第三章 参数估计
三章参数估计ParametricEstimation
会有多项分布,
p( x1,..., xm | p1,..., pm )
n!
m
m
p
xi i
xi ! i1
i 1
m
m
l ( p1,..., pm ) log( n!) log xi! xi log pi
i 1
i 1
m
pi 1
i 1
m
m
m
l( p1,...,pm,) log(n!) logxi! xi logpi ( pi 1)
1.点估计的基本概念(Point Estimator)
点估计: 就是由样本x1,x2,…xn确定一个统计量
gx1,x2,,xn
用它估计总体的未知参数，称为总体参数的估 计量。当具体的样本抽出后，可求得出样本统 计量的值。用它作为总体参数的估计值，称作 总体参数的点估计值。
2.两种基本的点估计方法
• （1）总体的方差越大，需要的样本量越大。 • （2）样本量n和置信区间长度的平方成反比。 • （3）置信度越高，样本量越大。
样本量的确定
需要考虑问题：
➢ (1)要求什么样的精度？即我们想构造多宽的区间？ ➢ (2)对于构造的置信区间来说，想要多大的置信度？即我
k
阶中心矩。
矩法估计： V ^ k Ak, U ^ k Bk
这 是k包 个含 未 知 1， 参 ， k 数 的 联 立 方
A1 11 ，2 ， ，k
A2
21 ，2 ， ，k
Ak k 1 ，2 ， ，k
从中解出方,记 程为 组 ˆ1， 的 ，ˆ解 k,即
ˆˆ21
ˆ1 ˆ2
X1 ，X2 X1 ，X2
置信区间的含义
样本分布 /2
第三章 参数估计
第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。
总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。
总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。
统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。
统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。
统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。
通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。
答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。
构成统计量的函数中不能包括未知因素。
[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。
答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。
〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。
每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。
概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
概率论与数理统计-参数估计_图文.ppt
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计假设检验练习题
第三章 假设检验例子例1：某糖厂用自动打包机装糖。
已知每袋糖的重量（单位：千克）服从正态分布()2~,X N μσ。
今随机抽查9袋，称出它们的重量并计算得到*48.5, 2.5x s ==。
取显著性水平0.05α=。
在下列两种情形下分别检验()01:50 :50H H μμ=≠22(1) 4 (2)σσ=未知解：()()2*01220.97512~,48.5, 2.5,9,0.05:50 :50(1) 4 (2)(1) 2.251.962.25 1.96X N x s n H H u uu αμσαμμσσ-=====≠======>糖的重量，现在已知显著性水平，在两种情形下检验：未知解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以拒绝原假设即不能认为糖的重量50的平均值是千克，即打包机工作不正常。
()()()()2*0120.97512~,48.5, 2.5,9,0.05:50 :50(2) 1.818 2.306 1.8 2.306X N x s n H H t t n t αμσαμμσ-=====≠===-==<糖的重量，现在已知显著性水平，在两种情形下检验：未知解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常。
例2：在上题中，试在显著性水平0.1α=下检验()2201: 4 :4H H σσ=>()()()()*2201*22202210.948.5, 2.5,9,0.1: 4 :4112.51813.36212.513.362.x s n H H n s n αασσχσχχ-=====>-==-==<显著性水平，解：计算检验统计量的观测值 临界值，因为，所以不能拒绝原假设，即不能认为打包机工作不正常例3：监测站对某条河流每日的溶解氧（DO ）质量浓度记录了30个数据，并由此算得 2.52, 2.05x s ==。
已知这条河流的每日DO 质量浓度服从()2,N μσ，试在显著性水平0.05α=下检验()01: 2.7 : 2.7H H μμ=≠。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
应用数理统计——参数估计
这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α
有限数据统计处理(总体参数估计)第三章
（1）、总体标准差σ已知条件下，对总体
平均数的区间估计
使用t分布的条件：当样本容量n＜30，且总体标准差σ未
知时，用样本标准差S代替总体标准差σ。样本标准差S
计算公式：
x x t sx
s sx n
s
(x - x)
n 1
2
例1：从大学一年级学生中随机抽取12名学
B
A
中位数的抽样分布
X
充分性：作为估计参数用的统计量已经提取了
样本中所有可利用的信息（随着样本容量的增大，估计
量越来越接近被估计的总体参数 ）。
P(X )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量
X
二、区间估计
问题：
在
对有限次测量
x
的某个范围 内包含 的概率 有多大？
(......x......)
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
置信区间
无限多次测定中才有总体平均值和总体标准偏差，而实
际测定为有限次测定，与未知，只能用有限次测定的平
均值及标准偏差S来估计。用S代替引起的误差可用校正
系数t来补偿。
置信区间和置信概率
总体平均值将包括在
区间内，即包括在X平均值附近的某区间内。
因此称在
的区间为置信区间。
置信区间：在一定置信度下，以测定结果x 为中心的，包括 总体平均值在内的可靠性范围。
把测定值在置信区间内出现的概率称为置信概率 （P），也称为置信度。
置信水平：
1.
总体未知参数落在区间内的概率
2.
表示为P= (1-)%
为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率
参数估计.doc
1. 简述评价估计量的标准。
答案：（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
知识点：参数估计难易度：12. 为估计一批产品平均使用寿命的置信区间，从该批产品抽取50件作为样本进行估计，估计时采用的分布是什么？请说明理由。
如果随机抽取20件作为样本，估计时采用的分布是什么？假定条件是什么？答案：（1）抽取50件作为样本时，应采用采用正态分布进行估计。
因为n=50属于大样本，此时，样本均值经标准化后服从标准正态分布。
（2）抽取20件作为样本时，应采用采用t分布进行估计。
因为n=20属于小样本，由于总体方差未知，样本均值经标准化会服从自由度为n-1 的t分布。
此时的估计，假定该批产品的平均使用寿命服从正态分布。
知识点：参数估计难易度：33. 从全校学生中随机抽取200人组成一个随机样本，根据95%的置信水平，估计出全校学生平均月生活费支出为500元～600元。
（1）这里的95%的置信水平是指什么？（2）全校学生平均生活费支出的实际值是否在这一区间内？为什么？答案：（1）这里95%的置信水平是指：重复抽样所有样本量为200的样本，按相同的方法进行估计，在所构建的所有置信区间中，约有95%的置信区间包含全校学生平均月生活费支出的实际值。
（2）全校学生平均生活费支出的实际值是否在这一区间内我们并不知道。
因为这个区间是根据目前的这个样本构建出来的，而这个区间又是一个常数区间。
我们并不知道它是包含实际值的95%区间中的一个，还是不包含实际值的5%的区间中的一个。
知识点：参数估计难易度：34. 影响样本量大小的因素有哪些？简述这些因素与样本量的关系。
答案：（1）影响样本量大小的因素有所要求的置信水平、总体方差和估计时所希望的估计误差。
参数估计的基本原理
参数估计的基本原理参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指通过对已知的样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。
在实际应用中，参数估计是非常常见的，比如在医学研究中，我们希望通过对一部分人群的数据进行分析，来估计整个人群的某种特征。
本文将介绍参数估计的基本原理，包括点估计和区间估计两种方法。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值。
在点估计中，我们通常会选择一个统计量作为参数的估计值，比如样本均值、样本方差等。
以样本均值作为总体均值的估计值为例，我们可以通过对样本数据进行求和然后除以样本容量来得到样本均值，然后将样本均值作为总体均值的估计值。
值得注意的是，点估计得到的估计值通常是不准确的，因为样本数据只是总体数据的一部分，所以我们需要通过一定的方法来评估估计值的准确性。
区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们会计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的概率。
以置信区间为例，我们可以通过对样本数据进行分析和计算，得到一个区间，这个区间有一定的概率包含了总体参数的真实值。
与点估计相比，区间估计能够提供更多的信息，因为它不仅给出了参数的估计值，还给出了估计值的准确程度。
参数估计的基本原理可以总结为，通过对样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。
在实际应用中，我们通常会选择点估计或区间估计这两种方法来进行参数估计。
在进行参数估计时，我们需要注意样本数据的代表性和样本容量的大小，以及估计值的准确性和置信水平等因素。
通过合理的参数估计，我们可以更好地理解总体数据的特征，从而为实际问题的解决提供更有力的支持。
综上所述，参数估计是统计学中的重要概念，它通过对样本数据进行分析和计算，来估计总体参数的值。
点估计和区间估计是参数估计的两种基本方法，它们分别给出了参数的估计值和估计范围。
在进行参数估计时，我们需要考虑样本数据的代表性和样本容量的大小，以及估计值的准确性和置信水平等因素。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的值。
它是一个重要的统计推断技术，可以帮助我们了解和描述总体的特征。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定研究对象和目标参数：首先，我们需要明确研究对象是什么，需要估计的是哪个参数。
例如，我们可能希望估计某个产品的平均寿命，那么研究对象是产品，目标参数是平均寿命。
2. 收集样本数据：为了进行参数估计，我们需要收集一定数量的样本数据。
样本应该能够代表总体，并且必须是随机选择的，以避免抽样偏差。
3. 选择合适的估计方法：根据研究对象和目标参数的不同，我们可以选择不同的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
点估计给出一个单一的数值作为参数的估计值，而区间估计给出一个范围，以表明参数估计值的不确定性。
4. 计算估计值：根据选择的估计方法，我们可以使用样本数据计算出参数的估计值。
例如，对于平均寿命的估计，我们可以计算样本的平均值作为总体平均寿命的估计值。
5. 评估估计的准确性：估计值的准确性可以通过计算估计的标准误
差或置信区间来评估。
标准误差反映了估计值与真实参数值之间的差异，而置信区间提供了参数估计值的不确定性范围。
6. 解释和应用估计结果：最后，我们需要解释估计结果并应用于实际问题中。
根据估计结果，我们可以得出结论，做出决策或提出建议。
参数估计是一种重要的统计推断方法，可以帮助我们了解总体特征并做出准确的推断。
通过正确的步骤和方法，我们可以获得可靠的参数估计结果，并将其应用于实际问题中。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
第三章 概率密度函数的参数估计
均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
1 n n = ∑ xi n i =1
2 nσ 0 σ2 n = 2 + 2 0 2 n 2 nσ 0 + σ nσ 0 + σ
σ σ σ = nσ + σ 2
2 n 2 0 2 0 2
均值分布的变化
类条件概率密度的计算
p ( x D) = ∫ p ( x ) p ( D) d
模型在时刻t处于状态wj的概率完全由t-1时刻 的状态wi决定，而且与时刻t无关，即：
P w(t ) W
(
T
) = P ( w ( t ) w ( t 1))
P w ( t ) = ω j w ( t 1) = ωi = aij
(
)
Markov模型的初始状态概率 模型的初始状态概率
模型初始于状态wi的概率用 π i 表示。 完整的一阶Markov模型可以用参数 θ = ( π, A ) 表示，其中：
3.0 引言
贝叶斯分类器中最主要的问题是类条件概 率密度函数的估计。 问题可以表示为：已有c个类别的训练样 本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的 类条件概率密度 p ( x ωi ) 。
概率密度函数的估计方法
参数估计方法：预先假设每一个类别的概 率密度函数的形式已知，而具体的参数未 知；
最大似然估计(MLE, Maximum Likelihood Estimation)； 贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。
p ( x θ ) = ∑ ai pi ( x θi ),
i =1 M
∑a
i =1
M
i
=1
最常用的是高斯混合模型(GMM，Gauss Mixture Model)：
福建农林大学生物统计学习题二
《生物统计学》习题二第三章 参数估计1．由某人工幼龄林中，随机抽取500株林木组成样本，得其胸径资料如下表（单位：127，118，121，113，145，125，87，94，118，111，102，72，113，76，101，134，107，118，114，128，118，114，117，120，128，94，124，87，88，105，115，134，89，141，114，119，150，107，126，95，137，108，129，136，98，121，91，111，134，123，138，104，107，121，94，126，108，114，103，129，103，127，93，86，113，97，122，86，94，118，109，84，117，112，125，94，79，93，112，94，102，108，158，89，127，115，112，94，118，114，88，111，111，104，101，129，144，128，131，142。
将样本资料分组整理，列出频率分布表，绘出样本频率分布图。
3．设总体ξ服从泊松（Poisson ）分布，其概率分布为),2,1,0(0,!);(x x e x p x现从总体ξ中抽取样本,,,,21n x x x 试求参数的最大似然估计量。
4．由某幼龄林中，用重复抽样方式随机抽取100株组成样本，观察样本各单元的胸径重复抽样方式随机抽取20株，求得平均苗高m x 3.2 。
若所给的置信概率为95%，试求苗高的均值μ的置信区间，误差限和精度。
6．对杨树进行插条育苗试验，经过一定阶段生长后，用重复抽样方式抽取20株，得到苗高的资料为（单位：cm ）：185，320，310，256，202，250，207，152，280，323，306，160，262，240，248，133，262，276，298，240，试以95％的可靠性对杨树苗木的平均高进行估计（苗高服从正态分布）。
参数估计名词解释
参数估计名词解释参数估计又称最大似然估计、贝叶斯估计，它是在对样本观测值进行估计时，所采用的统计方法。
1。
定义：由于误差项总有正负号之分，因此当两个有偏的随机变量服从正态分布时，可利用它们之间的均值与方差相等这一性质来建立以均值为未知参数的二元随机变量的线性模型，而求出未知参数的估计值。
2。
统计特性：(1)期望为常数，(2)方差为2(3)均值与方差相等(4)具有正态分布的特征(5)服从正态分布(6)边际概率等于零。
2。
主要步骤：(1)列出所有有效数字和，并考虑分布是否有意义;(2)进行误差估计;(3)进行方差和协方差估计;(4)进行区间估计。
3。
参数估计方法的优点：(1)参数估计比较简单。
(2)易于掌握。
(3)易于得到统计量的精确解。
4。
参数估计的缺点：(1)当变量服从正态分布时，对它的参数进行估计是很困难的。
(2)应用上具有一定的局限性。
(3)难以适应复杂情况的需要。
5。
提高估计精度的途径：(1)合理选择假设检验的显著水平，尽可能减小误差。
(2)在取均值时，应注意使之不服从正态分布。
(3)取极大似然估计值时，要注意约束条件。
3。
参数估计在数学处理中有着广泛的应用。
最大似然估计方法主要用于样本容量小于N的情形。
在解决资料类型与解答类型有交互作用的问题时，应充分利用似然函数对解答类型的敏感程度，而使用最大似然估计。
在解决处理容易发生小偏差的问题时，经常要用到最大似然估计方法。
通过统计推断获得参数估计的方法叫做参数估计。
参数估计是从样本统计量的期望或方差入手，建立样本统计量的模型，然后根据样本统计量与样本参数之间的关系，即样本统计量的数学期望，来估计总体参数的一种统计方法。
参数估计的重要性在于能够用最少的计算次数达到准确的结果。
一般认为，估计的精确度越高，模型的精确度就越高。
参数估计要用到期望和方差，它在实际中起了十分重要的作用。
期望是对未知量X的估计，它表示对应于所考察的特定量X的随机变量y与总体参数之间的函数关系;方差是对总体参数估计的偏差，它表示随机变量Y与总体参数之间的函数关系。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤
参数估计是通过从总体中抽取一个样本，利用样本数据对总体未知参数进行估计的过程。
参数估计的一般步骤如下：
1. 确定总体参数：首先需要明确要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例、总体方差等。
2. 选择样本：从总体中抽取一个合适的样本。
样本的选择应该具有代表性，能够反映总体的特征。
3. 收集样本数据：对选择的样本进行观测或测量，收集样本数据。
4. 选择估计方法：根据所收集的样本数据和要估计的总体参数，选择合适的估计方法。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
5. 计算估计量：使用所选择的估计方法，根据样本数据计算出估计量。
估计量是用于估计总体参数的统计量。
6. 评估估计量的性质：评估所计算出的估计量的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
这些性质可以帮助判断估计量的优劣。
7. 计算置信区间或置信水平：如果进行的是区间估计，根据估计量和置信水平，计算出总体参数的置信区间。
8. 解释估计结果：根据估计量或置信区间，对总体参数进行推断和解释。
同时，需要考虑估计结果的统计显著性和实际意义。
9. 分析误差和不确定性：考虑样本大小、抽样方法等因素对估计结果的影响，分析可能存在的误差和不确定性。
10. 结论和应用：根据参数估计的结果，得出结论并将其应用于实际问题中，例如进行决策、预测或进一步的研究。
需要注意的是，参数估计的具体步骤和方法会根据不同的统计问题和数据类型而有所差异。
在进行参数估计时，应根据实际情况选择合适的方法，并结合统计学原理和专业知识进行分析和解释。
第三章(多元线性回归模型)3-2答案
3.2 多元线性回归模型的估计一、判断题1.满足基本假设条件下，样本容量略大于解释变量个数时，可以得到各参数的唯一确定的 估计值，但参数估计结果的可靠性得不到保证 （ T ）二 、单项选择题1、线性回归模型的参数估计量ˆβ是随机向量Y 的函数，即1ˆ()X X X Y β-''=。
ˆβ是 （A ）A 、随机向量B 、非随机向量C 、确定性向量D 、常量2.已知含有截距项的四元线性回归模型估计的残差平方和为∑=800e 2i ，样本容量为25，则其随机误差项i u 的方差的普通最小二乘估计为 （A ）。
A 、40B 、32C 、38.095D 、36.364 三 、多项选择题1、对于二元样本回归模型12233ˆˆˆˆi i i iY X X e βββ=+++，下列各式成立的有（ABC ） A 、0e i =∑ B 、0X e i 2i =∑C 、0X e i 3i =∑D 、0Y e i i =∑E 、0X X i3i 2=∑四、计算题1、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育年数的一个回归方程为10.360.0940.1310.210i i i i edu sibs medu fedu =-++ R 2=0.214式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。
问（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。
（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数均为12年，另一个的父母受教育的年数均为16年，则两人受教育的年数预期相差多少年？解：（1）预期sibs 对劳动者受教育的年数有影响。
因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。
中级统计师考试-3统计方法知识考试重点归纳(私藏)
2014中级统计师考试-统计方法知识考试重点归纳第一章统计和数据●统计是用来处理数据的，是关于数据的一门学问。
1、统计学：是用以收集数据、分析数据和由数据得出结论的一组概念、原则和方法。
2、统计分析数据的方法分为：（1）描述统计（2）推断统计3、描述统计：是研究数据搜集、处理和描述的统计学方法。
4、推断统计：是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法。
5、推断统计包括：（1）参数估计（2）假设检验6、定性变量的特点：只反映现象的属性特点，不能说明具体量的大小和差异。
●定性变量包括分类变量和顺序变量。
●只反映现象分类特征的变量称分类变量。
分类变量没有数值特征，所以不能对其数据进行数学运算。
●如果类别具有一定的顺序，这样的变量称为顺序变量。
顺序变量不仅能用来区分客观现象的不同类别，而且还可以表明现象之间的大小、高低、优劣关系。
7、定量变量的特点：可以用数值表示其观察结果，而且这些数值具有明确的数值含义，不仅能分类而且能测量出来具体大小和差异。
●数值型数据（定量数据）作为统计研究的主要资料，其特征在于它们都是以数值的形式出现的，有些数值型数据只可以计算数据之间的绝对差，而有些数值型数据不仅可以计算数据之间的绝对差，还可以计算数据之间的相对差。
其计量精度远远高于定性数据。
在统计学研究中，数值型数据有着最广泛的用途。
8、数据按获取的方法不同分为：（1）观测数据（2）实验数据9、观测数据：是对客观现象进行实地观测所取得的数据，在数据取得的过程中一般没有人为的控制和条件约束。
10、实验数据：一般是在科学实验环境下取得的数据。
11、统计数据资料的来源：（1）通过直接的调查或实验获得的原始数据，这是统计数据的直接来源；（2）别人调查的间接数据，并将这些数据进行加工和汇总后公布的数据，这是数据的间接来源。
12、数据的直接来源：（1）统计调查（2）实验法●通过统计调查得到的数据，一般称为观测数据。
●运用实验法时，实验组和对照组的产生应当是随机的。
参数估计值
参数估计值参数估计值是统计学中的重要概念，它是用于衡量统计模型与实际数据的适应度的一种量度。
它代表着估计量的准确程度，是统计学中估计理论的核心内容。
参数估计值的正确计算对推断结论以及统计假设的检验起着至关重要的作用。
参数估计值是统计模型的重要组成部分，它通过对样本数据进行统计分析，以提取出它们之间的关系，再根据样本数据来估计模型参数，以及用来推断概率分布的参数值，完成这个过程。
统计模型中的参数估计值就是指估计出来的参数值。
估计参数值的方法主要有最小二乘法、极大似然法和最大熵法等。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差平方和，从而使得参数估计值和样本数据的拟合程度最大，从而求出最优参数估计值。
极大似然法则是根据样本数据，求解出参数值使得样本数据出现的概率最大，从而求得最优参数估计值。
最大熵法是把估计参数值当作最大熵分布的参数而选择的，这样可以找出最有可能的参数估计值。
参数估计值的计算本质上是一个优化问题，需要找到一组参数值，使得模型和样本数据的拟合最大。
这也是统计学中参数估计的核心原理，从而得出准确的参数估计值。
不同统计模型的参数估计值的计算方式也不同，但它们都遵循上面提到的优化原理，使参数估计值尽可能接近真实值。
估计参数值的计算也会受到样本量的影响，因为样本量越大，计算出来的参数估计值会越准确。
参数估计值的正确估计对统计假设的检验和统计结论的推断至关重要，它是统计学中重要概念，在很多实际应用中都有重要意义，因此它也受到越来越多人的重视。
总之，参数估计值是一个重要的统计概念，它衡量统计模型和实际数据的适应度，使得统计结论和推断更为准确。
参数估计值的计算方法有多种，它们都遵循优化原理，使得参数估计值尽可能接近真实值。
参数估计值的正确估计对统计假设的检验和统计结论的推断起着重要作用。
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第三章参数估计
一、填空题
1、、和是对估计量最基本的要求。
2、总体，是来自X的一个容量为3的样本，三个的无偏估计量
中，最有效的一个是。
3、在一批货物中，随机抽出100件发现有16件次品，这批货物次品率的置信水平为95%的置信区间为。
4、若总体X的一个样本观测值为0,0,1,1,0,1，则总体均值的矩估计值为，总体方差的矩估计值为。
5、小样本，方差未知，总体均值的区间估计为。
二、选择题
1、在其它条件不变的情况下，如果总体均值置信区间半径要缩小成原来的二分之一，则所需的样本容量（）。
A、扩大为原来的4倍
B、扩大为原来的2倍
C、缩小为原来的二分之一
D、缩小为原来的四分之一
2、以下哪个不是用公式构造置信区间所需的条件（）。
A、总体均值已知
B、总体服从正态分布
C、总体标准差未知
D、样本容量小于30
3、某地区职工样本的平均工资450元，样本平均数的标准差是5元，
该地区全部职工平均工资落在440—460元之间的估计置信度为（）
A、2
B、0.9545
C、3
D、0.9973
4、假设正态总体方差已知，欲对其均值进行区间估计。
从其中抽取
较小样本后使用的统计量是（）
A、正态统计量
B、统计量
C、t统计量
D、F统计量
5、根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）
A、以95%的概率包含总体均值
B、有5%的可能性包含总体均值
C、一定包含总体均值
D、要么包含总体均值，要么不包含总体
均值
三、判断题
1、两个正态总体已知，两个总体均值之差的区间估计为：。
（）
2、E（X2）是样本二阶原点矩。
（）
3、在其他条件相同的情况下，95%的置信区间比90%的置信区间宽。
（）
4、比较参数的两个矩估计量的有效性时，必须保证它们是无偏估计。
（
）
5、F分布百分位点具有性质。
（）
四、计算题
1、已知某苗圃中树苗高度服从正态分布，今工作人员从苗圃中随机
抽取64株，测得苗高并求得其均值62厘米，标准差为8.2厘米。
请
确定该苗圃中树苗平均高度的置信区间，置信水平95％。
2、从水平锻造机的一大批产品中随机抽取20件，测得其尺寸平均值
=32.58，样本方差=0.0966。
假定该产品的尺寸，
均未知。
试求的置信度为95%的置信区间。
3、从两个正态总体X，Y中分别抽取容量为16和10的两个样本，算
得样本方差分别为，试求总体方差比的95%置信区
间。