128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
128499-管理运筹学-第⼆章线性规划-习题11（2），12,14,18 习题2-1 判断下列说法是否正确：（1）任何线性规划问题存在并具有惟⼀的对偶问题； T （2）对偶问题的对偶问题⼀定是原问题；T（3）根据对偶问题的性质，当原问题为⽆界解时，其对偶问题⽆可⾏解，反之，当对偶问题⽆可⾏解时，其原问题具有⽆界解；F（4）若线性规划的原问题有⽆穷多最优解，则其对偶问题也⼀定具有⽆穷多最优解；（5）若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发⽣变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为⾮可⾏解的情况；（6）应⽤对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某⼀基变量x i <0，⼜x i 所在⾏的元素全部⼤于或等于零，则可以判断其对偶问题具有⽆界解。
（7）若某种资源的影⼦价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的⽬标函数值将增⼤5k ；（8）已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优⽣产计划中第i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优⽣产计划中的第i 种资源⼀定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=⽆约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z2-3分别⽤图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可⾏解对应图解法中可⾏()≥≤≤-+-=++-+-=⽆约束321321321321,0,0624.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪⼀顶点。
()≥≤+≤++=0,825943.510max 121212121x x x x x x st x x z ()≥≤+≤++=0,24261553.2max 221212121x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题：543212520202410max x x x x x z ++++=≥≤++++≤++++057234219532..5432154321j x x x x x x x x x x x t s≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s≥≤≤-+-=++-⽆约束321321321,0,064..x x x kx x x x x x t s （1）(2)2-5运⽤对偶理论求解以下各问题：（1）已知线性规划问题：其最优解为（a ）求k 的值；（b ）写出并求出其对偶问题的最优解。
《管理运筹学》课后习题答案
min f＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22
s．t．x11＋x12＋x21＋x22 2000
x11＋x12＝x21＋x22
约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；
约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。
(3)约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1200000；约束条件2的剩余变量是0，表示投资回报率正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投资B基金的投资额为370000。
总成本最小为264元，能比第一问节省：320-264=56元。
3．解：设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的
数学模型：
max z＝10 x1＋12x2＋14x3
s.t. x1＋1.5x2＋4x3 2000
2x1＋1.2x2＋x3 1000
x1 200
x2 250
x3 100
3．解：
(1).式：
4．解：
标准形式：
松弛变量（0，0）
最优解为 =1，x =3/2.
5．解：
标准形式：
剩余变量（0.0.13）
最优解为x1=1，x2=5.
6．解：
(1)最优解为x1=3，x2=7.
(2)
(3)
(4)
(5)最优解为x1=8，x2=0.
(6)不变化。因为当斜率 ,最优解不变,变化后斜率为1,所以最优解不变.
(5)约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
管理运筹学课后习题答案
第2章 线性规划的图解法1．解：x`A 1 (1) 可行域为OABC(2) 等值线为图中虚线部分(3) 由图可知，最优解为B 点， 最优解：1x =712，7152=x 。
最优目标函数值：7692．解： x 2 10 1(1) 由图解法可得有唯一解 6.02.021==x x ，函数值为3.6。
(2) 无可行解 (3) 无界解 (4) 无可行解 (5)无穷多解(6) 有唯一解 3832021==x x ，函数值为392。
3．解：(1). 标准形式：3212100023m ax s s s x x f ++++=,,,,9221323302932121321221121≥=++=++=++s s s x x s x x s x x s x x(2). 标准形式：21210064m in s s x x f +++=,,,46710263212121221121≥=-=++=--s s x x x x s x x s x x(3). 标准形式：21''2'2'10022m in s s x x x f +++-=,,,,30223505527055321''2'2'12''2'2'1''2'2'11''2'21≥=--+=+-=+-+-s s x x x s x x x x x x s x x x4．解：标准形式：212100510m ax s s x x z +++=,,,8259432121221121≥=++=++s s x x s x x s x x松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2.标准形式：32121000811m in s s s x x f ++++=,,,,369418332021032121321221121≥=-+=-+=-+s s s x x s x x s x x s x x剩余变量（0.0.13） 最优解为 x 1=1，x 2=5.6．解：(1) 最优解为 x 1=3，x 2=7. (2) 311<<c (3) 622<<c (4)4621==x x(5) 最优解为 x 1=8，x 2=0. (6) 不变化。
运筹学习题答案(第二章)
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第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . − 2 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 )
page 14 30 December 2010
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是原问题的可行解。 解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 是原问题的可行解 偶问题为： 偶问题为：
min W = 2 y1 + y 2 − y1 − 2 y 2 ≥ 1 (1) y + y ≥1 (2) 1 2 st . ( 3) y1 − y 2 ≥ 0 y1 , y 2 ≥ 0 (4)
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2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束
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max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 − x + 5 x − 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0
管理运筹学第二版习题答案
12-2《管理运筹学》课后习题详解 第2章 线性规划的图解法1. （ 1）可行域为0, 3, A ，3围成的区域。
（2） 等值线为图中虚线所示。
（3） 如图，最优解为 A 点（12/7,15/7 ），对应最 优目标函数值 Z=69/7。
2.（ 1）有唯一最优解 A 点，对应最优目标函数 值 Z=3.6。
（2）无可行解。
（3）有无界解。
40.7 0-33X 1+ X2(4)无可行解。
9y -F 2.r, + 6 = 30 3x x+2X2 + s2 =13 2x{—2xi+6=9 gx”片宀宀二0max f = 一4形—— 0町—Os2(5)无可行解。
X22max最优解A点最优函数值3. (1)标准形式(2)标准形式Xj + 2X2 H-S2 = 107,v：—6.v* = 4M , .Y2 , % 出> O(3)标准形式|!_|_fifmax f = —x 1 + 2 屯—2 込—0® — 0^2—3x x * 5X 2 — 5X 2 + s x = 70 2x x — 5X 2 + 5X 2 = 50 3xj + 2X 2 — 2X 2 —=305x ；,歩1 .s 2 土 0max z = 10.^! + 5.Y 2 \ 0^t 1 0©3x 】十 4X 2 + S J = 95.巧 +2.Y 2 -b >s 2 = 8 x t ,x 2 ^s lr>s 2 > 04.解： (1)标准形式求解：3X 〔 4X 2 9 5X 〔 2X 28X , 1 X 21.5S , S 25.标准形式:x , x 2 6 x , 3.6 S 3 S 2 0 4x , 9x 2 16x 2 2.4s , 11.27. 模型: (1) X 1=150, X 2=150;最优目标函数值 Z=103000。
(2) 第2、4车间有剩余。
剩余分别为： 330、15,均为松弛变量。
《管理运筹学》第四版课后习题答案
（4）3 车间 ，因为增加的利 润最大。
（5）在400 到正无 穷的范 围内 变化，最优产 品的 组合不 变。
（6）不变，因为在 0,500 的范 围内。
（7）所谓的上限和下限 值指当 约束条件的右 边值 在 给定范 围 内变化 时，约束条件 1 的右 边值 在 200,440 变化，对 偶价格仍 为 50（同理解释 其他 约 束条件）。
当 c1 不变时 ，c2 在 负无穷 到 6.4 的范 围内变 化，最优 解不 变。 （5）约 束条件 1 的右 边值 在 780 000,1500 000 变化，对偶价格仍 为 0.057（其他同理） 。 （6）不能，因为允 许减少的百分比与允 许 增加的百分比之和 4 2 100% ，理由
4.25 3.6
11．解： 设圆 桌和衣柜的生 产件数分 别为 x、y，所获 利润为 z，则 z=6x＋10y．
0.18x 0.08x
x0 y0
0.09 y 0.28 y
72 2x y 800
56 2x 7 y 即 x0
1400 作出可行域．平移 6x＋ 10y=0 ，如图
y0
2x y 800
x 350
得
即 C(350，100) ．当直线 6x＋ 10y=0 即 3x＋ 5y=0 平移
x1
0.2
，函数值为 3.6。
x2 0.6
图 2-2
（2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。
（5）无穷多解。
x1
（6）有唯一解
x2
20
3 ，函数值为 92 。
8
3
3
3．解： （1）标 准形式
max f 3x1 2x2 0s1 0s2 0s3
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案汇总
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
.解：标准化.列出单纯形表412b02[8]2 /80868 /641241/41/81/8]/8(1/4/(1/813/265/4/43/4(13/2/(1/4 0－1/23/21/222806－221－12－502故最优解为，即，此时最优值为．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
运筹学第二章习题和答案
运筹学第二章习题和答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和方法来优化决策和资源分配的学科。
在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们可以巩固理论知识，提高解决问题的能力。
本文将针对运筹学第二章的习题进行讨论和答案解析。
第二章主要介绍了线性规划的基本概念和方法。
线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型可以表示为最大化或最小化一个线性目标函数的同时满足一组线性约束条件。
在解决线性规划问题时，我们常常使用单纯形法或者内点法等方法。
习题2.1：一个公司生产两种产品A和B，每个单位A产品的利润为3万元，每个单位B产品的利润为4万元。
公司的生产能力为每天生产A产品100个单位，B产品80个单位。
产品A和B分别需要2个和3个单位的原材料X和Y。
而公司每天可用的原材料X和Y分别为180个单位和210个单位。
问该公司应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：首先，我们需要定义决策变量。
假设公司每天生产A产品x个单位，B 产品y个单位。
则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z=3x+4y。
同时，我们需要满足生产能力和原材料约束条件。
生产能力约束条件为x≤100，y≤80。
原材料约束条件为2x+3y≤180，2x+3y≤210。
通过绘制约束条件的图形，我们可以得到可行解的区域。
在该区域内，我们需要找到目标函数Z=3x+4y的最大值点。
通过计算，我们可以得到最大利润为320万元，此时生产100个单位的A产品和60个单位的B产品。
习题2.2：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
产品A的生产需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y，产品B的生产需要2个单位的原材料X 和1个单位的原材料Y。
每个单位的产品A的利润为3万元，每个单位的产品B的利润为4万元。
工厂每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和12个单位。
问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：同样地，我们首先定义决策变量。
假设工厂每天生产A产品x个单位，B产品y个单位。
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案汇总
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案汇总《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第一章线性规划（复习问题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（LP）是运筹学中最成熟的分支，也是运筹学中应用最广泛的分支。
线性规划在规划理论中属于静态规划。
它是解决有限资源优化配置问题的重要优化工具。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.在解决线性规划问题时，可能会有几个结果。
哪个结果表明建模中存在错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最佳优势；（2）多重最优解：无限多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3.线性规划的标准形式是什么？松弛变量和剩余变量的管理意义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4.尝试解释线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解和最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件这个问题的解叫做可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基础：与可行解对应的基础称为可行基础。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5.使用表格单纯形法求解以下线性规划。
s.t.解决方案：标准化s.t.列出单纯形表00441b二万八千四百一十一/4一3/20－1/2二[8]六2一/81/8]/8六5/4/43/43/21/22/88/6(1/4/(1/8(13/2/(1/422806－221－因此，最佳解决方案是125，即－2．为何值及变，最佳值为6．表1―15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中当数量属于哪种类型时：（1）表中的解是唯一的最优解；（2）表中的解是无限最优解之一；（3）下一次迭代将是代替基变量（4）线性规划问题有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
《管理运筹学》1-2章练习题目
第一章练习1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一解、无穷多最优解、无界解还是无可行解？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤≤+≤++=0,0564223.93max 21212212121x x x x x x x x x st x x z 2、将下列线性规划问题变换为标准型。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-+-≤-++=-+-+-+=无约束43214321432143214321,0,,x 223x 2143x 224x .544-3x z min x x x x x x x x x x x x st x x x 3、用单纯形法求解下列线形规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++=++++=0,,15 3 5 20 5 106- 5 654 min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 4、 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并具体说明当目标函数中变量的系数怎样改变时，使满足约束条件的可行域的每一个顶点，都有可能使目标函数值达到最优。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,24261553.2max 21212121x x x x x x st x x z 5、（连续投资问题）某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%； 项目B ，第三年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过4万元; 项目C ，第二年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资不超过3万元； 项目D ，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加息6%。
该部门现有资金100万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额最大？6、考虑以下配送系统： 该系统配送单一产品，有两个制造厂，分别以P1和P2代表；两个制造厂有相同的生产成本。
制造厂P2实际的生产能力为60000单位。
《管理运筹学》课后习题参考标准答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案第1章 线性规划(复习思考题)1.什么就是线性规划？线性规划的三要素就是什么？答:线性规划(Linear Programming,LP)就是运筹学中最成熟的一个分支,并且就是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,就是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量就是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件就是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数就是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值,有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误？ 答:(1)唯一最优解:只有一个最优点; (2)多重最优解:无穷多个最优解; (3)无界解:可行域无界,目标值无限增大;(4)没有可行解:线性规划问题的可行域就是空集。
当无界解与没有可行解时,可能就是建模时有错。
3.什么就是线性规划的标准型？松弛变量与剩余变量的管理含义就是什么？ 答:线性规划的标准型就是:目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项0≥i b ,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不就是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答:可行解:满足约束条件0≥=X b AX ，的解,称为可行解。
基可行解:满足非负性约束的基解,称为基可行解。
可行基:对应于基可行解的基,称为可行基。
最优解:使目标函数最优的可行解,称为最优解。
最优基:最优解对应的基矩阵,称为最优基。
它们的相互关系如右图所示:5.用表格单纯形法求解如下线性规划。
《管理运筹学》第四版课后习题答案
min f 4 x1 6x2 0s1 0s2
3x1 x2 s1 6 x1 2 x2 s2 10 7 x1 6 x2 4 x1, x2 , s1, s2 ≥ 0
（3）标 准形式
min f x1 2 x2 2 x2 0s1 0s2
3x1 5x2 5x2 s1 70 2 x1 5 x2 5x2 50 3x1 2 x2 2x2 s2 30 x1, x2 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
推 导 出 x1 18000 ，x2 3000 ，故基金 A 投 资 90 万元，基金 B 投 资 30 万元。
第 3 章 线性规划问题的计算机求 解
1．解： ⑴甲、乙两种柜的日 产量是分 别是 4 和 8，这时 最大利 润 是 2720 ⑵每多生 产一件乙柜，可以使 总利润 提高 13.333 元 ⑶常数 项 的上下限是指常数 项在指定的范 围内 变化时，与其对应 的约 束条件的 对 偶价格不 变。比如油漆时间变为 100，因为 100 在 40 和 160 之间，所以其对偶价格 不 变仍为 13.333 ⑷不 变，因为还 在 120 和 480 之间。
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上 ）
第 2 章 线性规划的图解法
1．解： （1）可行域为 OABC。
（2）等值线为图 中虚 线 部分。
（3）由图 2- 1 可知，最优解为 B 点，最优解 x = 12 ，x ；最优目标 函数 值 69 。
15
7
1
7
2
7
图 2-1
2．解：
（1）如图 2- 2 所示，由图 解法可知有唯一解
（8）总 利润增加了 100×50=5 000，最优产 品组 合不 变。 （9）不能，因为对 偶价格 发生变 化。
《管理运筹学》第三版习题答案(韩伯棠教授)
第 2 章 线性规划的图解法11a.可行域为 OABC 。
b.等值线为图中虚线所示。
12c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x 1 = 769 。
7 2、解：15 x 2 =7， 最优目标函数值：a x 210.60.1O1有唯一解x 1 = 0.2函数值为 3.6x 2 = 0.6b 无可行解c 无界解d 无可行解e 无穷多解1 2 2 1 2f 有唯一解20 x 1 =3 8函数值为 92 33、解：a 标准形式：b 标准形式：c 标准形式：x 2 = 3max fmax f= 3x 1 + 2 x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 9 x 1 + 2x 2 + s 1 = 303x 1 + 2 x 2 + s 2 = 13 2 x 1 + 2x 2 + s 3 = 9 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥= −4 x 1 − 6x 3 − 0s 1 − 0s 23x 1 − x 2 − s 1 =6x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7 x 1 − 6 x 2 = 4x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥max f = −x ' + 2x ' − 2 x ''− 0s − 0s'''− 3x 1 + 5x 2 − 5x 2 + s 1 = 70 2 x ' − 5x ' + 5x '' = 50122' ' ''3x 1 + 2 x 2 − 2x 2 − s 2 = 30'' ''4 、解：x 1 , x 2, x 2, s 1 , s 2 ≥ 0标准形式： max z = 10 x 1 + 5x 2 + 0s 1 + 0s 23x 1 + 4 x 2 + s 1 = 9 5x 1 + 2 x 2 + s 2 = 8 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0s 1 = 2, s 2 = 0标准形式： min f = 11x 1 + 8x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 310 x 1 + 2x 2 − s 1 = 203x 1 + 3x 2 − s 2 = 18 4 x 1 + 9x 2 − s 3 = 36 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 136 、解：b 1 ≤c 1 ≤ 3c 2 ≤ c 2 ≤ 6d x 1 = 6 x 2 = 4e x 1 ∈ [4,8]x 2 = 16 − 2x 1f 变化。
《管理运筹学》第二课后习题答案
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第 1 章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项b i 0 ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件AX b，X 0 的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
8x 1 3x 2 x 3 2s. t. 6x 1 x 2 x 3 8 x 1,x 2,x 3 0解：标准化max Z 4x 1 x 2 2x 3 8x 1 3x 2 x 3 x 4 2s. t. 6x 1 x2 x3 x 5 8x 1,x 2 ,x 3,x 4 ,x 5 0列出单纯形表故最优解为 X* （0,0,2,0,6）T，即 x 1 0,x 2 0,x 3 2，此时最优值为 Z （X*） 4．6．表 1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中 a 1,a 2,c 1,c 2,d 为何值及变量属于哪一 类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一； （3）下一步迭代将以 x 1 代 替基变量 x 5 ；（4）该线性规划问题具有无界解； （5）该线性规划问题无可行解。
运筹学第二章线性规划的对偶理论复习题
2， 0)T ； （2）由题知原问题的最优解为 x* = (3，
5
由互补松弛定理得：在对偶问题中对应第一，二个约束为紧，第三个约束条件 为松，即，
max z = x1 + x2
s.t.
− x1 + x2 + x3 ≤ 2 − 2 x1 + x2 − x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0
有可行解，但无最优解.
⎛0⎞ ⎟ 证明： x = ⎜ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
是线性问题的可行解，即该问题存在可行解；
又∵其对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ st. -y１ − 2 y２ ≥ 1
x1 + x 2 − x3 ≤ 2 x1 − x 2 + x3 = 1 2 x1 + x2 + x3 ≥ 2
x1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x3无约束
的最大值不超过 1. 证明：该线性问题的对偶问题为：
min w = 2 y１ + y２ + 2 y３ st. y１ + y２ + 2 y３ ≥ 1 y１ − y２ + y３ ≤ 2 -y１ + y２ + y３ = 1 y１ ≥ 0，y２ 自由，y３ ≤ 0
7、考虑下列原始线性规划
max z = 2 x1 + x2 + 3x3
s.t.
x1 + x2 + 2 x3 ≤ 5 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 12
《运筹学》 习题 线性规划部分练习题及 答案
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2． 线性规划的可行解集是凸集。
3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
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11（2），12,14,18 习题2-1 判断下列说法是否正确：（1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T（3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F（4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；（5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；（6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。
（7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；（8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。
()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,825943.510max 121212121x x x x x x st x x z ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,24261553.2max 221212121x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题：543212520202410max x x x x x z ++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++++≤++++057234219532..5432154321j x x x x x x x x x x x t s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-无约束321321321,0,064..x x x kx x x x x x t s （1）(2)2-5运用对偶理论求解以下各问题： （1）已知线性规划问题：其最优解为 （a ）求k 的值；（b ）写出并求出其对偶问题的最优解。
（2）已知线性规划问题：其对偶问题的最优解为，。
试根据对偶理论求出原问题的最优解。
（3）已知线性规划问题:)5,4,3,2,1(=j 43216368min x x x x z +++=)4,3,2,1(=j 32122min x x x z +-=1,0,5321-===x x x 4321432max x x x x z +++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤+++0,,,2023220322..432143214321x x x x x x x x x x x x t s 2.11=y 2.02=y⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0,,12.max 32132132121x x x x x x x x x st x x z 试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。
2-6已知某求极大值线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如表2-44所示，求表中各括弧内未知数的值。
表2-44 初始单纯形表及最终单纯形表z x 4 x 5 x 6 ：：z x 4 x 1 x 22-7用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,52233.18124min 13213231321x x x x x x x st x x x z ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423.325min 2321321321321x x x x x x x x x st x x x z2-8已知2-45表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x 4 , x 5为松弛变量，问题的约束为≤形式。
表2-45 最终单纯形表z X 3 X 1（1）写出原线性规划问题； （2）写出原问题的对偶问题；（3）直接由原问题的最终单纯形表写出对偶问题的最优解。
2-9已知线性规划问题:⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+++-=0,,426.2max 32121321321x x x x x x x x st x x x z 先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下最优解的变化。
（1）目标函数变为32132max x x x z ++=（2）约束右端项由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛46变为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43; （3）增添一个新的约束条件231≥+-x x 。
2-10某厂生产A ，B ，C 三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2-46。
要求：（1）确定最大的产品生产计划；（2）产品A 的利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（3）如果设计一种新产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？（4）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元。
问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜。
（5）由于某种原因该厂决定暂停A 产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划。
2-11已知运输问题的供求关系和单位运价表如表2-47所示，试用表上作业法求出问题的最优解。
（1）表2-47（a ）2-12 1，2，3三个城市每年需分别供应电力320,250,和350单位，由Ⅰ，II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400个单位和450个单位，单位费用如表2-23所示。
由于需要量大于可供量，决定城市1的供应量可减少0~30单位，城市2的供应量不变，城市3的供应量不能少于270单位，试求总费用最低的分配方案（将可供电量用完）。
2-13已知某运输问题的运输表及给出的一个最优调运方案分别见表2-49，试确定表2-49中k的取值范围。
表2-49 运输表及最优调运方案1 152 253 55 15 15 102-14某糖厂每月最多生产糖270 t，先运至A1A2A3三个仓库，然后再分别供应五个地区的需要。
已知各仓库的容量分别为50,100,150（t），各地区的需要量分别为25,105,60,30,70（t）。
已知从糖厂经各仓库然后供应各地区的运费和存储费如表2-50所示。
表2-50运费及存储费试确定一个使总费用最低的调运方案。
2-15一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许的载重量如表2-51和2-52所示，现有三种货物待运，已知有关数据列于表2-27（b）比例关系。
具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例的偏差不超过15%,前后舱之间不超过10%。
问该货轮应装载A、B、C各多少件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。
2-16一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。
公司现有库容5000担的仓库。
1月1日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。
估计第一季度杂粮价格如表2-53所示。
如买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“货到付款”。
公司希望本季末库存为2000担。
问：应采取什么样的买进与卖出的策略使3个月总的获利最大？（列出问题的线性规划模型，不求解）2-17某农户年初承保了40亩土地，并备有生产专用资金25 000元。
该户劳动力情况为：春夏季4 000工时，秋冬季3 500工时。
若有闲余工时则将为别的农户帮工，其收入为：春夏季5元/ 工时，秋冬季4元/ 工时。
该户承包的地块只是以种植大豆、玉米、小麦，为此已备齐各种生产资料，因此不必动用现金。
另外，该农户还饲养奶牛和鸡。
每头奶牛每年需投资4 000元，每只鸡需投资30元。
每头奶牛需用地1.5亩种植饲草，并占用劳动力：春夏季50工时、秋冬季100工时，每年净收入4 000元。
每只鸡占用劳动力：春夏季0.3工时、秋冬季0、6工时，每年净收入100元。
该农户现有鸡舍最多能容纳300只鸡，牛棚最多能容纳8头奶牛。
三种农作物一年需要的劳动力及收入情况见表2-54。
问该农户应如何拟定经营方案才能使当年净收入最大？试建立该问题的数学模型。
表2-54 三种农作物需要的劳动力及收入情况需用工时（工时/ 亩）种类春夏季需工时/ 亩秋冬季需工时/ 亩净收入/（元/ 亩）大豆20 50 500玉米35 75 800小麦10 40 4002-18对某厂I，II，III三种产品下一年各季度的合同预订数如表2-55所示。
表2-55 三种产品下一年各季度的合同预订数该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15 000 h，生产I，II，III产品每件分别需时2、4、3 h。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元，产品III赔偿10元；又生产出的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用为最小（要求建立数学模型，不需求解）。