高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析

5．曲线
C
的参数方程为
x y
cos 2sin
（
为参数），直线
l
的参数方程为
x
y
3t 2 1t 2
（
t
为
参数），若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，则 AB 等于（ ）
A． 8 7 7
【答案】C 【解析】
B． 4 7 7
C． 8 13 13
D． 4 13 13
分析：首先将取消 C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计 算即可求得最终结果.
出 的值，可得出点 P 的极坐标.
【详解】
设点 P 的极坐标为 , 0 2 ，则 12 3 2 2 ， tan 3 3 . 1
由于点 P 位于第四象限，所以，
5 3
，因此，点
P
的极坐标可以是
2,
5 3
，故选：A.
【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点 P( 3 cos , sin ) ，再利用点到直线的
距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15．在平面直角坐标系中， O 为原点， A1,0 ， B 0，3 , C 3，0 ，动点 D 满足
CD 1,
则 OA OB OD 的取值范围是（ ）
A． 4，6
B． 19-1，19+1
C． 2 3，2 7
【答案】D 【解析】
D． 7-1，7 +1
试题分析：因为 C 坐标为 3, 0 且 CD 1,所以动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆,则
D
满足参数方程{xD yD
3 cos sin
(
为参数且
0, 2
),所以设
D
的坐标为为
3 cos,sin 0, 2 ,
则 OA OB OD
3 cos 12 sin
2
3
8 2 2cos
wk.baidu.com3 sin
,
因为 2 cos 3 sin 的取值范围为 22
2
3,
22
3
2
12 3cos2 4sin2
化为普通方程，再将曲线 C
的普通方程进
行
x
1 2
x
的伸缩变换后即可解.
y
3y 3
【详解】
解：由极坐标方程 2
12 3cos2 4sin2
3( cos )2
4( sin )2
12 ，
可得： 3x2 4 y2 12 ，即 x2 y2 1 ， 43
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】
【分析】
消参化简整理得 x2 y2 1 ，即得方程对应的曲线.
【详解】
将 t 1 代入 y 1 t2 1 ，化简整理得 x2 y2 1 ，同时 x 不为零，且 x ， y 的符号一
x
t
致，
故选:D.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理
【详解】
x 2 cos
曲线
C
：
y
sin
，消去 ，得
曲线 C ： (x 2)2 y2 1
又知圆 C 与直线相切。可得，
2k 1
k2 1
解得 k 3 ，给故答案选 D。 3
【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。
7．在极坐标系中，已知圆
C
经过点
P
2
的一个圆。因为直线 l
的极坐标方程为：
4
（ R ），所以直线 l 的直角坐标方程为 y x 。因为直线 y x 经过圆心（1，1），所
以弦 AB 为直径，且有 AB 2r 2 2 ，故选 B。
【点睛】 本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦 AB 经过圆 点，从而 AB 为直径。
【详解】
D． 6
根据题意可知，
AE
的长度 2
， EF
的长度为
，
FG
的长度为 3 2
， GH
的长度为 2
，
所以曲线 AEFGH 的长是 5 .
【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
10．参数方程
x y
1, t 1
（ t 为参数）所表示的曲线是（ t2 1
）
t
A．
或 x=2，选 C.
x cos
【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式
y sin
，利用这个公式可以实现直角坐标
x2 y2 2
与极坐标的相互转化．
3．参数方程
（ 为参数）所表示的图象是
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 【分析】
由 ，得 ，代入
，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程
【详解】
由曲线
x
y
1 cos sin
（参数
0,
2
）知曲线是以
1,
0
为圆心,1
为半径的圆.
故直角坐标方程为： x 12 y2 1.
又点 A3,0, B0,3 故直线 AB 的方程为 x y 3 0 .
故当 P 到直线 AB 的距离最小时有△PAB 面积取最小值.
1 0 3
又圆心 1,0 到直线 AB 的距离为 d
曲线 C
经过伸缩变换
x
y
1x 2
3 3
y
，可得
2
x 3y
x
y
，代入曲线 C
可得：
x2
y2
1，
∴伸缩变换得到的曲线是圆．
故选：C． 【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将
x
1 2
x
转化为
y
3y 3
2x x
为解题关键.
3y y
12．已知点
A3,0
，
B
0,
中变量 、 的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】
由题意知
将 代入
，得
，
解得
，因为
，所以
.故选：D。
【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方 法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从 而得出相关变量的取值范围。
4．在同一直角坐标系中，曲线
3
，若点
P
在曲线
x y
1 cos sin
（参数
0,
2
）上运
动，则△PAB 面积的最小值为（ ）
A． 9 2
【答案】D 【解析】
B． 6 2
C． 6 3 2 2
D． 6 3 2 2
【分析】
x 1 cos
化简曲线
y
sin
成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线 AB 的距离最小
值求解即可.
4
2 中，令 0 ，得 2 ，
所以圆 C 的圆心坐标为（2，0）.
因为圆
C
经过点
P
2
3， 6
，
所以圆 C 的半径 r
2
2
3 22 2 2 2
3 cos
2，
6
于是圆 C 过极点，
所以圆 C 的极坐标方程为 4cos .
故选 A
【点睛】
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基
解掌握水平和分析推理能力.
11．已知曲线 C
的极坐标方程为
2
12 3cos2 4sin2
，以极点为原点，极轴为 x
轴非
负半轴建立平面直角坐标系，则曲线 C
经过伸缩变换
x
1 2
x
后，得到的曲线是（ ）
y
3y 3
A．直线
B．椭圆
C．圆
D．双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】
将曲线 C
的极坐标方程 2
点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
2．化极坐标方程 2cos 2 0 为直角坐标方程为（ ）
A． x2 y2 0或y 2
B． x = 2
C． x2 y2 0或x 2
D． y 2
【答案】C 【解析】
由题意得，式子可变形为 ( cos 2) 0 ，即 0 或 cos 2 0 ，所以 x2+y2=0
经过伸缩变换
后所得到的曲线
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】
由
，得
代入函数
，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析
式。 【详解】
由伸缩变换得
，代入
，有
，
即
.所以变换后的曲线方程为
.故选：C。
【点睛】 本题考查伸缩变换后曲线方程的求解，理解伸缩变换公式，准确代入是解题的关键，考查 计算能力，属于基础题。
【分析】
把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦 AB 过圆心，则 AB 2r 。
【详解】
因为曲线 C 的极坐标方程为： 2 2 cos 2 sin 0
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2 y 0 ，即(x 1)2 +（y-1）2 2 ，以
（1，1）为圆心，半径 r
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点
一、13
1．若点 P 的直角坐标为 1, 3 ，则它的极坐标可以是（ ）
A．
2,
5 3
B．
2,
4 3
C．
2,
7 6
D．
2,
11 6
【答案】A 【解析】
【分析】
设点 P 的极坐标为 , 0 2 ，计算出 和 tan 的值，结合点 P 所在的象限求
（ t 为参数）， A(1, 0) ， B(1,0) ，若曲线 C 上存在点 P
ya 2t
2
满足 AP BP 0 ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
2, 2
2
2
B． 1,1
C． 2, 2
D． 2, 2
【答案】C
【解析】
曲线 C 化为普通方程为: y x a ,由 AP BP 0 ，可得点 P 在以 AB 为直径的圆
础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
8．已知曲线 C 的极坐标方程为： 2 2 cos 2 sin 0 ，直线 l 的极坐标方程为：
（ R ），曲线 C 与直线 l 相交于 A、B 两点，则 AB 为（ ）
4
A． 2
【答案】B 【解析】
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
x2 y2 1 上,又 P 在曲线 C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心 0, 0 到 y x a 的距离小
a 于等于半径1,根据点到直线的距离公式有: 1,解得 2 a 2 ,故选 C.
2
14．已知
P(x,
y)
是椭圆
x
3 cos 上任意一点，则点 P 到 x
3y 4 0 的距离的最
点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
x 2 cos
6．若直线
l
：
y
kx
与曲线
C
：
y
sin
（ 为参数）有唯一的公共点，则实数 k
等于（）
A． 3 3
【答案】D 【解析】 【分析】
B． 3 3
C． 3
D． 3 3
根据题意，将曲线 C 的参数方程消去 ，得到曲线 C 的普通方程 (x 2)2 y2 1，可知 曲线 C 为圆，又知圆 C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得 k 。
2
12 12
2.
故 P 到直线 AB 的距离最小值为 h 2 2 1.故△PAB 面积的最小值为
S 1 AB d 1 3 2 2 2 1 6 3 2 .
2
2
2
故选：D
【点睛】
本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于
中等题型.
x 2t
13．已知曲线 C ：{ 2
x cos
详解：曲线
C
的参数方程
y
2sin
（
为参数）化为直角坐标方程即： x2
y2 4
1，
与直线
l
的参数方程
x
3
2
t （ t 为参数）联立可得： t 2
16 ，
y
1t 2
13
则 t1
4 13 13
, t2
4 13 13
，
结合弦长公式可知：
AB
t1 t2
8 13 13
.
本题选择 C 选项.
9．如图所示， ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中 AE ， EF ， FG ， GH ，……的圆心依次按 B,C, D, A 循环，则曲线 AEFGH 的长是
（）
A． 3
【答案】C 【解析】
B． 4
C． 5
【分析】
分别计算 AE ， EF ， FG ， GH 的大小，再求和得到答案.
2
3， 6
，圆心为直线
sin
4
2 与极
轴的交点，则圆 C 的极坐标方程为
A． 4cos
B． 4sin
C． 2cos
D． 2sin
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆
C
的圆心坐标为（2，0），由圆
C
经过点
P
2
3， 6
得到圆
C
过极点，由此能求
出圆 C 的极坐标方程．
【详解】
在
sin
上任意一点，
设点 P( 3 cos , sin ) ，
则点 P 到直线 x 3y 4 0 的距离为
d
3 cos 3 sin 4
6 cos( ) 4 4，
12 ( 3)2
2
当 cos( ) 1 时，距离 d 取得最大值，最大值为 4 6 ，故选 A.
4
2
【点睛】 本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
y sin
大值为（ ）
A． 4 6 2
【答案】A 【解析】
B． 2 3
C． 4 6 2
D． 2 3
【分析】
设点 P( 3 cos , sin ) ，求得点 P 到直线的距离为 d
数的性质，即可求解. 【详解】
6
cos(
) 4
4
，根据三角函
2
由题意，点
P
x,
y
是椭圆
x
y
3cos sin