直线与椭圆位置关系(经典)
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题58：直线与椭圆的位置关系(讲解版)
专题58：直线与椭圆的位置关系1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221(1)[()4]y y y y k=++-) 4.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎝⎛x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．题型一：直线与椭圆的位置关系例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =0x =，所以，直线l的方程为1x y =，即0x y -+. 举一反三1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）椭圆2215x y +=的左右焦点为()()120000,,,0,0F F P x y x y >>为椭圆上一点，直线12,PF PF 分别交椭圆于M ，N 两点，则当直线MN 的斜率为19-时，00x y =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【详解】由已知得12(2,0),(2,0)F F -，所以直线1PF 的方程为：1(2)y k x =+（其中0102y k x =+）， 与椭圆方程联立得()222211151202050k x k x k +++-=，由韦达定理22100221020205149M k y x x k x --+==++，所以200000209204949M y x x x x x -+=-=-++， 故()00002249M M y yy x x x =+=-++； 类似得0092049N x x x -=-，0049N y y x =-，所以()0000002200001594545995545M X MN M M y y x y x y x x k x x x y y y -====-=-⇒=----，故选：D ． 2．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知,A B 分别为椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右顶点，,P Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，则椭圆的短轴长为（ ） A．B．C．D．【答案】C【详解】根据椭圆的标准方程222116x y b +=知()(4)004A B -，，，， 设00()P x y ，，则00()Q x y -，，且22002116x y b +=，0104y k x =+，0204y k x -=-，所以2201220316164y b k k x -===-，解得b =，即椭圆的短轴长为2b =故选C ． 题型二：椭圆的弦长例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2． (1)求椭圆M 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，直线PC 的斜率为12，求线段CD 的长度．【解析】(1)因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>c a ==过椭圆右焦点的弦长的最小值为222b a=，所以2a =，c =b =M 的方程为22142x y +=．(2)设直线PC 的方程为()122y x =-，联立直线PC 与椭圆M 的方程得()2221223440142y x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒--=⎨⎪+=⎪⎩，则43P C x x +=，因为点()2,0P ，所以C 点坐标为24,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以可得直线l 的方程为4233y x +=+，即23y x =-．联立直线l 与椭圆M 的方程，消去y 得28283039x x --=，解得123x =-，2149x =，所以12209CD x x =-=． 举一反三1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l 与椭圆2212x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2 BCD【答案】D【详解】设A B ，两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x m =+， 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22342(1)0x mx m ++-=， 则1243m x x +=-，2122(1)3m x x -=.∴12AB x =-==，∴当0m =时，AB :D. 2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设A ，B 两点坐标分别为()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为14-．(1)求点M 的轨迹方程E ；(2)求曲线E 内接矩形面积S 的最大值． 【解析】(1)设(),M x y ，∵()2,0A -，()2,0B ，则()22122244MA MB y y y k k x x x x ⋅=⋅==-≠±+--， ∴点M 的轨迹方程E ：()22124x y x +=≠±．(2)设第一象限内曲线E 内接矩形的顶点为()(),0,0P x y x y >>， 则221242x xy y +=≥⋅⋅，∴1xy ≤， ∴44S xy =≤，当且仅当2x =，22y =时取等号；所以曲线E 内接矩形面积S 最大值为4． 题型三：椭圆的焦点弦例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是____. 【答案】15【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k == 方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk == 举一反三（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆22:154x y C +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）A ．16545⎡⎢⎣B ．1655⎡⎢⎣C ．855⎡⎢⎣D ．855⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =.设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB 的斜率不存在，则点45A ⎛- ⎝⎭，451,B ⎛- ⎝⎭，所以85AB =，所以12AF CF AB +=85=. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+.又()()22221111114511455AF x y x x =++=++-，同理可得1255BF =，所以)21212525||525k AF CF AB x x +==+==28525,25255⎝+，所以128525AF CF +∈⎝.综上，12AF CF +的取值范围为8525⎡⎢⎣，故选:C. 题型四：椭圆的中点弦例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为___________． 【答案】2220x y -解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=， 所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+= 所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k ⨯=--，解得22k =-或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=，解得2m =或2m =-（舍去）， 所以直线2:22AB y x =-+，即2220x y +-=； 故答案为：220x +-=举一反三（2022·上海·模拟预测）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)与直线220x y +-=交于A 、B 两点，||5AB =且AB 中点的坐标为1(,)2m ，则此椭圆的方程为________．【答案】2214x y +=【详解】由于AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭且满足直线方程220x y +-=，即有12202m +⨯-=，解得1m =，则AB 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭．设()11,A x y ，()22,B x y ，由22222201x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222244440a b x a x a a b +-+-=，则2122244a x x a b +=+，2221222444a a b x x a b -=+， ∵AB 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴1212x x +=，即122x x +=，则222424a a b=+，即224a b =，故2222122244224a a b x x b a b -==-+， 又()()2222212121141242252AB k x x x x b ⎛⎫++-=+--⋅- ⎪⎝⎭，解得21b =，故2244a b ==．∴椭圆方程为2214x y +=．故答案为：2214x y +=．题型五：椭圆中参数的范围及最值例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值 举一反三1．（2021·全国·高考真题（文））设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．2【答案】A【详解】点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52．故选：A ．（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【详解】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 题型六：椭圆中的定点、定值问题例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =-，过点(0,2)-. ②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=. 联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩， 且1221224(*)34k x y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--， 将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).- 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.举一反三（2020·山东·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【详解】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故123DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =． 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+． 因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意； 当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动． 取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值． 题型七：椭圆的定直线例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)点A 关于原点O 的对称点为点B ，与直线AB 平行的直线l 与C 交于点,M N ，直线AM 与BN 交于点P ，点P 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)由题意得222222412⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩c ab a b a bc ，解得2282⎧=⎨=⎩a b ，所以椭圆C 的方程是22182x y +=. (2)点P 是在定直线12y x =-上，理由如下，由（1）知()()2,1,2,1A B --，设()()1122,,,M x y N x y ，1:,02l y x m m =+≠，将l 的方程与22182x y +=联立消y ，得222240x mx m ++-=，则()22Δ44240m m =-->，得22m -<<且0m ≠，且212122,24x x m x x m +=-=-，因为12121112221111111122,22222222AMBN x m x m y y m m kk x x x x x x +-++-+===+===+---+++， 所以直线AM 的方程为()111222m y x x ⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，即1112222m my x x x ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭， 直线BN 的方程为()211222m y x x ⎛⎫+=++ ⎪+⎝⎭，即2212222m my x x x ⎛⎫=++⎪++⎝⎭， 联立直线AM 与直线BN 的方程，得1212222222m m m mx x x x x ⎛⎫-=+ ⎪-+-+⎝⎭， 得()121211212,4222P P P x x m mx y x x x x x +⎛⎫=-=+-⎪----⎝⎭， 所以()()()()()121212111211244121222222P P x x x x y x x m m m x x x x x x x x ++--⎛⎫--=++⋅=+⋅ ⎪--+-+⎝⎭ ()()111212241121.2222x m m x x x x x -=+⋅=+=--++所以点P 在定直线12y x =-上. 举一反三（2022·全国·模拟预测）已知椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，23OF OE =，过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的斜率为3，求MN 的值．(2)过点M 且与y 轴垂直的直线l '交直线EN 于点G ，探究：点G 是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．(1)设()11,M x y ，()22,N x y ，依题意，()2,0F ，直线l ：y ＝3x －6，联立2218436x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 整理得：21972640x x -+=， 10∆>，则127219x x +=，126419x x =，故MN == (2)由题易知直线l 不与y 轴垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋2，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：()222440m y my ++-=，()22221644232320m m m ∆=+⨯+=+>，则12242m y y m +=-+，12242y y m =-+，得1212y y my y +=．由23OF OE =，可知点E 的坐标为()3,0，则直线EN 的方程为()2233y y x x =--，①，直线l '的方程为1y y =，② （根据点G 是直线l '与直线EN 的交点，联立方程求解即可） 联立①②可得，()()1212121222313334G y x y my y y yx y y y --+-=+=+=+=， 故点G 在定直线上，该直线的方程为x ＝4． 题型八：椭圆中的向量问题例8：（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C 上动点(),P x y到定点(1F与定直线1:l y =的距(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)以曲线C 的上顶点T 为圆心作半径为()0r r >的圆，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程．【解析】(1)动点(),P x y到定点(1F与定直线1:l y ==2214y x +=(2)点M 与点N 关于y 轴对称，设()00,M x y ，()00,N x y -，不妨设00x >．由于点M 在椭圆C 上，所以22014y x =-．由已知()0,2T ，则TM ()00,2x y =-，()00,2TN x y =--， ∴()22220000055812434455TM TN x y y y y ⎛⎫⋅=-+-=-+=-- ⎪⎝⎭ 由于022y -<<，故当085y =时，TM TN ⋅取得最小值为15-．此时38,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，r MT =故圆T 的方程为()2213225x y +-=． 举一反三（2022·天津红桥·二模）已知椭圆C ：22221x ya b +=（0a b >>）的离心率e =，点(),0A a 、()0,B b 之间的距离(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为点(),0A a 、()0,B b=e =c a =，而222a b c =+，因此组成方程组为：2222221a c a b a b c =⎧⎪==⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩2212x y +=； (2)设l的方程为y kx =22221(12)202x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩，于是有2221)4(12)202k k -+⋅>⇒>，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，于是有12x x +=，假设存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线，因为1212(,)OP OQ x x y y +=++，(,)(AB a b =-=，12121212)()()y y x x kx kx x x +=-+=-+，1212()4()x x x x ++=-+，因为12x x +=4k ==，不满足212k >， 因此不存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线.。
第40讲 直线和椭圆的位置关系学生
第40讲 直线和椭圆的位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a . [玩转典例]题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)例2 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[玩转跟踪]1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2.（2020·全国高三课时练习）若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个题型二 椭圆的弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．[玩转跟踪]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( ) A ．±1B ．±12 C. 2 D ．±22．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．题型三 中点弦问题例4 (1)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________． (2)焦点是F (0,5 2)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________． 例5 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G横坐标的取值范围．[玩转跟踪]1．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( ) A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称，求实数m 的取值范围．题型四 椭圆大题例6 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC ―→·DB ―→＋AD ―→·CB―→＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．[玩转跟踪]1．已知动点M 到两定点F 1(－m,0)，F 2(m,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，且OA ―→·OB ―→＝2(O 为坐标原点)，求k 的值．[玩转练习]1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个B ．2C ．1D ．02．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－943．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2 D ．24．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点M (2,1)在椭圆C 上，直线l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1B ．k OM ＝12C ．－2＜m ＜2D ．m ≤－2或m ≥26．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A ．直线PB 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2b 2 B ．PB 1―→·PB 2―→＞0C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22aD ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)8．(一题两空)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点．则椭圆C 的方程为________；若点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥PQ ，则线段MN 所在的直线方程为_____________．9．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________．10．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．11．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．12．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)椭圆C 的方程为____________．(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，则直线l 的斜率k 的值为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．14．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．15.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆C 上任意一点，点A 关于原点O 的对称点为点B ，有|AF 1|＋|BF 1|＝4，且∠F 1AF 2的最大值为π3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ′是点A 关于x 轴的对称点，设点N (－4,0)，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A ′E 与x 轴相交于点M ，试求|NF 1|·|MF 2|的值．。
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y k x x k -+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k=-+-=-+-=+-2121221(1)[()4]y y y y k=++-) 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交（2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
直线与椭圆的位置关系-高中数学复习
点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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15
目录
高中总复习·数学
解析： 由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ， ），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－ ，直线 PO 的斜
1
1
1
1
率 kPO ＝ ＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－ ＝－ ，则
−
c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
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高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ： ＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝ ，
1 −2
2
1 ＋2
2
故椭圆的离心率 e ＝ ＝
1−
2
2
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－ 且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆 ＋ ＝1相
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。
在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。
直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。
2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。
直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。
2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。
3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。
直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。
直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。
结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。
这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。
了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。
总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。
直线和椭圆位置关系总结大全
直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。
2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。
5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。
6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。
7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。
总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。
具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。
直线与椭圆的位置关系及判断方法
直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系是指确定一条直线和一个椭圆之间的相对位置关系，主要有以下几种情况：直线与椭圆相离、直线与椭圆相切、直线穿过椭圆两个交点、直线包含椭圆等情况。
判断直线与椭圆的位置关系可以通过研究直线方程和椭圆方程的解来实现。
一、直线与椭圆相离的情况：当直线方程与椭圆方程不存在实数解时，说明直线与椭圆相离。
直线方程通常采用一般式表示，即Ax+By+C=0，椭圆方程通常采用标准方程表示，即((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1、将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
通过判别式B^2-4AC的值来确定二次方程是否有实数解，当判别式小于零时，直线与椭圆相离。
二、直线与椭圆相切的情况：当直线方程刚好与椭圆方程有一个实数解时，说明直线与椭圆相切。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
当判别式B^2-4AC等于零时，直线与椭圆相切。
三、直线穿过椭圆两个交点的情况：当直线方程与椭圆方程有两个实数解时，说明直线穿过椭圆的两个交点。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x 的二次方程。
当判别式B^2-4AC大于零时，直线与椭圆有两个交点。
四、直线包含椭圆的情况：当直线方程将椭圆方程的所有解都包含时，说明直线包含椭圆。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，而不是代入x的解，得到一个关于y的二次方程。
如果这个二次方程对于任何实数x都有解，则直线包含椭圆。
需要注意的是，在判断直线与椭圆的位置关系时，需要先将椭圆方程化简为标准方程，即将h、k分别代表椭圆的中心坐标，a、b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。
总结起来，判断直线与椭圆的位置关系，可以通过以下步骤实现：1.将椭圆方程化简为标准方程。
2.将直线方程写为一般式。
3.将直线方程的x、y带入椭圆方程，得到关于x的二次方程。
4.判断该二次方程的判别式B^2-4AC的值，确定直线是否与椭圆有交点、相切或相离。
直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系
直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系引言几何学是数学的一个重要分支，研究几何图形之间的关系和性质。
在几何学中，直线和曲线是两个基本概念，它们在空间中所处的位置关系对于几何图形的研究至关重要。
本文将探讨直线与椭圆、双曲线、抛物线之间的位置关系，并分析它们在几何学中的应用。
直线与椭圆的位置关系椭圆是一个几何图形，由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点构成。
在直线与椭圆的位置关系中，有三种可能的情况：直线与椭圆相离当直线与椭圆相离时，它们没有任何交点。
这意味着直线与椭圆之间没有共享的点，它们在平面上相互独立并不相交。
这种情况可能出现在椭圆的外部或者与椭圆的某个分支平行的直线上。
直线与椭圆相切当直线与椭圆相切时，它们只有一个共享的点。
这个点同时位于直线和椭圆上，直线在这个点的切线方向与椭圆的切线方向一致。
这种情况在直线与椭圆相交的一些特殊位置上出现，例如直线与椭圆的焦点位置相对应的直线上。
直线与椭圆相交当直线与椭圆相交时，它们有两个共享的点。
这意味着直线与椭圆相交，并且在平面上有两个交点。
这种情况可能出现在直线穿过椭圆的两个分支，或者一个分支和椭圆的边界相交的位置上。
直线与双曲线的位置关系双曲线是平面上的一种几何图形，它具有两个分离的极限点，且其到两个极限点的距离之差等于一个常数。
在直线与双曲线的位置关系中，有三种可能的情况：直线与双曲线相离当直线与双曲线相离时，它们没有任何交点。
这意味着直线在双曲线的外部，它们不会相交或共享任何点。
直线与双曲线相切当直线与双曲线相切时，它们只有一个共享的点。
这个点同时位于直线和双曲线上，且直线在该点处与双曲线的切线方向一致。
这种情况可能出现在直线与双曲线的极限点位置相对应的直线上。
直线与双曲线相交当直线与双曲线相交时，它们有两个共享的点。
这意味着直线与双曲线相交，并且在平面上有两个交点。
这种情况发生在直线穿过双曲线的两个分支，或者一个分支和双曲线的边界相交的位置上。
直线与抛物线的位置关系抛物线是平面上的一种几何图形，具有对称轴和焦点。
直线与椭圆的位置关系
由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0
2 2
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25，
40 25 15 41 直线 m与椭圆的交点到直线d l的距离最近。 直线 l到椭圆的最近距离为： 2 2 41 4 5 40 25 15 且d 41
否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ 并求出该点坐标.最大呢？ y
l
O
m
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个
数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关
于另一变量的一元二次方程． (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
点被平分，求此弦所在直线的方程.
Hale Waihona Puke 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一
x2 y 2 1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是 例：已知椭圆 25 9
证法一：记△ OCM 的面积是 S1 ，△ ODN 的面积是 S2 ． 由 M (2m,0) ， N (0, m) ， 则 S1 S2
椭圆与直线位置关系-精心制作!
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
4 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 = 3 2
2
= 2
例2：当m取何值时，直线l： y x m 与椭圆 2x 2 3y2 6 相交、相切、相离？ 解：联立方程组
2
{ 2x 3y 6
2 2
yxm
2
消y得：
5x 6mx 3m 6 0
6m 4 5 3m 6
2 2
24m 2 120 相离 0, 则m 5或m 5
中点弦问题
关于中点的问题一般可采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行
设而不解，从而简化运算解题；
(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式
子，进而求解．
＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 2 ＝ 10－8m2， 5 所以当 m＝0 时，d 最大，此时直线方程为 y＝x. 4m2 4 2 2[ － m －1] 25 5
题型：中点弦问题
例4 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25.
解:∵椭圆
x2 y2 1 的左、右 例7 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
03
统计学
在统计学中，弦长公式被用于计算样本数据的离散程度和相关性。例
如，在计算两个变量之间的线性相关系数时，我们需要使用弦长公式
来计算相关系数的标准误差。
弦中点问的应用
• 密码学：在密码学中，弦中点问题被用于加密和解 密算法。例如，RSA算法中使用了弦中点问题来加 密和解密数据。通过解决弦中点问题，我们可以找 到两个大素数的乘积等于另一个大素数，从而实现 加密和解密操作。
02
弦长公式
定义与性质
弦长公式定义
弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ ，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质
弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
分类与判定
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个 变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
解题方法与技巧
解题方法
利用弦长公式直接计算。
解题技巧
对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
《直线与椭圆的位置关系, 弦长公式,弦中点问题》
xx年xx月xx日
目 录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题 • 应用实例
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
定义
直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
性质
椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。e越大，直线 与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。当e=0时，直线 与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直 线与椭圆相交。
直线和椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P， 则()()()()()2221221212212212212111k x x x x y y x x y y x x P P +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=-+-=所以221211k x x P P +-=，或()01122121≠+-=k ky y P P ． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 三、基础自测1. 椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是 A.21 B. 23 C. 1 D.32. 直线032:=++by x l 过椭圆1010:22=+y x C 的一个焦点，则b 的值为（ ） A. 1- B.21 C. 1-或1 D. 21-或21 3. 方程221y x -=表示的是椭圆的（A ）上半部分 （B ）下半部分 （C ）左半部分 （D ）右半部分4.（2012四川）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
解: 当x m =过右焦点时FAB ∆的周长最大，1m ∴=；将1x =带入解得32y =±；132322FAB S ∆=⨯⨯=.5. 直线0=--m y x 与椭圆1922=+y x 只有一个公共点，则=m . 6. 已知椭圆12122=+y x 和椭圆外一点()2,0，过这点任意引直线与椭圆交于A,B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题1. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．2. 已知定点A(-2, -1)，B(1, 2)，线段AB 与椭圆222x y a +=有公共点，求a 的取值范围．题型二：求椭圆方程问题3.（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.4．（2011天津）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的离心率e =得到的菱形的 面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．若5AB =,求直线l 的倾斜角;5.（2012陕西）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。
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直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y k x x k-+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k=-+-=-+-=+-2121221(1)[()4]y y y y k=++-) 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交（2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(o o y x M 在椭圆内部或在椭圆上则12222≤+bya x o o二、弦长问题例3、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式212212111y y k x x kAB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解决问题。
例题4、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
二、求弦中点的轨迹方程问题例2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），则有⎩⎨⎧=+=+57616957616922222121y x y x ，两式相减得0)(16)(922212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以y x x x y y 1692121=--，而)8(0---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。
化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。
解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），由281-=x x ，21yy =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以136642121=+y x ，即136464)4(422=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为1916)4(22=++y x （8-≠x ）。
三、弦中点的坐标问题例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412， 消去y 得x x 4)1(2=-，即0162=+-x x ，所以32210=+=x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。
解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧==22212144x y x y ，两式相减得)(4122122x x y y -=-， 所以4))((121212=-+-x x y y y y ，所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。
例题5、已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。