数理方法ch6作业解答

3.长为 l 的均匀杆，两端受拉力 F (t ) 而作纵振动，写出边界条件。 F (t ) ux |x =0 = ES 解：设杨氏模量为 E ，杆的横截面积为 S ，边界条件为： u | = = F (t ) x x l ES 4.长为 l 的均匀杆，两端有恒定热源流入，其热流密度为 q0 ，写出这个热传导问 题的边界条件。 q ux |x =0 = − 0 k u x | x =l = q0 k
记 a2 =
utt = a 2u xx + f 当杆不受外力时，杆的自由纵振动方程为： utt = a 2u xx
4.推导出三维的热传导方程。 解：
1
建立 xyz 直角坐标系。取 x 与 x + dx 之间， y 与 y + dy 之间， z 与 z + dz 之间的小平行六面体，它的长宽高分别为 dx ， dy ， dz ，它的体积为 dxdydz 。
+ k ( dxdy ) dt ( 整理得，
∂u ∂u ∂u ∂u |x + dx − |x ) + k (dxdz )dt ( | y + dy − k |y ) ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂u |z + dz − k |z ) + F (dxdydz )dt ∂z ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u | y ∂u |z + dz − k ∂u |z ) | x + dx − | x ) ( | y + dy −k (u |t + dt −u |t ) k ∂x ∂y ∂y ∂x ∂z ] + F + ∂z = [ + dt cρ dx dy dz cρ (
杆作纵振动时，相对伸长 u x 随位置不同而不同。 M 1 、 M 2 两端的相对伸长分别 是 u x | x 和 u x | x + dx 是P 1 = Eu x | x ， 。 设杨氏模量为 E ，两端点处的应力（单位面积上的）分别 P2 = Eu x |x + dx
另设单位面积单位长度的杆沿杆长方向所受的外力为 F ， M 1M 2 段的运动学方程为： ρ ( Sdx)utt = SEux |x + dx − SEu x |x + FSdx 得 utt = E u x | x + dx −u x | x F E F ⋅ + = ⋅ u xx + ρ dx ρ ρ ρ E F ， f = ，则方程为： ρ ρ
x x + ∆x
Z所需的热量为： Q = c( ρdxdydz )(u |t + dt −u |t ) 先考察时间 dt 内沿 x 方向热量的流动情况： ∂u |x ⋅(dydz )dt ∂x ∂u 在右表面流出平行六面体的热量为： − k | x + dx ⋅(dydz )dt ∂x 在左表面流入平行六面体的热量为： − k 则沿 x 方向净流入平行六面体的热量为： Q1 = k (dydz )dt (
解：设导热率为 k ，边界条件为：
5.弹簧原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动， 写出定解条件。 u | = 0 解： x = 0 u x |= 0 b u |t = 0 = x l ut |t = 0 = 0
7.一根长为导热杆 l 由两段构成，二 段的热传导 系数、比热、密度分别为 k1 c1 ρ1 和 k2 c2 的定解问题。 k1 Ι Ι ut = c ρ u xx (0 < x < x0 ) 1 1 Ι u | x = 0 = 0 Ι u |t = 0 = u0 k2 ΙΙ ΙΙ ut = c ρ u xx 2 2 ΙΙ u | x =l = 0 ΙΙ u |t = 0 = u0 ( x0 < x < l ) ρ 2 ，初始温度是 u0 ，然后保持两端温度为零，写出此热传导问题
3
u Ι | x0 − 0 = u ΙΙ | x0 + 0 衔接条件为： ∂u Ι ∂u ΙΙ |x 0 − 0 = k2 |x + 0 k1 ∂x 0 ∂x
4
即 utt =
k F (u xx + u yy + u zz ) + cρ cρ
记
k F = D， = f ， u xx + u yy + u zz = ∆u ， cρ cρ
则方程为： utt = D∆u + f
2
P112：习题 6.3
1.长为 l 两端固定的弦，作振幅极其微小的横振动，写出其定解条件。 u |x = 0 = 0 解： u |x = l = 0 ， u |t = 0 = ϕ ( x) ut |t = 0 = ψ ( x)
数理方法 CH6 作业解答 P107：习题 6.2 2.推导出均匀细杆的纵振动方程 utt = a 2u xx + f 其中， a 2 = E F ( x, t ) ，f = ； E 为杨氏模量， ρ 为杆的密度， F 为单位长度的杆 ρ ρ
沿杆长方向所受的外力。 解：把杆细分为许多极小的小段，取区间 x → x + dx 上的小段 M 1M 2 为研究对象。 在振动过程中，该段两端的位移分别记作 u ( x, t ) 和 u ( x + dx, t ) 。该段的伸长是 u ( x + dx, t ) - u ( x, t ) = du ，相对伸长是 ∂u = ux ∂x
X
∂u ∂u | x + dx − | x ) ∂x ∂x ∂u ∂u | y + dy − k |y ) ∂y ∂y
同理可得沿 y 方向净流入平行六面体的热量为： Q2 = k (dxdz )dt ( 沿 z 方向净流入平行六面体的热量为： Q3 = k (dxdy )dt (
∂u ∂u |z + dz −k |z ) ∂z ∂z
又设杆内有热源，热源强度为 F ，则在时间 dt 内杆内热源在平行六面体内产生 的热量为 Q4 = F (dxdydz )dt 根据能量守恒定律，平行六面体升温所需的热量为 Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ， 得到方程： c( ρdxdydz )(u |t + dt −u |t ) = k (dydz )dt (