25两个重要极限和求极限方法

4、 1 ； 3
8、 1 ； e
4、e −1 ；
x
= lim x→0
x−x x3
=0
1-8
16 一些常用的等价无穷小量
设在某一极限过程 p 中，α ( x) 是 无穷小量，则
sin α ( x ) ~ α ( x )
tanα( x) ~ α( x)
1− cosα ( x) ~ 1 α ( x)2 2
1-8
17 思考题
( )1
求极限 lim 3x + 9x x x→+∞
+
1
+
1 2
+
L
+
1 2n−1
=
3
−
1 2n−1
< 3,
∴{xn}是有界的;
∴ lim n→∞
xn
存在.
1-8
8 数 e 的极限表达式
lim (1 + 1 )n = e
n→ ∞
n
lim(1+ 1 )x = e
x→∞
x
1
lim(1 + x) x = e
x→0
1-8
9 复合函数求极限
定理：
设 函数 y = f (u)及 u = ϕ ( x )构成复合函数 y = f (ϕ ( x )). 若
(1
−
n
1 +
)(1 1
−
n
2 +
)L 2
(1
−
n
n +
). 1
显然 xn+1 > xn , ∴{xn}是单调递增的;
1-8
7 有界性之证明
xn
=
1+
1+
1 (1 − 2!
1)+L+ n
1 (1 − n!
1 )(1 − n
2 )L(1 − n
n − 1). n
<1+1+ 1 +L+ 1
2!
n!
<
1
1-8
1 2.5两个重要极限和求极限方法
n 两个重要极限 n 求极限的基本方法
1-8
2 1. 两个重要极限
lim sin x = 1 x→0 x
lim(1+ 1 )x = e
x→∞
x
1-8
3 证明之要点(1)
C
sin x = BD

x
=
AB
tan x = AC
∴sinx < x < tanx,
x→∞ 2x
Hale Waihona Puke Baidu
x→∞ x
1
6、 lim(1 + x) x = _________ . x→0
8、 lim(1 − 1 ) x = _________ .
x→∞
x
1-8 19
练习题答案
一、1、ω ； 5、0；
2、2 ； 3
6、e ；
二、1、2；
5、3.
三、 lim x→∞
xn
=
2.
2、1 ； e
3、1； 7、e 2 ； 3、e 2a ；
1-8
5 证明之要点(2)
极限 lim(1+ 1 )n 的存在性的证明
n→∞
n
证明要 点：
{x n } 是有界的 ; {xn}是单调递增的;
运用极限存在判别准则
1-8
6 递增性之证明
xn
=
(1
+
1 )n n
=
1+
n⋅ 1!
1 n
+
n(n − 2!
1)
⋅
1 n2
+ L+
n(n
−
1)L(n n!
−
n
= 1. 2
2
1-8
12 例题2
求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
解
原式
=
lim[(1 +
x→∞
x
1 +
) x+2 ]2 (1 + 2
x
1 +
)−4 2
=
e2.
1-8
13 例题3
求 lim(1 − 1 ) x .
x→∞
x
解
原式 = lim[(1 + 1 )− x ]−1
x→∞
1
( ) ( ) lim 3x + 9x
x→+∞
1 x
= lim 9x x→+∞
1 x

1 3x
+
1
x
1
=
9⋅
lim
x→+∞

1
+
1 3x
3 x
3x⋅x
=
9 ⋅ e0
=
9
1-8 18
一、填空题:
练习题
1、 lim sinωx = _________ . x→0 x
+
1)
⋅
1 nn
= 1 + 1 + 1 (1 − 1) + L + 1 (1 − 1)(1 − 2)L(1 − n − 1).
2! n
n! n n
n
x n+1
=
1
+
1
+
1 (1 − 2!
n
1 +
) 1
+
L
+
1 (1 n!
−
n
1 +
)(1 1
−
n
2 +
)L (1 2
−
n n
− +
1) 1
+
(n
1 +
1)!
−x
= lim x→∞ (1 +
1 1
)−x
= 1.
−x
e
1-8
14 等价无穷小量替换定理
定理：设在某一变化过程 p 中 α 和 β 是等价
无穷小量， y 是一个变量 . 则
lim αy = lim βy
p
p
lim y = lim y
pα
pβ
1-8
15 判别下列解法的正确性
lim
x→0
tan
x − sin x3
2、 lim sin 2x = __________ . x→0 sin 3 x
3、 lim arccot x = __________ .
x→0
x
4、 lim x ⋅ cot 3x = __________ .
x→0
5、 lim sin x = __________ . 7、 lim(1 + x )2x = _________ .
B
o
x
D
A
注意面积
即 cos x
<
sin x x
< 1,
在−π 2
<
x < 0也成立(偶函数)
∀x ∈U 0 (0, π ), 2
0<
1 − cos x = 2 sin2
x 2
< 2( x )2 2
=
x2 , 2
1-8
4 数 e 之定义
e = lim (1 + 1 ) n
n→ ∞
n
( e = 2 .71828 L )
lim sin ϕ ( x ) = 1 p ϕ(x)
1
lim(1+ϕ( x))ϕ(x) = e p
1-8
11 例题1
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x→0
2 x2
=
1 lim sin2
x 2
2 x→0 ( x)2
2
x
=
1 2
sin lim( x→0 x
2
)2
= 1 ⋅ 12 2
lim ϕ ( x) = l, lim f (u) = B,
x→ x0
u→ l
且当
x
≠
x
时
0
，u
≠
l,
则复合函数f
(ϕ ( x ))
的极限为
lim f (ϕ ( x )) = lim f (u) = B.
x→ x0
u→ l
1-8
10 两个重要极限的推广
应用复合函数求极限的定理, 我们有:
设在 x 的某变化过程 p 中，ϕ ( x) 是无穷小量，则