圆锥曲线之椭圆题库 含详解 高考必备

椭圆题库

1 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.

（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.

解：（1）22

41

282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩

（2）因4

84AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨

+=⎪⎩

，

则 5.AF BF +=

（1）

设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠

221(

)(1663

t t t t t t -=-÷+==≤

++，

当t =

30tan EPF EPF ∠=

⇒∠= 2 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是

椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF （1）求点T 的轨迹C 的方程；

（2）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，

使△F 1MF 2的面积S=.2

b 若存在，求∠F 1MF 2

的正切值；若不存在，请说明理由.

（1）解 ：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （2）解：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22

1,

2

022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤

所以，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.

当c

b a 2

≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，

由2222

022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，

212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，

22121sin ||||2

1

b MF F MF MF S =∠⋅=

，得.2tan 21=∠MF F 3 已知椭圆C 1的方程为14

22

=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；

（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2

的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12

2

22=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.13

22

=-y x （II ）将.0428)41(14

22222

=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 ③ ④

由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得

,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k

即 .4

1

2

>

k ① 0926)31(13

22222

=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.

由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得

.

13

1

.0)1(36)31(36)26(,0312222222

<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即

)

2)(2(,66319

,3126),,(),,(2

2+++=+<+<⋅--=⋅-=

+B A B A B A B A B A B A B

A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设

.1

37

3231262319)1(2

)(2)1(222

222-+=+-⋅+--⋅

+=++++=k k k

k k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732

222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .3

1

151322<>

k k 或 ③ 由①、②、③得

.115

13

314122<<<

13

()33,21()21,33()1513,1( ---

-

4．已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.

（1）求该椭圆的方程；

（2）求弦AC 中点的横坐标；

（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.