈R ）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y ＝sin x （x ∈R ）是三角函数． A ．（1）（2）（3） B ．B （2）（1）（3）C ．（2）（3）（1）D ．（3）（2）（1）3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X 和Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④4．（5分）复数z ＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角5．（5分）已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且＝0.95x +a ，则a ＝（ ） x 0 1 3 4 y 2.24.34.86.7 A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.96．（5分）当x ∈（0，+∞）时，x ，由此推广可得x≥n +1，则实数m 的取值应为（ ）A ．nB ．n 2C ．n nD ．n +17．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S 1＝[]+[]+[]＝3，S 2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21，3…，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f （）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i 是虚数单位，若z ＝（1+mi ）（3+i ）（m ∈R ）是纯虚数，则z 的虚部是 ． 14．（5分）观察下列不等式： ①＜1 ②+＜③++＜；…则第n 个不等式为 ．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R ＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频道 231015分组[110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） 频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计 优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010 K 2.706 5.024 6.635 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，i为虚数单位，a＝|1+i|，则下列选项正确的是（ ）A．a∈M B．{a}∈M C．{a}⊄M D．a∉M【解答】解：a＝＝，又集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，∴a∈M．故选：A．2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）（1）y＝sin x（x∈R）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y＝sin x（x∈R）是三角函数．A．（1）（2）（3） B．B（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1）【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知： （3）y＝sin x（x∈R ）是三角函数是“小前提”；（2）三角函数是周期函数是“大前提”；（1）y＝sin x（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为（2），（3），（1）故选：C．3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：对于①，频率分布直方图中，平均数的左边和右边的直方图的面积相等，众数不满足这一性质，①错误；对于②，标准差是表示样本数据波动性大小的量，标准差越小，样本数据的波动也越小，②正确；对于③，两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1，③正确；对于④，对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，④错误；综上，正确的说法是②③．故选：B．4．（5分）复数z＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限角【解答】解：复数z＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1+i，则z的共轭复数＝﹣1﹣i在复平面上对应的点是（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C．5．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x+a，则a ＝（ ）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【解答】解：由题意＝＝2，＝＝4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5＝0.95×2+a，所以a＝2.6．故选：B．6．（5分）当x∈（0，+∞）时，x，由此推广可得x≥n+1，则实数m的取值应为（ ）A．n B．n2 C．n n D．n+1【解答】解：x＝++…++≥n+1，则m＝n•n•n…n＝n n，故选：C．7．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值【解答】解：由题意，n为正整数，则sin nπ＝0，模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝1+2+…+n的值，故选：B．8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a＝20.2∈（1，2），b＝0.22∈（0，1），∵x＞1，c＝log x（x2+0.3）＞log x x2＝2，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．故选：C．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，则2018+2017＝m2，即2018+2017m＝m2，解得m＝2018，或m＝﹣1舍去．故选：B．10．（5分）如图，若（1）处填入语句i≥m+1，（2）中填入语句n＝2i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S 【解答】解：由题意，当m＝3时，模拟程序的运行，可得 S＝0，n＝2，i＝1；不满足条件i≥4，S＝，i＝2，n＝4；不满足条件i≥4，S＝+，i＝3，n＝8；不满足条件i≥4，S＝++，i＝4，n＝；此时，满足条件i≥4，退出循环，输出S＝++＝， 故A正确．故选：A．11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S1＝[]+[]+[]＝3，S2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S3＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21， …，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3＝4﹣1＝22﹣12，S1＝1×3； 第二个等式，起始数为：2，项数为：5＝9﹣4＝32﹣22，S2＝2×5；第三个等式，起始数为：3，项数为：7＝16﹣9═42﹣32，S3＝3×7；…第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2＝2n+1，S n＝n（2n+1），（n∈N*）． 故选：D．12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f（）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣6x，f″（x）＝6x﹣6，由f″（x）＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1的对称中心为（1，﹣3），∴f（）+f（）+…+f（）+f（）＝99×（﹣6）+f（1）＝﹣594﹣3＝﹣597．故选：D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i是虚数单位，若z＝（1+mi）（3+i）（m∈R）是纯虚数，则z的虚部是 10 ．【解答】解：z＝（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i是纯虚数，则，解得m＝3．则z的虚部是3×3+1＝10．故答案为：10．14．（5分）观察下列不等式：①＜1②+＜③++＜；…则第n个不等式为 +++…+＜ ．【解答】解：∵①＜1；②+＜；③++＜；…不等式的左边分母中的数是n（n+1），右边是无理式的被开方数是首项为1，公差为1的等差数列，∴第n个不等式为：+++…+＜，故答案为：+++…+＜．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R＝ ． 【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V＝S1×r+S2×r+S3×r+S4×r＝S×r∴内切球半径r＝故答案为：．16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．【解答】解：∵函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2， ∴f ′（x ）＝+2x ，∵在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ， 若不等式恒成立，即为＞0，设g （x ）＝f （x ）﹣x ，1＜x ＜2，则g （x ）在（1，2）递增，可得g ′（x ）＝+2x ﹣1≥0，即有a ≥（x +1）（1﹣2x ）在（1，2）恒成立， 令h （x ）＝﹣2x 2﹣x +1，x ∈（1，2），根据二次函数h （x ）在（1，2）递减，可得h （x ）max ＝g （1）＝﹣2， ∴a ≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵（1+i ）（﹣5﹣7i ）＝2﹣12i ，且z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等， ∴，解得m ＝﹣1；（2）由题意得，，解得m ＜﹣3或m ＞5．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 2 3 10 15分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010K 2.706 5.024 6.635【解答】解：（1）利用分层抽样方法知，甲校抽取105×＝55人， 乙校抽取105﹣55＝50人，则x＝55﹣（2+3+10+15+15+3+1）＝6，y＝50﹣（1+2+9+8+10+10+3）＝7；（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，则估计甲校优秀率为×100%＝18.2%；乙校优秀率为×100%＝40%；（3）根据所给的条件列出列联表，甲校 乙校 总计优秀 10 20 30非优秀 45 30 75总计 55 50 105计算K2＝≈6.109，又因为6.109＞5.024，所以有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．【解答】（1）解：取DC中点O，连接PO，AO，由侧面PCD是边长为2的正三角形，可得PO⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝2；（2）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M 为PB 的中点，∴M （，1，），∴＝（，2，），＝（，0，﹣），＝（0，2，0），∴＝×+2×0+×（﹣）＝0，•＝0×+2×0+0×（﹣）＝0，∴P A ⊥DM ，P A ⊥DC ， ∴P A ⊥平面DMC ．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+，x ∈[0，1]．（1）用分析法证明：f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2；（2）∵1﹣x +x 2＝（x ﹣）2+≥，当且仅当x ＝时取等号， ∵f （）＝＞，f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ）＞，（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ，∴f（x）≤x+，设g（x）＝x+，x∈[0，1]，∴g′（x）＝1﹣＝≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤g（1）＝，综上所述明．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．【解答】证明：（1）∵，等式两边同时减去1，得＝，∴＝2+，∴﹣＝2，又＝＝1，∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．解：（2）由（1）知数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴a n＝1+＝．（3）∵b n＝，∴欲证++…+＜2，即证+＜2，∵，（n≥2），∴+＜1+1﹣+﹣+…+＝2﹣＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．【解答】解：（1）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得＝（c，﹣b），＝（x 0，﹣b），∵，∴cx0+b2＝0，解之得x0＝﹣，由，知c＝，于是F2（a，0），B（﹣a，0），∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣a，0），半径r＝a，由题意可得，解得a＝2，得到c＝1且b＝，∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x＝±，∴原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆联立，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，，．∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝0． 即（k 2+1）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0， ∴（k 2+1）﹣+m ＝0，整理得7m 2＝12（k 2+1）． ∴O 到直线AB 的距离d ＝＝为定值．∵OA ⊥OB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2≥2OA •OB ， 当且仅当OA ＝OB 时取“＝”号． 由d •AB ＝OA •OB 得d •AB ＝OA •OB ≤，∴AB ≥2d ＝，即弦AB 的长度的最小值是．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =ÎÎ>，且n N +Î，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号na -表示；表示；00的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．次方根．②式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ³．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ³ì==í-<î．（2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N +=>Î且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>Î且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +×=>Î ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>Î③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>Î【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数）指数函数 函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0xy a a =>且1)a ¹叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a > 01a <<xa y =xy (0,1)O1y =x a y =xy (0,1)O 1y =定义域定义域 R值域值域 (0,)+¥过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>¹且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．叫做真数．②负数和零没有对数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =Û=>¹>．（2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b aa b =．（3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >¹>>，那么，那么①加法：log log log ()a a aM N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =Î ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b=¹Î ⑥换底公式：log log (0,1)log bab NN b b a=>¹且【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数）对数函数函数函数 名称名称对数函数对数函数定义定义 函数log (0a y x a =>且1)a ¹叫做对数函数叫做对数函数图象图象1a > 01a <<定义域定义域 (0,)+¥值域值域 R过定点过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在(0,)+¥上是增函数上是增函数在(0,)+¥上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．越大图象越靠高．xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
最新-2018学年高二文科数学下册期中检测试卷及答案 精
2018～2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（文科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。
本次考试时间为120分钟，满分160分。
考试结束后，只需将答题纸交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．独立性检验中的统计假设就是假设两个研究对象Ⅰ和Ⅱ ▲ . 3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m ▲ . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： ▲ .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ▲ .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 ▲ .7.用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被５整除，那么b a ,至少有一个能被５整除”时，提出假设的内容是 ▲ .8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 ▲ .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 ▲ . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 ▲ .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 ▲ .12.在复平面内，Ｏ是原点，AB OC OA ,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么BC 表示的复数为 ▲ .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)用反证法证明：若,,,,R d c b a ∈且,1=-bc ad 则.12222≠+++++cd ab d c b a18.（本小题１６分）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中有６人患色盲.（１） 根据以上的数据建立一个22⨯的列联表；（２） 若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少？ 附临界值参考表：)(02x P ≥χ0.10 0.18 0.025 0.010 0.018 0.0010x2.7183.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω （１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）18题：（本题16分）19题：（本题16分）…………………密………………………………封………………………………线……………………20题：（本题16分）高二文科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 相互独立（没有关系）；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. b a ,都不能被5整除；8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ； 11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+．…………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分17.证明：假设cd ab d c b a +++++2222＝1， …………2分 ∵1=-bc ad ，∴bc ad cd ab d c b a +-+++++2222＝0， …………6分 即2222)()()()(c b d a d c b a ++-++++＝0， …………8分 ∴必有0,0,0,0=+=-=+=+c b d a d c b a ，∴0====d c b a ，与1=-bc ad 矛盾， …………12分 ∴cd ab d c b a +++++2222≠1． …………14分 18. 解：（1）…………6分 （2）假设H 0 ：“性别与患色盲没有关系”， …………8分根据（1）中列联表中数据，可求得：14.2795644520480)442651438(100022≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ， (12)分又001.0)828.10(2=≥χP ，即H 0成立的概率不超过0.001， …………14分 故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.001． …………16分19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， (4)分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分(Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω， …………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。
2017-2018学年高二下学期期中考试文科数学试题(20201014151306)
关还是负相关； （ 2）利用（ 1）中所求出的直线方程预测该教师
2014 年所带班级的数学平均成绩。
n
xi x yi y
b
i1 n
2
xi x
i1
n
xi yi
i1 n
xi2
i1
nx y
2
nx
a y bx
21. （ 12 分）已知函数 f ( x) x 3 x 1 .
（ 1）求不等式 f (x) 5 的解集；
B
。0
C
。2
D
。1
9. 在同一坐标系中，将曲线 y=2sin3x 变为曲线 y=sinx 的伸缩变换是（
）
A．
B．
C．
D．
10. 在极坐标系中，已知圆 C 的方程为 ρ =2cos （ θ ﹣ ），则圆心 C 的极坐标可以为（
）
A．（ 2， ） B．（ 2，
）
C．（ 1， ） D．（ 1，
）
11. 若不等式 |x+1| － |x － 2|>a 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围是（
19. （ 12 分）以直角坐标系的原点
2
标方程为 ρ sin θ =4cos θ ； （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程；
O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C 的极坐
（ 2）若直线 L 的参数方程为
（ t 为参数），设点 P（ 1， 1），直线 L 与曲线 C相交于
A，B 两点，求 |PA|+|PB| 的值．
得， 4x2﹣ kx ﹣ 2=0，
令 A（ x 1， y 1 ）， B（ x 2， y2），∴
， y1y 2=k2x1x2+2k （ x1+x2 ） +4=4
2017-2018学年江苏省徐州市高二(下)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置。
1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x2＞1}，则集合A∩B=．2．（5分）已知复数z满足：（1﹣i）z=4+2i（i为虚数单位）则z的虚部为3．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为．4．（5分）命题“∃x∈[0，1]，x2﹣1≥0”是命题．（选填“真”或“假”）5．（5分）命题“存在x∈R，使x2+x+2m≤0”的假命题，则m的取值范围是．6．（5分）已知复数z，满足：（﹣1+2i）+=5﹣6i，则|z|的值为7．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y ∈A}，则集合B的子集个数是．8．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），经计算的f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，则对于任意n（n∈N*）有不等式成立．9．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是S4+S6＞2S5的条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）11．（5分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是．12．（5分）把53名同学分层若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成个小组．13．（5分）六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在图乙中所示的平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，若设底面边长和侧棱长分别为a，b，c，AC+BD+CA+DB等于（用a，b，c表示）14．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2﹣2x﹣2，若存在a∈R，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
重庆市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．23．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1}4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=1766．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A ．0.18B ．0.16C ．0.15D ．110．设f （x ）=，则f[f （）]=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 ．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 ．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2= ．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= ．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC19．已知f（x）=log（a＞0，a≠1），a（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）单调性并用定义证明．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求．【解答】解： =，则复数的虚部为﹣1．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．2 【考点】向量的模；平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ ==（3，4）﹣（﹣1，﹣2）=（4，6），∴||==．故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．3．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合A ，B 的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x ﹣1＞0|}={x|x ＞1}，B={x|﹣x 2+2x≤0}={x|x≥2或x≤0}，则C U B={x|0＜x ＜2}， 则A∩（C U B}={x|1＜x ＜2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y 【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵0＜x ＜y ＜1，∴3y ＞3x ，x 3＜y 3，log 4x ＜log 4y ，．故选：C ．【点评】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=176 【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x 适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是（176，176），根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做．6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题．【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】根据复合命题与简单命题之间真假之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据复合命题真值表，知：pq或为假命题，知命题p和命题q同时都是假命题，非p是真命题．故满足充分性；若非p是真命题．命题p为假命题，若命题q为真命题，则命题p或q是真命题，故不满足必要性．故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A．0.18 B．0.16 C．0.15 D．1【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的意义，豆子落在阴影部分的概率阴影部分的面积与正方形的面积比等于落在阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计，解得S=0.18；故选A．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基．10．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f[f（）]，由内而外．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选B【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是， ∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 [1，2） ．【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：函数定义域要满足，即，解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），故答案为：[1，2）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2=．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】图表型．【分析】先读出表格中投中的次数，再根据平均数与方差的计算公式S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即可．【解答】解析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差．故填：．【点评】本题考查平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= 41 ．【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中的式子=2，=3，=4，…分析等式两边式子和数的变化规律，求出m ，n 的值，进而可得答案． 【解答】解：由已知中：=2，=3，=4，…，等式左右两边均为二次根式，左边的被开方数是两项的和，一项为n+1，另一项是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1， 左边的被开方数是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1，故=7中，m=48，n=7，故m ﹣n=41， 故答案为：41【点评】此题重点考查了准确由图抽取信息考查了学生的观察能力，根据已知分析式子两边数的变化规律是解答的关键．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于．【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数代数形式的加减乘除运算法则分别化简z 1、z 2，整理出实部和虚部求出a 、b 的值，即可求出ab ．【解答】解：由题意知，z 1====，∴a=，∵z 2=（1﹣i ）3=﹣2i （1﹣i ）=﹣2﹣2i ，∴b=﹣2，∴ab=，故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】首先将，用坐标表示，然后进行数量积和模的坐标运算．【解答】解：由已知，，其中=（1，0），=（0，1），所以=（1，﹣1），=（4，3），所以=1×4﹣1×3=1；=（5，2），|+|=．【点评】本题考查了平面向量的加减法、数量积的坐标运算；属于基础题．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为：（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）复数的虚部为0，复数是实数，求出a的值即可；（Ⅱ）复数的虚部不为0，复数是虚数，求出a的值即可；（Ⅲ）复数的实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当z为实数时，则∴a=﹣1或a=6，且a≠﹣1，∴当a=6时，z为实数．（5分）（Ⅱ）当z为虚数时，则∴a≠﹣1且a≠6，z为虚数．（10分）（Ⅲ）当z为纯虚数时，则∴a=1，z为纯虚数．（14分）【点评】本题考查复数的基本概念，注意复数实部的分母不为0是解题的易错点．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（I）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k=﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；（II ）由两点的距离公式，算出，结合S △ABC =7得到点A 到BC 的距离等于，由此建立关于m 、n 的方程组，解之即可得到m ，n 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵B （2，1），C （﹣2，3）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）可得直线BC 方程为化简，得BC 边所在直线方程为x+2y ﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题意，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由点到直线的距离公式，得，化简得m+2n=11或m+2n=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得m=3，n=4或m=﹣3，n=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题给出三角形ABC 的顶点BC 的坐标，求直线BC 的方程并在已知面积的情况下求点A 的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．19．已知f （x ）=log a（a ＞0，a≠1），（1）求f （x ）的定义域； （2）判断f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）单调性并用定义证明．【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由＞0，求得﹣1＜x ＜1，由此求得函数的定义域．（2）由于f （﹣x ）=log a =﹣log a=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数．（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），先由函数的单调性的定义证明g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f （x ）的单调性．【解答】解：（1）∵＞0，∴﹣1＜x ＜1，故定义域为（﹣1，1）．…（3分）（2）∵f （﹣x ）=log a=log a （）﹣1=﹣log a=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．…（6分）（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）﹣g （x 2）=﹣=＜0 ∴g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，…（8分）∴a ＞1时，f （x ）为递增函数，0＜a ＜1时，f （x ）为递减函数…（10分）【点评】本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：分组 频数 频率 （0，30]30.03 （30，60] 3 0.03 （60，90] 37 0.37 （90，120] m n （120，150] 15 0.15 合计MN（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．【考点】频率分布直方图；频率分布表．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）根据频率公式，结合表中第一组数据的频率算出总数M．再用减法可得第五组的频数m，由此可算出第五组的频率n的值，而N是各组的频率之和，显然为1．（II）90分以上的人有两组，分别是第五、六两组，算出它们的频率之和为0.57，由此不难估算出这次测试中我区成绩在90分以上的人数．（III）根据题意，列出从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有15种，而分数不超过30分的结果有3种，再结合等可能事件的概率公式，可得要求的概率．【解答】解：（I）由频率分布表，得总数，…（1分）所以m=100﹣（3+3+37+15）=42，…（2分）得第四组的频率，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…（3分）所求的频率分布直方图如右图所示…（5分）（Ⅱ）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（7分）（III）设考试成绩在（0，30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在（30，60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15个．…（10分）设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．则事件D含有3个结果：（A，B），（A，C），（B，C）…（11分）∴被选中2人分数不超过30分的概率为．…（13分）【点评】本题给出频率分布表，要我们计算其中的频率和频数，并算出被选中2人分数不超过30分的概率．着重考查了频率分布直方图的认识和等可能性事件的概率等知识，属于基础题．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据题意写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）根据分段函数，求该商品第7天的利润；（Ⅲ）利用函数的性质，求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）当x=7时，t=（56﹣7）×（48﹣7）﹣25×（48﹣7）=984元﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）设该商品的利润为H（x），则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（x）=H（6）=1050当1≤x≤6时，Hmax（x）=H（7）=984当6＜x≤8时，Hmax当8＜x≤20时，H（x）=H（9）=902max∴第6天利润最大，最大利润为1050元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查函数的应用，根据题意列出分段函数，然后利用分段函数研究函数的性质．。
2017-2018学年第二学期高二数学文科期中考试试卷
2017—2018学年第二学期八县（市）一中高二文科数学期末考试卷 第 1 页 共 3 页2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中二年数学科（文科）试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a bad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2-- B ．3(,0)2- C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞ 11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
2018年安徽省高二下学期期中考试数学(文科)试卷8
第二学期期中素质测试高二文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 考生注意：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设i 是虚数单位，则复数11ii-+=（▲） A ． 1- B ．1 C ．i - D ． i 2．命题“2,210x R x x ∀∈+-≤”的否定为( ▲ ) A ．2,210x R x x ∀∈+-≥ B ．2000,210x R x x ∃∈+->C ．2210x R x x ∀∈+-≠，D ．2000210x R x x ∃∈+-≤，3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+$$过点( ▲ )A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,4 4.在数列{}n a 中，已知)(13,211*+∈+==N k a a a a n nn ，则n a 的表达式是( ▲ ) A ．342-n B ．562-n C ．342+n D ．122-n 5．“12x -<”是“3x <”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ▲ )A ．26B ．24C ．20D ．197．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为7.1973.93y x =+$，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) A ．身高在145.83 cm 左右 B ．身高在145.83 cm 以上 C ．身高在145.83 cm 以下 D ．身高一定是145.83 cm 8．如图所示，程序框图的输出结果为( ▲ )A ．49．若P =0)Q a =+≥，则P ，Q 的大小关系为( ▲ ) A ．P Q > B ．P Q < C ．P Q = D ．P 与Q 大小不确定 10．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( ▲ )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 11．下列推理正确的是( ▲ )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为,a b a c >>，所以a b a c ->-C ．若,a b 均为正实数，则lg lg a b +≥D ．若0ab <，则()()2a b ab b a ba ⎡⎤+=--+-≤-≤-⎢⎥⎣⎦12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 011的值为( ▲ )A.67B.57C.37D.17第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．数列2,5,11,20,,47,x L 中的x 等于 ▲ .14．圆sin )ρθθ=+的圆心极坐标是 ▲ .15．已知,a b R ∈，i 是虚数单位．若()(1)a i i bi ++=，则a bi += ▲ .16．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值为 ▲ .高二文科数学 答题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 考生注意：1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
江西省临川第二中学2018年下学期高二期中考试 文科数学试题及答案
2018年下学期期中考试高二数学（文）试卷 总分：150分 时量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.下列结论中成立的是（ ）A d b c a d c b a >>⇒+>+且B b a bc ac >⇒>22 Cb a dc dba c <⇒<>且 Db a b a >⇔>2.已知数列{}n a 中，6,321==a a 且n n n a a a -=++12，则=2018a （ ） A 3 B 3- C 6 D 6-3.在ABC ∆中，已知bc a c b =-+222，则=∠A （ ） A6π B 3π C 32πD 323ππ或4.点)1,(m P 不在直线02<-+y x 表示的平面区域内，则m 的取值范围是（ ） A 1<m B 1≤m C 1≥m D 1>m5.设.21:;232:>-<><x x q x x p 或或则q p ⌝⌝是的（ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分又不必要 6.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，且4,22,30===b a A ，则B=（ ）A 45B 135C 12060或D 13545或 7.在等差数列{}n a 中，已知1872=+a a ，则=8S （ ） A 75 B 72 C 81 D 638.椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则=m （ ） A 35或 B 8 C 5 D 35或9.若R y x ∈,且42=+y x ，则y x 93+的最小值为（ ） A 18 B 12 C 32 D 43410.有一长为1千米的斜坡，它的坡度为 20，现要将坡度改为 10，则坡底要伸长（ ）千米A 10sinB 10cosC 20cosD 111.已知某等差数列的前n 项和为n S ，且0,01213><S S ，则此数列中绝对值最小的项为第（ ）项A 8B 7C 6D 5 12.有下列四个命题：①“若1=xy ，则y x ,互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形周长相等”的否命题；③“若1-≤b ，则方程0222=++-b b bx x 有实根”的逆否命题； ④“若B B A = ，则B A ⊇”的逆否命题。
最新-2018年度高二第二学期数学期中考试卷(文科) 精品
2018年度第二学期期中考试卷高二数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共150分．参考公式第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A ．①②③； B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。
2．已知a 、b 、c 满足,且,那么下列选项中不一定成立的（ ） A ．B ．C ．D ．0)(<-c a ac3．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A ．99% B ．95% C ． 90% D ．无充分根据 4. 下列不等式：① x +x 1≥2；② |x +x1|≥2；③ 若0<a <1<b ，则log a b +log b a ≤－2； ④ 若0<a <1<b ，则log a b +log b a ≥2。
其中正确的是（ ）A ．②④B ．①②C ．②③D ．①②④ 5．复数i )2a a ()a 2a (Z 22--+-=对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2≠a 或1a ≠B ．2≠a 且1a ≠C ．2=a 或0a =D ．0=a6．正整数按下图所示的规律排序，则从2018到2018的箭头方向依次为（ ）7．使乘积xy 没有最大值的一个条件是（ ）A ．x 2+y 2为定值B ．x >0, y >0且x +y 为定值C ．x <0, y <0且x +y 为定值D ．x >0, y <0且x +y 为定值8．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n 个图形中共有（ ）个顶点。
2017-2018学年度第二学期期中高二数学(文科)答案
2017-2018学年度第二学期中考试高二数学（文科）试题（答案）一、选择题：（每小题5分，共60分.12、解答：A3、解析：由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝2x －2y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π4.答案：D4、解析：直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 答案：C5、解答：C6、解析：B “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a ，b 都不能被5整除”7、解答：A 8、【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 【答案】 D9、解析：选C 根据回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位10、解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．答案：B 11、【解析】 由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数． 【答案】 D12、解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋35sinφ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5， 5 ]，故选A. 答案：A二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 ， 14、11．8 15、 3 16、3n 2－3n ＋113、解答：由()z 1i i +=-得(1)11z 1(1)(1)22i i i i i i i ---===--++-，所以||z =14、解析：由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10， y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8， ∴a ^＝8－0．76×10＝0．4， ∴当x ＝15时，y ^＝0．76×15＋0．4＝11．8 (万元)．15、解析：因为C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，所以两圆圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.因为A 在曲线C 1上，B 在曲线C 2上，所以|AB |min ＝5－2＝3. 答案：3 16、解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案：3n 2－3n ＋1三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、解：解：复数221(2)z m m m i =-+--……2分(I)221020m m m ⎧-=⎨--≠⎩即1m =时，复数z 是纯虚数；……6分(II) 2211101220m m m m m -<<⎧-<⎧⇒⎨⎨-<<--<⎩⎩ 即-1<m<1时，复数z 表示的点位于第三象限。
【高二数学试题精选】2018年高二下学期期中数学文科试题(附答案)
2018年高二下学期期中数学文科试题（附答案）
5 一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1命题“对 ,都有”的否定为（）
A．对 ,都有 B．不存在 ,都有
c． ,使得 D． ,使得
2若曲线在点处的切线方程是，则（）
A B c D
3若是任意实数，则方程所表示的曲线一定不是（）
A．直线 B．双曲线 c．抛物线 D．圆
4与椭圆有共焦点，且离心率的双曲线方程是（）
A B c D
5设函数的图像如左图，则导函数的图像可能是下图中的（）6函数的单调递增区间是（）
A B c D
7如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A． B． c． D．
8设函数，则（）
A．为的极大值点 B．为的极小值点
c．为的极大值点 D．为的极小值点
9给定两个命题 , 若是的必要而不充分条,则是的（）
A充分而不必要条 B必要而不充分条
c充要条 D既不充分也不必要条
10已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）
A B c D
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）。
2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.35.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S27.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.58.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.69.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间[1，e](e=2.718…)上的最小值．e17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由；（2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8 =（ ） A.-1B.1C.iD.-i19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（ ）A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) 20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（ ）A.sinx+e xB.cosx+e xC.-sinx+e xD.-cosx+e x21.（填空题.6分）设z∈C .|z|=1.则|z-（1+i ）|的最大值是___ ．22.（填空题.6分）设函数f （x ）在R 上可导.其导函数为f'（x ）.且函数y=（1-x ）f'（x ）的图象如图所示.则函数f （x ）的极大值点为x=___ ．23.（填空题.6分）等差数列{a n}(n∈N∗)中.a3+a4=4.a5+a7=6．（1）数列{a n}(n∈N∗)的通项公式为a n=___ ．（2）设b n=[a n](n∈N∗) .其中[x]表示不超过x的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为___ ．x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=13（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i【正确答案】：A【解析】：共轭复数的定义为：若复数为a+bi.则其共轭复数为a-bi．所以根据可得答案．【解答】：解：根据题意可得：复数为3+4i.所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3-4i．故选：A．【点评】：解决此类问题的关键是熟练掌握有关定义即共轭副数的定义．2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面【正确答案】：B【解析】：知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联.由列举法是集合表示法的一种.由此知正确的选项．【解答】：解：列举法是集合表示法的一种.在知识结构图中.列举法应该放在集合的表示后面.即它的下位.由此知应选B．故选：B．【点评】：本题考查了知识结构图的应用问题.是基础题．3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|【正确答案】：C【解析】：结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.由此得出结论．【解答】：解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.用反证法证明命题时.要首先假设结论的否定成立.故应假设：|a|≤|b|.由此推出矛盾．故选：C．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题.把要证的结论进行否定.得到要证的结论的反面.从而得到所求.属于基础题．4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：① 根据回归分析的定义去判断；② 由独立性检验的概率意义判断；③ 由相关系数的大小与线性相关程度的关系判断．【解答】：解：① .回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.不是对具有函数关系的变量进行分析.故① 正确；② .x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病.故② 不正确；③ .在线性回归分析中.相关系数为r满足|r|越接近1.线性相关程度越强.正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查独立性检验及线性相关关系的基本概念.是基础题．5.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增.f'（x）＜0时f（x）单调递减.可从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.然后得到答案．【解答】：解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.根据极值点的定义可知.导函数在某点处值为0.左右两侧异号的点为极值点.由图可知.在（a.b）内只有3个极值点．故选：C．【点评】：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S2【正确答案】：A【解析】：斜边的平方等于两个直角边的平方和.可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和.边对应着面．【解答】：解：由边对应着面.边长对应着面积.由类比可得S2=S12+S22+S32．故选：A．【点评】：本题考查从平面类比到空间.属于基本类比推理.考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力.是基础题．7.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5【正确答案】：B【解析】：选择数据较小的路线.确定到达4个村庄的最短路线即可【解答】：解：如图.最短总长度应该是：电厂到A.再从A到B、D.然后从D到C.所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．【点评】：本题考查合情推理.考查学生的计算能力.找到最短路线是解决本题的关键．8.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.6【正确答案】：C【解析】：推导出数列{x n}是以6为周期的周期数列.从而x2017=x1=5．【解答】：解：∵数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .∴由表得：x2=f（5）=6.x3=f（6）=3.x4=f（3）=1.x5=f（1）=4.x6=f（4）=2.x7=f（2）=5.x8=f（5）=6.∴数列{x n}是以6为周期的周期数列.∵2017=336×6+1.∴x2017=x1=5．故选：C．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．【正确答案】：[1]四【解析】：直接由复数得到复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标.则答案可求．【解答】：解：∵复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标为（1.-1）.∴复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义.是基础题．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．【正确答案】：[1]0.7【解析】：利用线性回归直线方程计算x=2时ŷ的值即可．【解答】：解：根据线性回归直线方程ŷ=0.2x+0.3 .计算x=2时. ŷ =0.2×2+0.3=0.7.即预测家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．【正确答案】：[1]A【解析】：可先由乙推出.可能答案对A或B.再由甲推出只能是A.B中的一个.再由丙即可推出结论．【解答】：解：由乙说：我没回答对C.则乙可能答对A或B.但甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B.则乙只能是答对A.B中的任一个.再由丙说：我们三人都同时答对一个题.则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．【点评】：本题考查乙答对的题的判断.考查简单的合情推等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用.再根据流程图所示的顺序.可知：该程序的作用的周期.我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况.不难是利用循环求函数S= 11−S给出答案．【解答】：解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈-1 2 是3 是第二圈12第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：4【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果.是算法这一模块最重要的题型.其处理方法是：① 分析流程图（或伪代码）.从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型.又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多.也可使用表格对数据进行分析管理）⇒② 建立数学模型.根据第一步分析的结果.选择恰当的数学模型③ 解模．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．【正确答案】：[1]76【解析】：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….然后根据归纳推理即可得到结论．【解答】：解：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….其规律为从第三项起.每项等于其前相邻两项的和.所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1.3.4.7.11.18.29.47.76.123.….第9项为76.即a9+b9=76.．故答案为：76；【点评】：本题主要考查归纳推理的应用.根据已知条件得到数列取值的规律性是解决本题的关键．考查学生的观察能力．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．【正确答案】：[1]是; [2]R【解析】：（1）根据题意.由复数的运算法则.分析可得其符合集合封闭的定义.即可得答案；（2）根据题意.分析可得R符合题意的要求.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.对于复数集.由复数的运算法则.若x.y∈C.则x+y∈C.xy∈C.则复数C是封闭的.（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则实数集R符合.则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是.（2）R．【点评】：本题考查集合的关系.关键是掌握集合封闭的定义.属于基础题．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．【正确答案】：【解析】：把z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）代入z1=z2•（1+i）.整理后利用复数相等的条件列式求得a.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.由z1=z2•（1+i）.得2+4i=（a+i）（1+i）=（a-1）+（a+1）i．.即a=3．∴ {a−1=2a+1=4∴|z2|=|3+i|= √10．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数相等的条件.训练了复数模的求法.是基础题．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；，e](e=2.718…)上的最小值．（3）求函数f（x）在区间[1e【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率.解方程可得a 的值； （2）由导数大于0.可得增区间；导数小于0.可得减区间； （3）由（2）可得f （x ）的极小值.且为最小值．【解答】：解：（1）函数 f (x )=32x 2−3alnx (a ∈R ) 的导数为： f′（x ）=3x- 3a x.曲线y=f （x ）在点（2.f （2））处的切线的斜率为0． 可得6- 3a 2=0.解得a=4； （2）f （x ）= 32x 2-12lnx. 导数为f′（x ）=3x- 12x =3(x−2)(x+2)x. 由f′（x ）＞0.可得x ＞2；由f′（x ）＜0.可得0＜x ＜2； 即f （x ）的增区间为（2.+∞）．减区间为（0.2）； （3）由（2）可得函数f （x ）的极小值为f （2）=6-12ln2. 且2∈[ 1e .e].可得f （x ）的最小值为6-12ln2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值.同时考查不等式的解法.属于基础题．17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由； （2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由于集合B 中不含1.3等元素.不满足新定义.即可判断；（2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列.运用等差数列的通项公式.结合条件和新定义.求得d=1.2.分别讨论可得所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n }与{b n }不为“好友数列”． 由a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .可得集合A 为正偶数集.集合B 中不含1.3. 虽然满足 ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅但A∪B≠N *.则数列{a n }与{b n }不为“好友数列”； （2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列. 由a 16=36.即有a 1+15d=36.由题意可得36-15d≥1.解得d=1或2. 若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与无穷数列{a n }与{b n }矛盾.舍去； 若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6).综上可得a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6) .n∈N*．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式的运用和方程思想、分类讨论思想方法.考查运算能力.属于中档题． 18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8=（）A.-1B.1C.iD.-i【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简 1+i1−i .再由虚数单位i 的性质得答案．【解答】：解：∵1+i1−i=(1+i )2(1−i )(1+i )=i .∴ (1+i 1−i )8=i 8=（i 4）2=1． 故选：B ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查虚数单位i 的性质.是基础题．19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（ ） A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗)D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗)【正确答案】：A【解析】：由题意可得.a n a n+1=6.由递推公式可求解数列的通项公式．【解答】：解：由题意可得.a n a n+1=6. ∵a 1=2∴a 2=3.a 3=2.a 4=3.….∴a n = {2，(n =2k −1)3，(n =2k ) .（k∈N *）．故选：A ．【点评】：此题的思想方法要抓住给出的信息.观察数列的规律.总结出项数与项之间的关系.求出通项公式时需要分类讨论.一定清楚奇数项数与偶数项数.否则容易出错．20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（ ） A.sinx+e x B.cosx+e x C.-sinx+e x D.-cosx+e x 【正确答案】：B【解析】：分别求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）.结合f （x ）.可得到f n+4（x ）=f n （x ）.于是可得到f 2017（x ）=f 1（x ）.从而可得出答案．【解答】：∵f （x ）=sinx+e x .∴ f 1(x )=f′(x )=cosx +e x . f 2(x )=f 1′(x )=−sinx +e x . f 3(x )=f 2′(x )=−cosx +e x . f 4(x )=f 3′(x )=sinx +e x .∴f n+4（x ）=f n （x ）.f2017(x)=f4×504+1(x)=f1(x)=cosx+e x .故选：B．【点评】：本题考查导数的运算.找出导数的周期性是解本题的关键.属于基础题．21.（填空题.6分）设z∈C.|z|=1.则|z-（1+i）|的最大值是___ ．【正确答案】：[1]1+ √2【解析】：由复数模的几何意义.数形结合即可求得|z-（1+i）|的最大值．【解答】：解：由题意可知.复数z的轨迹为单位圆.如图.|z-（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离.由图可知.|z-（1+i）|的最大值为|AP|=1+ √2．故答案为：1+ √2．【点评】：本题考查复数模的求法.考查复数模的几何意义.是基础题．22.（填空题.6分）设函数f（x）在R上可导.其导函数为f'（x）.且函数y=（1-x）f'（x）的图象如图所示.则函数f（x）的极大值点为x=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用函数的图象.判断导函数值为0时.左右两侧的导数的符号.即可判断极值．【解答】：解：由函数的图象可知.f′（-2）=0.f′（1）=0.f′（2）=0. 并且当x ＜-2时.f′（x ）＞0；当-2＜x ＜1.f′（x ）＜0； 当1＜x ＜2时.f′（x ）＜0；x ＞2时.f′（x ）＞0.即f （x ）在（-∞.-2）上单调递增.在（-2.1）上单调递减. 在（1.2）递减.在（2.+∞）递增.所以f （x ）在x=-2处取得极大值.在x=2处取得极小值.x=1不为极值点. 故答案为：-2．【点评】：本题考查函数与导数的应用.考查分析问题解决问题的能力.函数的图象的应用． 23.（填空题.6分）等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6． （1）数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式为a n =___ ．（2）设 b n =[a n ](n ∈N ∗) .其中[x]表示不超过x 的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n }的前8项和为___ ．【正确答案】：[1] 25n + 35 ; [2]16【解析】：（1）利用等差数列通项公式列出方程组.由此能求出a 1=1.d= 25.从而能求出数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式．（2）由 b n =[a n ](n ∈N ∗) .能求出数列{b n }的前8项和．【解答】：解：（1）∵等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6． ∴ {a 1+2d +a 1+3d =4a 1+4d +a 1+6d =6 . 解得a 1=1.d= 25 .∴a n =1+（n-1）× 25= 25n + 35． 故答案为： 25n + 35 ． （2）∵ b n =[a n ](n ∈N ∗) . ∴数列{b n }的前8项和为：S 8=[ 25+35]+[ 45+35]+[ 65+35]+[ 85+35]+[ 105+35]+[ 125+35]+[ 145+35]+[ 165+35]=1+1+1+2+2+3+3+3=16． 故答案为：16．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查数列的前8项和的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=1x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．3（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f（x）的导数.由f′（-1）=0.可得所求关系式；（2）求得f（x）的导数.讨论a=1.a＜1.结合二次不等式的解法.可得所求单调区间；（3）由（2）可得f（x）的单调性.求得极值.由题意可得m介于极小值和极大值之间．x3+ax2+bx .【解答】：解：（1）函数f(x)=13导数为f′（x）=x2+2ax+b.f′（-1）=0.即为1-2a+b=0.可得b=2a-1；x3+ax2+（2a-1）x（2）a≤1时.f（x）= 13导数为f′（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）.当a=1时.f′（x）=（x+1）2≥0.f（x）在R上递增；当a＜1时.1-2a＞-1.可得f（x）在（-1.1-2a）递减；在（-∞.-1）.（1-2a.+∞）递增；x3-x2-3x.（3）a=-1.f（x）= 13导数为f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1）.f（x）在（-1.3）递减.在（-∞.-1）.（3.+∞）递增；.可得f（x）的极小值为f（3）=-9.极大值为f（-1）= 53方程f（x）=m有三个不等的实数根..可得-9＜m＜53）．即m的取值范围是（-9. 53【点评】：本题考查导数的运用：求单调性和极值.考查方程思想和运算能力.属于基础题．。
2017-2018学年湖北省部分重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）
2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.每⼩题四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．（5分）已知复数（i是虚数单位）是实数，则实数a=（）A．0B．﹣3C．3D．22．（5分）对下列三种图形，正确的表述为（）A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图3．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）A．﹣B．C．D．﹣4．（5分）在复平⾯内，O是原点，，，表⽰的复数分别为﹣2+i，3+2i，1+5i，那么表⽰的复数为（）A．2+8i B．2﹣3i C．﹣4+4i D．4﹣4i5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道两⿏穿墙问题：“今有垣厚⼗尺，两⿏对穿，初⽇各⼀尺，⼤⿏⽇⾃倍，⼩⿏⽇⾃半，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．36．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最⼤值等于（）A．2B．3C．6D．97．（5分）已知“整数对”按如下规律排⼀列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，则第2017个整数对为（）A．（62，2）B．（63，1）C．（1，64）D．（2，63）8．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数，，（）A．都⼤于6B．⾄少有⼀个不⼤于6C．都⼩于6D．⾄少有⼀个不⼩于69．（5分）在半径为r的半圆内作⼀内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形⾯积最⼤时，其上底长为（）A．B．r C．r D．r10．（5分）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线⽅程为（）A．9x﹣y﹣16=0B．9x+y﹣16=0C．6x﹣y﹣12=0D．6x+y﹣12=0 11．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象⼤致为（）A．B．C．D．12．（5分）定义R上的减函数f（x），其导函数f'（x）满⾜，则下列结论正确的是（）A．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0B．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0C．对于?x∈R，f（x）＜0D．对于?x∈R，f（x）＞0⼆、填空题：本⼤题4⼩题，每⼩题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，均不得分.13．（5分）设集合A={x|x4﹣1=0，x∈C}，z=2﹣3i，若x∈A，则|x﹣z|的最⼤值是．14．（5分）阅读程序框图（如图所⽰），回答问题：若a=50.6，b=0.65，c=log0.65，则输出的数是．15．（5分）已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最⼤时，该四棱锥的⾼为．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若⽅程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探索发现：任何⼀个三次函数都有“拐点”；任何⼀个三次函数都有对称中⼼，且“拐点”就是对称中⼼．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这⼀发现，计算f（）+f（）+…+f（）+f（）=．三、解答题：共6题，共70分.解答题应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z=bi（b∈R），是实数，i 是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表⽰的点在第⼀象限，求实数m的取值范围．18．（12分）请你设计⼀个包装盒，如图所⽰，ABCD 是边长为60cm的正⽅形硬纸⽚，切去阴影部分所⽰的四个全等的等腰直⾓三⾓形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成⼀个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直⾓三⾓形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm）．（1）若⼴告商要求包装盒侧⾯积S（cm2）最⼤，试问x应取何值？（2）若⼴告商要求包装盒容积V（cm3）最⼤，试问x应取何值？并求出此时包装盒的⾼与底⾯边长的⽐值．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1+，S3=9+3．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为S n；（2）设b n=（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等⽐数列．20．（12分）如图所⽰，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对⾓线BD把△ABD折起，使点A在平⾯BCD上的射影E落在BC 上．（1）求证：平⾯ACD⊥平⾯ABC；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．21．（11分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意⼀点切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中⼀条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．22．（13分）已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极⼩值；（Ⅲ）若⽅程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖北省部分重点中学⾼⼆（下）期中数学试卷（⽂科）参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.每⼩题四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．（5分）已知复数（i是虚数单位）是实数，则实数a=（）A．0B．﹣3C．3D．2【分析】利⽤复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：复数==﹣3+ai（i是虚数单位）是实数，则实数a=0．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．2．（5分）对下列三种图形，正确的表述为（）A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图【分析】根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．【解答】解：（1）表⽰的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表⽰学习指数函数的⼀个流程，所以（2）是流程图．（3）表⽰的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选：C．【点评】本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．3．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f′（）=（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】根据导数的运算法则，先求导，再求值．【解答】解：∵f′（x）=cosx﹣sinx，∴f′（）=﹣×0﹣×1=．故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题．4．（5分）在复平⾯内，O是原点，，，表⽰的复数分别为﹣2+i，3+2i，1+5i，那么表⽰的复数为（）A．2+8i B．2﹣3i C．﹣4+4i D．4﹣4i【分析】设B对应的复数为a+bi，则由题意可得1+5i=a+bi﹣（﹣2+i），利⽤复数相等的充要条件，求出a和b的值，即得点B对应的复数，⽤点C对应的复数减去点B对应的复数，即得表⽰的复数．【解答】解：设B对应的复数为a+bi，则由题意可得1+5i=a+bi﹣（﹣2+i）=a+2+（b﹣1）i，∴a+2=1，b﹣1=5，∴a=﹣1，b=6，故B对应的复数为﹣1+6i．那么表⽰的复数为3+2i﹣（﹣1+6i ）=4﹣4i，故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，复数代数形式的减法及其⼏何意义，求出B对应的复数为﹣1+6i，是解题的关键．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不⾜”中有⼀道两⿏穿墙问题：“今有垣厚⼗尺，两⿏对穿，初⽇各⼀尺，⼤⿏⽇⾃倍，⼩⿏⽇⾃半，问⼏何⽇相逢？”现⽤程序框图描述，如图所⽰，则输出结果n=（）A．4B．5C．2D．3【分析】模拟执⾏程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满⾜条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从⽽得解．【解答】解：模拟执⾏程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=2，a=，A=2，S=不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=3，a=，A=4，S=不满⾜条件S≥10，执⾏循环体，n=4，a=，A=8，S=满⾜条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应⽤，模拟执⾏程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最⼤值等于（）A．2B．3C．6D．9【分析】求出导函数，利⽤函数在极值点处的导数值为0得到a，b满⾜的条件；利⽤基本不等式求出ab的最值；注意利⽤基本不等式求最值需注意：⼀正、⼆定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，⼜因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最⼤值等于9．故选：D．【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利⽤基本不等式求最值需注意：⼀正、⼆定、三相等．7．（5分）已知“整数对”按如下规律排⼀列：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，则第2017个整数对为（）A．（62，2）B．（63，1）C．（1，64）D．（2，63）【分析】将整数对进⾏重新排列，寻找规律，进⾏求解即可．【解答】解：将整数对进⾏重新排列如图：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），…，每⼀⾏两个整数的和相等，则第n⾏的第⼀个数为（1，n），第n⾏有n个整数对，则前n⾏的整数对共有1+2+3+……+n=，当n=62时，=31×63=1953，当n=63时，=2016，则第2017个整数对位于第64⾏的第⼀个数为（1，64），故选：C．【点评】本题主要考查归纳推理的应⽤，根据具体寻找规律是解决本题的关键．考查学⽣的观察和推理能⼒．8．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数，，（）A．都⼤于6B．⾄少有⼀个不⼤于6C．都⼩于6D．⾄少有⼀个不⼩于6【分析】利⽤反证法，即可得出结论．【解答】解：设，，都⼩于6，则++＜18，利⽤基本不等式可得++≥2+2+2=8+4+6=18，这与假设所得结论⽭盾，故假设不成⽴，故下列三个数，，⾄少有⼀个不⼩于6，故选：D．【点评】本题考查反证法，考查进⾏简单的合情推理，正确运⽤反证法是关键．9．（5分）在半径为r的半圆内作⼀内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的。
2018年高二年级下学期期中考试数学(文)试题及答案
2018年高二年级下学期 期中考试数学（文）试题及答案（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1．复数ii+-22（ ） A.i 541- B.i 5453+ C. i 5453- D.i 531+2. 设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ） A. y 平均增加2.5个单位 B. y 平均减少2.5个单位 C. y 平均增加2个单位 D. y 平均减少2个单位 3．所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（ ）.A ．类比推理B ．演绎推理C ．合情推理D ．归纳推理 4. 不等式|3x －2|>4的解集是( )A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2 5． 用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其假设正确的是（ ） A. 0a b 、至少有一个不为 B. 0a b 、至少有一个为 C. 0a b 、全不为 D. 0a b 、中只有一个为 6. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab >0，－c a <－d b，则下列各式恒成立的是( )A ．bc < adB ．bc > ad C. a c > bd D. a c < b d7. 当213m <<时，复数()()32m i i +-+在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．△C ．□D ．○ 9．右图程序框图表示的算法运行后，输出的结果是( ) A ．25 B ．125C ．150D ．250 10. 定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i11. A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角 12. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y 与气温) A.y ^＝x ＋6 B.y ^＝x ＋42 C.y ^＝－2x ＋60 D.y ^＝－3x ＋78二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的_________条件 14．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，则f (－2)＝________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________． 15. 察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<54，1＋122＋132＋142<78，…，由此可以归纳出的一般结论是________． 16. 函数134422+-++=x x x y 的最小值为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2017-2018年山东省潍坊市高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝sin x（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝sin x（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．（5分）对抛物线y＝，下列判断正确的是（）A．准线方程是x＝﹣1B．焦点坐标是（1，0）C．准线方程是y＝1D．焦点坐标是（0，1）4．（5分）函数y＝的导数是（）A．y′＝﹣sin x B．y′＝﹣﹣sin xC．y′＝+cos x D．y′＝﹣﹣cos x5．（5分）用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，要做的假设是（）A．三条抛物线与x轴只有一个交点B．三条抛物线与x轴没有交点C．三条抛物线与x轴都有交点D．三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点6．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A、C．若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是（）A．2+4i B．8+2i C．﹣8﹣2i D．﹣10+i 8．（5分）统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，以下判断：①P（B）＝P（）•P（B），②P（A）＝P（A）•P（），③P（•）＝P（）•P （），其中正确的命题个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．（5分）函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（）A．（）∪（0，）B．（，0）∪（0，）C．（0，）D．（）10．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．12311．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点12．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，且，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知命题p：∃x0，那么￢p是．14．（5分）复数（）8的模为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R，若函数f（x）在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）以下说法正确的是．①类比推理属于演绎推理．②设有一个回归方程＝2﹣3x，当变量每增加1个单位，y平均增加3个单位．③样本相关系数r满足以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．④对复数z 1，z2和自然数n有（z1•z2）n＝z z．三、解答题（共4小题，满分48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：已知先从所有实验动物中任取一只，取得“未注射疫苗”动物的概率为．（I）求2×2列表中的数据x，y，A，B的值；（II）根据上述数据能得到什么结论？附：公式及数据x2＝18．（12分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）＝2a，f'（2）＝﹣b，其中常数a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设，求函数g（x）的极值．19．（12分）某大型养鸡场为提高鸡的产蛋量需了解鸡舍的温度x（单位℃），对鸡的时段产蛋量y（单位：t）的影响．为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i（i＝1，2，…7）的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．（x i）（k i）（x i））（x i）其中k i＝lny i，＝k i．（I）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝c1e（e＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍时段控制温度x的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）（II）由（I）确定的回归方程类型作为回归方程模型，根据表中数据，建立y关于x的回归方程．附：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，…n），其回归直线y＝βx+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点M（2，）是椭圆E外一点，且点F2在线段MF1的垂直平分线上．（I）求椭圆E的方程；（II）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且＝，求线段AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．注意：考生分别在21和22题中各任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l经过点（0，1），求直线l被曲线C截得线段的长．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤9；（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），曲线C2：x2．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1的参数方程和C2的极坐标方程；（II）若直线l：（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2017-2018学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝＝＝1﹣i的共轭复数＝1+i．故选：A．2．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝sin x（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝sin x（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝sin x（x∈R）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝sin x（x∈R）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选：B．3．（5分）对抛物线y＝，下列判断正确的是（）A．准线方程是x＝﹣1B．焦点坐标是（1，0）C．准线方程是y＝1D．焦点坐标是（0，1）【解答】解：根据题意，抛物线y＝，其标准方程为x2＝4y，依次分析选项：对于A，抛物线的标准方程为x2＝4y，其准线方程为y＝﹣1，A错误；对于B，抛物线的标准方程为x2＝4y，其焦点坐标为（0，1），B错误；对于C，抛物线的标准方程为x2＝4y，其准线方程为y＝﹣1，C错误；对于D，抛物线的标准方程为x2＝4y，其焦点坐标为（0，1），D正确；故选：D．4．（5分）函数y＝的导数是（）A．y′＝﹣sin x B．y′＝﹣﹣sin xC．y′＝+cos x D．y′＝﹣﹣cos x【解答】解：函数y＝的导数是y′＝﹣﹣sin x，故选：B．5．（5分）用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，要做的假设是（）A．三条抛物线与x轴只有一个交点B．三条抛物线与x轴没有交点C．三条抛物线与x轴都有交点D．三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点【解答】解：由于命题：“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b （a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”的反面是：“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”，故用反证法证明命题“抛物线y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的非零实数）中至少有一条与x轴有两个交点”时，假设应为“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”，故选：D．6．（5分）“更相减损术”是我国古代数学专著《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为28、7，则输出的i为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由程序框图可知：当a＝28，b＝7时，满足a＞b，则a＝28﹣7＝21，i＝1由a＞b，则a＝21﹣7＝14，i＝2由a＞b，则a＝14﹣7＝7，i＝3由a＝b＝7，输出i＝3．故选：C．7．（5分）在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A、C．若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是（）A．2+4i B．8+2i C．﹣8﹣2i D．﹣10+i【解答】解：由已知可得：A（6，5），C（﹣2，3），设B（x，y），由中点坐标公式可得，即x＝﹣10，y＝1．∴点B对应的复数是﹣10+i．故选：D．8．（5分）统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，以下判断：①P（B）＝P（）•P（B），②P（A）＝P（A）•P（），③P（•）＝P（）•P （），其中正确的命题个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：由统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，知：由统计独立性假设检验的原理可知：H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立，∴事件A，B相互独立，即事件A与B发生与否相互不受影响，则由条件概率公式可知P（|B）＝，而P（|B）＝P（），代入前式得P（B）＝P（）•P（B），故①对；同理P（A|）＝，而P（A|）＝P（A），代入前式得P（A）＝P（A）•P（），故②对；P（|）＝，而P（|）＝P（），代入前式得P（•）＝P（）•P（），故③对．故选：D．9．（5分）函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（）A．（）∪（0，）B．（，0）∪（0，）C．（0，）D．（）【解答】解：∵y＝2lnx﹣3x2，∴y′＝（x＞0）．由y′＞0，可得1﹣3x2＞0，即0＜x＜．∴函数y＝2lnx﹣3x2的单调增区间为（0，）．故选：C．10．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a8+b8＝（）A．28B．47C．76D．123【解答】解：由于a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6+b6＝11+7＝18，a7+b7＝18+11＝29，a8+b8＝29+18＝47，故选：B．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．12．（5分）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，且，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．3D．4【解答】解：设|PF1|＝m，|PF1|＝n，且m＞n，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a，∴m﹣n＝2a，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°，即4c2＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝4a2+mn，∴mn＝4c2﹣4a2，∵，∴mn sin60°＝（4c2﹣4a2）＝2a2，即c2＝3a2，即c＝a，∴e＝＝故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知命题p：∃x0，那么￢p是∀x＞1，x2﹣1≤0．【解答】解命题p：∃x0，那么￢p是：∀x＞1，x2﹣1≤0故答案为：：∀x＞1，x2﹣1≤014．（5分）复数（）8的模为1．【解答】解：∵＝，∴（）8＝i8＝1，则复数（）8的模为1．故答案为：1．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R，若函数f（x）在[1，2]上是减函数，则实数a的取值范围是a．【解答】解：f′（x）＝2x+a﹣，∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴当x∈[1，2]时，f′（x）＝2x+a﹣≤0恒成立，即a≤﹣2x+恒成立．由于y＝﹣2x+在[1，2]上为减函数，则y min＝﹣，则a≤y min＝﹣故答案为：a16．（5分）以下说法正确的是③④．①类比推理属于演绎推理．②设有一个回归方程＝2﹣3x，当变量每增加1个单位，y平均增加3个单位．③样本相关系数r满足以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．④对复数z 1，z2和自然数n有（z1•z2）n＝z z．【解答】解：对于①，类比推理是根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理推理，它属于归纳推理；演绎推理是三段论式推理，二者不同，①错误；对于②，回归直线方程＝2﹣3x中，当变量每增加1个单位，y平均减少3个单位，②错误；对于③，样本相关系数r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，③正确；对于④，根据复数代数形式的运算法则知，复数z1，z2和自然数n满足积的乘方运算，即（z1•z2）n＝z z，④正确；综上，正确的命题序号是③④．故答案为：③④．三、解答题（共4小题，满分48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：已知先从所有实验动物中任取一只，取得“未注射疫苗”动物的概率为．（I）求2×2列表中的数据x，y，A，B的值；（II）根据上述数据能得到什么结论？附：公式及数据x2＝【解答】解：（I）取到“未注射疫苗”动物为事件A，由已知P（A）＝，………（2分）解得x＝40；所以A＝20+40＝60，y＝50﹣40＝10，B＝30+10＝40；………………………………………（6分）（II）由（I）知，填写列联表得；计算X2＝＝≈16.67＞6.635，…………………………（11分）所以有99%的把握说，动物“发病”与“注射疫苗”是有关的，可以认为动物发病与是否注射疫苗有关．……………………（12分）18．（12分）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）＝2a，f'（2）＝﹣b，其中常数a，b∈R．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设，求函数g（x）的极值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+ax2+bx+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，则解得，∴f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1，∴f（1）＝﹣，f′（1）＝﹣3，∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1＝0；（2）由（1）知g（x）＝（3x2﹣3x﹣3）e﹣x，∴g′（x）＝（﹣3x2+9x）e﹣x，令g′（x）＝0，即（﹣3x2+9x）e﹣x＝0，得x＝0或x＝3，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，3）上单调递增．当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（3，+∞）上单调递减．从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝﹣3，在x＝3处取得极大值g（3）＝15e﹣3．19．（12分）某大型养鸡场为提高鸡的产蛋量需了解鸡舍的温度x（单位℃），对鸡的时段产蛋量y（单位：t）的影响．为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i（i＝1，2，…7）的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．（x i ）（k i）（x i））（x i）其中k i＝lny i，＝k i．（I）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝c1e（e＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍时段控制温度x的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）（II）由（I）确定的回归方程类型作为回归方程模型，根据表中数据，建立y关于x的回归方程．附：对于一组具有线性相关关系的数据（x i，y i）（i＝1，2，3，…n），其回归直线y＝βx+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．【解答】解：（I）由散点图判断，回归方程y＝c1e更适宜；……………（3分）（II）由y＝c1e得lny＝c2x+lnc1，……………………（4分）令lny＝k，c2＝β，α＝lnc1；………（5分）由图表中的数据可知＝＝＝，……………（7分）∴＝﹣＝3.6﹣17.40×＝﹣0.75＝﹣；……………（9分）∴＝x﹣；………………（10分）∴y关于x的回归方程为．……………（12分）20．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点M（2，）是椭圆E外一点，且点F2在线段MF1的垂直平分线上．（I）求椭圆E的方程；（II）若A，B，P（点P不与椭圆顶点重合）为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且＝，求线段AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值．【解答】解：（I ）椭圆E 的离心率e ＝，得＝，其中c ＝，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 又点F 2在线段MF 1的中垂线上， ∴F 1F 2＝MF 2， ∴（2c ）2＝+（2﹣c ）2；……（3分）解得c ＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为+y 2＝1； ……………………（6分）（II ）设AB ：x ＝my +t （m ≠0）， 代入+y 2＝1，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2＝﹣，y 1y 2＝，△＝8（m 2+2﹣t 2），……………………（8分）设P （x ，y ），由＝+，得y ＝y 1+y 2＝﹣，x ＝x 1+x 2＝my 1+t +my 2+t ＝m （y 1+y 2）+2t ＝， ∵点P 在椭圆E 上，∴+＝1，即＝1，∴4t 2＝m 2+2，…………………………………………（10分） 在x ＝my +t 中，令y ＝0，则x ＝t ，令x ＝0，则y ＝﹣；∴三角形面积S △AOB ＝|xy |＝×＝×＝×（|m |+）≥×2＝，当且仅当m 2＝2，t 2＝1时取得等号，此时△＝24＞0，……………………（12分）∴所求三角形面积的最小值为．……………………………（14分）注意：考生分别在21和22题中各任选一题解答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l经过点（0，1），求直线l被曲线C截得线段的长．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），∴直线l的方程为y＝﹣x+a，即x+y﹣a＝0，…………………（2分）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．……………（5分）（2）∵直线l的参数方程（t为参数，a∈R）过（0，1），∴a＝1，将直线l的参数方程（t为参数，a∈R）代入y2＝4x，得t2+6+2＝0，t1+t2＝﹣6，t1t2＝2，由直线参数方程的几何意义可知，|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝8．…………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤9；（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…（2分）解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…（4分）不等式的解集为[﹣2，4]；…（5分）（2）由题意：f（x）＝﹣x2+a⇔a＝x2﹣x+5，x∈[0，2]．故方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解⇔函数y＝a和函数y＝x2﹣x+5，图象在区间[0，2]上有交点∵当x∈[0，2]时，y＝x2﹣x+5∈[，7]∴，实数a的取值范围是[，7]…………………（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），曲线C2：x2．（I）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1的参数方程和C2的极坐标方程；（II）若直线l：（t为参数）与C1，C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求α的值．【解答】（本小题满分10分）[选修4﹣4：坐标系与参数方程]解：（I）∵曲线C1：x2+y2＝1（y≥0），∴曲线C1的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]），………（2分）∵曲线C2：x2．∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的极坐标方程为．…………（5分）（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），…………（6分）由，得ρA＝1，……………………………………（7分）由，得，…………………（8分）又|AB|＝，即﹣1＝，∴cosα＝，…………………（9分）而α∈[0，π]，∴α＝或α＝．…………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|＝，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．第21页（共21页）。
湖北省孝感市高级中学2018学年高二下学期期中数学试卷
2018-2018学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的）1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x18＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x18≥02．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”3．把23化成二进制数是（）A．00110 B．10111 C．10101 D．111014．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③5．已知三次函数f（x）=2ax3+6ax2+bx的导函数为f′（x），则函数f（x）与f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则fA．2018×2018 B．2018×2018 C．2018×2018 D．2018×20187．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．38．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．f（x）=log2（x+1）的图象上 B．f（x）=x2﹣2x+2的图象上C．f（x）=x的图象上 D．f（x）=2x﹣1的图象上9．F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）A．B．C．D．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．2 B．3 C．4 D．不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．14．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率；（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．18．已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．19．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M．（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1： +=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明： +为定值．2018-2018学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的）1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x18＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x18≥0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x18＜0，故选：C．2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解．【解答】解：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故A中的两个事件不是互斥事件；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故B中的两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故C中的两个事件不是互斥事件；“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件．故选：B．3．把23化成二进制数是（）A．00110 B．10111 C．10101 D．11101【考点】进位制；排序问题与算法的多样性．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：23÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)=10111（2）故23（10）故选B4．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【考点】茎叶图．【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的． 故选D ．5．已知三次函数f （x ）=2ax 3+6ax 2+bx 的导函数为f′（x ），则函数f （x ）与f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】求函数的导数，结合一元二次函数的图象以及三次函数的极值关系分别进行判断即可．【解答】解：函数的导数f′（x ）=6ax 2+12ax +b ，对称轴为x=﹣=﹣1，b=f′（0）， 而f （0）=0，A 和D 选项中，二次函数f′（x ）的对称轴不是x=﹣1，不满足条件．B ．二次函数的函数零点为﹣4，2， 则﹣4×2==﹣8，即b=﹣48a ，且a ＞0，则f′（x ）=6ax 2+12ax ﹣48a=6a （x 2+2x ﹣8）=6a （x ﹣2）（x +4）， 由f′（x ）＞0得x ＞2或x ＜﹣4，此时函数递增， 由f′（x ）＜0得﹣4＜x ＜2，此时函数递减，即当x=2时，函数f （x ）取得极小值，当x=﹣4时，函数f （x ）取得极大值，故B 正确，C 中，二次函数过原点，则f′（0）=0，即b=0，且a ＞0，则f′（x）=6ax2+12ax=6ax（x+2），f′（x）＞0得x＞0或x＜﹣2，此时函数递增，由f′（x）＜0得﹣2＜x＜0，此时函数递减，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，故C错误，故选：B．6．已知f（x）=x2﹣xf′（0）﹣1，则fA．2018×2018 B．2018×2018 C．2018×2018 D．2018×2018【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，先求出f'（0）的值，然后即可求f=x2﹣xf′（0）﹣1，∴f'（x）=2x﹣f'（0），令x=0，则f'（0）=﹣f'（0），∴f'（0）=0，∴f（x）=x2﹣1，∴f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．8．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在函数（）A．f（x）=log2（x+1）的图象上 B．f（x）=x2﹣2x+2的图象上C．f（x）=x的图象上 D．f（x）=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4），只要验证即可选出答案．【解答】解：依程序框图可知输出的点为（1，1）、（2，2）、（3，4），经验证可知四个点皆满足y=2x﹣1，故选：D．9．F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】圆锥曲线的轨迹问题；椭圆的应用．【分析】延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|=|MF2|=（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|=2a，∴|OQ|=（|MP|+|PF2|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．故选A．10．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设甲、乙两人各自跑的路程，列出不等式，作出图形，再列出相距不超过50米，满足的不等式，求出相应的面积，即可求得相应的概率．【解答】解：设甲、乙两人各自跑的路程为xm，ym，则，表示的区域如图所示，面积为90000m2，相距不超过50米，满足|x﹣y|≤50，表示的区域如图阴影所示，其面积为m2=27500m2，∴在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是=故选C．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+a12=0，a1=3a2，e1•e2===1即3e12=1∴e1=故选：A．12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）A．2 B．3 C．4 D．不确定【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．∵x1＜x2，∴x1=，x2=．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.18．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.018+0.185+a+0.18+0.01）=1，解得a=0.18．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.18+0.18+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.18，3．14．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得导数，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．【考点】线性回归方程．【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；…如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故这点恰好在回归直线下方的概率P==．故答案为：．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则∠AF1F=α．椭圆的离心率e===，α∈[，]，≤sin（α+）≤1，≤≤﹣1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e===，α∈[，]，∴≤α+≤，则：≤sin（α+）≤1，∴≤≤﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：，故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．抽取某种型号的车床生产的10个零件，编号为A1，A2，…，A10，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.49，1.51]内的零件为一等品．（1）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率；（3）若甲、乙分别从一等品中各取一个，求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由条件利用古典概率及其计算公式，求得从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率．（2）①设一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果用列举法求得共有10个．②设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果用列举法求得共有4个，可得从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率．（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），而甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．由此求得甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率．【解答】解：（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则p（A）==．所以，从10个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为．（2）①解：一等品零件的编号为A1、A2、A3、A4、A5，从这5个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1、A2；A1、A3；A1、A4；A1、A5；A2、A3；A2、A4；A2、A5；A3、A4；A3、A5；A4、A5，共计10个．②解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果有：A1、A4；A2、A3；A2、A5；A3、A5，共有4种．故从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为=．（3）由（2）知甲、乙分别从一等品中各取一个，共有20种可能（有序），甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有6种可能．记“甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径”为事件C，则甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率为=．18．已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】充要条件．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据非q是非p的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a由表示焦点在y轴上椭圆可得：2﹣m＞m﹣1＞0，∴即命题由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：∴19．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用．【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由R（x）=，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当0＜x≤10时，；当x＞10时，．所以W=；（2）①当0＜x＜10时，由W'=6.4﹣=0，得x=8，且当x∈（0，8）时，W'＞0；当x∈（8，10）时，W'＜0，∴当x=8时，W取最大值，且W max=6.4×8﹣﹣10≈24．②当x＞10时，W=100﹣3（x+）≤100﹣3×2=100﹣72=28．当且仅当x=，即x=12时，W=28，故当x=12时，W取最大值28．综合①②知当x=12时，W取最大值28万元，故当年产量为12千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M．（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出p=2，M（0，1），分类讨论，直线与抛物线方程联立，即可求直线l的方程；（2）直线MF与抛物线联立，利用韦达定理，根据△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|，求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2=2py的焦点为M，∴p=2，M（0，1）斜率不存在时，x=0，满足题意；斜率存在时，设方程为y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，k=0时，x=，满足题意，方程为y=1；k≠0时，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程为y=x+1，综上，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1；（2）直线MF的方程为y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，∴△OAB的面积S=|OF||y1﹣y2|==2．21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2时，求出函数f （x ）的导数，利用导数判断函数f （x ）的单调性与极值；（Ⅱ）求出f （x ）的导数f′（x ），讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f （x ）在定义域（0，+∞）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），当a=2时，函数f （x ）=+4x ，所以f′（x ）=﹣+4=，令f′（x ）＞0，所以x ＞或x ＜﹣，因为x ＞0，所以函数f （x ）单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，），所以函数f （x ）在x=处取得极小值，f （）=4，无极大值；（Ⅱ）f′（x ）=﹣+2a=，令f′（x ）=0，得x 1=，x 2=﹣，当a=﹣2时，f′（x ）≥0，函数f （x ）在定义域（0，+∞）单调递增；当﹣2＜a ＜0时，在区间（0，），（﹣，+∞）上f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在区间（，﹣）上f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当a ＜﹣2时，在区间（0，﹣），（，+∞）上f′（x ）＜0，f （x ）单调递减，在区间（﹣，）上f′（x ）＞0，f （x ）单调递增；综上所述，当a=﹣2时，函数f （x ）的在定义域（0，+∞）内单调递增；当﹣2＜a ＜0时，f （x ）在区间（0，），（﹣，+∞）内单调递减，在区间（，﹣）内单调递增；当a ＜﹣2时，f （x ）在区间（0，﹣），（，+∞）内单调递减，在区间（﹣，）内f （x ）单调递增．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；（3）过椭圆C1： +=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明： +为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立l与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据∠AOB 为锐角，得到•＞0，即x1x2+y1y2＞0，即可确定出k的范围；（3）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．【解答】解：（1）由题意得：c=1，∴a2=b2+1，又因为点P（1，）在椭圆C上，∴+=1，解得：a2=4，b2=3，则椭圆标准方程为+=1；（2）设直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y得：（4k2+3）x2+16kx+4=0，∵△=12k2﹣3＞0，∴k2＞，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵∠AOB为锐角，∴•＞0，即x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，整理得：（1+k2）•+2k•+4＞0，即＞0，整理得：k2＜，即＜k2＜，解得：﹣＜k＜﹣或＜k＜；（3）由题意：C1： +=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=﹣=﹣，∴直线PM的方程为y﹣y2=﹣（x﹣x2），化简得：x2x+y2y=④，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=⑤，把P点的坐标代入④、⑤得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．2018年1月15日。
【高二数学试题精选】2018年高二文科数学下学期期中试题(含答案)
2018年高二文科数学下学期期中试题(含答案)
5 c
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1 “ ”是“ ”是的（）
A．必要而不充分条 B．充分而不必要条
c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
2 “ ”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）
A．充分而不必要条 B．必要而不充分条
c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
3 若方程c （是常数）则下列结论正确的是（）
A．，方程c表示椭圆 B．，方程c表示双曲线
c．，方程c表示椭圆 D．，方程c表示抛物线
4．抛物线的准线方程是（）
A． B． c． D．
5 函数在点处的切线方程是（）
A B c D
6 函数，的最大值是（）
A． B． -1 c．0 D．1
7 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）
A． B． c． D．
8．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）
A． B． c． D．
9．已知对任意实数，有，且时，
则时（）
A． B．
c． D．
10 正三角形中，的中点，则以为焦点且过的双曲线的离。
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2018年高二下学期期中考试试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1．复数z 满足z ＝7＋i1－2i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z ＝（ ） A ．1＋3iB ．1－3iC ．3－ID ．3＋i2．若集合A ＝{x |2x >1}，集合B ＝{x |l n x >0}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？（ ） A ．2B ．4C ．3D ．54．设向量=（1，2），=（m ，m+1），∥，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣D ．﹣35．若f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＝－l og 2(－2x )，f (32)＝（ ） A ．－32B ．6C ．-6D ．646．下列四个图象可能是函数的图象的是（ ）ABCD7．某几何体的三视图如图（1）所示，则该几何体的体积是（ ） A ．4π3B ．4＋2π3C ．2＋2π3D ．5π3（1）（2）8．执行如图（2）所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝（ ） A ．37B ．67C ．89D ．499．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1210．若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆(x －k )2＋y 2＝2相切的概率等于（ ） A ．12B ．13C ．23D ．3411．已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ），且 f （0）=2，则不等式f （x ）﹣2e x ＜0的解集为（ ） A ．（﹣2，+∞）B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．（4，+∞）12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，若△F 1AB 是顶角A 为120°的等腰三角形，双曲线离心率（ ）A ．5－2 3B ．5＋2 3C ． 3D ．5－2 3此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．命题R ，．写出命题的否定：________．14．若x，y满足约束条件⎩⎨⎧y－x≤1，x＋y≤3，y≥1，则z＝x＋3y的最大值为________．15．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y^＝45x＋a^，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为________．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为________．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，C＝60°,c＝43．（1）若△ABC的面积为83，求a＋b的值；（2）若△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．18．（12分）某中学进行教学改革试点，推行“高效课堂”教学法．为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和“高效课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学成绩分别前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？附：K2＝n(ad(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d)．独立性检验临界值表19．（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面E DB；（2）证明：PB⊥平面EF D；（3）求三棱锥E－BCD的体积．20．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，－3)，(0，3)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－3 4．（1）求顶点C的轨迹M的方程；（2）当点P(1，t)在曲线M上，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f(x)＝e x＋1x－a．（1）当a＝12时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；（2）函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．注意：请考生在22，23题中任选一题作答，作答时请务必在答题卡上图写所选题号．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系x O y中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（2）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．23．（10分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（1）求a+b的值；（2）求的最小值．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1-12．BBCACCDACCBD第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．∈∃0x R ，10<x e 14．7 15．9.516．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 17．（1）12．（2）由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝43sin 60°＝8，由a ＝8sin A ，b ＝8sin B ．又A ＋B ＝2π3，则a ＋b ＝8sin A ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝8sin A ＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝12sin A ＋43cos A ＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6．因为△ABC 为锐角三角形，则A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且B ＝2π3－A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2．所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，故a ＋b 的取值范围是(12,83]．18．x 甲＝110(72＋74＋74＋79＋79＋80＋81＋85＋89＋96)＝80．9． x 乙＝110(78＋80＋81＋85＋86＋93＋96＋97＋99＋99)＝89．4．甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳． （2）2×2列联表如下：根据列联表中的数据，得K 2＝26×14×20×20≈3．956>3．841．∴在犯错概率不超过0．05的前提下认为“成绩优良”与教学方式有关． 19．（1）证明：如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ．∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点．在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A ∥EO ．∵EO ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB ．（2）解：∵PD ＝DC ，又E 是斜边PC 的中点，∴DE ⊥PC ．①由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．∵底面ABCD 是正方形，∴DC ⊥BC ．又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ． 又DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE ．②由①和②，得DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB ．又EF ⊥PB ，且DE ∩EF ＝E ，∴PB ⊥平面EFD ． （3）解：∵E 是PC 的中点，所以点E 到平面BCD 的距离是PD 的一半， ∴V E －BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×1＝23． 20．（1）设点C 的坐标为(x ，y )，则直线AC 的斜率k 1＝y ＋3x ，直线BC 的斜率k 2＝y －3x ．因为两直线的斜率之积为－34，所以有y －3x ·y ＋3x ＝－34，化简得到x 24＋y 23＝1(x ≠0)，所以轨迹M 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0，－3)，(0，3)两点．曲线M 为x 24＋y 23＝1(x ≠0)（2）由题意，曲线M 为x 24＋y 23＝1(x ≠0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，设直线PE 为y －32＝k (x －1)，联立椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2＋8k ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0，则x 1x P ＝4k 2－12k －33＋4k 2，故x 1＝4k 2－12k －33＋4k 2，同理x 2＝4k 2＋12k －33＋4k 2，k EF ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－k x 2－＋32－⎣⎢⎡⎦⎥⎤k x 1－＋32x 2－x 1＝－k x 2＋x 1＋2k x 2－x 1＝－kk 2－＋2k＋4k 224k＝12．故直线EF 斜率为定值12．21：（1）f(x)＝e x＋1x－a，f′(x)＝e x－1x－a2，f′(0)＝1－1a2．当a＝12时，f′(0)＝－3．又f(0)＝－1，则f(x)在x＝0处的切线方程为y＝－3x－1．（2）函数f(x)的定义域为(－∞，a)∪(a，＋∞)．当x∈(a，＋∞)时，e x>0，1x－a>0，所以f(x)＝e x＋1x－a>0，即f(x)在区间(a，＋∞)上没有零点．当x∈(－∞，a)时，f(x)＝e x＋1x－a＝e x x－a＋1x－a，令g(x)＝e x(x－a)＋1，只要讨论g(x)的零点即可．g′(x)＝e x(x－a＋1)，g′(a－1)＝0．当x∈(－∞，a－1)时，g′(x)<0，g(x)是减函数；当x∈(a－1，a)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，所以g(x)在区间(－∞，a)上的最小值为g(a－1)＝1－e a－1．显然，当a＝1时，g(a－1)＝0，所以x＝a－1是f(x)的唯一的零点；当a<1时，g(a－1)＝1－e a－1>0，所以f(x)没有零点；当a>1时，g(a－1)＝1－e a－1<0．所以f(x)有两个零点．22．（1）曲线C2的普通方程为．（2）23（1）a+b=4．（2）最小值为．。