数理逻辑-逻辑公理系统2010
(完整版)数理逻辑简介
(4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？
(8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。 判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈
述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r, 表示。
原语句化为 p (q r) s 。
第二节 命题公式及分类
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。 重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。
(2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项，
联结词，括号等组成的字符串。
是否重言式 。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (1) A ( p q)，B p q
解：作真值表如下：
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (2) A p q ，B ( p q) (q p)
解：作真值表如下：
二、重要等值式。
1、交换律 A B B A ，A B B A
(1) ( p q) ( p q)
(2) ( p q) p q q p
(3) ( p q) q
(4) ( p p) q (5) p ( p q)
例4、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式， 哪些是矛盾式，哪些是可满足式？
(6) p q p p
(7) ( p q) ( p q)
设 p ：我上街， q ：我去书店看看，
r ：我很累。
原语句化为 r ( p q)(或 (r p) q)。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年， 她是三好生。 设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。
数理逻辑教程
数理逻辑教程什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究逻辑思考和推理的学科，它在多个领域得到了广泛的应用，例如数学、哲学、科学和计算机科学。
它使用有关逻辑系统的基本概念和方法，帮助人们更有效地进行思考和沟通。
数理逻辑也是哲学家和非西方思想家们在持续不断地发展中研究的一项重要领域，其研究可以追溯到古老的印度、希腊和中国。
数理逻辑的基本内容包括：集合论、布尔逻辑、论证理论、递归理论、模型理论和相关的应用。
集合论是数理逻辑中最基本的知识，它涉及研究逻辑思维应该如何处理围绕一组对象的概念。
布尔逻辑是一种使用具体逻辑公式来描述逻辑命题的方法，它可以帮助人们更好地理解信息和进行推理。
论证理论涉及研究逻辑证明的不同方法，并使用它们来构建逻辑证明并思考不同的概念。
递归理论涉及使用递归函数来表示数学变量的概念，并分析和推导它们之间的关系。
模型理论涉及使用逻辑模型来描述现实世界的状况，以便更好地理解它。
另外，数理逻辑还可用于抽象思维，例如，它可以帮助人们在思考过程中形成更为清晰的思维原则和规则，从而更好地构建有条理的和符合逻辑的思考框架。
推理也是一个重要的组成部分，数理逻辑可以帮助人们更好地理解他们的推理，以及如何把他们的思考过程转换成有用的判断和决定。
借助数理逻辑，人们可以更好地探索不同类型和规模的问题，从而获得更多经验和理解。
随着社会日益发展，数理逻辑已经在数学、工程和计算机科学等技术领域得到了广泛应用。
它在软件工程中可以帮助我们更好地把握流程设计和软件行为，也可以更好地帮助我们理解机器如何处理信息。
数理逻辑应用于智能计算机，帮助计算机理解并处理信息和推理。
此外，数理逻辑在认知科学和人工智能领域也发挥了重要作用，使得计算机能够更好地理解有效的知识和推理技巧，以及在求解实际问题中的应用。
学习数理逻辑的最佳方式是熟悉各种逻辑概念和方法，并将其应用到实际问题中。
人们可以通过学习书籍和文章，或上网查找相关信息，从而掌握数理逻辑相关的概念和信息。
数理逻辑-大纲
数理逻辑-大纲数理逻辑一、说明(一) 课程性质《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。
总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。
(二) 教学目的本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。
(三) 教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。
序号 1 2 3 4 内容命题逻辑的基本概念命题逻辑的等值和推理演算谓词逻辑的基本概念谓词逻辑的等值和推理理论合计学时数（ 30 ）课堂学时数 6 7 6 6 25 实践学时数 0 3 0 2 5 (四) 教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五) 考核要求1. 考核的方式及成绩评定本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。
2. 考题设计(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。
数理逻辑讲义
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
数理逻辑总结
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数理逻辑中的集合论与公理系统
数理逻辑中的集合论与公理系统数理逻辑作为一门研究形式推理和理性思维的学科，集合论与公理系统是其重要的组成部分。
集合论是描述和研究集合的数学分支，而公理系统则是逻辑推理的基础和规范。
本文将深入探讨数理逻辑中的集合论与公理系统，并分析其在现实世界中的应用。
一、集合论的基本概念集合是具有某种特定性质的对象的整体，可以是有限个或无限个元素的集合。
集合论主要研究集合的性质、关系和运算。
其中，集合的成员包含在集合中，记作$x\in A$；不是集合的成员则记作$x\notin A$。
集合之间可以有交集、并集和差集等运算。
集合论的基本概念还包括空集、全集、子集和补集。
空集是没有元素的集合，记作$\emptyset$；全集则是指被讨论的所有元素的集合。
若集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作$A\subseteq B$；若两个集合既是对方的子集，则它们是相等的，记作$A=B$。
对于一个给定的全集X，与集合A不相交的元素组成的集合称为A的补集，记作$\overline{A}$。
二、公理系统的基本原理公理系统是逻辑推理的基础，通过确定一系列公理和规则来构建逻辑推理体系。
公理是被认为是真实和不可证明的命题，公理系统则是通过这些公理进行逻辑演绎和证明其他命题。
在集合论中，最基础的公理系统是Zermelo-Fraenkel公理系统，它由一系列公理组成，例如空集公理、外延公理、配对公理、并集公理和无穷公理等。
这些公理约束了集合的性质和运算规则，提供了一个一致且完备的集合论的基础。
三、集合论在数理逻辑中的应用集合论在数理逻辑中有广泛的应用。
首先，集合论为其他数学分支提供了基础和语言工具。
在数学的各个领域，集合论都是描述和研究对象的重要工具，例如在数值分析中，集合论可以用来定义数值集合和数值计算方法。
其次，集合论在推理和证明中起到关键的作用。
逻辑推理需要通过建立命题之间的关系和运算，而集合论提供了这种关系和运算的基础。
数学中的数学逻辑与公理系统
数学中的数学逻辑与公理系统数学是一门基于逻辑推理和公理系统构建的学科。
数学逻辑与公理系统是数学研究中的重要内容，它们为数学的严密性和推理的有效性提供了基础。
本文将介绍数学中的数学逻辑的基本概念和公理系统的构建。
一、数学逻辑数学逻辑是一种推理系统，用于研究数学中的命题和证明。
它由命题逻辑、一阶谓词逻辑和高阶逻辑等组成。
命题逻辑是最基本的形式，研究命题之间的关系以及命题的真值。
一阶谓词逻辑则引入了量词和变量，可以描述更为复杂的数学对象和关系。
高阶逻辑则涉及到更高层次的数学对象和推理。
在数学中，逻辑的应用是广泛的。
通过逻辑推理，可以证明命题的真假，构建数学系统的公理及其性质，解决复杂的数学问题。
逻辑的严密性和精确性是数学研究的重要保证。
二、数学公理系统公理是数学推理的基础，是一个系统的基本假设或原则。
数学公理系统是基于公理建立的一套逻辑体系。
公理系统通过引入有交代的元素和运算规则，定义数学对象和运算，从而建立起严密的数学理论。
在数学中，公理系统的构建涉及到选择合适的公理和定义。
公理应该是自明而不需要证明的，它们构成了数学体系的基础。
通过选择恰当的公理系统，可以系统地推导出数学中的定理和推论。
不同的数学分支有不同的公理系统。
例如，欧几里得几何学的公理系统由欧几里得在《几何原本》中提出，它包括了关于点、线、平行线、角等基本概念的公理。
集合论的公理系统则由朱利叶斯·贝尔纳特和理查德·德哈特在20世纪初提出，它包括了集合的定义和运算规则。
三、公理系统的不完备性和独立性公理系统的构建面临着几个重要问题，其中之一是公理系统的不完备性。
不完备性是指在一个公理系统中无法证明所有真理。
哥德尔在20世纪证明了数学中的不完备定理，它揭示了公理系统的局限性。
另一个重要问题是公理系统的独立性。
独立性是指一个公理系统中的公理之间是相互独立的，不存在其中一个公理可以从其他公理推导出来。
通过研究公理系统的独立性，可以深入理解数学系统的结构和性质。
数理逻辑的公理化理论
04 数理逻辑的公理化理论的 应用
数学基础研究
1 2 3
数学证明
数理逻辑的公理化理论为数学证明提供了形式化 的基础，使得数学定理的证明过程更加清晰、准 确和易于理解。
数学体系构建
通过数理逻辑的公理化理论，可以构建各种数学 体系，如集合论、实数理论等，为数学学科的发 展提供坚实的逻辑基础。
数学哲学思考
数理逻辑的重要性
数理逻辑是数学的基础，它为数学提供了严格的逻辑基础，确保数学理论的正确 性和一致性。
数理逻辑在计算机科学中也有广泛应用，它是设计和分析计算机程序、算法和数 据结构的重要工具。
数理逻辑的公理化理论简介
公理化理论是数理逻辑中的一个重要概念，它通过一组基本 的、不证自明的公理来定义数学概念和推理规则。
公理化理论的目标是建立一个一致、完备和自洽的数学体系 ，以确保数学推理的有效性和正确性。
02 数理逻辑的公理化理论概 述
公理化方法的起源与发展
公理化方法的起源
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》 中首次采用公理化方法，通过五条公 理和五条公设构建了平面几何的理论 基础。
公理化方法的发展
随着数学和科学的不断进步，公理化 方法逐渐扩展到各个领域，成为现代 科学理论的重要构建方式。
详细描述
集合论公理体系由一系列基本公理和推理规则组 成，用于推导和证明集合之间的逻辑关系。这些 公理和推理规则基于集合论的直观，具有很高的 可靠性和完备性。
详细描述
集合论公理体系包括并集公理、交集公理、差集 公理等，这些公理用于描述集合的基本性质和关 系。此外，该体系还包括一些常用的推理规则， 如分离规则、重写规则等。
数理逻辑的公理化理论
目录
• 引言 • 数理逻辑的公理化理论概述 • 数理逻辑的公理体系 • 数理逻辑的公理化理论的应用 • 数理逻辑的公理化理论的未来发展
第十二章 数理逻辑的公理化理论
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 只要公理系统中有蕴含式为公理, 则可必可同时 得到一个推理规则, 由这种方法所推得的规则叫 导出规则. • 利用导出规则可以从前面15条公理得到15条导 出规则: 规则1 P├P 规则2 P→(Q→R) ├ Q→(P→R) 规则3 P→Q, Q→R ├ P→R 规则4 P→(P→Q) ├ P→Q 规则5 P↔Q ├ P→Q 规则6 P↔Q ├ Q→P
• 3) 系统的独立性
– 系统中的每条公理均不能由其他公理推出 – 一个系统可以是不独立的
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 命题逻辑永真公式的公理系统 1. 系统的组成部分 1) 基本符号 – 命题: P,Q,R,…; – 联结词: ¬,∧,∨,→,↔ – 括号: (,) 2) 公式 – 命题是公式 – 如P,Q是公式, 则(P∧Q), (P∨Q), (P→Q), (P↔Q)是公式 – 公式由且仅由有限次使用(1)(2)而得
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 可充分应用UG, US, EG, ES四条规则, 通过 US,ES将公式中的量词全部除去, 从而得到一个 命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理, 在最 后得到结论前利用UG,EG重新加入量词，恢复 成谓词逻辑公式. • 使用UG时需遵守:
1) 对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则 2) 对额外变元不能使用此规则 3) 一公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不 能使用此规则.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 例12.1 试证P∨Q → Q∨P • 证明: (1) Q → Q∨P 公(12) (2) P → Q∨P 公(11) (3) (P→Q∨P) → ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 公(13) (4) ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 分(3),(2) (5) P∨Q → Q∨P 分(4),(1) 证明的每一步后面都附有说明叫证明根据.
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
离散数学第1章命题逻辑
连接词“∧ 表示自然语言中“而且”、“并且”、“既…， 又…”等的逻辑抽象。
An Introduction to Database Systenm
3. 析取
定义1.1.4 设P 和Q是两个命题，由连接词∨将P、Q 联接成复 合命题，记作P∨Q ，读作“P 和Q的析取 ”，或“P 析取Q ”。
离散数学
2010年9月
重庆文理学院计算机学院
An Introduction to Database Systenm
离散数学
第一篇 数理逻辑
An Introduction to Database Systenm
数理逻辑
逻辑学是一门研究人的思维形式和规律 的学科。
逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数 理逻辑三大类。
在自然语言中，“如果…”为假时，则往往无 法判断“如果…，则…”的真假。但在数理逻 辑的条件命题中，该情况规定为“善意的推 定”，即当前提为F时，结论不论真假，条件 命题的真值都为T。
An Introduction to Database Systenm
5. 双条件
定义1.1.6 设P 和Q是两个命题，由连接词↔将P、Q联接成复 合命题，记作P↔Q ，读作“P当且仅当Q ”。
例1.2.7 设公式A为(¬P∨Q)→R，若将P、Q、R分别用(0, 0, 0) 替换，得到公式A的一种解释，在这种解释下，A的真值为假。同 理还可用(0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 0)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0) 、(1, 1, 1)其它7种不同的指派来对公式进行解释。
当且仅当P 的真值为T，Q 的真值为F 时， P →Q 的真值为F，否则 P →Q 的真值为T。连接词→的真值如表1.1.5所示。
数理逻辑中的公理系统与推理规则的构建与选择
数理逻辑中的公理系统与推理规则的构建与选择数理逻辑是一门基础学科，研究命题、谓词、集合等在形式上的推理规则和证明方法。
在数理逻辑中，公理系统和推理规则是构建推理过程和证明的基础。
本文将探讨数理逻辑中公理系统与推理规则的构建与选择。
一、公理系统的构建公理系统是数理逻辑的基础，它是由一组基本公式（称为公理）和一组推理规则（称为规则）组成。
公理是在数理逻辑领域中被接受的基本真理，它们被看作是不需要证明的前提。
推理规则是根据逻辑的规律进行的推理步骤。
公理系统的构建是一个复杂而严谨的过程，需要考虑公理的一致性、完备性、简洁性等方面。
一致性是指公理系统中不存在相互矛盾的公理及推理规则，否则将导致系统的不可靠。
完备性是指在该公理系统中能够证明所有可证明的命题，不会漏掉任何一个符合系统规则的命题。
简洁性是指公理系统应尽量精简，排除不必要的冗余公理，使公理系统更加简洁、易于理解和应用。
构建公理系统的方法有多种，其中最常见的是基于自然演绎系统和公理系统。
自然演绎系统是通过直觉推理和常识判断，引入假设、条件等来推导出结论。
公理系统则是通过确定一组公理和规则，来推导出完备有效的结论。
在具体构建公理系统时，可以选择不同的公理和规则，以满足所需的逻辑推理要求。
二、推理规则的选择推理规则是数理逻辑中进行推理和证明的手段，它是可靠的逻辑推理的基础。
推理规则的选择要根据逻辑的要求和推理的目标来确定。
经典逻辑推理中的常见推理规则包括假言推理、析取引入、合取引入、消解律等。
假言推理是指当给定一个条件命题的前提，可以推导出这个条件命题的结论。
析取引入是指当一个命题的某一部分为真时，整个命题为真。
合取引入是指当一个命题的所有组成部分为真时，整个命题为真。
消解律是指当一个条件命题和其否定成立时，可以推导出该条件命题的否定。
除了经典逻辑推理规则，还有非经典逻辑中的推理规则，如模态逻辑中的必要推理、可能推理等。
这些推理规则根据不同的逻辑体系和逻辑规则来选择。
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)
数理逻辑(证明论、递归论、模型论和公理集合论)(2010-10-28 00:14:03)转自新浪博客1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
数理逻辑中的公理系统和推导规则
数理逻辑中的公理系统和推导规则在数理逻辑中，公理系统和推导规则是构建逻辑体系的基础。
公理系统包含了一系列的公理，并借助推导规则进行逻辑推演，从而推导出更多的命题。
本文将介绍公理系统和推导规则在数理逻辑中的重要性，以及它们的一些常见形式。
一、公理系统公理系统是逻辑学中描述逻辑关系的一组基本命题或规则。
公理作为已被接受的基本真理，不需要经过证明就可以作为前提使用。
而公理系统的其他命题则由公理通过推导规则进行推导而得到。
一个完备的公理系统应能推导出所有可能的真命题而不能推导出矛盾的命题。
公理系统可以分为不同的形式，如命题逻辑中的简化命题演算系统和谓词逻辑中的一阶逻辑系统等。
这些不同的公理系统由于对应不同的逻辑形式和领域，所以具体的公理形式会有所区别。
但不管是哪种形式的公理系统，都有其特定的公理集合和推导规则。
二、推导规则推导规则是指根据公理系统中的公理，通过逻辑上的合理规则去推导出更多的命题。
它是公理系统进行逻辑推演的关键工具。
不同的公理系统可能会有不同的推导规则，但都具有相似的基本形式。
常见的推导规则包括：1. 消除原则：在逻辑推演中，当一个命题通过某种规则从一个复合命题中推导得到时，可以通过消除原则将其还原回原来的形式。
2. 引入原则：在逻辑推演中，当我们已知一个命题，通过某种规则可以引入其他命题时，可以使用引入原则。
3. 假设规则：在逻辑推演中，通过假设一个命题为真或为假的前提，用推理方法得出结论。
4. 涉及量词的规则：在谓词逻辑中，涉及量词的推导规则用于处理涉及到全称量词和存在量词的命题。
通过这些推导规则，我们可以在公理系统中利用已知的真理进行逻辑推演，从而得出更多的命题。
三、公理系统与推导规则的应用公理系统和推导规则是数理逻辑中重要的思维工具，具有广泛的应用领域。
它们可以应用于数学推理、计算机科学、人工智能等领域。
在数学中，公理系统和推导规则被用于构建各种不同的数学理论体系。
通过公理系统和推导规则，数学家们可以证明各种数学命题，揭示数学之美。
数理逻辑的基本公理化和形式系统
数理逻辑的基本公理化和形式系统数理逻辑是研究推理和论证的科学，它通过建立形式系统和公理化推导来研究命题的真值和推理的规则。
本文将探讨数理逻辑的基本公理化和形式系统。
一、公理化方法的引入公理化方法是数理逻辑的核心思想之一。
公理化方法的基本思想是通过一组公理来描述命题的性质和推理的规则，从而建立一个形式系统。
这个形式系统由符号和推导规则组成，通过这些规则可以从公理推导出定理。
二、形式系统的构建形式系统是数理逻辑的基础，它由符号、公式和推导规则组成。
符号是形式系统中的基本元素，可以是命题符号、逻辑连接词和量词等。
公式是由符号按照一定规则组合而成的表达式，用来表示命题的真值。
推导规则则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
三、数理逻辑的基本公理数理逻辑的基本公理是构建形式系统的基础，它们是不需要证明的前提，用来描述命题的性质和推理的规则。
基本公理一般包括恒真式、恒假式和等价式等。
恒真式是指在任何情况下都为真的命题，如“P∨¬P”，表示“P或非P”。
恒假式是指在任何情况下都为假的命题，如“P∧¬P”，表示“P且非P”。
等价式是指两个命题在任何情况下都具有相同的真值，如“P→Q≡¬P∨Q”，表示“如果P成立，则Q成立”。
四、形式系统的推导规则形式系统的推导规则是指导推理过程的规则，它规定了如何从已知的公式推导出新的公式。
常见的推导规则包括假言推理、析取三段论和消解等。
假言推理是指从一个条件命题和它的前提出发，推导出结论的过程，如“如果P成立，则Q成立；P成立，因此Q成立”。
析取三段论是指从两个条件命题的析取式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“P∨Q；¬P，因此Q”。
消解是指从两个条件命题的否定式和一个条件命题出发，推导出结论的过程，如“¬P∨¬Q；P，因此¬Q”。
五、数理逻辑的应用数理逻辑在科学研究和工程应用中具有重要的作用。
数理逻辑逻辑公理系统
A1 Γ A2 Γ
├ Q R Q A3=A1 A4 A4=A2 A5
├ Q R R A6=A1 A7 A7=A2 A8
Q,R ├ Q R
第十九页，共157页
反证律
▪ 如果Γ, Q├ R, Γ, Q├ R,则Γ├ Q
▪ A1= Q R
Γ{Q}├ R Γ├ QR
第六页，共157页
命题逻辑公理系统(续)
▪ (3).公理：公理模式中P,Q,R为任意公式 1).公理模式A1： R (QR) 2).公理模式A2： (P (QR)) ((PQ) (PR)) 3).公理模式A3： (QR) (RQ)
▪ (4).变形规则：推理规则(分离规则MP规则)
若Q和QR成立，则R成立。其中， Q和QR称为前提，R
▪ A1= Q R ▪ A2= Q R
Γ{Q}├ R Γ├ QR Γ{Q}├ R Γ├ QR
▪ A3= (QR) ( RQ)
▪ A4= RQ
▪ A5= Q Q ▪ A6= QQ
├ (QR) ( RQ) A3=A1 A4
A2 , A4├A5 ├ QQ
▪ A7= Q Q ▪ A8= ( QQ)Q ▪ A9= Q
▪ A1=D1 ▪ ……
▪ Am-1=Dm-1
▪ Am= PQ
▪ Am+1=Dm+1 ▪ …… ▪ = Am+n-1 Dm+n-1
Γ├ PQ
▪ Am+n= P (QR)
Γ├ P (QR)
▪ Am+n+1=(P→(Q→R) ) →((P→Q) →(P→R)) ▪ Am+n+2=(P→Q) →(P→R)
数理逻辑逻辑公理系 统
第一讲逻辑与公理化系统
第一讲逻辑与公理化系统第一讲数理逻辑与公理化系统逻辑是人们通过概念、判断、推理和论证来理解和区分客观事物的思维过程。
逻辑思维是人们在认知过程中借助概念、判断、推理等思维形式积极反映客观现实的理性认知过程，也称理论思维。
它是作为对认知思维、认知思维的结构和行为规律的分析而产生和发展的。
只有通过逻辑思维，人们才能把握具体对象的本质规定，进而理解客观对象。
是人类认知的高级阶段，也就是理性认知的阶段。
概念是反映事物及其分子本质属性的一种思维形式。
它是一个抽象和普遍的想法或实体，作为一个类别或类来指示实体、事件或关系。
其特点是概念的内涵(内容)和外延(概念中包含的事物)；判断的特征是对事物有所断定且有真假；演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理）定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。
定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。
定义的规则:一、被定义概念的外延与被定义概念的外延相同；第二，定义不能是否定的；第三，定义不能是隐喻的；第四，不能循环定义。
划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。
划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。
除了以上特点，数学中的逻辑更重要的是对客观事物的定量描述。
在这个过程中，集合是一个基本概念，通过集合中的一些关系来量化事物。
具有某些特征的事物的总和称为集合。
在数学中，量词用于逻辑量子化的过程。
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–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
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命题逻辑的公理系统
定义3.1 命题逻辑的公理系统定义: 符号
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号，; • 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式； • 若Q是公式，则(Q)是合式公式； 计算机学院 • 若Q,R是公式，则(QR)是合式公式。
• Q1,Q2,…Qn ├Q
如果├Q ，则Q称为定理。
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P, Q(PR)├QR A 1= P A2=P (QP) A3=QP A4= Q(PR) A5= (Q(PR))((QP)(QR)) A6= (QP)(QR) A7= (QR) A1Γ
├(QR)(RQ)
├(QR)(RQ) ├ Q(Q R)
从简单到复杂，证明相当严格。从而建立了 欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。
1．等于同量的量彼此相等．
2．等最加等量，其和仍相等．
3，等量减等量，其差仍相等． 4．彼此能重合的物体是全等的． 5．整体大于部分．
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1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都彼此相等。 5.平行公理 8
三个公理系统
计算机学院 • 实质公理学：欧几里德， 《几何原本》 • 概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何 • 形式公理：希尔伯特，《几何基础》 7
计算机学院
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欧几里德几何学
《几何原本》是一个实质公理系统
• • • 把点、线、面、角等分为原始定义概念（23 ）和可定义概念； 命题分为公理（5）、公设（5）； 由公理公设出发加以证明的定理（467）
形式公理：希尔伯特，《几何基础》
• • • • •
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抽象的符号对象域； 初始概念不加定义； 公理是初始概念的定义； 公式形式的推演； 对初始概念经过不同的解释，一个形式公理系统可以有许多论域（模型）。
计算机学院
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主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
则称它为Q的从Γ的一个推演(演 绎),记为Γ├ Q。
计算机学院 22
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证明与定理
如果存在从Γ推演出Q，则记为Γ├Q 。 {Q1,Q2,…Qn}├Q简记为 如果Γ为空集 ，则记为├Q。 如果Γ├Q，并且有推理步骤A1,A2,…An， 则A1,A2,…An称为的一个证明。
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这个系统可以有各种不同的解释即模型。
给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而丛具体地解决了公 理方法的一些逻辑理论问题。 计算机学院
• 第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性
– 在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这就是笛卡儿几何，在此模型中 欧几里德几何五组公理都真。
• 第二个逻辑理论问题是公理的相互独立性
Γ称为推演的前提集，
称α为结论
推理序列
(αn =Q)
每个αk满足以下条件之一，
• (1) α是公理； • (2) α kΓ； • (3) 有i,j<k αk= αi αj由αi, αj用MP规则 推出。
• 如果推理步骤序列 是A1,A2,…An，则推 理序列长度n。
推论：
• 如果Q是公理或 计算机学院 Q Γ，则Γ├ Q
欧几里德 325 BC -265 BC
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非欧几何
俄国数学家罗巴切夫斯基发现了锐角非 欧几何。
• 从直线外一点，至少可以做两条直线和 这条直线平行。 • 三角形内角和小于90度，圆周率大于π。
1854年黎曼发现了钝角非欧几何。
• 在同一平面内任何两条直线都有交点。 • 三角形内角和大于90度，圆周率小于π。 计算机学院
贝尔特拉米和克莱因使非欧几何建立在欧 氏几何模型上；希尔伯特使欧氏几何建立 在实数模型上。 计算机学院
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希尔伯特—几何基础
希尔伯特1899年发表了《几何基础》，完成了公理几何学的 形式化。用准确的语言，严格地叙述了欧儿里得几何。
• 重新定义了几何元素，点、线、面这三个基本概念此没有定义，也 没有直观的解释，其它概念是基本概念的导出概念，这是形式公理 方法的特征 • 确立了五组20条公理（分别是8条关联公理，4条顺序公理，5条合同 公理，2条连续公理，1条平行公理）
实质公理：欧几里德， 《几何原本》
• • • • • 对象、性质和关系先是具体唯一给定的； 给定具体初始概念，以及具体导出概念； 公理是从已知的事实中选出的少数自明的基本原理； 用演绎推理来证明这个对象域中的真理 欧几里得几何和牛顿力学都是实质公理学。
概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何
• 抽象初始概念； • 从直观的空间上升到抽象的空间，几何公理不具有自明性； • 数学绝对真理变为相对真理
建立理论模型，形成重要定理
• 数学分析、数学物理方程 • 逻辑定理
通过解释，将数学规律的确定性又被移转到物理现象， 把数学预言得精确成果变为可以验证的物理学成果。
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公理化哲学的思考
《世界的逻辑构造》
• 构造系统的任务要把一切概念都 从某些基本概念中逐步地引导出 来，形成概念系谱。
逻辑公理系统
马殿富 北航计算机学院 dfma@ 2010-12
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
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科学的数学化—数学描述自然规律
伽利略落体定律发现，使他成为精确描述 自然知识的创始人。
经典物理学中的因果原理
• 牛顿用数学描述自然规律； • 用数学函数表达的事件间的相互联系。每 一事件均被解释为状态的变化；每一状态 均由某些量值表明其特征，而每一自然律 则陈述这些量值的各种变化之间的关系， 正是这些量值的变化描述了各种各样的事 件。
定义了所有合式公式
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命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式
• 公理模式A1 • 公理模式A2
–(P (QR)) ((PQ) (PR))
–Q (RQ)
• 公理模式A3
–(Q R) (RQ)
推理规则(分离规则,MP规则)
• 从Q和QR推出R
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非欧几何的模型
意大利数学家贝尔特拉米的模型：“伪球 面”它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周 而得。
• 1868年用伪球面作为罗氏几何的平面有限部分的 模型 • 1869提出用球面作为黎曼的二重椭圆几何模型。
1870年，德国数学家克莱因用不包括圆周的 圆内部一罗氏平面一来解释罗巴切夫斯基 几何的工作，使非欧几何在欧氏几何中得 到解释。 计算机学院 19世纪末，希尔伯特在实数算术理论中为欧 氏几何建立了一个模型。
–第一、我们知道什么？ –第二、我们是怎样知道这些知识的？
《自然哲学》 [德]莫里茨.石里克
石里克
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科学认识方法
观察和经验与数学演绎结合起来，建立了近代科学。
• 用数学方程式形式来表述物理规律，这就似乎物理必然 性也可以变换为数学必然性； • 数学方法中给近代物理学以预言能力； • 自然的规律具有数学规律的结构、必然性和普遍性
一种理论的公理化就在于：
• 这个理论的全部命题都被安排在 以公理为其基础的演绎系统中; • 这个理论的全部概念都被安排在 以基本概念为其基础的构造系统 计算机学院 中。
鲁道夫· 卡尔纳普 (R.Carnap 1891-1970)
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公理系统
亚里士多德的演绎证明逻辑结构：
• • • • • 基本概念 通过定义派生概念 公理或公设 通过逻辑证明定理 由初始概念、定义、公理、推理规则、定理等所构成 的演绎体系，称为公理系统。
– 利用模型方法作出了证明。
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形式公理学
形式公理几何学
• 通过一组公理隐含的定义对象、运算和关系； • 一组公理既限制了对象、运算及关系可能作出的解释， 又充当系统推导时所需的一切前提；
这种公理系统可以有多种不同的解释，所以称为形式 公理学。
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公理系统比较
推理序列
• Γ=Q，公式集——前提 • A1、A2、A3 ——推理序列 • A3 ——结论 计算机学院
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演绎与推理序列
定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中
• A1=α1 • A2=α2 • …. • An=αn
(PQ)(PRQR)
(P(QR)) ((PQ) (PR))
(QR) (R Q)
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缩写公式
QR=(QR) QR= (QR) QR=(QR) (RQ) QR= (QR)
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公式复杂度
A1
A2 = A1 A3 A 4 Γ
A2 计算机学院 5 = A4A6 A
A6 = A3A7
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例：├(QR) (QQ)
A1=Q (RQ) A3= (QR) (QQ)
A1 A2=A1A3
A2= (Q (RQ)) ((QR) (QQ)) A2
公式Q的复杂度表示为FC(Q)