2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (55)

的抛物线，而p2＝1，即 p＝2，所以，轨迹 Q 的方程是 x2＝4y。
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1．定义法求轨迹方程的适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关 系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。
2．定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。
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2．求动点的轨迹方程的基本步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系。 (2)设点：轨迹上的 任意 一点一般设为 P(x，y)。 (3)列式：列出或找出动点 P 满足的等式。 (4)代换：将得到的等式转化为关于 x，y 的方程。 (5)验证：验证 所得方程 即为所求的轨迹方程。
→ 由NP＝
2
→ NM，得 x0＝x，y0＝
22y，因为点 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以x22＋
y22＝1，
因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2。
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三、走出误区 微提醒：①混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；②忽视轨迹方程的“完 备性”与“纯粹性”。 4．平面内与两定点 A(2,2)，B(0,0)距离的比值为 2 的点的轨迹是 ________。
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由y－32＝－x－12， y－ 2＝－ 22x，
x＝2， 得y＝0，
所以△ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径 r＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆
的标准方程为(x－2)2＋y2＝9。
(2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，△ABC 外接圆的圆心为 N，则 N(2,0)，
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【变式训练】 在△ABC 中，A 为动点，B，C 为定点，B－a2，0，C2a，0 (a＞0)，且满足条件 sinC－sinB＝12sinA，则动点 A 的轨迹方程是________。
解析 由正弦定理，得|A2RB|－|A2RC|＝12×|B2RC|(R 为外接圆半径)，所以|AB|
→→ 由 MN⊥MP，得NM·PM＝0，
所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，
整理得 x2＋y2－3x－y＋2＝0，
故弦 EF 中点的轨迹方程为x－322＋y－122＝12。
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1．若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接 法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验。求动点的轨迹方程时要注 意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点。
答案 (1)(2x－3)2＋4y2＝1
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→ (2)(2019·武威模拟)设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN＝ → →→ 2MP，PM⊥PF，当点 P 在 y 轴上运动时，点 N 的轨迹方程为__________。
→→→ 解析 (2)设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，
答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)
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考点一 直接法求轨迹方程 【例 1】 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2 2)， 定点 P(1,1)。 (1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求弦 EF 中 点的轨迹方程。 解 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点坐标为21，32， kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 中垂线的斜率为－ 22，AB 中垂线的斜率为－1， 则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－ 22x，AB 的中垂线的方程为 y－32＝－ x－12。
答案 y2＝4x(x>0)或 y＝0(x<0)
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6．已知 A(－2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO＝∠ BPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是________。
解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 x＋22＋y2 ＝2 x－12＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。
解析
根据垂径定理知：OP⊥PM，所以 P 点轨迹是以 OM 为直径的圆且在 ⊙O 内的部分。以 OM 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O 的交 点为(1，± 3)。结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。
答案 (x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)
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即 5x－12y＋46＝0。
综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 5x－12y＋46＝0。
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考点二 定义法求轨迹方程
【例 2】 已知圆 C 与两圆 x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1 外切，圆 C 的圆心轨迹为 L，设 L 上的点与点 M(x，y)的距离的最小值为 m，点 F(0,1) 与点 M(x，y)的距离为 n。
→
→→
PF＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以 x0＋y20＝0。由MN＝2MP
得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以xy－＝x20y＝0，－2x0，
x0＝－x， 即y0＝12y，
所以－x
＋y42＝0，即 y2＝4x。故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x。
答案 (2)y2＝4x
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相关点法求轨迹方程的步骤 1．明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动 点)M(x，y)。 2．寻求关系式 x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)。 3．将 x0，y0 代入已知曲线方程。 4．整理关于 x，y 的关系式得 M 的轨迹方程。
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考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程 【例 3】 (1)(2019·银川模拟)动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定 点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________。
解析 (1)设中点 M(x，y)，由中点坐标公式，可得 A(2x－3,2y)，因为 点 A 在圆上，将点 A 的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2 ＝1。
解析 设动点坐标为(x，y)，则 x－2x22＋＋yy2－22＝2，整理得 3x2＋3y2 ＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆。
答案 圆
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5．设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2＋y2－2x＝0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________。
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当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)，
即 kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到 l 的距离 d＝|3kk2＋＋21|，

由题意，得

|3kk2＋＋21| 2＋42＝52，解得
k＝152，
所以直线 l 的方程为152x－y＋263＝0，
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二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅱ节选)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22＋y2＝1
→
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝ 2 NM，求点 P 的轨迹
方程。
→
→
解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，
(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程； (2)求满足条件 m＝n 的点 M 的轨迹 Q 的方程。 解 (1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意 得|CC1|＝|CC2|，可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线，C1C2 的中点 为(0，－1)，直线 C1C2 的斜率不存在，故圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y＝－ 1。 (2)因为 m＝n，所以 M(x，y)到直线 y＝－1 的距离与到点 F(0,1)的距离 相等，故点 M 的轨迹 Q 是以 y＝－1 为准线，点 F(0,1)为焦点，顶点在原点
解析 若动圆在 y 轴右侧，则动圆圆心到定点 C(1,0)与到定直线 x＝－ 1 的距离相等，其轨迹是抛物线，且p2＝1，所以其方程为 y2＝4x(x>0)；若 动圆在 y 轴左侧，则圆心轨迹是 x 轴负半轴，其方程为 y＝0(x<0)。故动圆 圆心 M 的轨迹方程为 y2＝4x(x>0)或 y＝0(x<0)。
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一、走进教材
1．(选修 2－1P37A 组 T3 改编)已知点 F41，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l
上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则
点 M 的轨迹是( )
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线。
答案 D
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2．(选修 2－1P37A 组 T4 改编)已知⊙O 方程为 x2＋y2＝4，过 M(4,0)的 直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为________。
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微知识·小题练
教材回扣 基础自测
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1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y) ＝0 的实数解建立了如下的对应关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是 这个方程 的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上 的点，那么，这个方程叫做 曲线 的方程，这条曲线叫做 方程 的曲线。
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必考部分
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第八章 平面解析几何
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第八节 曲线与方程
微知识·小题练 微考点·大课堂
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2019 考纲考题考情
2．若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可； 若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形。
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【变式训练】 已知坐标平面上动点 M(x，y)与两个定点 P(26,1)，Q(2,1)， 且|MP|＝5|MQ|。
(1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C，若过点 N(－2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直线 l 的方程。 解 (1)由|MP|＝5|MQ|，得 x－262＋y－12＝5 x－22＋y－12， 化简得 x2＋y2－2x－2y－23＝0， 所以点 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，5 为半径的圆。 (2)当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为 2× 52－32＝8， 所以 l：x＝－2 符合题意。
－|AC|＝12|BC|，即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(不含右顶
点)。又知实轴长为12a，焦距为 a，所以虚半轴长为 的轨迹方程为1a62x2－136ay22＝1(x>0 且 y≠0)。
答案 1a62x2－136ay22＝1(x＞0 且 y≠0)
136a2，所以动点 A
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1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方 程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件。
2．曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的 方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没 有交点。