数理逻辑-逻辑公理系统2010
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实质公理：欧几里德， 《几何原本》
• • • • • 对象、性质和关系先是具体唯一给定的； 给定具体初始概念，以及具体导出概念； 公理是从已知的事实中选出的少数自明的基本原理； 用演绎推理来证明这个对象域中的真理 欧几里得几何和牛顿力学都是实质公理学。
概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何
• 抽象初始概念； • 从直观的空间上升到抽象的空间，几何公理不具有自明性； • 数学绝对真理变为相对真理
计算机学院
9
9
非欧几何的模型
意大利数学家贝尔特拉米的模型：“伪球 面”它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周 而得。
• 1868年用伪球面作为罗氏几何的平面有限部分的 模型 • 1869提出用球面作为黎曼的二重椭圆几何模型。
1870年，德国数学家克莱因用不包括圆周的 圆内部一罗氏平面一来解释罗巴切夫斯基 几何的工作，使非欧几何在欧氏几何中得 到解释。 计算机学院 19世纪末，希尔伯特在实数算术理论中为欧 氏几何建立了一个模型。
–第一、我们知道什么？ –第二、我们是怎样知道这些知识的？
《自然哲学》 [德]莫里茨.石里克
石里克
计算机学院
4
4
科学认识方法
观察和经验与数学演绎结合起来，建立了近代科学。
• 用数学方程式形式来表述物理规律，这就似乎物理必然 性也可以变换为数学必然性； • 数学方法中给近代物理学以预言能力； • 自然的规律具有数学规律的结构、必然性和普遍性
一种理论的公理化就在于：
• 这个理论的全部命题都被安排在 以公理为其基础的演绎系统中; • 这个理论的全部概念都被安排在 以基本概念为其基础的构造系统 计算机学院 中。
鲁道夫· 卡尔纳普 (R.Carnap 1891-1970)
计算机学院
6
6
公理系统
亚里士多德的演绎证明逻辑结构：
• • • • • 基本概念 通过定义派生概念 公理或公设 通过逻辑证明定理 由初始概念、定义、公理、推理规则、定理等所构成 的演绎体系，称为公理系统。
公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• 命题变元复杂度为0，如果Q是命题变元，则FC (Q)=0。 • 如果公式Q=R，则FC (Q)=FC(R)+1。 • 如果公式Q=R1R2，则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。
计算机学院
计算机学院
20
20
推理序列
已知Q成立， 证明R→Q成立 A1= Q (RQ) A2= Q A3= RQ A1 QΓ
从简单到复杂，证明相当严格。从而建立了 欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。
1．等于同量的量彼此相等．
2．等最加等量，其和仍相等．
3，等量减等量，其差仍相等． 4．彼此能重合的物体是全等的． 5．整体大于部分．
计算机学院
1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都彼此相等。 5.平行公理 8
计算机学院
计算机学院
25
25
重要定律
三段论：Q, QR ├R
传递律：PQ,QR├PR
反证律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├R,则Γ├ Q
归谬律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├ R，则Γ├ Q
计算机学院
计算机学院
26
26
重要定理
├QQ ├QQ ├ QQ ├ (QR)(QR) ├ (P(QR)) (Q(PR)) ├Q((QR) R) ├(Q R)((PQ)(PR)) ├(P Q)((QR)(PR)) 计算机学院
A1
A2 = A1 A3 A 4 Γ
A2 计算机学院 5 = A4A6 A
A6 = A3A7
计算机学院
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例：├(QR) (QQ)
A1=Q (RQ) A3= (QR) (QQ)
A1 A2=A1A3
A2= (Q (RQ)) ((QR) (QQ)) A2
–微分方程； –函数论； –泛函分析； –拓扑学、运筹学
伽利略
计算机学院
数学依然是自然规律描述方法
牛顿
计算机学院
3
3
科学知识表达
《人类的知识》 [英]罗素
• 关于人类的知识我们可以提出两个问题： • 科学知识的目的在于去掉一切个人的因素，说出人类 集体智慧的发现。 • 语言，这个我们借以表达科学知识的唯一工具 • 自然知识表述为命题；所有的自然律也同样是以命题 的形式来表达的。 • 自然科学的全部任务仅仅就在于坚持不懈地审查其命 题的正确性，结果这些命题就发展成为越来越牢固地 确立的假设。 计算机学院 • 自然科学在普遍性之外还具有精确性。精确知识就是 那种可以按照逻辑的原则完全地清楚地表达出来的知 识。 • 一门科学所达到的抽象程度越高，它洞察实在的本质 就愈深。 罗素
形式公理：希尔伯特，《几何基础》
• • • • •
计算机学院
抽象的符号对象域； 初始概念不加定义； 公理是初始概念的定义； 公式形式的推演； 对初始概念经过不同的解释，一个形式公理系统可以有许多论域（模型）。
计算机学院
13
13
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
├(QR)(RQ)
├(QR)(RQ) ├ Q(Q R)
推理序列
• Γ=Q，公式集——前提 • A1、A2、A3 ——推理序列 • A3 ——结论 计算机学院
计算机学院
21
21
演绎与推理序列
定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中
• A1=α1 • A2=α2 • …. • An=αn
则称它为Q的从Γ的一个推演(演 绎),记为Γ├ Q。
计算机学院 22
22
证明与定理
如果存在从Γ推演出Q，则记为Γ├Q 。 {Q1,Q2,…Qn}├Q简记为 如果Γ为空集 ，则记为├Q。 如果Γ├Q，并且有推理步骤A1,A2,…An， 则A1,A2,…An称为的一个证明。
计算机学院
定义了所有合式公式
计算机学院
16
16
命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式
• 公理模式A1 • 公理模式A2
–(P (QR)) ((PQ) (PR))
–Q (RQ)
• 公理模式A3
–(Q R) (RQ)
推理规则(分离规则,MP规则)
• 从Q和QR推出R
三个公理系统
计算机学院 • 实质公理学：欧几里德， 《几何原本》 • 概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何 • 形式公理：希尔伯特，《几何基础》 7
计算机学院
7
欧几里德几何学
《几何原本》是一个实质公理系统
• • • 把点、线、面、角等分为原始定义概念（23 ）和可定义概念； 命题分为公理（5）、公设（5）； 由公理公设出发加以证明的定理（467）
贝尔特拉米和克莱因使非欧几何建立在欧 氏几何模型上；希尔伯特使欧氏几何建立 在实数模型上。 计算机学院
10
10
希尔伯特—几何基础
希尔伯特1899年发表了《几何基础》，完成了公理几何学的 形式化。用准确的语言，严格地叙述了欧儿里得几何。
• 重新定义了几何元素，点、线、面这三个基本概念此没有定义，也 没有直观的解释，其它概念是基本概念的导出概念，这是形式公理 方法的特征 • 确立了五组20条公理（分别是8条关联公理，4条顺序公理，5条合同 公理，2条连续公理，1条平行公理）
这个系统可以有各种不同的解释即模型。
给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而丛具体地解决了公 理方法的一些逻辑理论问题。 计算机学院
• 第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性
– 在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这就是笛卡儿几何，在此模型中 欧几里德几何五组公理都真。
• 第二个逻辑理论问题是公理的相互独立性
逻辑公理系统
马殿富 北航计算机学院 dfma@buaa.edu.cn 2010-12
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
计算机学院
计算机学院
2
2
科学的数学化—数学描述自然规律
伽利略落体定律发现，使他成为精确描述 自然知识的创始人。
经典物理学中的因果原理
• 牛顿用数学描述自然规律； • 用数学函数表达的事件间的相互联系。每 一事件均被解释为状态的变化；每一状态 均由某些量值表明其特征，而每一自然律 则陈述这些量值的各种变化之间的关系， 正是这些量值的变化描述了各种各样的事 件。
– 利用模型方法作出了证明。
计算机学院
11
11
形式公理学
形式公理几何学
• 通过一组公理隐含的定义对象、运算和关系； • 一组公理既限制了对象、运算及关系可能作出的解释， 又充当系统推导时所需的一切前提；
这种公理系统可以有多种不同的解释，所以称为形式 公理学。
计算机学院
计算机学院
12
12
公理系统比较
–Q和QR称为前提 –R称为结论
计算机学院
计算机学院
17
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公理系统
罗素公理系统 QQ Q QQR QRRQ 弗雷格公理系统 Q(RQ) (P(QR)) ((PQ) (PR)) (P(QR)) (Q(PR)) (QR) (RQ) QQ 卢卡西维茨公理系统 Q(RQ) QQ 计算机学院
(PQ)(PRQR)
(P(QR)) ((PQ) (PR))
(QR) (R Q)
计算机学院
18
18
缩写公式
QR=(QR) QR= (QR) QR=(QR) (RQ) QR= (QR)
计算机学院
计算机学院
19
19
公式复杂度
欧几里德 325 BC -265 BC
计算机学院
8
非欧几何
俄国数学家罗巴切夫斯基发现了锐角非 欧几何。
• 从直线外一点，至少可以做两条直线和 这条直线平行。 • 三角形内角和小于90度，圆周率大于π。
1854年黎曼发现了钝角非欧几何。
• 在同一平面内任何两条直线都有交点。 • 三角形内角和大于90度，圆周率小于π。 计算机学院
–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
计算机学院
计算机学院
15
15
命题逻辑的公理系统
定义3.1 命题逻辑的公理系统定义: 符号
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号，; • 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式； • 若Q是公式，则(Q)是合式公式； 计算机学院 • 若Q,R是公式，则(QR)是合式公式。
计算机学院
计算机学院
14
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逻辑公理系统
公理系统
• 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体 系叫作公理系统。
公理系统的组成：
• 符号集； • 公式集
–公式是用于表达命题的符号串；
• 公理集
–公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题；
• 推理规则集
• 定理集
–表达了肯定的所有命题。
Γ称为推演的前提集，
称α为结论
推理序列
(αn =Q)
Biblioteka Baidu
每个αk满足以下条件之一，
• (1) α是公理； • (2) α kΓ； • (3) 有i,j<k αk= αi αj由αi, αj用MP规则 推出。
• 如果推理步骤序列 是A1,A2,…An，则推 理序列长度n。
推论：
• 如果Q是公理或 计算机学院 Q Γ，则Γ├ Q
建立理论模型，形成重要定理
• 数学分析、数学物理方程 • 逻辑定理
通过解释，将数学规律的确定性又被移转到物理现象， 把数学预言得精确成果变为可以验证的物理学成果。
计算机学院
计算机学院
5
5
公理化哲学的思考
《世界的逻辑构造》
• 构造系统的任务要把一切概念都 从某些基本概念中逐步地引导出 来，形成概念系谱。
• Q1,Q2,…Qn ├Q
如果├Q ，则Q称为定理。
计算机学院
23
23
P, Q(PR)├QR A 1= P A2=P (QP) A3=QP A4= Q(PR) A5= (Q(PR))((QP)(QR)) A6= (QP)(QR) A7= (QR) A1Γ
• • • • • 对象、性质和关系先是具体唯一给定的； 给定具体初始概念，以及具体导出概念； 公理是从已知的事实中选出的少数自明的基本原理； 用演绎推理来证明这个对象域中的真理 欧几里得几何和牛顿力学都是实质公理学。
概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何
• 抽象初始概念； • 从直观的空间上升到抽象的空间，几何公理不具有自明性； • 数学绝对真理变为相对真理
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非欧几何的模型
意大利数学家贝尔特拉米的模型：“伪球 面”它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周 而得。
• 1868年用伪球面作为罗氏几何的平面有限部分的 模型 • 1869提出用球面作为黎曼的二重椭圆几何模型。
1870年，德国数学家克莱因用不包括圆周的 圆内部一罗氏平面一来解释罗巴切夫斯基 几何的工作，使非欧几何在欧氏几何中得 到解释。 计算机学院 19世纪末，希尔伯特在实数算术理论中为欧 氏几何建立了一个模型。
–第一、我们知道什么？ –第二、我们是怎样知道这些知识的？
《自然哲学》 [德]莫里茨.石里克
石里克
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科学认识方法
观察和经验与数学演绎结合起来，建立了近代科学。
• 用数学方程式形式来表述物理规律，这就似乎物理必然 性也可以变换为数学必然性； • 数学方法中给近代物理学以预言能力； • 自然的规律具有数学规律的结构、必然性和普遍性
一种理论的公理化就在于：
• 这个理论的全部命题都被安排在 以公理为其基础的演绎系统中; • 这个理论的全部概念都被安排在 以基本概念为其基础的构造系统 计算机学院 中。
鲁道夫· 卡尔纳普 (R.Carnap 1891-1970)
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公理系统
亚里士多德的演绎证明逻辑结构：
• • • • • 基本概念 通过定义派生概念 公理或公设 通过逻辑证明定理 由初始概念、定义、公理、推理规则、定理等所构成 的演绎体系，称为公理系统。
公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• 命题变元复杂度为0，如果Q是命题变元，则FC (Q)=0。 • 如果公式Q=R，则FC (Q)=FC(R)+1。 • 如果公式Q=R1R2，则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。
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推理序列
已知Q成立， 证明R→Q成立 A1= Q (RQ) A2= Q A3= RQ A1 QΓ
从简单到复杂，证明相当严格。从而建立了 欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。
1．等于同量的量彼此相等．
2．等最加等量，其和仍相等．
3，等量减等量，其差仍相等． 4．彼此能重合的物体是全等的． 5．整体大于部分．
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1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都彼此相等。 5.平行公理 8
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重要定律
三段论：Q, QR ├R
传递律：PQ,QR├PR
反证律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├R,则Γ├ Q
归谬律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├ R，则Γ├ Q
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重要定理
├QQ ├QQ ├ QQ ├ (QR)(QR) ├ (P(QR)) (Q(PR)) ├Q((QR) R) ├(Q R)((PQ)(PR)) ├(P Q)((QR)(PR)) 计算机学院
A1
A2 = A1 A3 A 4 Γ
A2 计算机学院 5 = A4A6 A
A6 = A3A7
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例：├(QR) (QQ)
A1=Q (RQ) A3= (QR) (QQ)
A1 A2=A1A3
A2= (Q (RQ)) ((QR) (QQ)) A2
–微分方程； –函数论； –泛函分析； –拓扑学、运筹学
伽利略
计算机学院
数学依然是自然规律描述方法
牛顿
计算机学院
3
3
科学知识表达
《人类的知识》 [英]罗素
• 关于人类的知识我们可以提出两个问题： • 科学知识的目的在于去掉一切个人的因素，说出人类 集体智慧的发现。 • 语言，这个我们借以表达科学知识的唯一工具 • 自然知识表述为命题；所有的自然律也同样是以命题 的形式来表达的。 • 自然科学的全部任务仅仅就在于坚持不懈地审查其命 题的正确性，结果这些命题就发展成为越来越牢固地 确立的假设。 计算机学院 • 自然科学在普遍性之外还具有精确性。精确知识就是 那种可以按照逻辑的原则完全地清楚地表达出来的知 识。 • 一门科学所达到的抽象程度越高，它洞察实在的本质 就愈深。 罗素
形式公理：希尔伯特，《几何基础》
• • • • •
计算机学院
抽象的符号对象域； 初始概念不加定义； 公理是初始概念的定义； 公式形式的推演； 对初始概念经过不同的解释，一个形式公理系统可以有许多论域（模型）。
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13
13
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
├(QR)(RQ)
├(QR)(RQ) ├ Q(Q R)
推理序列
• Γ=Q，公式集——前提 • A1、A2、A3 ——推理序列 • A3 ——结论 计算机学院
计算机学院
21
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演绎与推理序列
定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中
• A1=α1 • A2=α2 • …. • An=αn
则称它为Q的从Γ的一个推演(演 绎),记为Γ├ Q。
计算机学院 22
22
证明与定理
如果存在从Γ推演出Q，则记为Γ├Q 。 {Q1,Q2,…Qn}├Q简记为 如果Γ为空集 ，则记为├Q。 如果Γ├Q，并且有推理步骤A1,A2,…An， 则A1,A2,…An称为的一个证明。
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定义了所有合式公式
计算机学院
16
16
命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式
• 公理模式A1 • 公理模式A2
–(P (QR)) ((PQ) (PR))
–Q (RQ)
• 公理模式A3
–(Q R) (RQ)
推理规则(分离规则,MP规则)
• 从Q和QR推出R
三个公理系统
计算机学院 • 实质公理学：欧几里德， 《几何原本》 • 概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何 • 形式公理：希尔伯特，《几何基础》 7
计算机学院
7
欧几里德几何学
《几何原本》是一个实质公理系统
• • • 把点、线、面、角等分为原始定义概念（23 ）和可定义概念； 命题分为公理（5）、公设（5）； 由公理公设出发加以证明的定理（467）
贝尔特拉米和克莱因使非欧几何建立在欧 氏几何模型上；希尔伯特使欧氏几何建立 在实数模型上。 计算机学院
10
10
希尔伯特—几何基础
希尔伯特1899年发表了《几何基础》，完成了公理几何学的 形式化。用准确的语言，严格地叙述了欧儿里得几何。
• 重新定义了几何元素，点、线、面这三个基本概念此没有定义，也 没有直观的解释，其它概念是基本概念的导出概念，这是形式公理 方法的特征 • 确立了五组20条公理（分别是8条关联公理，4条顺序公理，5条合同 公理，2条连续公理，1条平行公理）
这个系统可以有各种不同的解释即模型。
给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而丛具体地解决了公 理方法的一些逻辑理论问题。 计算机学院
• 第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性
– 在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这就是笛卡儿几何，在此模型中 欧几里德几何五组公理都真。
• 第二个逻辑理论问题是公理的相互独立性
逻辑公理系统
马殿富 北航计算机学院 dfma@buaa.edu.cn 2010-12
主要内容
概述 命题逻辑公理系统 谓词逻辑公理系统 总结
计算机学院
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2
科学的数学化—数学描述自然规律
伽利略落体定律发现，使他成为精确描述 自然知识的创始人。
经典物理学中的因果原理
• 牛顿用数学描述自然规律； • 用数学函数表达的事件间的相互联系。每 一事件均被解释为状态的变化；每一状态 均由某些量值表明其特征，而每一自然律 则陈述这些量值的各种变化之间的关系， 正是这些量值的变化描述了各种各样的事 件。
– 利用模型方法作出了证明。
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11
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形式公理学
形式公理几何学
• 通过一组公理隐含的定义对象、运算和关系； • 一组公理既限制了对象、运算及关系可能作出的解释， 又充当系统推导时所需的一切前提；
这种公理系统可以有多种不同的解释，所以称为形式 公理学。
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公理系统比较
–Q和QR称为前提 –R称为结论
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公理系统
罗素公理系统 QQ Q QQR QRRQ 弗雷格公理系统 Q(RQ) (P(QR)) ((PQ) (PR)) (P(QR)) (Q(PR)) (QR) (RQ) QQ 卢卡西维茨公理系统 Q(RQ) QQ 计算机学院
(PQ)(PRQR)
(P(QR)) ((PQ) (PR))
(QR) (R Q)
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缩写公式
QR=(QR) QR= (QR) QR=(QR) (RQ) QR= (QR)
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公式复杂度
欧几里德 325 BC -265 BC
计算机学院
8
非欧几何
俄国数学家罗巴切夫斯基发现了锐角非 欧几何。
• 从直线外一点，至少可以做两条直线和 这条直线平行。 • 三角形内角和小于90度，圆周率大于π。
1854年黎曼发现了钝角非欧几何。
• 在同一平面内任何两条直线都有交点。 • 三角形内角和大于90度，圆周率小于π。 计算机学院
–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
计算机学院
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命题逻辑的公理系统
定义3.1 命题逻辑的公理系统定义: 符号
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号，; • 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式； • 若Q是公式，则(Q)是合式公式； 计算机学院 • 若Q,R是公式，则(QR)是合式公式。
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14
14
逻辑公理系统
公理系统
• 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体 系叫作公理系统。
公理系统的组成：
• 符号集； • 公式集
–公式是用于表达命题的符号串；
• 公理集
–公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题；
• 推理规则集
• 定理集
–表达了肯定的所有命题。
Γ称为推演的前提集，
称α为结论
推理序列
(αn =Q)
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每个αk满足以下条件之一，
• (1) α是公理； • (2) α kΓ； • (3) 有i,j<k αk= αi αj由αi, αj用MP规则 推出。
• 如果推理步骤序列 是A1,A2,…An，则推 理序列长度n。
推论：
• 如果Q是公理或 计算机学院 Q Γ，则Γ├ Q
建立理论模型，形成重要定理
• 数学分析、数学物理方程 • 逻辑定理
通过解释，将数学规律的确定性又被移转到物理现象， 把数学预言得精确成果变为可以验证的物理学成果。
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5
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公理化哲学的思考
《世界的逻辑构造》
• 构造系统的任务要把一切概念都 从某些基本概念中逐步地引导出 来，形成概念系谱。
• Q1,Q2,…Qn ├Q
如果├Q ，则Q称为定理。
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23
23
P, Q(PR)├QR A 1= P A2=P (QP) A3=QP A4= Q(PR) A5= (Q(PR))((QP)(QR)) A6= (QP)(QR) A7= (QR) A1Γ