2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (55)
2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (9)
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赢在微点 无微不至
高考复习顶层设计 数学
解析 (2)令 f(x)＝2x3＋x－2，则 f(x)在 R 上单调递增，且 f(0)·f(1)＝－ 2×1＝－2<0，即 a∈(0,1)。在同一坐标系中作出 y＝1x，y＝log2x，y＝log5x 的图象，由图象得 1<b<c，故 c>b>a。故选 C。
答案 C
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高考复习顶层设计 数学
4．(2018·全国卷Ⅲ)设 a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋b<ab<0
B．ab<a＋b<0
C．a＋b<0<ab
D．ab<0<a＋b
解析 因为 a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以1a＝log0.30.2，1b＝log0.32，所 以1a＋1b＝log0.30.4，所以 0<1a＋1b<1，即 0<a＋ abb<1，又因为 a>0，b<0，所以 ab<0，即 ab<a＋b<0。故选 B。
解析 ①lg10＝1，则 lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对 数等于 1，则 x＝10；④底的对数等于 1；⑤logmn＝llggmn ，log3m＝llggm3 ，则llgg3n ＝2，即 log3n＝2，故 n＝9。
答案 ①②③④⑤
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n ④logamMn＝__m_l_o_g_aM____ (m，n∈R)。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (2)
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1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的 否定是只否定命题的结论。
2．区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/ A)，与 A 的充分不必要条 件是 B(B⇒A 且 A⇒/ B)两者的不同。
3．A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件。
答案 (3)A
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充要条件的三种判断方法 1．定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断。 2．集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。 3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题。
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高考复习顶层设计 数学
(3)若集合 A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠
∅”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (3)化简集合 A＝{x|0<x<1}，若 m>1，则 B＝{x|－1<x<m}，此时 A∩B≠∅，反之，若 A∩B≠∅，则 m>0，因(1，＋∞)⊂(0，＋∞)。故选 A。
答案 B
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二、走近高考
3．(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－12<12”是“x3<1”的(
)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020赢在微点生物一轮复习高考作业 (9)
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高考复习顶层设计 生物
解析 图中②酶能催化合成 DNA 片段，属于 DNA 聚合酶，A 项错误； 图中有 DNA 和 RNA 两种核酸，因此图中共含有 A、T、C、G、U 五种碱 基和四种脱氧核苷酸、四种核糖核苷酸，B 项错误；图中只有 DNA 连接酶 是基因工程中涉及的工具酶，基因工程中涉及的另一种工具酶是限制酶， C 项错误；RNA 聚合酶具有催化合成 RNA 的功能和解旋的功能，图中① 酶为解旋酶，引物酶能以 DNA 为模板合成 RNA，D 项正确。
高考复习顶层设计 生物
高考作业(四十一) 基因工程
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高考复习顶层设计 生物
A 组·全员必做题 1．在 DNA 的粗提取实验过程中，对 DNA 提取量影响较小的是( ) A．使鸡血细胞在蒸馏水中充分破裂，释放出 DNA 等核物质 B．搅拌时要用玻璃棒沿一个方向轻缓搅动 C．在析出 DNA 黏稠物时，要缓缓加入蒸馏水，直至黏稠物不再增多 D．要用冷酒精沉淀 DNA，甚至可将混合液再放入冰箱中冷却
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高考复习顶层设计 生物
解析 解答本题的关键是要看清切割后目的基因插入的方向，只有用 EcoRⅠ和 Sau3AⅠ切割目的基因和 P1 噬菌体载体，构建的重组 DNA 中 RNA 聚合酶在插入的目的基因上的移动方向才一定与图丙相同。
答案 D
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高考复习顶层设计 生物
10．(2019·福州二检)苜蓿是目前我国种植最广的豆科牧草，但是病菌往往 威胁着苜蓿的生长。为提高产量，研究人员将溶菌酶基因(LYZ 基因)和绿色荧 光蛋白基因(GFP 基因)连接为 LYZ－GFP 基因，利用农杆菌转化法将其导入 苜蓿细胞中，并通过组织培养成功获得了抗病植株。图 1 表示 Ti 质粒，其中 Vir 区的基因产物是 T－DNA 转移的必备条件；图 2 表示含有 LYZ－GFP 基 因的 DNA 片段。图中箭头表示相关限制酶的酶切位点。回答下列问题：
2020赢在微点数学(理)一轮复习(人教版)第三章 三角函数、解三角形 (1)
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高考复习顶层设计 数学
7．已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上，且 cosα<0，则 tanα＝________。
解析 如图，由题意知，角 α 的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x， y)，则 y＝－x，由三角函数的定义得 tanα＝yx＝－xx＝－1。
答案 －1
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又cosθ2＝－cosθ2，即 cosθ2<0，因此θ2是第二象限角。 答案 (1)B
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高考复习顶层设计 数学
(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。
(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以 150°与－2 010°终边相同， 又终边相同的两个角相差 360°的整数倍，所以在 0°～360°中只有 150°与－ 2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是 150°。
1．区分两个概念 (1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。 (2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。 2．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3．三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sinα＝yr， cosα＝xr，tanα＝yx。
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高考复习顶层设计 数学
方向 2：三角函数值的符号
【例 4】 (1)使 lg(sinθ·cosθ)＋ －cosθ有意义的 θ 为( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析 (1)由题意知 sinθ·cosθ>0 且－cosθ≥0，由 sinθ·cosθ>0，知 θ 为 第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即 cosθ≤0 知 θ 为第二、三象限角或 θ 在 x 轴的负半轴上，所以可知 θ 为第三象限角。故选 C。
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
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第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
高三数学一轮总结复习目录
高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第一节 函数及其表示
第二章函数、导数及其应用第一节 函数及其表示2019考纲考题考情1．函数与映射的概念2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。
3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。
分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点。
一、走进教材1．(必修1P 18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A ．y ＝()2B ．y ＝＋1x ＋13x 3C ．y ＝＋1 D ．y ＝＋1x 2x x 2解析 对于A ，函数y ＝()2的定义域为{x |x ≥－1}，x ＋1与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝＋1的x 2x 定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 25B 组T 1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]二、走近高考3．(2018·江苏高考)函数f (x )＝的定义域为log2x －1________。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析 依题意知 p，q 均为假命题，当 p 是假命题时，mx2＋1>0 恒成 立，则有 m≥0；当 q 是真命题时，则有 Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由 p，
A．p∧q
B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
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高考复习顶层设计 数学
解析 因为 x>0，所以 x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0， 故 p 为真命题。由 1>－2,12<(－2)2 可知 q 是假命题，所以綈 q 为真命题。
(2)已知函数 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝21x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是________。
根据复合命题真值表可知 p∧(綈 q)为真命题。故选 B。 答案 B
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高考复习顶层设计 数学
4．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式 是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2
答案 (－∞，－2]
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高考复习顶层设计 数学
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布第二节 排列与组合
＝6(种)
分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6
＝36(种)不同的保送方案.
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2
名，一所3名，则有___3_6_0___种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与
搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近
处.那么不同的搜寻方案有
( B)
A.10种
B.40种
C.70种
D.80种
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意
挑出1位陪同，有C
1 5
种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位
搜寻远处，有C
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40
人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝
1 560(条)毕业留言.
5.已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则m＝____2____.
解析：由已知得，m的取值范围为
m|0≤m≤5，m∈Z
，原等
式可化为
毕业生平均分到3所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90(种)分派方法.
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、
乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
共有___3_6____种.
[解析]
先把4名学生分为2,1,1共3组，有
C24C12C11 A22
＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不
届赢在微点一轮总复习数学理作业PPT教学课件(推荐)
解析：易知
z＝x＋13y
ห้องสมุดไป่ตู้
2x＋y＋3＝0， 在可行域的顶点处取得最大值，由x－2y＋4＝0，
解
得xy＝ ＝－ 1，2， 代入 z＝x＋13y，可得 z＝－53；由2x－x＋2y＝＋03，＝0， 解得xy＝ ＝－ 2，7，
代入 z＝x＋13y，可得 z＝－13；由xx－ －22y＝＋04，＝0，
所示，则阴影部分的面积 S＝12×a×2a＝a2>1，所以 1<a<2，根据几何概型 的概率计算公式得所求概率为22－ －10＝12。故选 C。
答案 C
2x＋y－3≤0， 12．设 x，y 满足约束条件2x－2y－1≤0，
x－a≥0，
其中 a>0，若xx－ ＋yy的最大
值为 2，则 a 的值为( A．12 C．38
2⇒a＝±2，由图
可得 a＝－2；当圆与 l2：x－y－1＝0 相切时，dC－l2＝|a－23|＝ 2⇒a＝1 或
a＝5，由图可得 a＝5，所以 a∈[－2,5]。
答案 [－2,5]
x＋y－1≥0， 14．(2019·豫南九校联考)已知不等式组x－y＋1≥0，
2x－y－2≤0
表示的平面区
答案 C
7．(2019·河北名校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种
原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如
果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获
得的最大利润为( )
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2
12
B/吨 1 2
8
) B．14 D．59
解析 设 z＝xx－ ＋yy，则 y＝11－ ＋zzx，当 z＝2 时，y＝－13x，作出 x，y 满足
2020届赢在微点一轮总复习数学理 作业 (26)
A．[2，＋∞)
B．[2 2，＋∞)
C．[2 3，＋∞)
D．[4，＋∞)
第18页
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高考复习顶层设计 数学
解析 f′(x)＝a－2x－1x＝－2x2－xax＋1，因为 f(x)存在极值，所以 f′(x) ＝0 在(0，＋∞)上有根，即 2x2－ax＋1＝0 在(0，＋∞)上有根。记方程 2x2 －ax＋1＝0 的两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1x2＝12，x1＋x2＝a2，易 知 a>0，方程有两个不相等的正数根，由 Δ>0，得 a>2 2，所以 f(x1)＋f(x2) ＝(ax1－x21－lnx1)＋(ax2－x22－lnx2)＝a(x1＋x2)－(x12＋x22)－(lnx1＋lnx2)＝a22－ a42－1＋ln2≥4＋ln2，所以 a≥2 3。综上，a 的取值范围为[2 3，＋∞)。 故选 C。
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故函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，
所以函数 f(x)在 x＝0 处取得极小值 1。
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课时作业(十六) 导数与函数的极值、最值
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基础过关组 一、选择题 1．(2019·太原一模)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法 错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间 B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间 C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值 D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
答案 5
第11页
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第十二节 定积分与微积分基本定理
选 C。 (2)变力 F(x)＝x2＋1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运动到
x＝10 所做的功为 W＝∫110Fxdx＝∫110(x2＋1)
( ) 1
x3＋x
dx＝ 3
Error!＝342(J)。
答案 (1)C (2)342
【例 2】 (1)(2019·山西八校联考)如图，矩形 OABC 中曲
( )π ，0 线的方程分别是 y＝sinx，y＝cosx。A 2 ，C(0,1)，在矩形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
4 3－1
4 2－1
A． π C．4( 3－1)π
B． π D．4( 2－1)π
1
1
∫( ) ∫ x－1
2x－1－
x＝1 所围成的封闭图形的面积 S＝0
x＋1 dx＝0
( )2
2x－1－1＋ x＋1 dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)]|10＝2ln2－1。故选 C。
答案 (1)B (2)C
1．利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤：画草图；解
方程得积分上、下限；把面积表示为已知函数的定积分。
第十二节 定积分与微积分基本定理 2019 考纲考题考情
考纲要求
考题举例
考向标签
2015·天津高
命题角度：
1.了解定积分的实际 考·T11(求面积) 背景，了解定积分 2015·福建高
1．定积分的计算 2．利用定积分求平
的基本思想，了解 考·T8(定积分与概率 面图形的面积
定积分的概念
的综合)
3．定积分在物理中
x－1
(2)(2019·唐山市摸底考试)曲线 y＝x＋1与其在点(0，－1)处
的切线及直线 x＝1 所围成的封闭图形的面积为( )
2020届赢在微点一轮总复习数学理 作业 (50) 精品优选公开课件
解析：易知
z＝x＋13y
2x＋y＋3＝0， 在可行域的顶点处取得最大值，由x－2y＋4＝0，
解
得xy＝ ＝－ 1，2， 代入 z＝x＋13y，可得 z＝－53；由2x－x＋2y＝＋03，＝0， 解得xy＝ ＝－ 2，7，
代入 z＝x＋13y，可得 z＝－13；由xx－ －22y＝＋04，＝0，
答案 C
x＋y≤5， 3．(2018·天津高考)设变量 x，y 满足约束条件2－x－x＋y≤y≤4， 1，
y≥0，
函数 z＝3x＋5y 的最大值为( )
A．6
B．19
C．21
D．45
则目标
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 y＝
－35x，平移该直线，当经过点
C
时，z
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
x＋y－3≤0， y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条件x－2y－3≤0，
x≥m，
则点(1,2)在可行域内，
如图所示，可得 m≤1。
答案 (－∞，1]
10．已知 x，y 满足条件yx≥≥x0，， 3x＋4y≤12，
则x＋x＋2y＋1 3的取值范围是____。
解析 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x＋x＋2y＋1 3＝ 1＋2×yx＋ ＋11，yx＋ ＋11表示可行域中的点(x，y)与点 P(－1，－1)连线的斜率。由 图可知，当 x＝0，y＝3 时，x＋x＋2y＋ 1 3取得最大值，且x＋x＋2y＋1 3max＝9。因 为点 P(－1，－1)在直线 y＝x 上，所以当点(x，y)在线段 AO 上时，x＋x＋2y＋1 3 取得最小值，且x＋x＋2y＋1 3min＝3。所以x＋x＋2y＋ 1 3的取值范围是[3,9]。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性2019考纲考题考情1．函数的奇偶性奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )关于y 轴对称奇函数对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。
1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
2．两个性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0。
(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
3．函数周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ，(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ≠0)。
(2)若f (x ＋a )＝，则T ＝2a (a ≠0)。
1f (x )(3)若f (x ＋a )＝－，则T ＝2a (a ≠0)。
1f (x)一、走进教材1．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。
2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (58)
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二、走近高考
3．(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的 s 的值为( )
A．12
B．56
C．76
D．172
解析 运行程序框图，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×12＝12，k＝2；s＝12＋ (－1)2×13＝56，k＝3；满足条件，跳出循环，输出的 s＝56。故选 B。
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微知识·小题练
教材回扣 基础自测
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高考复习顶层设计 数学
1．三种基本逻辑结构
名称 内容
顺序结构
条件结构
循环结构
算法的流程根据 从某处开始，按
由若干个 依次执行 条件是否成立 照一定的条件
定
的步骤组成的，这是 有不同的流向， 反复执行 某些
y 值的取值范围是( )
A．[0,2]
B．[－1,2]
C．[－1,15]
D．[2,15]
解析 (1)因为－1≤x≤4，所以当－1≤x≤1 时，y∈[－1,0]；当 1<x≤4 时，0<log2x≤2，即 y∈(0,2]。综上，y∈[－1,2]。
答案 (1)B
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考点例析 对点微练
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高考复习顶层设计 数学
考点一 算法的基本结构
【例 1】 (1)(2019·沈阳质监)已知一个算法的程序框图如图所示，当输
出的结果为 0 时，输入的实数 x 的值为( )
A．－3
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第四章 第三节 平面向量的数量积 Word版含答案
第三节 平面向量的数量积2019考纲考题考情1．平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠OA → OB →AOB 就是向量a 与b 的夹角。
②范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°。
③共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向共线；若θ＝180°，则a 与b 反向共线；若θ＝90°，则a 与b 垂直。
(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0。
②几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角。
(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2。
(2)模：|a |＝＝。
a ·a x 21＋y 21(3)夹角：cos θ＝＝。
a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 2＋y2(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0。
(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ ·。
x 21＋y 21x 2＋y 23．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)。
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)。
2020版微点教程高三数学(人教版理)一轮复习点对点 第一章 集合与常用逻辑用语 (5)
课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关组一、选择题1．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析 选项A ，由1x ＝1y 得x －y xy ＝0，则x ＝y ，为真命题；选项B ，由x 2＝1得x ＝±1，x 不一定为1，为假命题；选项C ，若x ＝y ，x ，y 不一定有意义，为假命题；选项D ，若x <y <0，则x 2>y 2，为假命题。
故选A 。
答案 A2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b解析 将原命题的条件和结论调换位置可知D 项正确。
故选D 。
答案 D3．(2019·江西九江月考)原命题“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0B．1 C．2D．4解析当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题。
综上所述，真命题有2个。
故选C。
答案 C4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A。
所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件。
故选C。
答案 C5．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为cos2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sinα＝±cosα，所以“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件。
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【变式训练】 在△ABC 中，A 为动点，B，C 为定点，B－a2，0，C2a，0 (a＞0)，且满足条件 sinC－sinB＝12sinA，则动点 A 的轨迹方程是________。
解析 由正弦定理，得|A2RB|－|A2RC|＝12×|B2RC|(R 为外接圆半径)，所以|AB|
－|AC|＝12|BC|，即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(不含右顶
点)。又知实轴长为12a，焦距为 a，所以虚半轴长为 的轨迹方程为1a62x2－136ay22＝1(x>0 且 y≠0)。
答案 1a62x2－136ay22＝1(x＞0 且 y≠0)
136a2，所以动点 A
第22页
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由y－32＝－x－12， y－ 2＝－ 22x，
x＝2， 得y＝0，
所以△ABC 的外接圆圆心为(2,0)，半径 r＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆
的标准方程为(x－2)2＋y2＝9。
(2)设弦 EF 的中点为 M(x，y)，△ABC 外接圆的圆心为 N，则 N(2,0)，
(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程； (2)求满足条件 m＝n 的点 M 的轨迹 Q 的方程。 解 (1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意 得|CC1|＝|CC2|，可知圆心 C 的轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线，C1C2 的中点 为(0，－1)，直线 C1C2 的斜率不存在，故圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为 y＝－ 1。 (2)因为 m＝n，所以 M(x，y)到直线 y＝－1 的距离与到点 F(0,1)的距离 相等，故点 M 的轨迹 Q 是以 y＝－1 为准线，点 F(0,1)为焦点，顶点在原点
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微知识·小题练
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1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y) ＝0 的实数解建立了如下的对应关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是 这个方程 的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上 的点，那么，这个方程叫做 曲线 的方程，这条曲线叫做 方程 的曲线。
答案 y2＝4x(x>0)或 y＝0(x<0)
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赢在微点 无微不至
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6．已知 A(－2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO＝∠ BPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是________。
解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 x＋22＋y2 ＝2 x－12＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。
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当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)，
即 kx－y＋2k＋3＝0，
圆心到 l 的距离 d＝|3kk2＋＋21|，
由题意，得
|3kk2＋＋21| 2＋42＝52，解得
k＝152，
所以直线 l 的方程为152x－y＋263＝0，
答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)
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考点一 直接法求轨迹方程 【例 1】 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2 2)， 定点 P(1,1)。 (1)求△ABC 外接圆的标准方程； (2)若过定点 P 的直线与△ABC 的外接圆交于 E，F 两点，求弦 EF 中 点的轨迹方程。 解 (1)由题意得 AC 的中点坐标为(0， 2)，AB 的中点坐标为21，32， kAC＝ 2，kAB＝1，故 AC 中垂线的斜率为－ 22，AB 中垂线的斜率为－1， 则 AC 的中垂线的方程为 y－ 2＝－ 22x，AB 的中垂线的方程为 y－32＝－ x－12。
→
→→
PF＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以 x0＋y20＝0。由MN＝2MP
得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以xy－＝x20y＝0，－2x0，
x0＝－x， 即y0＝12y，
所以－x
＋y42＝0，即 y2＝4x。故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x。
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一、走进教材
1．(选修 2－1P37A 组 T3 改编)已知点 F41，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l
上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则
点 M 的轨迹是( )
A．双曲线
B．椭圆
即 5x－12y＋46＝0。
综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 5x－12y＋46＝0。
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考点二 定义法求轨迹方程
【例 2】 已知圆 C 与两圆 x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1 外切，圆 C 的圆心轨迹为 L，设 L 上的点与点 M(x，y)的距离的最小值为 m，点 F(0,1) 与点 M(x，y)的距离为 n。
解析 若动圆在 y 轴右侧，则动圆圆心到定点 C(1,0)与到定直线 x＝－ 1 的距离相等，其轨迹是抛物线，且p2＝1，所以其方程为 y2＝4x(x>0)；若 动圆在 y 轴左侧，则圆心轨迹是 x 轴负半轴，其方程为 y＝0(x<0)。故动圆 圆心 M 的轨迹方程为 y2＝4x(x>0)或 y＝0(x<0)。
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二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅱ节选)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22＋y2＝1
→
→
上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝ 2 NM，求点 P 的轨迹
方程。
→
→
解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，
解析 设动点坐标为(x，y)，则 x－2x22＋＋yy2－22＝2，整理得 3x2＋3y2 ＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆。
答案 圆
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5．设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2＋y2－2x＝0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________。
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1．“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方 程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件。
2．曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的 方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没 有交点。
→ 由NP＝
2
→ NM，得 x0＝x，y0＝
22y，因为点 M(x0，y0)在椭圆 C 上，所以x22＋
y22＝1，
因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2。
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三、走出误区 微提醒：①混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；②忽视轨迹方程的“完 备性”与“纯粹性”。 4．平面内与两定点 A(2,2)，B(0,0)距离的比值为 2 的点的轨迹是 ________。
答案 (2)y2＝4x
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相关点法求轨迹方程的步骤 1．明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动 点)M(x，y)。 2．寻求关系式 x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)。 3．将 x0，y0 代入已知曲线方程。 4．整理关于 x，y 的关系式得 M 的轨迹方程。
C．圆
D．抛物线
解析 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线。
答案 D
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2．(选修 2－1P37A 组 T4 改编)已知⊙O 方程为 x2＋y2＝4，过 M(4,0)的 直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为________。
→→ 由 MN⊥MP，得NM·PM＝0，
所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，
整理得 x2＋y2－3x－y＋2＝0，
故弦 EF 中点的轨迹方程为x－322＋y－122＝12。
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1．若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接 法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验。求动点的轨迹方程时要注 意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点。
2．若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可； 若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形。
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【变式训练】 已知坐标平面上动点 M(x，y)与两个定点 P(26,1)，Q(2,1)， 且|MP|＝5|MQ|。
(1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C，若过点 N(－2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直线 l 的方程。 解 (1)由|MP|＝5|MQ|，得 x－262＋y－12＝5 x－22＋y－12， 化简得 x2＋y2－2x－2y－23＝0， 所以点 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，5 为半径的圆。 (2)当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为 2× 52－32＝8， 所以 l：x＝－2 符合题意。