圆的渐开线与摆线教案
高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线教学案新人教A版选修4
四 渐开线与摆线[对应学生用书P30] 1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φy ＝rφ－φcos φ(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φy ＝r－cos φ.(φ为参数)．[对应学生用书P30][例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解] 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，的长和线段AM 的长相等，x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，(4θsin θ，－4θcos θ)，＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.答：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72.即A ，B 两点之间的距离为 16 －63π2－6π－363＋72.[例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，(2α，2)，(2sin α，2cos α)，(－2sin α，－2cos α)，＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )(x ，y )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·φ－r ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin(φ－π2)＝r (1－cos φ)． 即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ[对应学生用书P31] 一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z )，此时x ＝6k π(k ∈Z )． 答案：C2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④ 解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2－，y ＝3，即A (3(π2－1)，3)，∴|AB |＝ π2－－3π2]2＋－2＝10.答案：C4．如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：1的14圆周长，长度为π2，得是半径为2的14圆周长，长度为π3的14圆周长，长度为3π2；为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C 二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ，(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ，令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin2k π)，又过(1,0)， ∴r (2k π－sin2k π)＝1，∴r ＝12k π又r ＞0，∴k ∈N *答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y ＝12k π－cos φ，(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－sin φ，y ＝a －cos φ9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ.(φ为参数)10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin2k π)＝2， 即得a ＝1k π(k ∈Z )． 又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y ＝1π－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y ＝1πφ－φcos φ(φ为参数)。
高中数学 渐开线与摆线学案 新人教A版选修4-4
高中数学人教版选修4-4： 渐开线与摆线【自主学习】任务1：阅读教材P40—42，理解下列问题：1. 渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A ，当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角ϕ(单位是弧度)的一段弧AB ，展开后成为切线BM ，所以切线BM 的长就是AB 的长，这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.根据动点满足的几何条件: 我们以基圆圆心O 为原点，直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ,y ).显然，点M 由角ϕ惟一确定.:圆的渐开线的参数方程)()cos (sin )sin (cos 是参数ϕϕϕϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=+=r y r x 任务2：完成下列问题：摆线如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？如图，假设B 为圆心，圆周上的定点为M ，开始时位于O 处.圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动，转过ϕ(弧度)角后，圆与直线相切于A ，线段OA 的长等于MA 的长，即OA =r ϕ.这就是圆周长上的定点M 在圆B 沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.ABBM =摆线的参数方程是因此,)()cos 1()sin (是参数ϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=-=r y r x【合作探究】在摆线的参数方程中，参数ϕ的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？【目标检测】求摆线)20()cos 1(2)sin (2π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 与直线 y =2的交点的直角坐标.【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
高中数学 第2讲 参数方程 4 渐开线与摆线学案 新人教A
四 渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)[基础·初探]教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ＋φsin φ，y ＝rsin φ－φcos φ(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程 阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r1－cos φ(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5φ－sin φ，y ＝51－cos φ(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：圆的渐开线的参数方程已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【导学号：91060027】【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．【自主解答】 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝1613－63π2－6π－363＋72.即A 、B 两点之间的距离为1613－63π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．[再练一题]1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．【解】 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋1＋12＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.圆的摆线的参数方程程以及对应的圆的渐开线的参数方程．【思路探究】 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．【自主解答】 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2， 所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y ＝1π1－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ，y ＝1πsin φ－φcos φ(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．[再练一题]2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．【解】 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．[构建·体系]渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线—摆线1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.【答案】 C 2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋φsin φ，y ＝2sin φ－φcos φ(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )【导学号：91060028】A ．πB ．3πC ．6πD ．10π【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．【答案】 C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． 【解析】 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φ＋φsin φ，y ＝r sin φ－φcos φ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φsin φ(φ为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．【解】 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.【答案】 B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )【导学号：91060029】A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.【答案】 C3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋φsin φy ＝6sin φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C4．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－sin φ，y ＝31－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋3－22＝10.【答案】 C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φy ＝12k π1－cos φB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k πφ－sin φy ＝1k π1－cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k πφ－sin φy ＝12k π1＋cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πφ－sin φy ＝1k π1＋cos φ【解析】 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φy ＝r 1－cos φ令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)． ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋. 【答案】 A 二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋φsin φy ＝2sin φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．【答案】 (π，2)7．已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．【解析】 由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1·α－sin α，y ＝1·1－cos α，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋φsin φ，y ＝6sin φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．【答案】 (63，0)和(－63，0) 三、解答题 9．已知圆C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．【解】 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11cos φ＋φsin φ，y ＝11sin φ－φcos φ(φ为参数)． [能力提升]1．如图241，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )图241A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．【解析】 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r1－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为11 1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 4．如图242，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程．图242【解】 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r 1－cos θ.当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r 1－cos θ，∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数)．当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝rθ＋2x 3，y 0＝r ＋2y3，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r 1－cos θ，∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。
高中数学新人教版A版精品教案《四 渐开线与摆线》1
渐开线与摆线教学设计教学目标：1、通过课堂活动、动手操作，使学生感知圆的渐开线和平摆线的存在，并能说出渐开线和摆线内的几何等量关系.2、通过活动问题的转化，引导学生利用数学向量和坐标的知识建立渐开线和摆线的参数方程，能说出其中参数的含义.3、通过实例介绍，增长学生视野，感受数学语言的特点和数学在生活中的运用.学情分析：本节课是在学生已经掌握了直线、圆的参数方程，对圆锥曲线的参数方程有了初步的了解的基础之上进行的一堂概念课。
学生对参数方程的建立有了初步的了解和认识，但是并不是很熟练，尤其是对平面坐标系中依据动点坐标与参数的关系的建立坐标等式的能力不足的情况下进行的。
所以，本节课需要教师从中做好引导。
但学生对平面向量的基本数学知识与平面直角坐标系建立的依据在必修教材的解析几何部分还是有一定的基础。
所以对本节的学习旨在让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。
教学重难点：教学重点：渐开线与摆线的生成过程与其参数方程的建立；教学难点：渐开线与摆线中动点的几何等量关系的确定.教学过程：课堂导入：前面，我们学习了直线、圆、椭圆的参数方程，使我们认识到：在平面直角坐标系中，曲线上点的坐标也可由参数表示，建立等量关系。
我们今天继续学习两种生产、生活中重要的曲线类型：渐开线与摆线.课堂活动（一）：下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？活动材料：透明胶卷（代替圆盘）、透明胶带（代替绳子）、白色作业纸一张、笔芯一只小组分工：甲同学将透明胶卷固定在白色作业纸上；乙同学将笔芯固定在胶带揭口上，慢慢揭起胶带，并始终保持胶带与胶卷圆盘相切.丙同学认真观察，记录活动过程，并不断提醒组员始终保持胶带与胶卷圆盘相切。
完成之后画上笔尖的轨迹。
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
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1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线学案(含解析)4-4
四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线,又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1）圆的渐开线方程：错误!（φ为参数）．(2)摆线的参数方程：错误!（φ为参数)．求圆的渐开线的参数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y）,绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧错误!的长和线段AM的长相等,记错误!和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则｜AM｜＝错误!＝4θ。
作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得错误!＝（4cos θ，4sin θ）．由几何知识知∠MAB＝θ，错误!＝（4θsin θ，－4θcos θ），得错误!＝错误!＋错误!＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ）＝（4（cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又错误!＝(x,y）,因此有错误!(θ是参数）．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤（1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．（2）取定点运动中产生的某一角度为参数．(3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到错误!的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线错误!(t是参数)上与t＝错误!对应的点的直角坐标为（)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5。
数学人教A版选修4-4学案：第二讲四渐开线与摆线含解析
四渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．2．通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧,保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的______,相应的定圆叫做________．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫______．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述,正确的是（）．A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程：__________________。
（2）摆线的参数方程：__________________.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既烦琐又没有实际意义．【做一做2－1】半径为4的圆的渐开线的参数方程是__________．【做一做2－2】求摆线错误!(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．答案：1．渐开线渐开线的基圆2．旋轮线【做一做1】 C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．3．（1)错误!（φ为参数)（2)错误!（φ为参数)【做一做2－1】错误!(φ为参数)【做一做2－2】解：y＝2时，2＝2（1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴t＝错误!或错误!π。
高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A版选修44
高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A 版选修44四 渐开线与摆线学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程 阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程[解析] 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． [答案] B圆的渐开线的参数方程【例1】 B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．[思路探究] 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．[自主解答] 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为 16(13－63)π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[解] 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋(1＋1)2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.圆的摆线的参数方程【例2】 程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[自主解答] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )． 又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解] 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.[答案] C2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4[答案] A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．[答案] C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φsin φ)(φ为参数)．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． [解] 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．。
高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A版0
四 渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)[基础·初探]教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝rφ－φcos φ(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程 阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【导学号：91060027】【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．【自主解答】 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72.即A 、B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．[再练一题]1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．【解】 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋＋2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.程以及对应的圆的渐开线的参数方程．【思路探究】 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．【自主解答】 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2， 所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．[再练一题]2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．【解】 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．[构建·体系]渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线—摆线1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.【答案】 C 2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2φ＋φsin φ，y＝2φ－φcos φ(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )【导学号：91060028】A ．πB ．3πC ．6πD ．10π【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．【答案】 C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． 【解析】 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φsin φ(φ为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝4φ－φcos φ(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．【解】 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.【答案】 B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )【导学号：91060029】A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.【答案】 C3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C4．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋－2＝10.【答案】 C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φy＝12k π－cos φB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k πφ－sin φy＝1k π－cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k πφ－sin φy＝12k π＋cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πφ－sin φy＝1k π＋cos φ【解析】 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φy ＝r －cos φ令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)． ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋. 【答案】 A 二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．【答案】 (π，2)7．已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．【解析】 由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．【答案】 (63，0)和(－63，0) 三、解答题 9．已知圆C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．【解】 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)． [能力提升]1．如图241，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )图241A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．【解析】 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 4．如图242，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r 2，请推出Q 的轨迹的参数方程．图242【解】 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ当|AQ |＝r 2时， 有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数)． 当AQ ＝3r 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线互动课堂学案 新人教A版选修44
四 渐开线与摆线互动课堂重难突破本课时主要了解圆的渐开线与摆线的参数方程，难点是参数方程的建立过程. 一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一枝铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如右图).也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹. 二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记，观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线，也可以借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线. 三、圆的渐开线和摆线的参数方程对于圆的渐开线，我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为x 轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎨⎧)cos 3sin ()sin cos (φφφ-y=r ,φφ+φx=r (φ为参数). 同样道理，根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定直线为x 轴，动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系，根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-)cos 1()sin (φy=r ,φφ+x=r (φ为参数).四、圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角.如图（1），其中的∠AOB 即是角φ.显然点M 由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r 是指定圆的半径，它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图（2），根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.(1)(2) 五、用参数方程描述运动规律的特点有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程，可以根据其参数方程⎩⎨⎧--)cos (sin )sin (cos φφφy=r ,φφφx=r (φ为参数)消去参数φ得到.)1sin()1cos(222222r r y x ry r y x r r =-++-+ 根据方程画出曲线十分费时，而利用参数方程把两个变量x 、y 间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难.对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程.活学巧用【例1】写出半径为2的基圆的渐开线方程.解:半径为2的基圆的渐开线方程⎩⎨⎧)cos 3sin (2)sin cos (2φφφ-y=,φφ+φx=(φ为参数).【例2】求摆线⎩⎨⎧--)cos 1(2)sin (2t y=,t t x=(0≤t≤2π)与直线y =2的交点的直角坐标. 解:y =2时，2=2（1-cost ）,∴cost=0. ∵0≤t≤2π,∴t=2π或23π.∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2,x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为（π-2，2），（3π+2，2）.【例3】已知一个圆的摆线过一定点（1，0）,请写出该摆线的参数方程.解析:根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧--)cos 1()sin (φy=r ,φφx=r (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r (1-cos φ)=0,可得cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z )代入可得x =r (2k π-sin2k π)=1.所以r =π21k . 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0.所以应有k >0且k∈Z ，即k∈N *.所以所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--)cos 1(π21)sin (π21φk y=,φφk x=(φ为参数)(其中k ∈N *). 点评:本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.【例4】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π，求A 、B 两点的距离. 解析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-+φφφy=φ,φφx=cos sin sin cos (φ为参数)，分别把φ=3π和φ=2π代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A (6π33,6π33-+)、B (2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |=22)16π33()2π6π33(--+-+ =,63336-π6π)3613(612+-- 即点A 、B 之间的距离为.63336-π6π)3613(612+-- 点评:本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.【例5】已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧6sin α+-2=6cos α+1=y x ，(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x -y -62=0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x 轴的交点.解析:(1)圆C 平移后圆心为O (0,0),它到直线x -y -62=0的距离为d =226=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是⎩⎨⎧φ-y=φ,φ-x=cos 66sin 66(φ为参数).(3)令y =0,得6-6cos φ=0⇒cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z ).代入x 得x =2k π(k∈Z ),即圆的摆线和x 轴的交点为(2k π,0)(k ∈Z ).。
四渐开线与摆线
四渐开线与摆线【学习目标】了解渐开线与摆线的形成。
【学习过程】模块一渐开线自己动手做实验实验1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线？实验2把一条没有弹性的细绳绕在一个正方形盘子上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，那么铅笔会画出一条曲线？模块二求圆的渐开线的方程设圆的半径为r Array建系：模块三摆线自己动手做实验实验3 当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？模块四摆线的方程先分析圆在滚动过程中，圆周上的定点M满足的几何条件：假设圆心为B，M点的开始点为直线上的O点处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心B 作圆周运动，转过 (rad)角线段OA的长等于AM的弧长！建系：模块五练习与作业1、圆的摆线的拱高为__________________，一个拱长为_____________2、如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )A．B．C．3、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。
4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐标为______________.5、做实验：（1）当一个半径为R 的圆沿着一条直线无滑动地滚动时，距离圆心为r(r<R)的一个定点M 的轨迹是什么？你能求出它的方程吗？（2）一个半径为r4的定圆O和一个半径为r的动圆C相内切，当圆C沿着圆O作无滑动地滚动时，探求圆C上定点M（开始时在点A）的轨迹的参数方程。
第二讲四渐开线与摆线
36－π，
Bπ2 ，1.
归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵ 义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函 数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不 要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
3．已知摆线的参数方程为xy＝＝22（（1φ－－csoins
φ）， φ） (φ
为
参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
数方程xy＝＝rr（（1φ－－csoins
φ）， φ） (φ
为参数)，可求出
φ，进一
步求出 r，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方
程.
2．渐开线上任一点 M 的坐标由圆心角 φ(以弧度为 单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点 M 的位置 也可以由圆心角 φ 唯一确定的．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方
程，既烦琐又没有实际意义．
4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程
等问题，可按如下思路解题：将定点坐标代入摆线的参
[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________． 解析：对照渐开线参数方程可知半径 r＝3.
答案：3
类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写 出该摆线的参数方程． 解：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0， 因为 r≠0，所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．
2017-2018学年高中数学 第二章 参数方程 第节 渐开线与摆线教学案 -
第4节渐开线与摆线［核心必知］1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切,逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：错误!（φ为参数)．(2)摆线的参数方程：错误!(φ为参数）．［问题思考]1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么?提示：字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．［精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向,建立坐标系，︵设渐开线上的任意点M（x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义,弧AM0的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则｜AM｜＝错误!＝4θ作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝（4cos θ，4sinθ),由几何知识知∠MAB＝θ，＝（4θsin θ，－4θcos θ)，得＝（4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝（4（cos θ＋θsin θ），4(sin θ－θcos θ))．又＝(x，y)，因此有｛x＝4（cos θ＋θsin θ），），y＝4（sin θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．——————-——-————-———解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：（1）建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M（x，y)．（2）取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．基圆直径为10,求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数,φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：{x＝5（cos φ＋φsin φ，，y＝5（sin φ－φcos φ），)这就是所求的圆的渐开线的参数方程．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α,(以弧度为单位）为参数)[精讲详析］本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式,然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B,圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM ＝α。
19-20 第2讲 4 渐开线与摆线
2cos φ＋φsin φ， 2sin φ－φcos φ
(φ 为参数)上与 φ＝π4对
应点的直角坐标为( )
A.1＋π4，1－π4
B.1－π4，1＋π4
C.－1－π4，1－π4
D.1＋π4，－1－π4
[答案] A
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3．圆xy＝ ＝33csions
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[自主解答] 根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参
数方程是xy＝ ＝csions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)，
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入， 可得 A，B 两点的坐标分别为
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A3＋6 3π，3 36－π，Bπ2，1. 那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
[答案] C
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4．半径为 4 的圆的渐开线的参数方程是________．
[解析] 由圆的渐开线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
得xy＝ ＝44csions
φ＋φsin φ－φsin
φ， φ
(φ 为参数)．
[答案]
x＝4cos φ＋φsin φ， y＝4sin φ－φcos φ
x＝4cos φ＋4φsin φ， y＝4sin φ－4φcos φ
(φ 为参数)．
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当堂达标 固双基
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1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所 以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画 出的渐开线形状就不同
高中数学人教A版选修4-4导学案 2.4圆的渐开线与摆线
2.4 圆的渐开线与摆线学习目标：1、了解圆的渐开线的参数方程及它的生成过程.2、了解摆线的生成过程及它的参数方程，学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.4、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
重点：了解圆的渐开线的参数方程及它的生成过程，会用归纳、类比的方法对七种曲线的参教方程进行总结难点：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤， 学习过程： 自学探究问题1：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？问题2、如果把笔尖开始所处的位置记为A 点，当绳子展开到点M 时 ，绳子所对的圆心角ϕ所对的一段弧的长与展开后的切线长BM 有什么关系？问题3、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。
显然点M 的坐标由ϕ确定，若一ϕ为参数，请表示点B 、BM的坐标并求出||BM.则点M 的轨迹所满足的参数方程为？ϕABOxyϕABO问题4、如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？如果把上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？问题5、为了求出M 的参数方程，同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件是：取定直线为X 轴，定点M 滚动开始时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。
设圆的半径为r 。
当圆滚动角 后切点为A ，时点M 的坐标表示为：所以摆线的参数方程为：技能提炼例 1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。
圆的渐开线与摆线教案
第七课时 圆的渐开线与摆线一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程变式训练1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3：求摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
四 渐开线与摆线
四渐开线与摆线一、学习目标1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．二、学习重点难点：重点：直线的参数方程的应用难点：直线的参数方程的标准形式三、使用说明高二数学文科组编，普高文科学生使用。
四．学法指导：1.课前：预习课本，处理课前预习案2.课中：导入新课，预习检测，问题小组讨论，问题展开点评，拓展提升，当堂训练，及时评价，反馈总结。
3.课后：巩固练习作业，即基础性作业、个性化作业和考试性作业。
课前预习案知识点一渐开线思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．梳理圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的________叫做渐开线的基圆．(2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是________________________． 知识点二 摆线思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？梳理 摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线______________滚动时，圆周上的____________的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做____________． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是________________________．课内探究案类型一 圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角． 类型二 平摆线例2 已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B (3π2，2)之间的距离为________．反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．课后巩固案1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)3．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．答案精析问题导学 知识点一思考 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定． 梳理 (1)定圆(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数) 知识点二 思考 摆线．梳理 (1)无滑动地 一个定点 旋轮线 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)题型探究例1 解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又OM →＝(x ，y )，因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).跟踪训练1 12 (－12，π2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°， 即⎩⎨⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为(－12，π2)．例210解析 由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3，∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×(π2－1)＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A (3π2－3,3)，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10. 跟踪训练2 6 6π解析 当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度．当堂训练 1．C 2.C3．C [根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.] 4．解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．。
《摆线》教学案3
《摆线》教学案3教学目标1．了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 2．了解平摆线和渐开线在实际中的作用．教学过程知识梳理 一、平摆线 1．平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作______(或旋轮线)，如图．2．平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ (－∞＜α＜＋∞)．3．平摆线的性质当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点____，再滚动半周，点M 到达______，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱．圆滚动一周时，平摆线出现一个周期．平摆线上点的纵坐标最大值是____，最小值是____，即平摆线的拱高为____．【做一做1】已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．那么圆的平摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫32π，2之间的距离为( )．A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．32π－11．圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义剖析：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．答案： 一、1．平摆线2．r (α－sin α) r (1－cos α) 3．(πr,2r ) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－sin φ，y ＝31－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3.∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－32π2＋3－22＝10.二、1．相切 渐开线 基圆2．r (cos φ＋φsin φ) r (sin φ－φcos φ)【做一做2－1】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ(φ为参数) r ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋φsin φ，y ＝4sin φ－φcos φ(φ为参数)．【做一做2－2】5π2－4π＋82 当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝⎛⎭⎫π2，1.当φ＝π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，∴B (－1，π)．∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋12＋1－π2＝54π2－π＋2＝5π2－4π＋82.题型一 求平摆线的参数方程【例1】已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．反思：要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义． 题型二 求渐开线的参数方程【例2】求半径为10的基圆的渐开线的参数方程． 分析：代入参数方程公式即可．反思：求渐开线的参数方程，只需知道半径即可． 题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用【例3】求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ＜2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．分析：利用参数方程求出t 的三角函数值，从而求出点的坐标． 反思：解此类题，应明确相应参数的意义． 答案：【例1】解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2， 即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y ＝1π1－cos φ(φ为参数)．【例2】解：∵r ＝10，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋φsin φ，y ＝10sin φ－φcos φ(φ为参数)．【例3】解：由题意知，y ＝1－cos t ＝1，∴cos t ＝0， ∴sin t ＝1.∴t ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 又∵0≤t ＜2π，∴t ＝π2.∴x ＝π2－1.∴交点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π2－1，1.1半径为2的圆的渐开线方程是( )． A ．=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨-⎩（）,（）(φ为参数)B ．=2cos ,=2sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)C ．=2sin ,=2cos x y ϕϕϕϕ⎧⎨-⎩(φ为参数)D ．()()2sin cos ,2cos sin x y ϕϕϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(φ为参数)2半径为4的圆的平摆线参数方程为( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4cos φ，y ＝－4sin φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－sin φ，y ＝41－cos φ(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝41－sin φ，y ＝4φ－cos φ(φ为参数)3面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________． 4已知圆C 的参数方程是=16cos ,=26sin x y αα+⎧⎨-+⎩(α为参数)，直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 答案： 1．A2．C 把r ＝4代入平摆线参数方程即可．3．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数) S ＝36π，∴r ＝6.∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数)．4．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－sin φ，y ＝61－cos φ(φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。
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第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：
1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐
开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。
⎩⎨
⎧-=-=)
cos 1()
sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当2π
ϕ=，π时，求圆渐开线⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B
坐标并求出A 、B 间的距离。
变式训练 2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
cos (sin 2)
sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐
标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3：求摆线⎩⎨⎧-=-=t y t
t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问
题。
（五）、作业： 五、教学反思：。