复变函数_期末试卷及答案
复变函数期末试卷及答案2套
1 复变函数与积分变换（B 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设1z =，则（ ）A ．||1,arg 3z z π== B ．||2,arg 3z z π==- C ．||2,arg 3z z π== D ．||4,arg 3z z π==-2．下列等式成立的是（ ） A ．1i e π=- B ．1i eπ--=- C ．1i e π-=- D ．21ieπ=-3．函数2()||f z z =在复平面上（ ）A ．处处不连续B ．处处连续，在点0z =解析C ．处处连续，处处不可导D ．处处连续，仅在点0z =可导 4．下列复数中为实数的是( )A 3(1)i -B ln iC ii D 5．设C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分Czdz =⎰（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．1i +6. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分z Ce dz =⎰( ).A ．1B ．2πC ．0D ．2i π7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线，则积分53()C z dz z z =-⎰ ( ).A ．0B ．2i πC ．502z i πD ．3020z i π8．函数1()2f z z=+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10(1)2n nnn z +∞=-∑ B. 1(1)2n nn n z ∞+=-∑ C. 02n n n z ∞=∑ D.12nn n z ∞=∑ 9. 0z =是函数3sin ()z zf z z-=的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:10.设1()(2)zf z z e =+，则Re [(),0]s f z =（ ） A ．12 B ．32 C ．2 D ．52二、填空题(每空3分，共15分)1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。
复变函数期末试卷及答案
20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设 复数1z i =-，则arg z =（ ）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（ ）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（ ）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（ ）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（ ）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。
复变函数期末考试及答案(珍藏版)
一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。
9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。
二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试卷(含答案)
解：令，则
因在处连续，故在处连续。
又，故在处不可导。
16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。
证：因在内解析，故
已知等式两边分别对求偏导，并用上式得：
同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。
17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。
解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故
②在内部，在外部，由高阶导数公式
《复变函数》期末试卷
1、 单项选择题（每题2分，共20分）
1． 以下命题正确的是
A．
B．零的辐角为零
C．
D．对任意复数有 [ A ]
2．若，则
A．
B．
C．
D．
[D ]
3．设在区域内解析，则
A．
B．
C．
D．
[B]
4．下列说法正确的是
A．如果存在，则在处解析
B．如果和在区域内可微，则在区域内解析
C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析
[ A]
B．二级零点
C．三级零点 10．设则 A．
D．四级零点 B．
[C ] [C]
C．
D．
[D ]
Hale Waihona Puke 二、填空题（每空2分，共10分）
11．
12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则 或0
13．的主值等于
14．函数在处的主要部分为
，
在处的主要部分为
0
2、 解答题
15．讨论函数在原点的连续性与可导性。
D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析
5．下列等式中不正确的是
A． （为整数） B．
C． （为整数）
D． [ B ]
6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则
复变函数期末考试试卷及答案详解
复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
济南大学成人教育《复变函数(191302)》期末考试复习题及参考答案
17.
A、 B、 C、 D、 答案： C
18.
A、 B、 C、 D、 答案： D
19.
A、 B、 C、
D、 答案： A
20.
A、 B、 C、 D、
答案： C
21.
A、 B、 C、 D、 答案： D
22.
A、 B、 C、 D、 答案： D
23.
A、 B、
C、 D、 答案： C
24.
A、 B、 C、 D、 答案： B
33.
A、 B、 C、 D、 答案： B
34.
A、 B、 C、
D、 答案： B
35.
A、 B、 C、 D、 答案： C
36.
A、 B、
C、 D、 答案： C
37.
A、 B、 C、 D、 答案： B
题 二、 判断
1.
A、正确
B、错误
答案： 正确
2.
A、正确
B、错误
答案： 正确
3.
A、正确
B、错误
答案： 正确
9.
A、 B、 C、 D、 答案： A
10.
A、
B、 C、 D、
答案： D
11.
A、 B、 C、 D、 答案： D
12.
A、 B、 C、 D、 答案： A
13.
A、 B、 C、 D、 答案： C
14.
A、 B、 C、 D、 答案： C
15.
A、 B、 C、 D、 答案： C
16.
A、
B、 C、
D、 答案： B
4.
A、正确
B、错误
答案： 正确
5.
A、正确
B、错误
答案： 正确
(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)
a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。
因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。
题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。
）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分) 1．以下复数中，位于第三象限的复数是〔 〕A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．以下等式中，不成立的等式是〔 〕4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕 A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+以下命题正确的选项是〔 〕 A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=5．以下函数中，在整个复平面上解析的函数是〔 〕.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在以下复数中，使得ze i =成立的是〔 〕.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则以下正确的选项是〔 〕12.iA z e π=34.i B z eπ=712.i C z eπ=3.iD z e π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为〔 〕A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于〔 〕 A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的选项是〔 〕A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的〔 〕A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为〔 〕A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于〔 〕A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则以下命题正确的选项是〔 〕 A. 2[(2)]()j f t e F ωω-=⋅F B. 21()[(2)]j e f t F ωω-⋅=+F C. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jt e f t F ω⋅=-F二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，〔2〕求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
复变函数 期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是复变函数的定义？A. 函数表达式包含复数部分和常数部分。
B. 函数的定义域为复数集合。
C. 函数表达式只包含实数。
D. 复变函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
答案：C2. 设函数 f(z) = z^2 - 2z。
那么 f(z) 在 z = 1 处的导数是多少？A. 0B. -1C. 2D. 4答案：B3. 设函数 f(z) = sin(z)。
则它的周期是多少？A. 2πB. πC. 2D. 1答案：A二、填空题1. 复数的共轭是指实数部分相等，虚数部分______的两个复数。
答案：相反2. 设 z = a + bi 是一个复数，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
那么实部 a = ______，虚部 b = ______。
答案：a，b三、计算题1. 计算复数 z = 2 + 3i 和 w = -1 - 4i 的和 z + w。
解答：z + w = (2 + 3i) + (-1 - 4i)= 1 - i答案：1 - i2. 计算复数 z = 1 + 2i 和 w = 3 - i 的乘积 z × w。
解答：z × w = (1 + 2i)(3 - i)= 3 + 6i - i - 2i^2= 3 + 5i + 2= 5 + 5i答案：5 + 5i四、问答题1. 复数的解析函数具有什么特点？答：复数的解析函数具有以下特点：- 函数的实部和虚部都是解析函数。
- 函数的导数在定义域内处处存在。
- 函数满足柯西－黎曼方程。
2. 复数在数学和实际应用中有什么作用？答：复数在数学和实际应用中具有广泛的作用，包括但不限于以下几个方面：- 复数可以用于表示电路中的交流电信号。
- 复数可以用于解决数学方程中的平方根问题。
- 复数可以用于描述波的传播和干涉现象。
- 复数可以用于解析几何中的向量运算。
以上为复变函数期末试题及答案，希望能对您有所帮助。
复变函数考题及答案
复变函数考题及答案【篇一：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇二：复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________，其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.三.计算题（40分）：f(z)?11. 设(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分：i???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1，则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：?ezdzcz2(z2?9)，其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数期末考试题大全
____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔 〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔 〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔 〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔 〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔 〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔 〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔 〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕对任何复数z,22z z =成立2、〔 〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔 〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔 〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔 〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔 〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔 〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔 〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔 〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔 〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔 〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔 〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔 〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔 〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔 〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔 〕解析函数的零点是孤立的 四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明： 设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题及答案
复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。
答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。
复变函数期末考试试卷及答案详解
复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数14套题目和答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
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一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括
号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）
A. 12i +
B. 12i --
C. 12i -
D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部
B. Re()0z >表示上半平面
C. 0arg 4
z π
<<
表示角形区域
D. Im()0z <表示上半平面
4．关于0
lim
z z
z z
ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=
B. ω不存在
C.1ω=-
D.
1ω=
5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）
A. cos z 是有界函数
B. 2
2Lnz Lnz =
7
．在下列复数中，使得z
e i =成立的是（ ） 8．已知3
1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分
||34
2z dz z =-⎰的值为（ ）
A. 8i π
B.2
C. 2i π
D. 4i π
10．设C 为正向圆周||4z =, 则10
()z
C e dz z i π-⎰等于（ ） A.
1
10!
B.
210!
i
π C.
29!
i
π D.
29!
i
π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）
A.级数0327n
n i ∞
=+⎛⎫
⎪⎝
⎭∑是绝对收敛的
B.级数
212
(1)n n i
n n ∞
=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛
D.在收敛圆周上，条件收敛
12．0=z 是函数(1cos )
z
e z z -的（ ）
A. 可去奇点
B.一级极点
C.二级极点
D. 三级极点
13．
1
(2)
z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）
A. 0
.1B
C.
12
D. 12
-
14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dz
z
⎰等于（ ）
A ．2π
B ．2πi
C ．0
D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t e
F ω
ω-=⋅F
B. 21()[(2)]j e
f t F ω
ω-⋅=+F
C. [(2)]2(2)f t F ω=F
D. 2[()](2)jt
e f t F ω⋅=-F
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10
分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
____________. 17. 已知2
2
()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =
cos z
t tdt ⎰
，则)(z f 等于____________.
19. 幂极数n n
2
n 1
(2)z n ∞
=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3
z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2
()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]C
I x y xyi dz =
-+⎰
22. 设2()cos z
e f z z z i
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知2
2
(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
23. 将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在点0=z 处展开为洛朗级数.
25. 计算
2||3(1)()(4)z z z i z =++-⎰.
四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算
20
1
.54cos d π
θθ
-⎰
26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，
arg (0)1f =.
27. 求函数2,10
(),
010,t f t t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。
28．用拉氏变换求解方程()(),(0) 1.t
y t y t e y '+==其中
复变函数与积分变换期末试卷答案
一、选择题
1．B. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B 二、填空题 16．cos
sin
6
6
z i π
π
=+, 17. 1, 18. 3(1)z z
ze e -+,
19. 1,
20.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]C
I x y ixy dz =
-+⎰
解：设曲线C 的参数方程为:(23)0 1.C z i t t =+≤≤
22. 设2
()cos 4z
e f z z z
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 解：(1)由方程 2
40z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.
(2)222
(42)
()sin .(4)z e z z f z z z -+'=
--
23. 将函数()(1)(2)
f z z z =
--在点0=z 处展开为泰勒级数.
解：11111
()(1)(2)(2)(1)(1)
2(1)2
f z z z z z z z -=
=+=+
------ 24. 将函数1
1
2
()(1)
z e
f z z -=
-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数. 解：z
e 的泰勒展式为0!
n
z
n z e n ∞
==∑，故11
z e -的罗朗展式为1
1
11!n
z n z e n ∞-=⎛⎫
⎪-⎝⎭=∑， 所以1
122200
1111().(1)(1)!!(1)n
z n n n e z f z z z n n z ∞∞
-+==⎛⎫ ⎪-⎝⎭===---∑∑ 四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）
25．已知2
2
(,)2u z y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
解：由柯西－黎曼方程得
2,v u y x y
∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰
2()22,v u
x C y x y x
∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰
所以(,)22.v x y xy y C =++
从而2
()2(22).f z x y x xy y C i =-++++
又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2
()2(222).f z x y x xy y i =-++++
26. 计算
2||2(1)(1)(3)z dz
z z z =-+-⎰.
解：由柯西积分定理得
原式2112|1||1|2
2
11(1)(3)(1)(3)
(1)(1)z z z z z z dz dz z z -=
+=+---=
+-+⎰
⎰
27. 求函数1,10
()1,
010,t f t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。
解：0
1
1
()()i t i t i t F f t e dt e dt e dt ωωωω+∞
----∞
-=
=-+⎰
⎰⎰
28．求函数 ()cos3f t t = 的拉氏变换
解：330
()()cos32
it it
st st
st
e e F s
f t e dt e
tdt e
dt -+∞
+∞
+∞
---+=
==⎰
⎰⎰。