数理方法ch6作业解答
概率论与数理统计课后答案第6章
概率论与数理统计课后答案第6章第6章习题参考答案1.设是取⾃总体X的⼀个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最⼤似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。
2.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最⼤似然估计，如得到⼀组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最⼤似然估计值。
3.设是取⾃总体X的⼀个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。
4.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计。
5.设是取⾃总体X的⼀个样本，X的密度函数为其中未知，求的矩估计和最⼤似然估计。
6.设是取⾃总体X的⼀个样本，总体X服从参数为的⼏何分布，即，其中未知，，求的最⼤似然估计。
7. 已知某路⼝车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路⼝车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最⼤似然估计值。
8.设总体X的密度函数为，其中未知，设是取⾃这个总体的⼀个样本，试求的最⼤似然估计。
9. 在第3题中的矩估计是否是的⽆偏估计？解故的矩估计量是的⽆偏估计。
10.试证第8题中的最⼤似然估计是的⽆偏估计。
11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的⽆偏估计，并进⼀步判断哪⼀个估计有效。
12.设是取⾃总体的⼀个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。
13.某车间⽣产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天⽣产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。
14.假定某商店中⼀种商品的⽉销售量服从正态分布，未知。
为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个⽉，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和⽅差的双侧0.9置信区间。
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布概率论中，所研究的随机变量是假定其分布是已知的，在此前提下研究它的性质、数字特征等。
在数理统计中，所研究的随机变量的分布是未知或不完全知道的，通过重复独⽴的试验得到许多观察值去推断随机变量的种种可能分布。
1、随机样本总体：试验的全部可能的观察值。
=样本空间个体：每⼀个可能观察值。
=样本点容量：总体中所包含的个体的个数。
有限总体⽆限总体⼀个总体对应⼀个随机变量X，对总体的研究就是对随机变量X的研究。
所以将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X。
样本：在数理统计中，⼈们都是通过从总体中抽取⼀部分个体，根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的⼀个样本。
对总体进⾏⼀次观察，就会得到⼀个随机变量X1，对总体进⾏n次重复的、独⽴的观察，就会得到n个随机变量X1，X2，...,Xn，这n个随机变量X1，X2，...,Xn是对总体随机变量X观察的结果。
则X1，X2，...,Xn是相关独⽴且与X具有相同分布，称为来⾃总体X的⼀个简单随机样本。
n称为样本的容量。
进⾏n次观察得到的⼀组实数x1,x2,...,xn是随机变量X1，X2，...,Xn的观察值，称为样本值，也称为X的n个独⽴的观测值。
2、抽样分布样本是统计推断的依据，但往往不直接使⽤样本本⾝，⽽是由样本构造的函数。
统计量：设X1，X2，...,Xn是来⾃总体X的⼀个样本，g(X1，X2，...,Xn)是其函数，且g中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，...,Xn)是⼀统计量。
统计量也是⼀个随机变量。
g(x1,x2,...,xn)是统计量的观测值。
常⽤的统计量：经验分布函数：经验分布函数(empirical distribution function)是根据样本得到的分布函数.如设，是总体的样本值，将它们按⼤⼩顺序排列为，则称分布函数为经验分布函数是与总体分布函数相对应的统计量。
总体的分布函数是F(x)，统计量的经验分布函数是F n（x)，⽤F n（x)去推断F(x)，当n⾜够⼤时，F n（x)以概率1收敛于F(x)。
数理方法习题解
数学物理方法作业解答：习题1.1P6 .1下列式子在复平面上具有这样的意义 (2) | z-a |= | z-b | 解：| z-a | 表示z 到a 点的距离，| z-b |表示b 点的距离 即a 与b 的连线的垂直平分线。
(3) Re(z) > 12解:Re z = x 有 x >1 2Re z > 12表示坐标x 大于12的一切点即x=12的右边平面(8) Re (1z) = 2解：因为z = x+iy所以Re(1z)=Re(1x+iy)=Re(x-iyx2+y2)=xx2+y2=2 得x2+y2- x2=0 即(x-14)2+y2=116=(14)2所以Re(1z)为以（14，0）为圆心，以14为半径的圆P6. 2把下列复数代数式，三角式和指数式几种形式表示出来(1)i解：i = cos(π2)+isin(π2)=eiπ2(2)-1解：-1= cos(π)+isin(π)=e iπ(3) 1+i 23解：1+i 23 =2(cosπ3+isinπ3)=2eiπ3(4)1-cosα+isinα解：1-cosα+isinα=ρ(cosφ+isinφ)= ρe iφ其中ρ=2(1-cosα)2+sinα= 2sin(α2)Φ =arctgsinα1-cosα= arctg(ctgα2)原式=2sin α2[cos arctg(ctgα2)+isin arctg(ctgα2)]=2sin α2eiarctg(ctgα2)（5）z3解：z3 =(x+iy)3 =(x3-3xy2) +i(3x2y-y3) ρ3e i3φ=ρ3(cos3φ+isin3φ)其中ρ=2x2+y2φ =arctgyx(7) 1-i1+i=(1-i)2(1-i)(1+i)=- i =cos3π2+isin3π2=e(i3π2)3.计算下列数值P6.3(1). 2a+ib解：x+iy=2a+ib →(x+iy)2=a+ibX2-y2+i2xy=a+ib得到：{ X2-y2=a →4 X44a X2-b2=0 →x2=a+2a2+b222xy=b } →4y4+4ay2-b2=0→ y2=-a+2a2+b22所以x=+2222a+2a2+b2=+Ay =+2222-a+2a2+b2=+B2a+ib = A+iB →-A-iB →A-iB →-A+iB(2) 3 i解：3i =3e i(π2+2nπ)=e i(π6+2nπ3)=→ e i π6(n=0)→ e i 5π6(n=1)→ e i 3π2(n=2)(3) i i解：i i =[ e i(3π2+2nπ)]i = e-(π2+znπ)(4) ii =ie i(π2+znπ)=π2+znπ(5) cos 5φ解：cos 5φ =Re(cos 5φ+i sin 5φ)=Re(cos 5φ+i sin 5φ)5=Re(cos 5φ+5 cos 4φ(i sin φ)+10 cos 3φ(i sin φ)2+10 cos 2φ(i sin φ)3+10 cos φ(i sin φ)4+(i sin φ)5)= cos 5φ-10cos3φsin2φ+5cosφsin4φ(7) cos φ + cos2φ +cos3φ +.....cosnφ解：原式=Re(e iφ+ e i2φ+ e i3φ+ e i4φ...... e inφ)=Re 1- e inφ1- e iφe iφ→括号中为等比数列，其前n项和为：e iφ1- e inφ1- e iφ=e-iφ2(1- einφ)e-iφ2(1- eiφ)e iφ=e-iφ2- ei(nφ-φ2)e-iφ2- eiφ2e iφφ2=e-iφ2- ei(nφ-φ2)2i12i（e-iφ2- eiφ2e iφ=e-iφ2+ei(nφ-φ2)2i sinφ2e iφ= -e iφ2+ei(nφ+φ22i sinφ2=e i(nφ+φ2) -e iφ22i sinφ2e i(nφ+ φ2)=cos(nφ+φ2)+isin(nφ+φ2)e i φ2=cosφ2+isinφ2故上式=[cos(nφ+φ2)- cosφ2]+i[sin(nφ+φ2)- sinφ2]2i sinφ2=[sin(nφ+φ2)- sinφ2]-i[cos(nφ+φ2)- cosφ2]2 sinφ2→Re 1- e in φ 1- ei φ e i φ=sin(n φ+φ 2 )- sin φ2 2 sin φ 2(8) sin φ + sin2φ +sin3φ +.....+sinn φ 解：原式=Im(e i φ+ ei2φ+ ei3φ+ …..ein φ)=cos φ 2 - cos(n φ+φ 2 )2 sin φ 2习题1.2P8： 验证1.2.11-1.2.14式(1)si (2)c()()(3)|sin |111sin ()()222iz izi x iy i x iy y ix y ixz z e ee e e e e e ii i-+-+--=⎡⎤=-=-=-⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------+-=-+-(e ① )()y yixix y ix y ix yixyixe e ee e e e e e e e-------+=+--(e②①+②得 )())()2()y y ix ixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+-+-+=-(e(e1111sin 2())())()2222yix y ixy y ix ix y y ix ix z e e e ee e e e e e i i ------⎡⎤∴=⋅⋅-=⋅+-+-+⎣⎦(e (e 1111)())())sin )cos 2222y y ix ix y y ix ix y y y y e e e e e e e x i e x i i ------⎡⎤⎡⎤=+-+-+=+--⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e|sin |z ∴==方法二()()111sin ()()()22211(cos sin )(cos sin )(cos (221((2izizi x iy i x iy yix y ixy y y y y yy y y y z e eeeee e ei iix i x e x i x e e e x i e e x i i e e x i e e x -+-+-------=-=-=-⎡⎤⎡⎤=+--=-++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+--⎣⎦ ））sin ）sin ）cos|sin |z ∴==()()(4)|cos |111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z z e ee e e e e e -+-+--=⎡⎤=+=+=+⎣⎦ 证明：方法一而且)()yy ix ixy ix y ixy ix y ixe e e e e e e e e e e ------++=+++(e ① )()y yixix yixyix yixyixe e ee e e e e e e e--------=--+(e②①+②得 )())()2()yyixixyyixixyix y ixe e ee e eee e e------+++--=+(e(e1111cos 2())())()22221111)())())cos )sin 2222y ix y ix y y ix ix y y ix ixy y ix ix y y ix ix y y y y z e e e e e e e e e e e e e e e e e x i e x ------------⎡⎤∴=⋅⋅+=⋅+++--⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+++--=++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(e (e (e (e (e (e|cos |z ∴==方法二()()111cos ()()222izizi x iy i x iy y ix y ix z e ee e e e e e -+-+--⎡⎤=+=+=+⎣⎦11(cos sin )(cos sin )(cos (22y y y y y yx i x e x i x e e e x i e e x ---⎡⎤⎡⎤=++-=++-⎣⎦⎣⎦））sin|cos |z ∴==2(5)z izeeπ+=22(cos 2sin 2)z iziz zee ee i eππππ+==+=证明：(6)(2)sh z i sh π+=z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz ish z i eee ee eπππππ+-+--+=-=-证明：1()2z ze e-=-=sh z(7)(2)ch z i π+=ch z2(2)2211(2)()()22z iz i z iz iz i eee ee eπππππ+-+--+=+=+证明：ch 1()2z ze e-=+=ch zP82.计算下列数值。
数理方法答案
i
1
+
1 1!3i
(z
− i)
−
2 2!9i2
(z
− i)2
+ ... +
1 11 k ! 3 3
−
1
1 3
−
2
...
1 3
−
k
+ 1 i−k
(z
− i)k
+ ...
R
=
lim
k →∞
ak ak +1
= lim k →∞
1 k!
1 3
1 3
( ) ( ) 解 z 3 = (x + iy)3 = x3 − 3xy 2 + i 3x2 y − y3 = ρ 3ei3ϕ = ρ 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ )
其中
ρ = x2 + y2
ϕ
=
arctg
y x
(6) e1−i
解 e1+i = e × ei = e(cos1 + i sin1)
e x cosy
∴ v = −e x cos y + c
则f(z) = e x sin y − ie x cos y + ic = e x [sin y + i(− cos y)]+ ic
= e x( − i)[cos y + i sin y]+ ic = −ie x+iy + ic = −ie z + ic
故必须求出 ∂ 2u ∂x 2
= ... = 2F '+4x2 F"
∂2u ∂y 2
概率与数理统计第六章习题参考解答
《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A 求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx ni ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆnii x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01nii x d L p ndp pp=-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pnxp n dp p L d ni i解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由22()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数22122()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x e μμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x n x ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i i x n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni ixn L d d解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22ni i x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33n ii x x n θ===∑（3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：1212222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i ni i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβni i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。
CH6-10 中国邮递员问题
☐图的存储表示；☐顶点的度数；☐图的连通性；☐顶点间的最短路径；☐欧拉图的判断，欧拉回路输出；问题描述：一个邮递员从邮局出发走遍每条街道，最后返回邮局，找到一条最短的行走线路？最短欧拉回路！问题提出：我国数学家管梅谷先生在20世纪60年代提出一笔画游戏✈✈满足“一笔画”：☐凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成.画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图☐凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）,一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点☐其他情况的图都不能一笔画出实例：一个邮递员投递信件要走的街道如图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 2 1 2111怎么样使非欧拉图变为欧拉图？除去奇点！添加边或删除边。
怎么样除去奇点？这里应该采用的办法？重复某些边（添加边）2 1 23分析：图中共有8个奇点，不可能不重复地走遍所有的路。
必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，从而成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。
当然要在距离最近的两个奇点间添加一条连线，图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程34千米。
走法不唯一邮局2 1 2111 2 1 23☐建立街区无向网的邻接矩阵；☐求各顶点的度数；☐求出所有奇度点；☐图的连通性判断；☐求出每一个奇度点到其它奇度结点的最短路径；☐根据最佳方案添加边，对图进行修改，使之满足一笔画；☐对图进行一笔画，并输出；其一：“添加”哪些边？☐“添加”的边所依附的顶点必须均是奇度顶点☐“添加”的边必须是已有的边，也就是有的边不止走一次其二：如何选择代价最小的边？☐奇数顶点之间的最短路径☐Dijstra算法☐Floyd算法其三：输出一笔画？☐FE算法（F leury E uler）V4U1U6V3U5U2V1U4V2U31111111222222533V4V3V1V241.求奇度点的最短路径2.构造奇度点间的完全加权图3.求图的最佳（总权最小）完备匹配M={1,4;2,3}4.求1和4之间的最短轨V1 U1 V4；2和3之间的最短轨V2 U4 V3；5. 加同权边即可一个实例如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配给定一个图G ，M 为G 边集的一个子集，如果M 满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M 是一个匹配1.求奇度点的最短路径2.构造奇度点间的完全加权图3.求图的最佳（总权最小）完备匹配M={1,4;2,3}4.求1和4之间的最短轨V1 U1 V4；2和3之间的最短轨V2 U4 V3；5. 加同权边即可给定一个图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配1.取G 中的起始顶点V 0，令P 0=V 02.假设沿着P i = v 0e 1v 1e 2v 2…e i v i 走到顶点vi ，按下面方法从E(G)-{e 1,e 2,…,e i }中选e i+1①e i+1与v i 相关联；②除非没有别的边可供选择，否则e i+1不应该是G i =G-{e 1,e 2,…,e i }中的桥3.当2不能再进行时算法停止V4V1V2V5V6V7V8V3V4V1V2V5V6V7V8V3总结步骤1.求图G中奇度结点集合V0={v}；2.对V0中的每个顶点对u，v，用Dijkstra算法求距离d(u,v)；3.构造加权完全图；4.求加权图的总权最小的完备匹配M；5.在G中求M中同一边的结点间的最短轨；6.把G中在上一步求得的每条最短轨之边变成同权倍边，得到欧拉图G1；7.用FE算法求G1的一条欧拉回路W，W即为解；举例：邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？其二：如何选择代价最小的边？☐奇数顶点之间的最短路径☐Dijstra算法☐Floyd算法☐最小生成树的方法☐Prim算法☐Kruskal算法奇度结点间最短路径计算➢如果只有两个奇度结点，那么最短路径就是原来每条街道代价加上两个奇度顶点之间的最短代价之和；➢如果有多个奇度结点，要进行不同的组合。
CH6定积分应用 释疑解难
CH6 定积分应用释疑解难1、“微元法”的实质是什么? 应用“微元法”解决问题的具体步骤是什么?解析：“微元法”是用定积分解决实际问题的一种方法．量F在范围[a,b]内受到变量x的非均匀的复杂影响，“微元法”就在其中一个局部微小的范围[x,x+dx]内将不均匀的复杂问题“均匀化”、“简单化”．它体现的恰是数学中辩证法的运用．常见的“均匀化”、“简单化”处理方法有以常代变、以匀代不匀、以直代曲等．应用“微元法”的具体步骤如下：（1）选变量定区间．根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[a,b]．（2）取近似找微元．在(a, b)内任取一代表性区间[x, x +dx]，当dx 很小时运用“以直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式dA =f (x )dx ≈∆A（∆A为量A 在小区间[x, x +dx]上所分布的部分量的近似值)．b（3）对微元进行积分：A=⎰a f (x )dx ．2、应用定积分求平面图形面积和旋转体体积时需要注意哪些问题？解析：应用定积分求平面图形的面积时，要注意：(1)积分变量和积分区间的选取．若取积分变量为x ，则图形的曲边所对应的函数形式应为y =f (x )，积分区间是x 的变化范围；若取积分变量为y ，则图形的曲边所对应的函数形式应为x =g (y )，积分区间是y 的变化范围；(2)面积微元均用小矩形面积来代替；(3)特别地，由两个或多个函数所表示的曲线共同围成一个平面图形时，要仔细地分出各自区间上的面积微元．应用定积分求旋转体的体积时，要注意；(1)正确选取积分变量和积分区间；(2)体积微元是用小圆柱体的体积dV=π[f(x)2]dx(或dV=π[g(y)2]dy)来近似代替的．3、定积分的物理应用主要体现在哪些方面？学习是要注意掌握什么？解析：定积分在物理上的应用，主要是变力沿直线做功、引力、压力、重心和转动惯量等.解题的关键是根据实际问题建立恰当的坐标系，选择积分变量，求出微元.学习时注意记住一些常识有助于解题：（1）功W =F ⋅S ；（2）帕斯卡定律p=rh（比重⨯深度），压力P =p ⋅S ；（3）万有引力定律F =k ⋅M ⋅m.r 2。
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案1．已知总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，而μ未知，设1X ，2X ，3X 是取自总体X 的样本．试问下面哪些是统计量？(1)321X X X ++；(2)μ31-X ；(3)222σ+X ；(4)21σμ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3122i i X σ；(8)2μ-X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差．(1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70．解：(1)9.19)21201919212022192018(101101101=+++++++++==∑=i i x x ；43.1)(9110122=-=∑=i i x x s ．(2)5.67)7067667078686754(1018181=+++++++==∑=i i x x ；018.292)(718122=-=∑=i i x x s ．3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～)1(2χ．(2)设随机变量F ～),(21n n F ，则F1～),(12n n F ．(3)设总体X ～),(2σμN ，则X ～),(2n N σμ，22)1(S n σ-～)1(2-n χ，nS X /μ-～)1(-n t ．(4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独立，则=+)(Y X E 25，=+)(Y X D 50．4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C )A ．Y X +服从正态分布B ．22Y X +服从2χ分布C ．2X 与2Y 均服从2χ分布D ．22YX 服从F 分布5．在总体X ～)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本平均值X 落在8.50到8.53之间的概率．解：因为X ～)3.6,52(2N ，即52=μ，223.6=σ，因为36=n ，22205.1363.6==n σ，所以X ～)05.1,52(2N ．由此可得)8.538.50(≤≤X P 05.1528.50()05.1528.53(-Φ--Φ=8302.0)1429.1()7143.1(=-Φ-Φ=．6．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，10X 为总体的一个样本，求：(1))99.15(1012>∑=i i X P ；(2)写出1X ，2X ，…，10X 的联合概率密度函数；(3)写出X 的概率密度．解：(1)由题可知∑==1012i i X X ～)10(2χ，查2χ分布表有99.15)10(210.0=χ，可得10.0=α，即10.0)99.15(1012=>∑=i i X P ．(2)1X ，2X ，…，10X 相互独立，则联合概率密度函数为}exp{321}21exp{21),,,(1012510121021∑∏==-=-=i i i i x x x x x f ππ ．(3)X Y =～)1.0,0(N ，所以有2251.02)0(e 5e1.021)(y y y f -⋅--==ππ．7．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，5X 为总体的一个样本．确定常数c ，使25242321)(XX X X X c Y +++=～)3(t ．解：因为i X ～)1,0(N ，5,,2,1 =i ，所以21X X +～)2,0(N ，)(2121X X +～)1,0(N ，252423X X X ++～)3(2χ，因为25242321252423212632XX X X X X X X X X +++=+++～)3(t ，所以有23=c ．8．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)4,0(N 的样本．已知243221)43()2(X X b X X a Y -+-=为服从自由度为2的2χ分布，求a ，b 的值．解：由题可知i X ～)4,0(N ，4,3,2,1=i ，故有0)2(21=-X X E ，20)2(21=-X X D ，所以212X X -～)20,0(N ．同理4343X X -～)100,0(N ．而20)2(221X X -～)1(2χ，100)43(221X X -～)1(2χ，故有100)43(20)2(243221X X X X -+-～)2(2χ，比较可知201=a ，1001=b ．9．设总体X ～)3.0,(2μN ，1X ，2X ，…，n X 为总体的一个样本，X 是样本均值，问样本容量n 至少应取多大，才能使95.0)1.0(≥<-μX P ．解：易知X ～)3.0,(2nN μ，由题意有95.013(2/3.01.0/3.0()1.0(≥-Φ=<-=<-nnnX P X P μμ，即应有975.0)3(≥Φn，查正态分布表知975.0)96.1(=Φ，所以取96.13≥n，即5744.34≥n ，取35=n ．10．设总体X ～)16,(μN ，1X ，2X ，…，10X 为总体的一个样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>αS P ，求α的值．解：由抽样分布定理知22)1(σS n -～)1(2-n χ，因为10=n ，故有2249S ～)9(2χ，得1.0)169169()(22=>=>ααS P S P ，查2χ分布表得684.14)9(21.0=χ，即684.14169=α，解得105.26=α．11．设(1X ，2X ，…，1+n X )为来自总体X ～),(2σμN 的一个样本，记∑==n i i n X n X 11，∑=--=n i in X X n S 122(11，求证：nn n S X X n n T -⋅+=+11～)1(-n t ．证：由题可知n X ～),(2nN σμ，n n X X -+1～)11(,0(2σn N +，标准化得σnX X nn 111+-+～)1,0(N ．又因为∑=-=-ni inX XS n 1222)(1)1(σσ～)1(2-n χ，从而有nn nnn S XX n n n S n n X X -+=--+-++122111)1(11σσ～)1(-n t ，即nnn S X X n n T -⋅+=+11～)1(-n t ．。
数理方法习题解答(方程部分)0809
作业参考答案3、在（,ππ-）这个周期上，2()f x x x =+，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置x π=，由此验证222211112346π++++=解：因为2()f x x x =+在（,ππ-）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数 又 l π=所以()0101()cos sincos sin k k k k k k k k f x a a x b x l l a a kx b kx ππ∞=∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++∑∑23201111()d 2233a x x x x πππππππ--=+==⎰ 21()cos d k a x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos sin 2cos sin xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=+++-()241k k =- 21()sin d k b x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos 2sin cos cos xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=-+--()121k k +=- 所以 ()()1221142()1cos 1sin 3k k k f x kx kx kk π∞+=⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭∑222,,,x x x x x ππππππ⎧+-<<⎪==-⎨⎪=⎩令x π=代入上式得:()()()()122222211142141cos 1sin 1133k k k k k k kx kx k k kπππ∞∞+==⎛⎫⎛⎫+-+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 所以有222211112346π++++=得证5．（1）()cos ,(0,),(0)0,()0f x x x f f αππ=∈==作奇延拓，展为奇函数（sin 函数）1()sin k k f x b kx ∞==∑2cos sin d k b x kx x παπ=⎰2sin()sin()d 2k x k xx πααπ-++=⎰0111cos()cos()k x k x k k ππααπαα--⎡⎤=-++⎢⎥-+⎣⎦()()111cos cos 1cos cos 1k k k k παππαππαα--⎡⎤=-+-⎢⎥-+⎣⎦12221(1)cos ()k k k αππα+⎡⎤=+-⎣⎦- 12212()1(1)cos sin ,0()k k kf x kx x k απππα∞+=⎡⎤∴=+-<<⎣⎦-∑6． （1）2cos(/),(0,/2)(),(0)0,()00,(,)lx l x l f x f f l x l π∈⎧''===⎨ ∈⎩ 作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑/2/200002111cos d cos d sin 2l l l x x x a x x l l l l l πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰所以要讨论k ＝1的情况/221021cos d 2l x a x l l π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰/202111cos cos d 2l k k x x x l l l ππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ /211111sin sin 11l k k x x k l k l πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111sin sin 1212k k k k πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦120,212(1),2(41)m k m k m m π+ =+⎧⎪=-⎨ =⎪-⎩121112(1)2()cos cos ,02(41)m m x mf x x x l l m l ππππ+∞=-∴=++<<-∑ （2）()(1/),(0,),(0)0,()0f x a x l x l f f l ''=-∈==作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑002(1/)d 22l aa a x l x l =-=⎰ 02(1)cos d l k x k x a a x l l l π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 202221sin cos l a l k k k x x x l l k l l l ππππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()222202211421(21)k k n a a k n k n ππ=⎧⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦=+⎪+⎩220421()cos ,02(21)n a a n f x x x l n lππ∞=+∴=+<<+∑8．矩形波()f x 在(/2,/2)T T -这个周期上可以表示为0,/2/2(),/2/20,/2/2T x f x H x x T ττττ-<<-⎧⎪=<<-⎨⎪<<⎩试将它展为复数形式的傅立叶级数解：因为()f x 在(/2,/2)T T -上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数 又 2l T =2()k k ix ix lTkkk k f x c ec eππ∞∞=-∞=-∞==∑∑22/2/2/2/211()d d k k T i x i x T Tk T c f x e x He x T T ππττ--==⎰⎰ 2/2/22k ixTH T e T i k πττπ-⎛⎫=⎪-⎝⎭sin 2k k i i TT H e e H k k i k T πτπτπτππ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭当k ＝0时，/2/2/2/211()d d T k T H c f x x H x T T Tτττ--===⎰⎰ 2211()sin sin k k i x i x T Tk k H H k H k f x e e T k T k T ππτπτπτππ-∞=-∞=∴=++∑∑*****************************************************************3．把下列脉冲()f t 展开为傅立叶积分0,(),0,00,t T f t h T t h t T t T⎧⎪<-⎪⎪=--<<⎨⎪<<⎪>⎪⎩解：在(,)t ∈-∞∞，()f t 满足狄氏条件，且绝对可积，所以()f t 可以展开为付氏积分。
医药数理统计方法第六版习题答案
医药数理统计方法第六版习题答案
第六版医药数理统计方法习题试题及答案：
1.在哪种研究中，我们可以用t检验来确定两组的时间和数量的组合？
A.单因素分析
B.双因素分析
C.重复测量分析
D.相关分析
答案：C.重复测量分析。
2.下面哪种情况可以用t检验来考察？
A.两个样本的平均数
B.一组数据的中值
C.一组数据的总和
D.两组数据的比例
答案：A.两个样本的平均数。
3.假设检验是用来：
A.检查两组样本是否相等
B.检查一组样本是否具有特定的统计特性
C.确定一组样本的平均数
D.比较一组样本的总和
答案：B.检查一组样本是否具有特定的统计特性。
4.假定检验的目的之一是检查双重限制假设，下列哪种假设是错误的：
A.样本的平均数是不变的
B.样本之间的方差是不变的
C.样本的数量是不变的
D.样本的总和是不变的
答案：D.样本的总和是不变的。
5.下列哪种类型的试验可以用卡方分析来检验？
A.实验室实验
B.研究对照组
C.双因素研究
D.观察法
答案：D.观察法。
6.下列哪种研究不能用卡方分析来检验？
A.对照研究
B.双因素实验
C.回归分析
D.实验室实验
答案：C.回归分析。
7.如何使用非参数统计？。
高等数学第二版刘金舜ch6-answer
x7
+
C ;(a3 x
−
a2bx3
+
k 3 . 5
ab2x5
−
1 7
b3
x7
+
C)
w (6) ww (7)
√(1−√3 xx)2 dx =√
(x−
1 3
−
2x
2 3
+
√
( x + 1)( x3 − x + 1)dx
x5 3
=
)dx;( (x2
x 3
2
2 3
+x
−
6 5
− 3
2
x x
+ x 5
3
3 8
=
1 5
1 x−3
−
1 x+2
dx;(
1 5
ln
x−3 x+2
+ C)
m √ dx o 4−9x2
=
1 3
(d
3 2
1−(
x)
3x 2
)2
;(
1 3
arcsin
3x 2
+
C)
c √ dx . 5−2x−x2
=
√ dx
=
6−(x+1)2
( ) d x√+1 6
( 1− x√+1 6
)2
;(arcsin
(1
−
cos2
x)d
cos
x;(−
cos
x
+
1 3
cos3
x
+
C)
ww sin4 xdx =
1−cos 2x 2
计算方法第六章习题答案
第六章习题答案1.用二分法求方程在区间[1内的根，要求其绝对误差不超 32()330f x x x x =+−−=,2]过210.−解： 由于(1)113340,f =+−−=−<32(2)2232330,f =+−×−=>且当时，[1,2]x ∈22110()3233()033f x x x x ′=+−=+−> 所以方程在区间[1内仅有一个实根。
,2] 由2111(21)10,22k −+−≤×解得2ln10 6.64385.ln 2k ≥≥所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。
取[1区间的中点将区间二等分，求得,2]1 1.5,x =(1.5) 1.8750,f =−<与(1)f 同号，因此得到下一区间[1如此继续下去，即得计算结果。
.5,2];计算结果如下表：k(())f k k a a 的符号(())x f x k k 的符号(())b f b k k 的符号0 1（-） 1.5（-） 2（+） 1 1.5（-） 1.75（+） 2（+） 2 1.5（-） 1.625（-） 1.75（+） 3 1.625（-） 1.6875（-） 1.75（+） 4 1.6875（-） 1.71875（-） 1.75（+） 5 1.71875（-） 1.734375（+） 1.75（+） 6 1.71875（-） 1.7265625（-） 1.734375（+） 7 1.7265625（-） 1.73046875（-） 1.734375（+）7()1.73046875 1.73a b x +==≈77取即满足精度要求2。
2.证明1s 在[0内有一个根，使用二分法求误差不大于in 0x x −−=,1]41102−×的根要迭代多少次？证明： 设()1sin ,f x x =−−x由于(0)10sin 010,f =−−=>(1)11sin1sin10,f =−−=−<且当时，[0,1]x ∈()1cos 0.f x x ′=−−< 因此方程在区间[0内有一个根。
ch6习题及答案
ch6习题及答案习题6解答判断题：1.二叉树中每个结点有两个子女结点，而对一般的树则无此限制，因此二叉树是树的特殊情形。
( ╳ )2.二叉树就是结点度为2的树。
( ╳ )( (哈工大2000年研究生试题)3.二叉树中不存在度大于2的结点，当某个结点只有一棵子树时无所谓左、右子树之分。
( ╳ ) (陕西省1998年自考试题)4.当k≥1时，高度为k的二叉树至多有21 k个结点。
( ╳ )5.完全二叉树的某结点若无左孩子，则它必是叶结点。
(√)(中科院软件所1997年研究生试题)6.用一维数组存放二叉树时，总是以前序遍历顺序存储结点。
( ╳ )7.若有一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的最后一个结点，则它必是该子树的前序遍历序列中的最后一个结点。
( ╳ )8.存在这样的二叉树，对它采用任何次序的遍历，结果相同。
(√)(哈工大2000年研究生试题)9.中序线索二叉树的优点之一是便于在中序下查找前驱结点和后继结点。
(√)10.将一棵树转换成二叉树后，根结点没有左子树，( ╳ )(北邮1999年研究生试题。
)11.由树转换成二叉树，其根结点的右子树总是空的。
(√)12.前序遍历森林和前序遍历与该森林对应的二叉树其结果不同。
( ╳ )13.在叶子数目和权值相同的所有二叉树中，最优二叉树一定是完全二叉树。
( ╳ )14.在哈夫曼编码中，当两个字符出现的频率相同时，其编码也相同，对于这种情况应作特殊处理。
( ╳ )15.霍夫曼树一定是满二叉树。
( ╳ )16.树的度是树内各结点的度之和。
( ╳ )17.由二叉树的结点构成的集合可以是空集合。
(√)18.一棵树中的叶子结点数一定等于与其对应的二叉树中的叶子结点数。
( ╳ )选择题：19.树最适合用来表示( C )。
A．有序数据元素 B. 无序数据元素C．元素之间具有分支层次关系的数据 D. 元素之间无联系的数据20.如果结点A有3个兄弟，而且B是A的双亲，则B的度是( D )。
应用数理统计课后习题参考答案
应用数理统计课后习题参考答案1. 描述性统计问题1描述性统计是一种对数据进行整理、呈现和分析的方法。
它可以提供数据的基本特征，包括数据的中心趋势、离散程度和分布形状。
常见的描述性统计方法有：•平均数：用于衡量数据的中心趋势，是所有数据值的总和除以数据的个数。
•中位数：将数据按大小顺序排列，中间位置的数值即为中位数。
•众数：数据中出现次数最多的数值。
•范围：数据的最大值减去最小值。
•方差：用于衡量数据的离散程度，是每个数据与平均数之差的平方的平均值。
•标准差：方差的正平方根。
问题2对于给定数据集，以下是计算描述性统计的步骤：1.求出数据的个数。
2.计算数据的总和。
3.求出数据的平均数。
4.将数据按大小顺序排列。
5.求出数据的中位数。
6.找出数据中出现次数最多的数值，即众数。
7.计算数据的范围。
8.计算数据的方差。
9.计算数据的标准差。
2. 概率分布问题1概率分布是用来描述随机变量的分布规律的函数。
常见的概率分布包括：•二项分布：适用于具有两个可能结果的离散型随机变量，如投硬币的结果。
•泊松分布：适用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型随机变量。
•正态分布：也称为高斯分布，是一种连续型概率分布，常用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
问题2对于给定的概率分布，以下是计算概率的步骤：1.对于离散型概率分布，计算每个可能结果的概率，并将其加总为1。
2.对于连续型概率分布，计算指定区间内的概率，可以使用积分来进行计算。
3.根据需要计算特定事件的概率，可以使用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来计算。
3. 统计推断问题1统计推断是一种利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
常见的统计推断方法有：•置信区间估计：对总体参数进行估计时，构造一个区间，使得真实值以一定概率包含在该区间内。
•假设检验：用于判断一个总体参数是否等于某个特定值。
•方差分析：用于比较两个或多个总体的均值是否有显著差异。
数理经济学第6章课后题答案
第六章 习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。
并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221≤=+x x ，因此该约束规格是紧的。
构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。
并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的BA Ox 1x 2构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλx 1Ox 2x 2x 1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：x 1BCAx 212112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。
数理方法答案
[
]
(6) sin ix 解 sin ix = e−x − e x e x − e−x =i = ishx 2i 2
第13页
试推导极坐标系中的柯西
黎曼方程(1.3.4)
解 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 或写成 f ( z ) = u ( ρ , ϕ ) + iv( ρ , ϕ ) f ( z + ∆z ) − f ( z ) u ( ρ + ∆ρ , ϕ ) + iv(ρ + ∆ρ , ϕ ) − (u + iv) = lim ∆z ∆ρe iϕ ∆ρe iϕ → 0 即∆z = ∆ρe iϕ → 0 (∆ϕ = 0) 若∆z沿径向趋于零 ∴ lim
---end---
(
)
)
得f (z ) = 2C1 ln ρ + C 2 + i 2C1ϕ + iC 3 = 2C1 (ln ρ + iϕ ) + C 2 + iC 3
数学物理方法
附加 解 1 用柯西公式求
第 2 章 作业解答
1 ez ∫ c z 1 − z 3 dz 2π i v c 不经过 0 1 讨论所有的曲线
(4 x
∂ 2u ∂ 2u 2 = ... = 2 F '+4 y 2 F " = = + ... 2 ' 4 " F x F 2 2 ∂y ∂x + 4 y 2 F "+4 F ' = 0
2
)
dF ' F" 1 1 1 dt = − =− 2 = − 即左边 F' t F' t x + y2 dF ' 1 ∴ = − dt F' t C1 F= t F = C1 ln t + C 2 = C1 ln x 2 + y 2 + C 2
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn ni ii P X k X k X k P X k ======∏1!ik ni i ek λλ-==∏112!!!nii n k n ek k k λλ=-∑=0,1,i k =，1,2,,,i n = 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.xex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X 的密度为1121,0(,,,)0,.ni i ix nn x i n i ex f x x x eλλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏其它 1,2,,i n = 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L M P X P X NN====于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X NN ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X NN -===⋅-若N →∞时M p N→，则1L p N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=- 012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=- 102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p pp +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计作业(六)答案
1、如果12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,X 的分布函数为()F x ,则12,,,n X X X 的联合分布函数为 ;如果X 的概率密度为()f x ,则12,,,n X X X 的联合概率密度为 . 解()1n ii F x =∏,()1nii f x =∏2、设12345,,,,X X X X X 是来自总体(0,1)X N ~的样本,则521i i Z X ==~∑ . 解 2(5)Z χ~3、设X ～),(2σμN ,12,,,n X X X 为来自总体X 的样本,则()E X = ,()D X = . 解 12,,,n X X X 为来自总体X 的样本()()()()()()()()12212n n E X E X E X E X D X D X D X D X μσ∴==========()()11221111()11()n n i i i i n ni i i i E X E X E X n n D X D X D X n n nμσ====⎛⎫⎡⎤∴=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 4、设总体()X P λ~,12,,,n X X X 为来自X 的一个样本,则()E X =______,()D X =______. 解 12,,,n X X X 为来自总体X 的样本()()()()()()()()1212n n E X E X E X E X D X D X D X D X λλ∴==========()()1121111()11()n n i i i i n n i i i i E X E X E X n n D X D X D X n n nλλ====⎛⎫⎡⎤∴=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤===⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑5、如果22(4),(5)X Y χχ~~,且它们相互独立,则X Y +~ . 解 2(9)X Y χ+~6、如果2(10)X χ~,则()E X = ;()D X = . 解 ()10E X =,()20D X =.7、20.025(30)χ= ,20.05(61)χ= . 解 查表得20.025(30)46.979χ=(()2220.050.0511(61) 1.641179.884822z χ≈+=+=.8、设2(0,1),(100)X N Y χ~~,且,XY 相互独立,则统计量t =~. 解~(100)t t == 9、设(22)t t ~,则()E t = ；()D t = .解 22()0,() 2.2222E t D t ===-0.01 ,0.25 . 解 0.01(20) 2.5280t =,0.250.25(50)0.67t z ≈=.11、设22(20),(30)U V χχ~~,且,U V 相互独立,则统计量32UF V=~ . 解 320~(20,30)230U U F F V V ==. 12、若~(25,40)F F ,则1~F.解 1~(40,25)F F.13、若1~(,12)F F n ,则()E X = .解 ()121.2122E X ==-. 14、0.05(9,12)F = ,则()0.9512,9F = .解 0.050.950.0511(9,12) 2.80,(12,9)0.357(9,12) 2.80F F F ====.15、设12,,,n X X X 相互独立,2(,)i i iX N μσ~,则1n i i i a X η==~∑ .解 22111,nn ni i i i i i i i a X N a a ημσ===⎛⎫=~ ⎪⎝⎭∑∑∑16、设12,,,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的样本,则X ~,X ~ . 解 ()2,X N n μσ~(0,1)X N ~ 17、设12,,,n X X X 相互独立,(0,1)i X N ~,则21~n i i T X ==∑ .解 221~()ni i T X n χ==∑18、设两个随机变量X 与Y 相互独立,并且2(0,1),()X N Y n χ~~,则T =~. 解 ()T t n =~ 二、计算题1、设总体()2~60,15X N ,从总体X 中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.解 由已知2260,15,100n μσ===~(0,1)Z N =,即60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2、从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差.解 ~(0,1)Z N =,由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02⎡⎤-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭ 查表得2.33σ= 所以5.43.σ==。
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3.长为 l 的均匀杆，两端受拉力 F (t ) 而作纵振动，写出边界条件。 F (t ) ux |x =0 = ES 解：设杨氏模量为 E ，杆的横截面积为 S ，边界条件为： u | = = F (t ) x x l ES 4.长为 l 的均匀杆，两端有恒定热源流入，其热流密度为 q0 ，写出这个热传导问 题的边界条件。 q ux |x =0 = − 0 k u x | x =l = q0 k
记 a2 =
utt = a 2u xx + f 当杆不受外力时，杆的自由纵振动方程为： utt = a 2u xx
4.推导出三维的热传导方程。 解：
1
建立 xyz 直角坐标系。取 x 与 x + dx 之间， y 与 y + dy 之间， z 与 z + dz 之间的小平行六面体，它的长宽高分别为 dx ， dy ， dz ，它的体积为 dxdydz 。
+ k ( dxdy ) dt ( 整理得，
∂u ∂u ∂u ∂u |x + dx − |x ) + k (dxdz )dt ( | y + dy − k |y ) ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂u |z + dz − k |z ) + F (dxdydz )dt ∂z ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u | y ∂u |z + dz − k ∂u |z ) | x + dx − | x ) ( | y + dy −k (u |t + dt −u |t ) k ∂x ∂y ∂y ∂x ∂z ] + F + ∂z = [ + dt cρ dx dy dz cρ (
杆作纵振动时，相对伸长 u x 随位置不同而不同。 M 1 、 M 2 两端的相对伸长分别 是 u x | x 和 u x | x + dx 是P 1 = Eu x | x ， 。 设杨氏模量为 E ，两端点处的应力（单位面积上的）分别 P2 = Eu x |x + dx
另设单位面积单位长度的杆沿杆长方向所受的外力为 F ， M 1M 2 段的运动学方程为： ρ ( Sdx)utt = SEux |x + dx − SEu x |x + FSdx 得 utt = E u x | x + dx −u x | x F E F ⋅ + = ⋅ u xx + ρ dx ρ ρ ρ E F ， f = ，则方程为： ρ ρ
x x + ∆x
Z所需的热量为： Q = c( ρdxdydz )(u |t + dt −u |t ) 先考察时间 dt 内沿 x 方向热量的流动情况： ∂u |x ⋅(dydz )dt ∂x ∂u 在右表面流出平行六面体的热量为： − k | x + dx ⋅(dydz )dt ∂x 在左表面流入平行六面体的热量为： − k 则沿 x 方向净流入平行六面体的热量为： Q1 = k (dydz )dt (
解：设导热率为 k ，边界条件为：
5.弹簧原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动， 写出定解条件。 u | = 0 解： x = 0 u x |= 0 b u |t = 0 = x l ut |t = 0 = 0
7.一根长为导热杆 l 由两段构成，二 段的热传导 系数、比热、密度分别为 k1 c1 ρ1 和 k2 c2 的定解问题。 k1 Ι Ι ut = c ρ u xx (0 < x < x0 ) 1 1 Ι u | x = 0 = 0 Ι u |t = 0 = u0 k2 ΙΙ ΙΙ ut = c ρ u xx 2 2 ΙΙ u | x =l = 0 ΙΙ u |t = 0 = u0 ( x0 < x < l ) ρ 2 ，初始温度是 u0 ，然后保持两端温度为零，写出此热传导问题
3
u Ι | x0 − 0 = u ΙΙ | x0 + 0 衔接条件为： ∂u Ι ∂u ΙΙ |x 0 − 0 = k2 |x + 0 k1 ∂x 0 ∂x
4
即 utt =
k F (u xx + u yy + u zz ) + cρ cρ
记
k F = D， = f ， u xx + u yy + u zz = ∆u ， cρ cρ
则方程为： utt = D∆u + f
2
P112：习题 6.3
1.长为 l 两端固定的弦，作振幅极其微小的横振动，写出其定解条件。 u |x = 0 = 0 解： u |x = l = 0 ， u |t = 0 = ϕ ( x) ut |t = 0 = ψ ( x)
数理方法 CH6 作业解答 P107：习题 6.2 2.推导出均匀细杆的纵振动方程 utt = a 2u xx + f 其中， a 2 = E F ( x, t ) ，f = ； E 为杨氏模量， ρ 为杆的密度， F 为单位长度的杆 ρ ρ
沿杆长方向所受的外力。 解：把杆细分为许多极小的小段，取区间 x → x + dx 上的小段 M 1M 2 为研究对象。 在振动过程中，该段两端的位移分别记作 u ( x, t ) 和 u ( x + dx, t ) 。该段的伸长是 u ( x + dx, t ) - u ( x, t ) = du ，相对伸长是 ∂u = ux ∂x
X
∂u ∂u | x + dx − | x ) ∂x ∂x ∂u ∂u | y + dy − k |y ) ∂y ∂y
同理可得沿 y 方向净流入平行六面体的热量为： Q2 = k (dxdz )dt ( 沿 z 方向净流入平行六面体的热量为： Q3 = k (dxdy )dt (
∂u ∂u |z + dz −k |z ) ∂z ∂z
又设杆内有热源，热源强度为 F ，则在时间 dt 内杆内热源在平行六面体内产生 的热量为 Q4 = F (dxdydz )dt 根据能量守恒定律，平行六面体升温所需的热量为 Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 ， 得到方程： c( ρdxdydz )(u |t + dt −u |t ) = k (dydz )dt (