高等油藏物理第7章差分格式的构造

构成差分格式的泰勒级数展开法是一种最常用 的方法。它简单但不包含物理意义得到的差分格式 的相容性、收敛性和稳定性还需进一步考证。
2.多项式插值法
★ 把待求函数表示成含有待定系数的 n 1
多项式解析函数
★ 由节点函数值确定该系数
n
★ 对此函数求偏导数，得到逼近偏导 数的差商表达
j 1 j j 1
★ 将差商代入偏微分方程中求出差分
ux
n j
x2
1 6
uxnj
x3
O
x4
一阶中心差商
un j 1
un j 1
2x
ux
n 1 j6
ux
n j
x2
O
x3
ux
n j
un j 1
u
n j 1
O
2x
x2
一阶偏导数的中心差商表达。它具有 x2 阶的截断
wk.baidu.com
误差，记为R (x2 ) 或者说距离有二阶精度。
当 x 趋于零时，截断误差 R 也趋于零，因此说差商与微商
x 用结点值形式写出
u n1 j
u
n j
a
t x
(u
n j
u
n j 1
)
n 1
n A
u
n j
u
n j 1
x
ux
n j
Ox
具有一阶精度，差商与微商是相容的。
un j 1
u
un j 1
u
xj x,tn xj x,tn
u
n j
u
n j
ux ux
n j
n j
x x
1 21 2
ux
n j
ux
n j
x2 x2
1 61 6
uxnj uxnj
x3 x3
O O
x4 x4
u
n j
1
u
n j
a
un j 1
un j 1
0
t
2x
u0j f xj
n 1
写为
u
n 1 j
u
n j
at 2x
un j 1
un j 1
n
u0j f xj
j 1 j j 1
格式截断误差 R O t, x2
ut aux 0
t 0, x
u x,0 f x
（2）向前差分格式（右偏）
微分u，并计算在j点（x=0）的值得
ux
n b 2cx
j
x0
un j 1
un j 1
2x
ux
n 2c
j
un j 1
2unj
un j 1
x2
如果选用一次插值和不同的星座，则可得到一阶向前或
向后差商。同理也可得到时间向前差商。
用高阶多项式插值可得到高阶差分表达式。但高阶多项式 插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。在计 算流体力学中除了边界附近的导数外，一般不采用多项式插值 方法导出差商表达式。
u
n j
1
u
n j
a
t x
un j 1
u
n j
u
0 j
f
xj
格式截断误差 R O t, x
n 1
n
j j 1
（3）向后差分格式（左偏）
u
n j
1
u
n j
a
t x
u
n j
u
n j 1
u
0 j
f
xj
格式截断误差 R O t, x
n 1
n j 1 j
只要已知第n层的值就可以计算n+1层上的值， 这样从初始条件开始可以逐层计算下去，不必求解 方程组。这种格式叫做显式。
二阶中心差商
ux
n j
un j 1
2u
n j
x2
u
n j 1
O
x2
具有二阶精度，差商与微商是相容的。
对时间的一阶向前差分
ut
n j
u n 1 j
u
n j
t
Ot
用差商代替微商，双曲型一维平流方程及初值条件可写为三种
形式。
ut aux 0
t 0, x
u x,0 f x
（1）中心差分格式（中心）
第7章 差分格式构造方法
对于一个偏微分方程，可以建立不同的差分方程，它们的 解都是原偏微分方程的近似解，可以用不同的方法得到相同的 差分方程。
1.泰勒级数展开法
双曲型一维平流方程及初值条件
t
ut aux 0
t 0, x
j,n
u x,0 f x
2t
x 空间步长。
t
t 时间步长。
0 x 2x x
0
t 1
x a
解得 1 t , 1 t a x ,
a x
u n1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
0
t
x
这种方法不是分别地逼近每一个微商，而是代替整
个偏微分方程，可一次完成，整体性较好。
4.积分方法
积分方法是在积分的意义下，而不 n 1
是在微分的意义下近似地满足控制方程。
3.待定系数法
设差分格式形式为
n 1
u n 1 j
u
n j
u
n j 1
0
n
泰勒展开
un1 j
unj
ut
n t O
j
t 2
j j 1
un j 1
unj
ux
n x O
j
x2
代入差分格式
unj
t
ut
n j
x
ux
n j
O
x2 ,t2
ut aux 0
t 0, x
unj
)t
0
积分方法容易保证物理量的守恒。
5.特征线方法
双曲线方程存在着特征曲线，沿特征曲线函数值保持不变。
ut aux 0
令 dx a dt
积分得 x at
a0
这一直线称为特征线。
ut
ux
dx dt
0
du 0 dt
uc
函数沿特征线不变
u(P) u(D) u(B) at u(B) u(A)
仍然以右边微分格式为例。
n
ut aux 0
(ut aux )dxdt 0
j j 1
( xj x xj
tn tn
t
ut
dt
)dx
a
( tn t
tn
xf xf
t
uxdx)dt
0
xj xj
x
(u
j
n1
u
j
n
)dx
a
tn tn
t
(un
j
1
u
n
j
)dt
0
(u
n1 j
unj
)x
a(unj1
是相容的。
un j 1
u
xj x,tn
u
n j
ux
n j
x
1 2
ux
n j
x2
1 6
uxnj
x3
O
x4
一阶向前差商
un j 1
u
n j
x
ux
n j
Ox
具有一阶精度，差商与微商是相容的。
un j 1
u
xj x,tn
unj
ux
n j
x
1 2
ux
n j
x2
1 6
uxnj
x3
O
x4
一阶向后差商
方程。
在第n层上有j-1、j、j+1三个节点，设在此区间可用抛物插
值公式来近似
u x,tn a bx cx2
u u
n j 1
a
n j
a
bx
cx
2
u
n j 1
a
bx
cx2
解出待定系数
u
b
n j
a un
j 1
un j 1
2x
c
un j 1
2u
n j
un j 1
2x2
u x,tn a bx cx2
网格节点 xj ,tn 简记为 j, n 。函数值记为
u
n j
u
xj ,tn
u jx, nt
对函数u在空间做泰勒级数展开
un j 1
u
xj x,tn
u
n j
ux
n j
x
1 2
ux
n j
x2
1 6
uxnj
x3
O
x4
un j 1
u
xj x,tn
u
n j
ux
n j
x
1 2