圆锥曲线之椭圆题库 含详解 高考必备
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)(解析版)
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)保持做题的“手感”。
临近高考，考生仍要保持做数学题的手感，勤于动笔，勤于练习。
考前很多考生心态波动较大，比如看到考试成绩下降，就会非常焦虑。
实际上成绩有波动很正常，因为试卷的难度不一样，考生的发挥也不一样，试卷考查的知识点和考生掌握的情况也不一样。
考生不要因为一次考试而让自己过于焦虑，要辩证地去看待考试成绩。
在考试过程中，如果遇到新题或难题，一定要稳住心态。
考生要想到的是：我觉得难，别人也一样。
当然我们也不能因为题目简单就疏忽大意，要把自己的水平发挥出来，保证自己会做的题都不出错，难题尽可能多拿分。
圆锥曲线解题技巧尽量做出第一问，第二问多套模板拿步骤分1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 2一、解答题1(2024·浙江温州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左右顶点分别是A -2,0 ，B 2,0 ，椭圆的离心率是22.点P 是直线x =32上的点，直线PA 与PB 分别交椭圆C 于另外两点M ，N .(1)求椭圆的方程.(2)若k AM =λk BN ，求出λ的值.(3)试证明：直线MN 过定点.【答案】(1)x 22+y ²=1(2)12(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合a 2=b 2+c 2计算即可得；(2)设出点P 坐标，借助斜率公式计算即可得；(3)设出直线MN 方程，联立曲线方程，借助韦达定理与(2)中所得λ计算即可得.【详解】(1)由题意可得a =2，c a =22，即a 2=2c 2=b 2+c 2=2，所以b =c =1，则椭圆C :x22+y 2=1；(2)设P 32,n ，由于k AM =λk BN ，则λ=k PA k PB =n32+2n 32-2=2242=12；(3)显然MN 斜率不为0，设l MN ：x =ty +m ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立方程x =ty +mx 22+y 2=1，则有t 2+2 y 2+2tmy +m 2-2=0，Δ=4t 2m 2-4t 2+2 m 2-2 =8t 2-m 2+2 >0，则有y 1+y 2=-2tm t 2+2，y 1y 2=m 2-2t 2+2，由于k AM =λk BN ，则λ=kMA k BN =y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1x 2-2 x 2+2 y 2x 1+2 x 2+2 =y 1x 22-2y 2x 1+2 x 2+2，因为x 222+y 22=1，故λ=-2y 1y 2x 1+2 x 2+2 =-2y 1y 2ty 1+m +2 ty 2+m +2 =4-2m 22m 2+42m +4=12，即3m 2+22m =2，解得m =-2或m =23，当m =-2时，2m 2+42m +4=0，故舍去，即m =23，适合题意，故MN :x =ty +23，则直线MN 过定点23,0.2(2024·辽宁·模拟预测)在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线y =-2距离的差为-1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为x 0(x 0<0).(i )求W 在点P 处的切线的斜率(用x 0表示)；(ii )直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA =PB ，求直线l 的斜率的取值范围(用x 0表示).【答案】(1)x 2=4y(2)(i )x 02，(ii )答案见解析【分析】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，利用距离公式列式化简求解即可；(2)(i )利用导数的几何意义求得切线斜率；(ii )分析直线l 斜率存在设为y =kx +m ，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得x 024=-1k x 0-x M +y M ，从而m =x 204+x 0k-2k 2-2，根据Δ>0，得k k -x 02 k 2+x02k +2 <0，分类讨论解不等式即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意得(x -0)2+(y -1)2-|y -(-2)|=-1，即x 2+(y -1)2=|y +2|-1，所以y +2≥0,x 2+(y -1)2=y +1. 或y +2<0,x 2+(y -1)2=-y -3.整理得y +2≥0,x 2=4y .或y +2<0,x 2=8y +8.故W 的方程为x 2=4y .(2)(i )因为W 为y =x 24，所以y =x2．所以W 在点P 处的切线的斜率为：x 02；(ii )设直线l 为y =kx +m ，点M 为线段AB 的中点，当k =0时，不合题意，所以k ≠0；因为点A ，B 满足x 2=4y ,y =kx +m . 所以x A ,x B 满足x 2-4kx -4m =0，从而Δ=16k 2+16m >0,x M =x A +xB 2=2k ,y M =kx M +m =2k 2+m .因为直线PM 的方程为y =-1k x -x M +y M ，所以x 024=-1kx 0-x M +y M ，即x 204=-1k x 0-2k +2k 2+m ，从而m =x 204+x 0k -2k 2-2.因为Δ=16k 2+16m >0，所以k 2+x 204+x0k -2k 2-2>0，即k -x 02 k 2+x 02k +2k<0，等价于k k -x 02 k 2+x02k +2 <0(其中x 0<0).①当x 204-8<0时，即x 0∈(-42,0)时，有k 2+x 02k +2>0，此时x 02<k <0，②当x 204-8=0时，即x 0=-42时，有k k -x 02 k +x 04 2<0，此时x 02<k <0，③当x 024-8>0时，即x 0∈(-∞,-42)时，有k k -x 02 k --x 0-x 20-324 k --x 0+x 20-324<0，其中x 02<0<-x 0-x 20-324<-x 0+x 20-324，所以k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.综上，当x 0∈[-42,0)时，k ∈x02,0 ；当x 0∈(-∞,-42)时，k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.3(2024·山西太原·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 与B ，点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2 .(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 3,0 的直线与C 交于M ,N 两点(均异于点A ,B )，直线MA 与直线x =1交于点Q ，求证:B ,N ,Q 三点共线.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2，建立方程组求解即可；(2)B ,N ,Q 三点共线，即证BN ⎳BQ，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出M ,N 的坐标，由坐标判断BN ⎳BQ，证明即可.【详解】(1)由题意得A -a ,0 ,B a ,0 ，且9a 2-2b2=123+a +23-a=2∴a 2=3b 2=1∴x 23-y 2=1(2)由(1)得A -3,0 ,B 3,0 ，设直线MN 的方程为x =ty +3t ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则BN=x 2-3,y 2 ，由x =ty +3x23-y 2=1 得t 2-3y 2+6ty +6=0,∴y 1+y 2=-6t t 2-3,y 1y 2=6t 2-3，直线AM 的方程为y =y 1x 1+3x +3 ，令x =1，则y =y 1x 1+31+3 ，∴Q 1,1+3 y 1x 1+3 ,∴BQ =1-3,1+3 y 1x 1+3，∵x 2-3 ⋅1+3 y 1x 1+3-1-3 y 2=1x 1+3x 2-3 ⋅1+3 y 1-1-3 x 1+3 y 2=1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1-1-3 ty 1+3+3 y 2 =1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1+3-1 ty 1+3+3 y 2 =23x 1+3ty 1y 2+y 1+y 2 =23x 1+36t t 2-3-6tt 2-3=0,∴BN ⎳BQ, 所以B ,N ,Q 三点共线.4(2024·重庆·模拟预测)如图，DM ⊥x 轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且|DP ||DM |=12．(1)点M 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所求点P 的轨迹为Γ,A (0,1)，过点0,12作一条直线与Γ相交于B ,C 两点，与直线y =2交于点Q ．记AB ,AC ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，证明：k 1+k2k 3是定值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，则有M x ,2y ，根据M 在圆x 2+y 2=4上运动，即可求解x 、y 的关系式即为点P 的轨迹方程；(2)设出直线方程，直曲联立利用韦达定理求出x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，求出k 1+k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得Q 32k ,2，求出k 3=2k3，即可求出k 1+k 2k 3是定值.【详解】(1)设P x ,y ，根据题意有M x ,2y ，又因为M 在圆x 2+y 2=4上运动，所以x 2+2y 2=4，即x 24+y 2=1，所以点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据已知条件可知，若直线BC 的斜率不存在，不合题意，若直线BC 斜率为0，直线BC 与直线y =2平行无交点也不合题意，所以直线BC 的斜率存在设为k ，直线BC 的方程为y =kx +12，联立x 24+y 2=1y =kx +12，则有1+4k 2x 2+4kx -3=0，且Δ>0，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，k 1=y 1-1x 1，k 2=y 2-1x 2，所以k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1-12 +x 1kx 2-12x 1x 2=2kx 1x 2-12x 1+x 2x 1x 2=2k -31+4k2-12-4k1+4k 2-31+4k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得x Q =32k ，所以Q 32k,2 ，所以k 3=2-132k=2k 3，所以k 1+k 2k 3=4k332k=2为定值.5(2024·湖北武汉·模拟预测)己知圆E :(x +6)2+y 2=32，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点F 6，0(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若直线l :y =x +t 与(1)中轨迹交于不同的两点A ,B ，记△OAB 外接圆的圆心为M (O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点C ，D ，使得MC -MD 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 22=1(2)存在定点C -465，0 ，D 465，0 ，使得MC -MD =853(定值)【分析】(1)根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在x 轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；(2)联立l :y =x +t 与椭圆方程，根据韦达定理得x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，进而得出OA 和OB 的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853，方法二，设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853【详解】(1)设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q ．∵点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部．∴CE +CF =CE +CQ =r =42>EF =26，∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 28+y 22=1．(2)(方法一)联立l :y =x +t 与椭圆方程，消y 得5x 2+8tx +4t 2-8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，OA 的中垂线方程为：y -y 12=-x 1y 1x -x 12 ，即y =-x 1y 1x +x 212y 1+y 12①OB 的中垂线方程为：y =-x 2y2x +x 222y 2+y 22②由①②两式可得-x 1y 1x +x 212y 1+y 12=-x 2y 2x +x 222y 2+y 22，∴△OAB 外接圆圆心M 的横坐标x M =x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 22x 2y 1-x 1y 2 ，其中x 2y 1-x 1y 2=x 2x 1+t -x 1x 2+t =t x 2-x 1x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 2=x 22x 1+t -x 21x 2+t +x 2-x 1 x 1+t x 2+t =x 22x 1-x 12x 2 +t x 22-x 12 +x 2-x 1 x 1+t x 2+t=x 2-x 1 x 1x 2+t x 2+x 1 +x 1+t x 2+t =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 2 ∴x M =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t x 2-x 1=2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t =x 1x 2t +x 2+x 1+t 2=-3t 10-85t，又∵AB 的中垂线方程为y -y 1+y 22=-x -x 1+x 22 ，即y =-x -3t5，∴圆心M 的纵坐标为y M =--3t 10-85t -35t =-3t 10+85t，∴x M 2-y M 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，(方法二)设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立l :y =x +t 与圆的方程，消y 得2x 2+2t +d +e x +t 2+et =0，则x 1+x 2=-2t +d +e 2=-8t 5,x 1x 2=t 2+et 2=4t 2-85∴2t +d +e =16t 5,t 2+et =8t 2-165，解得d =3t 5+165t ,e =3t 5-165t，设圆心坐标为M x ,y ，则x =-d 2=-3t 10-85t ,y =-3t 10+85t，∴x 2-y 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，6(2024·山西·三模)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点T t ,0 ，若E 上存在一点P ，使得PO ⋅PT=-1，求t 的取值范围；(3)过M -4,0 的直线交E 于A ，B 两点，过N -4,43 的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：∠BOC 为定值.【答案】(1)y 2=4x (2)6,+∞ (3)证明见详解【分析】(1)根据题意可知焦点F 到准线的距离为p =2，即可得方程；(2)设P x ,y ，利用平面向量数量积可得t -4=x +1x，结合基本不等式运算求解；(3)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2 ,C y 234,y 3，求直线AB ,AC 的方程，结合题意可得-16+y 1y 2=0-16-43y 1+y 3 +y 1y 3=0 ，结合夹角公式分析求解.【详解】(1)由题意可知：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设P x ,y ，可知y 2=4x ,x ≥0，则PO =-x ,-y ,PT =t -x ,-y ，可得PO ⋅PT=-x t -x +y 2=x 2-tx +4x =x 2+4-t x =-1，显然x =0不满足上式，则x >0，可得t -4=x +1x，又因为x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时，等号成立，则t -4≥2，即t ≥6，所以t 的取值范围为6,+∞.(3)设Ay214,y1,B y224,y2,C y234,y3，则直线AB的斜率k AB=y1-y2y214-y224=4y1+y2，可得直线AB的方程y-y1=4y1+y2x-y214，整理得4x-y1+y2y+y1y2=0，同理可得：直线AC的方程4x-y1+y3y+y1y3=0，由题意可得：-16+y1y2=0-16-43y1+y3+y1y3=0，整理得y1=16y24y3-y2=3y1y3+16，又因为直线OB,OC的斜率分别为k OB=y2y224=4y2,k OC=y3y234=4y3，显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC=k OB-k OC1+k OB⋅k OC=4y2-4y31+4y2⋅4y3=4y2-y3y2⋅y3+16=3y2⋅y3+16y2⋅y3+16=3，所以∠BOC=π3为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．7(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2 =22，点P的轨迹为C，过点F(2,0)作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若直线l与直线x=1交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：|SF||FT|为定值．【答案】(1)x22-y22=1(x≥2)(2)S△OAB∈[22,+∞)(3)证明见解析【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可；(2)设直线l的方程为：x=my+2，与双曲线联立，利用面积分割法计算出S△OAB，在利用复合函数单调性求出S△OAB的范围；(3)首先计算出M,N的坐标，再计算出S,T的坐标即可证明|SF||FT|为定值。
高中数学圆锥曲线专题复习考试椭圆(含考试习题加详解)
高中数学圆锥曲线专题复习（1）---------椭圆一．椭圆标准方程1.椭圆标准方程的求法:定义法、待定系数法①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b 的值.2.,a b 为椭圆的定型条件，对,,a b c 三个值中知道任意两个（知二求三），可求第三个，其中,a b a c >>1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是2.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；3.变式：与椭圆4x 2+y 2=16有相同焦点,且过点 的椭圆方程是 . 4.（2013山东）椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(通径=2 ).求椭圆C 的方程;5.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22221x y a b +=x 1222+=1x y AB二．离心率c e a ==椭圆上任一点P 到焦点的距离点P 到相应准线的距离e =一、 直接求(找)出a 、c ，求解e1. 已知椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点分别为F1(-1，0),F2（1，0），椭圆C 经过点 P( ， )，求C 的离心率_______。
二、 根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，进而得到关于 e 的一元方程，解出e 。
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_____。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解1.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线中的椭圆问题(解析版)
专题17 圆锥曲线中的椭圆问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】(15【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M的坐标为(．3、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．4、.（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______； 【答案】15k <<或59k << 【解析】因为方程22(1)(9)1k x k y -+-=，所以22111(1)(9)x y k k +=--，所以有10(1)10(9)11(1)(9)k k k k ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k <<或59k <<故答案为：15k <<或59k <<5、(2017无锡期末）设点P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2＝3e 1，则e 1＝________.【答案】53【解析】不妨设F 1，F 2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎨⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，解得⎩⎨⎧PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2.因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，化简得a 21＋a 22＝2c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，又因为e 2＝3e 1，所以e 21＝59，故e 1＝53. 6、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知椭圆()222210xy a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点A 是椭圆上位于x 轴上方的一点，若直线1AF ，且112AF FF =，则椭圆的离心率为________．【答案】35． 【解析】设12AF F θ∠=，由直线1AF ，知sin tan cos θθθ==，且22sin cos 1θθ+=，即得7cos 9θ=， 由1122AF F F c ==及椭圆定义知21222AF a AF a c =-=-， 由余弦定理即可得，22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+-，即()()()()()222722222229a c c c c c -=+-，化简得()2249a c c -=，故22222253220518909549a ac c c ac e c a e e -+=⇒-+=⇒-+=⇒=或3（舍）即35e =．故答案为：35【问题探究，变式训练】题型一、椭圆的离心率例1、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==， 由AP 323tan PAF ∠= 所以2sin 13PAF ∠=，212cos 13PAF ∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠， 所以2221313π531211sin()3221313c a c PAF ==+-∠⨯-⨯， 所以4a c =，14e =，故选D ． 变式1、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，点A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，若直线AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______.【答案】1,1)2【解析】12PF PF ⊥，即P 在以12F F 为直径的圆上，即222x y c +=.直线AB ：1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，圆心到直线的距离d c =≤，即422430a a c c -+≤，即4231001e e e -+≤<<，，所以解得112e >≥.故答案为：. 变式2、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有0e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 变式3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时亦与222:()C x y b b +-=（b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则2e =__________．【答案】32- 【解析】设切线方程为y x m =+，代入椭圆方程可得：()2222222220b axa mx a m ab +++-=.因为相切2220,m a b ∆=∴=+，由直线y x m =+与圆C ,(1b m b =∴=，或(1b -（舍去）.则有2222(1b a b +=+，因为222b a c =-，所以可得2221)2,)a c e ==∴.故答案为：32. 题型二、椭圆的方程例2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．变式1、【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x＋24y ＝1．变式2、(2018常州期末）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．规范解答 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P 3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x .(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A 6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0，(11分)因为6x 06－3y 024＋3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36 ＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)变式3、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.题型三、椭圆中的最值问题例3、【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m =，105t =时，p 取到最大值1040变式1、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.变式2、【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=. 变式3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 题型四、椭圆中的定点问题例4、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.变式1、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.变式2、（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =.题型五、椭圆中的定值问题例5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值． 【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.变式、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．【答案】（1）（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）见解析. 【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k <0或0<k <1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．。
高中数学选修圆锥曲线与方程椭圆的性质专题练习(附详解答案)
椭圆的性质专题练习一．选择题（共12小题）1．已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．2．已知椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则椭圆离心率e=（）A．B．C．D．3．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（0，1） D．（﹣1，0）4．曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等5．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．47．椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．（，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，）8．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣19．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2 B．C．4 D．10．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则椭圆的离心率为（）A．B．C．或D．11．已知点P（x0，y0）（x0≠±a）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）12．F1、F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，|PF1|=6，过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则|OM|的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．解答题（共13小题）13．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（﹣2，1），且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（2，0）的直线，l与C相交于A，B两点，且PA⊥PB，求直线1的方程．14．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是6．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆T：（x﹣t）2+y2=，过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（0，1）时，求EF的斜率的取值范围．15．直线L的方程为，其中p＞0；椭圆E的中心为，焦点在X轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．16．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线与椭圆交于P、Q两点，且△PQF1的周长为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．且|AB|=，求△AF2B的面积．17．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．18．已知椭圆=1（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为，点A（3，0），P是C上的动点，F为C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值．19．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，∠F1AF2=，周长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线AM与AN的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．21．已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB 的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．24．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？25．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB 的面积为定值．参考答案与解析一．选择题1．解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故选：C．2．解：椭圆+=1过点（﹣4，）和（3，﹣），则，解得a=5，b=1，∴c2=a2﹣b2=24，∴c=2，∴e==，故选：A．3．解：方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m∈（0，1）．故选：C．4．解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．5．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．6．解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．7．解：方法一：如图所示，B是右顶点（1，0），上顶点A（0，b），左焦点F（，0），线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵k AB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==m，代入上述方程可得：y==n．由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＜0．化为：b＜，又0＜b＜1，解得：0＜b＜．∴e==c=∈（，1）．∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选A．方法二：设A（0，b），B（a，0），F（﹣c，0），设△FAB的外接圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，F代入外接圆方程，解得：m=，n=，由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＜0，整理得：1﹣c+b﹣＜0，∴b﹣c+＜0，∴b﹣c＜0，由椭圆的离心率e==c，∴2e2＞1，由0＜e＜1，解得：＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选：A．8．解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．9．解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．10．解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得即：，解得，或，当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去，椭圆，m=2，n=9，则a=9，c=77，所以椭圆的离心率为：．故选：B．11．解：由题意知M（a，0），点P（x0，y0），则=（﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），∵PO⊥PM，∴•=（﹣x0）（a﹣x0）+（﹣y0）（﹣y）=0，∴=ax0﹣＞0；又﹣a＜x0＜a，代入椭圆方程中，整理得（b2﹣a2）+a3x0﹣a2b2=0；令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，x∈（﹣a，a）；∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图所示：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，∴＞，∴e=＞；又0＜e＜1，∴＜e＜1；则椭圆C的离心率e的取值范围是（，1）．故选：C．12．解：延长F1M和PF2交于N，椭圆，可得：a=5，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，由|PF1|=6，可得|PF2|=4，由等腰三角形的三线合一，可得|PF1|=|PN|=6，可得|NF2|=6﹣4=2，由OM为△F1F2N的中位线，可得|OM|=|F2N|=1．故选：A．二．解答题13．解：（1）由椭圆的离心率e===，则a=2b，将P（﹣2，1）代入椭圆方程：，解得：b2=2，则a2=8，∴椭圆的标准方程为：；（2）设直线l的方程为：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，整理得（m2+4）y2+4my﹣4=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1+x2=m（y1+y2）+4=，x1x2=m2y1y2+2m（y1+y2）+4=，由PA⊥PB，则•=0，即（x1+2，y1﹣1）（x2+2，y2﹣1）=0，x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1=0，整理得：3m2﹣4m﹣64=0，解得：m=﹣4，或m=，当m=﹣4时，直线l：x+4y﹣2=0，过点P，舍去，当m=，直线l：3x﹣16y﹣6=0，∴直线l的方程为：3x﹣16y﹣6=0．14．解：（1）由e=，即=，由△PF1F2的周长是6，由椭圆的定义可得2a+2c=6，解得a=2，c=1，b==，所求椭圆方程为+=1；（2）椭圆的上顶点为M（0，），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+，由直线y=kx+与T相切可知=，即（9t2﹣4）k2+18tk+23=0，可得k1+k2=﹣，k1k2=，由，得（3+4k12）x2+8k1x=0．解得x E=﹣，同理x F=﹣，则k EF=====．当0＜t＜1时，f（t）=为增函数，故EF的斜率的范围为（0，）．15．解：因为椭圆上有四个不同的点到点A的距离等于该点到直线L的距离相等，所以由抛物线的定义知：这四个不同的点在是以A为焦点的抛物线，所以点P的方程为y2=2px．又根据题意，椭圆的方程为：（x﹣2﹣）2+4y2=4，则联立椭圆与抛物线的方程，消去y，可得：x2﹣（4﹣7p）x+2p+=0，此方程必有正实数根，所以△=（4﹣7p）2﹣4（2p+）≥0，且4﹣7p＞0，p＞0，解得：0＜p＜．故p在（0，）范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离．16．解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，…（1分）∵过右焦点F2的直线与椭圆交于P、Q两点，且△PQF1的周长为4．∴4a=4．故a=，c=…（3分）故b=1．…（4分）故椭圆C的方程为：．…（5分）（Ⅱ）若直线AB的方程为x=﹣，则|AB|=，不符合题意．设直线AB的方程为y=k（x+），代入椭圆方程消去y得（1+3k2）x2+6k2x+6k2﹣3=0，…（6分）显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=…（7分）所以|AB|=•|x1﹣x2|=•．…（9分）由已知•=，解得k=±．…（10分）当k=时，直线AB的方程为y=（x+），即x﹣y+=0，点F2到直线AB的距离d=．…（11分）所以△AF2B的面积=|AB|d=．…（12分）同理，当k=﹣时，△AF2B的面积也等于．综上，△AF2B的面积等于．…（13分）17．解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．18．解：（Ⅰ）依题意得，解得，∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）设，设线段AP中点为M，A（3，0），∴AP中点，直线AP斜率为，由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，∴直线AP的垂直平分线方程为y﹣=（x﹣），令x=0得，∵，∴，由F（﹣2，0），∴四边形FPAB面积，当且仅当即时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为．19．（1）解：由，∴，①又△AF1F2的周长为，∴，②联立①②，解得，∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点M（x1，y1），N（x2，y2），由．，依题：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，∴．∴直线l方程为：y=kx+m=kx﹣2k﹣1=k（x﹣2）﹣1，则过定点（2，﹣1）．20．解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．21．解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．22．解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．23．解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．24．解：（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．由于AB斜率为k存在且k≠0，故，则∵则要使为定值，则当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．25．解：（1）根据题意，椭圆E：+=1的两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．则c=1，又由椭圆经过点，则2a=+=2，即a=，b==1，则E的方程为；（2）证明：根据题意，分2种情况讨论：①，当直线AB的斜率不为零时，可设AB：x=my+t代入得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=8（m2+2﹣t2），设P（x，y），由，得，∵点P在椭圆E上，∴，即，∴4t2=m2+2，，原点到直线x=my+t的距离为．∴四边形OAPB的面积：．②当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积，∴四边形OAPB的面积为定值．。
圆锥曲线复习一 椭圆(附详细解答)
圆锥曲线 第一节 椭 圆基础知识1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质小题检测1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－192521D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1考点一 椭圆的定义及标准方程例1 (1) 设(4,0)B -，(4,0)C ，若ABC ∆的周长为18，则动点A 的轨迹方程为是（ ）A.221(0)259x y y +=≠ B. 221(0)259y x y +=≠ C.221(0)2516x y x +=≠ D.221(0)169y y x +=≠ 答案：A (2) (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [解答] ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20. 故椭圆C 的方程为x 220＋y251. 答案 D由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法。
高中数学圆锥曲线专题复习椭圆(含习题加详解)
高中数学圆锥曲线专题复习（1）---------椭圆一．椭圆标准方程1.椭圆标准方程的求法:定义法、待定系数法①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a, b 的值.2.,a b 为椭圆的定型条件，对,,a b c 三个值中知道任意两个（知二求三），可求第三个，其中,a b a c >>1.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是2.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；3.变式：与椭圆4x 2+y 2=16有相同焦点,且过点(−√6,√5)的椭圆方程是 . 4.（2013山东）椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1(通径=2b 2a ⁄).求椭圆C 的方程;5.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B ，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是22221x y a b +=x 1222+=1x y AB二．离心率c e a ==椭圆上任一点P 到焦点的距离点P 到相应准线的距离e =一、 直接求(找)出a 、c ，求解e1. 已知椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点分别为F1(-1，0),F2（1，0），椭圆C 经过点 P(43，13)，求C 的离心率_______。
二、 根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，进而得到关于 e 的一元方程，解出e 。
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_____。
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解1.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线(椭圆)专项训练(含问题详解)
圆锥曲线 椭圆 专项训练【例题精选】：例1 求下列椭圆的标准方程： （1）与椭圆x y 22416+=有相同焦点，过点P (,)56；（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t ；（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。
（4）e c ==08216.,.例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。
（1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在这个椭圆上，且||||PF PF 121-=，求：tg F PF ∠12的值。
例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的23。
求：椭圆的离心率。
小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。
例4 已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。
求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。
小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例5 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。
小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。
例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆、12516)5,0()0,4(22=+是椭圆在第一象限内部分上的一点，求∆ABC 面积的最大值。
小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。
（圆中用直径性质或弦心距）。
要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】： 一、 选择题：1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 22B. 2C. 2D. 16. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是534，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566 C ．875 D ．877 8．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23 D. 21 9．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x10．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10二、 填空题：11．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = 。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(圆锥曲线之椭圆)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（圆锥曲线之椭圆）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=3．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）A ．3B ．6C ．8D ．126．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=7．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．148．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 1-9．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知椭圆C ：2221(0)4x y a a+=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．310．（2018ꞏ全国ꞏ专题练习）（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C 3D ．1311．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b二、多选题12．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．14．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.四、解答题15．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．16．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．17．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足BF AB(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN18．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点，M N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 19．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =20．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．22．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.24．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.25．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 26．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值.27．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2 POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.28．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |ꞏ|ON |=2，求证：直线l 经过定点.29．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.30．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．31．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若sin 4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .五、双空题33．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．B【要点分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【答案详解】解：因为离心率13c e a ==，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -， B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B. 3．C【要点分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【答案详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 02e <≤； 当32b b c->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．【名师点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 4．C【要点分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点睛】 5．B【要点分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【答案详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以210a =，28c =，可得5a =，4c =， 所以22225169b a c =-=-=，可得3b =， 所以该椭圆的短轴长26b =， 故选：B. 6．B【要点分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解.【答案详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 7．D【答案详解】要点分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 答案详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 名师点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．D【答案详解】要点分析：设2||PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率.答案详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ==，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=+则离心率212c ce a a ====-， 故选D.名师点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 9．C【答案详解】要点分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得a =最后利用椭圆离心率的公式求得结果.答案详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率为e =C. 名师点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．A【答案详解】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===故选A.【名师名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11．B【要点分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【答案详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.12．ACD【要点分析】结合选项进行逐项要点分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【答案详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线Cn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【名师点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．13【要点分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =. 【答案详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率倒数直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴12226461313cDE y y =-=⨯=⨯⨯⨯=， ∴138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==. 故答案为：13.14．(【要点分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.【答案详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=， 又M 为C 上一点且在第一象限,12MF F △为等腰三角形，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M ∴的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．15．(1)22143y x +=(2)(0,2)-【要点分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【答案详解】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，(1,)3N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,)3T+-，由MT TH=得到(5,3H--.求得HN方程：(22y x=-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234ky ykk ky yk⎧-++=⎪+⎪⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【名师点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16．(1)2214xy+=(2)4k=-【要点分析】（1）依题意可得22212bcc a b=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y、()22,C x y，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可； 【答案详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <， 所以212216814k k x x k++=-+，2122161614k kx x k +⋅=+， 直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M xx y =-， 直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x xMN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =-17．(1)e =(2)22162x y +=【要点分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由Δ0=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程. 【答案详解】（1）解：()222224332BF a b a a b AB===⇒=+⇒=，离心率为3c e a ==. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=， 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=， 由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+， 由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由OMN S =可得31213km m k ⋅=+③ 联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．18．（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【要点分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【答案详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b ⨯⨯=，即a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令=3y -，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤， 综上，31k -≤<-或13k <≤.19．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【要点分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN = 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【答案详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =ce a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:MN yk x =-即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k=±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x-+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==213k =+ 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=-或y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN = 【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.20．（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【要点分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，要点分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【答案详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为c e a==2c =，1b =， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故06y =，06x =-， 所以，直线l的方程为166x y -+=，即0x y -=. 【名师点睛】结论名师点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.21．（1）221612525x y +=；（2）52. 【要点分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得 PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，从而求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ △的面积.【答案详解】（1） 222:1(05)25x y C m m+=<<∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=．（2）［方法一］：通性通法不妨设P ,Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，垂足为M ，设直线6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=， 可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ △面积为：15252⨯=； ②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ △面积为：1522=，综上所述，APQ △面积为：52. ［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PE x ⊥轴，垂足为E ．设(6,0)D ，由题知，PEB BDQ ≌．故131p BP PE PEPE x QB BD ==⇒=⇒=±， ①因为(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -，如图，所以，52APQAQD PEDQ PEA S S S S =--=．②因为(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --，如图，所以52APQAQD PEDQ PEA S S S S =--=．综上有52APQ S =△ ［方法三］：由已知可得()5,0B ，直线,BP BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为()5y k x =-，由对称性可设0k <，联立方程22(5),161,2525y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22221161601625250k x k x k +-+⨯-=，由韦达定理得221625255116P k x k ⨯-=+，所以22805116P k x k -=+，将其代入直线BP 的方程得210116P ky k -=+，所以22280510,116116k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则||BP == 因为BP BQ ⊥，则直线BQ 的方程为1(5)y x k=--，则16,,||Q BQ k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭因为||||BP BQ ==，422566810k k -+=， 即()()22641410k k --=，故2164k =或214k =，即18k =-或12k =-．当18k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,8),||P Q PQ -=直线PQ 的方程为71093y x =+，点A 到直线PQ故APQ △的面积为1522=．当12k =-时，点P ，Q 的坐标分别为(3,1),(6,2),||P Q PQ =直线PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线PQ 的距离为2，故APQ △的面积为15222⨯=．综上所述，APQ △的面积为52．［方法四］：由（1）知椭圆的方程为221612525x y +=，(5,0),(5,0)A B -．不妨设()00,P x y 在x 轴上方，如图．设直线:(5)(0)AP y k x k =+>．因为||||,BP BQ BP BQ =⊥，所以00||1,||5Q y BN y BM x ====-．由点P 在椭圆上得201612525x +=，所以209x =．由点P 在直线AP 上得()015k x =+，所以015k x k -=．所以2159k k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简得216101k k =-． 所以0110155516k x k k k -⎛⎫-=--== ⎪⎝⎭，即(6,16)Q k ． 所以，点Q 到直线AP 的距离d ==．又)0||5AP x k==+=．故115222APQS AP d =⋅== ．即APQ △的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，设(6,0)D ， 由题知PCB BDQ ≌，所以131p BP PC PCPC x QB BD==⇒=⇒=±．（1）(3,1),(5,0),(6,2)P A Q -．则1221115|82111|222APQ S x y x y ==-=⨯-⨯= ． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y ==）． （2）(3,1),(5,0),(6,8)P A Q --．同理，1221115|28111|222APQ S x y x y ==-=⨯-⨯= ． （其中()()1122,,,AP x y AQ x y == ） 综上，APQ △的面积为52． 【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求APQ △的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程()5y k x =-与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程:(5)(0)AP y k x k =+>，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出．22．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【要点分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. （2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【答案详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以ꞏ0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由ꞏ0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）. 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ?-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=． 由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =． 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=． 令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =． 又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．23．（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【要点分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【答案详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，。
圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备
51 如图，设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ； （3）（理科）求三角形ABF 面积的最大值。
解（1）48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程 整理得014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m my y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠（3）（理科）43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.∴三角形ABF 面积的最大值是3 352 设椭圆方程为422y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足→→→+=)(21OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l 的方程为y =k x +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立并消元得：（4+k 2）x 2+2k x －3=0， x 1+x 2=－,422k k +y 1+y 2=248k+，由)(21→→→+=OB OA OP 得：（x ，y ）=21（x 1+x 2，y 1+y 2），即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x消去k 得：4x 2+y 2－y =0当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P 的轨迹方程为：4x 2+y 2－y = 0．53 已知椭圆C:2222by a x +=1(0a b >>)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23， 求△AOB 面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 1b =，∴ 所求椭圆方程为2213x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠≤+=++⨯+++． 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB = 综上所述max 2AB =．∴ 当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 54 已知向量)1,0(,)0,(21••e •••a •e ==，经过定点)0,(••a A -且方向向量为21e e λ+-的直线与经过定点)0,(•a •B 且方向向量为212e e +λ的直线交于点M ，其中∈λR ，常数a >0. （1）求点M 的轨迹方程； （2）若26=a ，过点)0,1(••F 的直线与点M 的轨迹交于C 、D 两点，求FD FC ∙的取值范围.设点),(,),(,),(•y a •x ••y a •x •••y x •M -=+=则，又∥),()(21λλ••e e a -=+-，∥)1,2()2(21••e e a λλ=+故⎩⎨⎧-=-=+a x ay ay a x λλ2)(，消去参数λ，整理得点Ｍ的轨迹方程为22222a y a x =+（除去点)0,(,)0,(•a ••B ••a •A -） （2）由26=a 得点M 轨迹方程为121)26(222=+y x （除去点)0,26(,)0,26(•••B •••A -），若设直线CD 的方程为)1(-=x k y ••k ,0(≠)点过否则A CD ，••y x C ),(11，••y x D ),(22，则由⎩⎨⎧=+-=362)1(22y x x k y 消去y 得0)12(312)13(22222=-+-+k k x k ，显然0)1(242>+=∆k ，于是)13(2)12(3,13622212221+-=+=+k k x •x •k k x x ， 设),1(,),1(,2211•y •x •••y •x •m •-=-==∙，因此)1)(1()1)(1()1)(1(212212121--+--=+--=∙=x x k x x y y x x m]1136)13(2)12(3)[1(]1)()[1(2222221212++-+-+=++-+=k k k k k x x x x k ，即,6121)016(01612)13(21222•m m •m m k k k m -<<-⇒≠+>++=⇒++-= 若直线x CD ⊥轴，则61,12121-===y •y •x x ，于是61-=m ，综上可知⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈=∙61,21••m 55如图，已知直线)0(1:1:2222>>=++=b a by a x C my x L 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线2:a x G =上的射影依次为点D ，K ，E . （1）若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21,λλ==，当m 变化时，求21λλ+的值；（3）连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 解：（1）易知)0,1(,332F b b 又=∴=41222=+==∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆（2）)1,0(mM y l -轴交于与设⎩⎨⎧=-++=012431),(),,(222211y x my x y x B y x A 由 0)1(144096)43(222>+=∆=-++∴m my y m(*)321121m y y =+∴又由),1()1,(111111y x my x --=+∴=λλ1111my --=∴λ同理2211my --=λ38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ3821-=+∴λλ…（3）)0,(),0,1(2a k F =先探索，当m =0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK中点N ，且)0,21(2+a N猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N … 证明：设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A当m 变化时首先AE 过定点N21,21)1(0)1(40)1(2)(0122121222222222222222222a y K m y a y K a b m a b a a b y m b y m b a b a y a x b m y x ENAN --=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=又即 )21(21)(2112221212m y a a y m y y y a K K ENAN ----+-=-而)0)()1()1()2(21)(21(222222222222222221212=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-bm a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a∴=∴ENAN K K A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N56 已知椭圆C 过点)0,2(),26,1(-F M 是椭圆的左焦点，P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
圆锥曲线---椭圆(含解析)
圆锥曲线---椭圆一、填空题1. 已知椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为．2. 椭圆x29+y25=1的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则▵ABF2的面积S=．二、解答题3. 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4,1)在椭圆上，求该椭圆的方程．4.已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(3,0)，离心率为√63.求椭圆C的方程．5.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．6. 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(0,√3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0) (1)求椭圆的方程(2)斜率为−12的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |=√552时，求直线l 的方程7.已知椭圆C ：x 26+y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)和F 2(c,0)，P 为椭圆C 上任意一点，三角形PF 1F 2面积的最大值是3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点(2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且Q(94,0)，证明：QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．8. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 为圆x 2+y 2+2x =0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为√2−1． (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M (−54,0)，证明：MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．答案和解析1.解：由x 24+y 2=1，得a =2，b =1，c =√3，又因为F 2为线段AB 的中点，则可知AB ⊥x 轴，把x =√3带入椭圆方程可得y =±12， 所以|AB |=1，2c =2√3，所以△AF 1B 面积为S =12×2c ×|AB |=√3故答案为：√3． 2.解：∵椭圆x 29+y 25=1的左右焦点分别为F 1，F 2，a =3，b =√5，c =2，过焦点F 1的直线交椭圆于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， ∵△ABF 2的内切圆的面积为π，∴△ABF 2内切圆半径r =1．即△ABF 2面积S =12×1×(AB +AF 2+BF 2)=2a =6。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
题库：圆锥曲线(椭圆篇)
圆锥曲线试题库------椭圆篇一、选择题和填空题1．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,a c ， 12,PF m PF n ==，则1222102m n a m n a m n c+=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩1255a c a c =+⎧⇒⎨=-⎩， 问题转化为已知125cc<<-，求5c c +的取值范围． 设5c x c =-，则51x c x =+，11521242c x c x x ==-+++． ∵12x <<，∴11111126242210x -<-<-+，即111232425x <-<+．21by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为（ ） A1 B ．2 CD1 【解析】 A ；圆221x y +=1by +==， ∴2222a b +=，即2212b a +=．因此所求距离为椭圆2212b a +=上点(),P a b 到焦点()0,11．3．已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹方程为____。
【解析】 28y x =；由已知，该轨迹为2p =，定点为()0,0，对称轴为x 轴的抛物线，即28y x =． 4．直线0x y +=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【解析】 D1=2=，于是1cos22θ=，2π3θ=．5．已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 ．连结AB 与直线y x =交于点Q ，则当P 点移动到Q 点位置时，||||PA PB +的值最小．直线AB 的方程为()()515331y x ---=--，即340x y --=． 解方程组340x y y x --=⎧⎨=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩．于是当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标为()2,2．6．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程 为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=【解析】 A ；设圆心为C ，则AB 垂直于CP ，3012(1)CP k --==---，故:32AB y x +=-，选A ．7．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅ 最小值为 ．【解析】 2-； 12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+ ，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．8．直线x t =过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．【解析】 (1,；,,,b b A t t B t t a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使原点在以AB 为直径的圆外，只需原点到直线AB 的距离t 大于半径b t a 即可，于是b a <，e c a =，故e (1,∈．9．已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m 的值等于（ ）A ．BCD ． 【解析】 D ；抛物线的准线为1y =-，将圆化为标准方程222124m m x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心到直线的距离为1=m ⇒= 10．经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ． 【解析】280x y -+=；直线250x y +-=的斜率为2-，故所求直线的斜率为12，以下略。
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)
高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
圆锥曲线椭圆
2024年疟疾监测工作计划1. 疟疾监测概述：疟疾是由疟原虫引起的一种寄生虫传染病，全球范围内仍然是一个重要的公共卫生问题。
尽管在过去几十年中，疟疾的发病和死亡率得到了一定程度的降低，但是在某些国家和地区，特别是非洲和亚洲的一些贫困国家，疟疾仍然是一个严重的健康威胁。
因此，加强疟疾监测工作是防控疟疾的关键环节。
2. 监测目标：（1）监测疟疾患病人数和死亡人数的变化趋势，及时发现疫情的变化和趋势。
（2）监测疟原虫对抗药物的抗药性情况，及时发现耐药疟原虫的出现。
（3）监测疟疾传播媒介——按蚊虫的密度、种类及其感染率等情况。
（4）监测疟疾的流行区域，及时采取针对性措施减少传播。
（5）监测疟疾疫苗的研发和应用，推动疟疾疫苗的使用。
3. 监测方法和手段：（1）建立疟疾监测系统，整合各级医疗机构、疾病预防控制中心、实验室等信息来源。
（2）通过建立疟疾报告制度，及时获取疟疾病例信息，包括患者的基本信息、就诊情况等。
（3）加强对疟疾病例的流行病学调查，包括病例来源、传播途径、感染情况等。
（4）建立疟原虫耐药性监测网，在重点地区收集疟原虫的样本进行药物抗性监测。
（5）加强对疟疾传播媒介按蚊虫的监测，包括采集蚊虫样本、鉴定感染率等。
（6）利用遥感技术和GIS技术对疟疾的空间分布进行监测和分析，预测疟疾流行的趋势和风险区域。
（7）加强对疟疾疫苗研发和应用的监测，包括疫苗研发的进展情况、疫苗接种情况等。
4. 监测内容和频率：（1）疟疾病例报告：每个月各级医疗机构向疾病预防控制中心报告疟疾病例，每周疾病预防控制中心向上级报告疟疾疫情。
（2）病例流行病学调查：对每个疟疾病例进行详细的流行病学调查，包括病例来源、传播途径、感染情况等。
每个病例调查结束后及时整理和上报结果。
（3）药物抗性监测：每年在重点地区进行药物抗性监测，收集疟原虫样本进行药物敏感性测试，每季度整理和上报结果。
（4）蚊虫监测：每年进行蚊虫监测工作，包括采集蚊虫样本、鉴定感染率等，每个月汇总结果并上报。
专题1.8 圆锥曲线-椭圆(解析版)
专题1.8 圆锥曲线-椭圆（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.（2）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数方法或定义法； （3）与焦点三角形有关的计算问题，足以利用椭圆的定义、焦半径公式等来简化计算． （4）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（5）解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．1．如图，已知椭圆22221x y E a b +=：12(F F 为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，Q 为12PF F △的内心，连接P ，Q 延长交x 轴于点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设1FQM ，2F QP 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 【试题来源】浙江省百校2021届高三下学期3月模拟联考【答案】（1）2214x E y +=：；（2）6)-．【解析】（1c a =因为12(F F 为椭圆的左右焦点，故2,1c a b ==，所以椭圆22:14x E y +=；（2）因为Q 为12PF F △的内心，故Q 为12PF F △各内角角平分线交点， 故根据角平分线定理可知，11PQ PF QMF M=，22PQ PF QM F M=，1212121222PQ PF PF PF PF a a QM F M F M F M F M c c +∴======+ 设12,F QM F QP 以,PQ QM 为底边的高分别为12,h h ，1111222212122QM h QM h S h S PQ h h PQ h ⋅⋅===⋅⋅⋅，211212F MPF h h F M PF == ， 设00(,)P x y ，1020,PF a ex PF a ex ∴=+=- ，0012224(1222x xSS+-++∴===-+，P为椭圆上一动点，且构成三角形，故0(2,2)x∈-，12(1(6,6)222SS∴=⋅-+∈-+．2．已知椭圆C过点1,2⎛⎝⎭，且与曲线2212x y-=有共同的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆的右焦点2F作直线l与椭圆C交于,A B两点，设2F A =2F Bλ，若[]2,1λ∈--，点()2,0T，求TA TB+的取值范围．【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六）【答案】（1）2212xy+=；（2）2,8⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得1c=，设椭圆C的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则221121a b+=，又221a b=+，解得21b=或21(2b=-舍去)，所认221 2.a b=+=故椭圆C的标准方程为22 1.2xy+=（2）由题意设直线l的方程为 1.x my=+将直线l的方程代入2212xy+=中，得()222210m y my++-=设()()112212,,,,0,A x yB x y y y≠可得12222my ym+=-+，①12212y ym=-+，②将上面两式①式平方除以②式，得21222142.2y y my y m++=-+因为22,F A F Bλ=所以12,yyλ=且0.λ<则2212222141422,22y y m m y y m m λλ++=-⇒++=-++ 由[]225111142,12200,2222m m λλλλλ∈--⇒-≤+≤-⇒-≤++≤⇒-≤-≤+所以2207m ≤≤，因为()()11222,,2,,TA x y TB x y =-=- 所以()12124,TA TB x x y y +=+-+，又12222m y y m +=-+，所以()()21212241422m x x m y y m ++-=+-=-+，故()()2221212||4TA TB x x y y +=+-++()()()()()()()222222222222222161162282842881622222m m m mm mmmm ++-++=+==-++++++， 令212t m =+，因为2207m ≤≤，所以27111622m ≤≤+，即71,162t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以222717||82816842TA TB t t t ⎛⎫+=-+=--⎪⎝⎭．而71,,162t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以2169||4,.32TA TB ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦【名师点睛】本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设直线l 的方程为1x my =+，利用根与系数关系得出221422m m λλ++=-+，求出2m 的取值范围，考查了运算求解能力．3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()12,0F -，点(在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，O 为坐标原点，点A 为椭圆E 上一动点(非长轴端点)，直线2AF ､AO 分别与椭圆E 交于点B ､C ，求ABC 面积的最大值．【试题来源】江苏省南京市第一中学2020-2021学年高三上学期1月阶段性检测【答案】（1）22184x y +=；（2）ABC面积的最大值为． 【分析】（1）由题意可得2c =，将点代入椭圆方程，结合222a b c =+即可求解． （2）设直线2AF ：2x ky =+，将直线与椭圆联立，利用根与系数关系以及弦长公式求出AB ，利用点到直线的距离公式求出点O 到直线2AF 的距离为d ，2ABCAOBSSd AB ==⋅利用基本不等式即可求解．【解析】（1）因为椭圆经过点(，，且左焦点为()12,0F -，则222224212a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得228,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22184x y +=．（2）由题意可设直线2AF ：2x ky =+，221842x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()222440k y ky ++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12242k y y k +=-+，12242y y k =-+，12y y ∴-==()212212k AB y y k +=-=+，设O 到直线2AF 的距离为d ，则d =，由对称性可知OC OA =，则()22122ABCAOBk SSd AB k +==⋅==+12=≤==，即0k =时取等号，所以ABC 面积的最大值为【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出弦长以及根据对称性得出2ABCAOBSSd AB ==⋅，考查了分析能力、运算求解能力．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>过点⎛ ⎝⎭，其左顶点为A ，上顶点为B ．直线l ：2y x t =-+()t ∈R 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，直线AN ，BM 分别与椭圆C 交于点P ，Q ．（P 异于点A ，Q 异于点B ） （1）求椭圆C 的方程；（2）若AP BQ =，求直线l 的方程．【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =- 【分析】（1）由离心率及所过点的坐标结合222a b c =+列关于,,a b c 方程组解之可得； （2）求出直线,AN BM k k 知AN BM ⊥，设AN k k =，直线AN 方程为(2)y k x =+，直线BM 方程11y x k=-+，直线AN 方程与椭圆方程联立后求得P 点横坐标，由直线上弦长公式求得AP ，同理得BQ ，然后由AP BQ =求得k ，即得t 值，从而得到直线l 的方程．【解析】（1）由题意可知，2c a =，因为椭圆C 过点⎛ ⎝⎭，所以221314a b +=， 因为222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可知，(2,0)A -，(0,1)B ，且,02t M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,)N t ， 则2ANt k =，122BM k t t -==-，所以1AN BM k k ⋅=-，设AN 的斜率为k ，则AN ：(2)y k x =+，BM ：11y x k=-+， 将直线AN 与椭圆C 的方程联立，22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，整理得()222241161640k x k x k +++-=，因为2A x =-，且2216441A P k x x k -⋅=+，所以228241P k x k -+=+，则P AP x =+=， 将直线BM 与椭圆C 的方程联立221114y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得()22480k x kx +-=，因为0B x =，且284B Q kx x k +=+，所以284Q k x k =+，则BQ x ==7k =±， 因为2t k =，所以t =，则直线l的方程为2y x =- 【名师点睛】本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．本题在直线与椭圆相交问题中采取的方法是解析几何的基本方法，设直线斜率为k ，写出直线方程，与椭圆方程联立求出交点坐标，然后计算弦长，由弦长相等求得斜率k ，最终求得参数t .5．某城市决定在夹角为30的两条道路EB ､EF 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB =千米，O 为AB 的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN ，其中M ，N 在椭圆上，且MN 的倾斜角为45︒，交OD 于G ．（1）若3OE =千米，为了不破坏道路EF ，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为2，当线段OG 长为何值时，游乐区域OMN 的面积最大？ 【试题来源】湖南省永州市2021届高三下学期二模 【答案】（1）3；（2）当线段OG长为2千米，游乐区域MNP △的面积最大．【分析】（1）由题可设椭圆方程为2221x y a+=，可得出直线EF的方程为3y =+，根据题意可得直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程利用0∆≤可求出a 的范围；（2）由题可得椭圆方程为221(0)4x y x +=≥，设(),0G m ，将直线MN 的方程()02x y m m =+<<代入椭圆，利用根与系数关系表示出三角形面积可求出最值．【解析】（1）以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因为3OE =，则()0,3E ，又EB ､EF 夹角为30，所以直线EF的方程为3y =+．因为2AB =，则1b =，则椭圆方程为2221x y a+=，为了不破坏道路EF ，则直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程组22213x y a y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22221380a x x a +-+=，由于直线EF 与半椭圆至多只有一个交点， 则()422271380a aa-+⋅≤，又0a >，得0a <≤当3a =时半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以max 3a =．（2）设椭圆焦距为2c，由椭圆的离心率2c a =，1b =，222a b c =+，解得24a =，所以，椭圆的方程为221(0)4x y x +=≥．设(),0G m ，又MN 倾斜角为45︒，且交OD 于G ， 所以直线MN 的方程为()02x y m m =+<<，由2214x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得225240y my m ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1225y y m +=-，21245m y y -=，12y y -===，则1211122OMN S OG y y m =⨯⨯-==≤△，当且仅当m =OMN 的面积最大． 所以当线段OGMNP △的面积最大． 【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入根与系数关系求解．6．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,FF ．点12A ⎫⎪⎭在椭圆上；直线1AF 交y 轴于点B ．且22AF OB =-．其中O 为坐标原点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）直线l 斜率存在，与椭圆1C 交于,D E 两点，且与椭圆()22222:01x y C a bλλ+=<<有公共点，求DOE ∆面积的最大值．【试题来源】山东省菏泽市2021届高三下学期3月一模【答案】（1）2214x y +=；（2）()max 1211,12DOE S λλ∆⎧<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩．【分析】（1）由22AF OB =-可得c =12A ⎫⎪⎭代入方程化简即可求得方程；（2）设直线l 的方程,y kx m =+代入椭圆方程，结合根与系数关系求得弦长DE ，由点到直线距离公式与三角形面积公式求得面积表达式，通过化简整理即可得结果．【解析】()1 ()()12,0,,0F c F c -设由22AF OB =-可得()120,2B c y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，得0c -=即c =12A ⎫⎪⎭在椭圆上，因此223114a b +=， 即()22311,43a a +=-解得24a =或294a =(舍去)，故椭圆1C 的方程2214x y +=． ()2设直线l 的方程为,y kx m =+原点到直线l的距离为d =联立方程组2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩并化简得()222148440k x kmx m +++-=，设()()1122,,,D x y E x y ，则：2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，DE ==，故1122DOES d DE ∆=⋅====2244,x y y kx m λ⎧+=⎨=+⎩可得()222148440,kxkmx m λ+++-=则()()()2228414440,km k m λ-+-≥即2214m kλ≥+，故①当102λ<<时，则221142m k λ≤<+，故221142m k λ=<+， 即直线与椭圆22222:x y C a b λ+=相切时面积最大为②当121λ≤<时，易知221142m k =+时，DOE △面积最大为1． 综上可得()max1211,12DOE S λλ∆⎧<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩. 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．7．已知椭圆C 的方程为22213x y a +=，斜率为(0)k k ≠的直线与C 相交于,M N 两点．（1）若G 为MN 的中点，且34OG k k=-，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，若Р是椭圆C 的左顶点，1,4PM PN k k F ⋅=-是椭圆的左焦点，要使F 在以MN 为直径的圆内，求k 的取值范围．【试题来源】辽宁省沈阳市2020-2021学年高三下学期质量监测数学卷（一）【答案】（1）22143x y +=；（2）,00,77k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）设()()()112200,,,,,M x y N x y G x y 利用点差法求出直线MN 的斜率01221203x y y k x x a y -==-⨯-，将0034OG y k k x =-=代入可得a 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设MN 方程为y kx m =+与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出12x x +、12x x 、12y y +、12y y ，由14PM PN k k ⋅=-可得m 与k 之间的关系，再代入()()11221212121,1,10FM FN x y x y x x x x y y ⋅=++=++++<⋅即可求解．【解析】()1设,M N 两点坐标分别为()()()112200,,,,,M x y N x y G x y 带入椭圆方程得()()22112222221,131,23x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，()()12-得()()()()12121212203x x x x y y y y a +⋅-+⋅-+= 可得00121222212120023332MN x xy y x x k k x x a y y a y a y -+==-⨯=-⨯=-⨯=-+，因为0034OG y k k x =-=，所以2343k k a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭， 所以24a =，椭圆C 的方程为22143x y +=．()2设MN 方程为y kx m =+，则223412x y y kx m⎧+=⎨=+⎩， ()2223484120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，()12122286223434km m y y k x x m k m k k -⎛⎫+=++=⨯+= ⎪++⎝⎭， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=+⋅+=+++222222224128312343434m km m k k km m k k k ---⎛⎫=⋅++= ⎪+++⎝⎭()()()12121212121212222224PM PN y y y y y y k k x x x x x x x x ⋅⋅⋅=⨯==+++⋅+⋅+++ 22223121416164m k m km k -==--+，解得2m k =（舍)，或,m k =- 若F 在以MN 为直径的圆内，则0FM FN ⋅<，即()()11221212121,1,10FM FN x y x y x x x x y y ⋅=++=++++<⋅，222222412831210343434m km m k k k k---++=+++即222224128312340k k k k k -++-++=即2790k -<，且0k ≠，解得77k -<<且0k ≠，所以k 的取值范围为0,77⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【名师点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．8．以原点O 为中心的椭圆C 的焦点在x 轴上，G 为C 的上顶点，且C 的长轴长和短轴长为方程28120x x -+=的两个实数根． （1）求C 的方程与离心率；（2）若点N 在C 上，点M 在直线2y =上，2GN GM =，且GN GM ⊥，求点N 的坐标．【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考【答案】（1）C 的方程为2219x y +=，离心率为3；（2）2,3⎛ ⎝⎭或2,3⎛- ⎝⎭或2,3⎛- ⎝⎭或2,3⎛-- ⎝⎭． 【分析】（1）由根与系数关系得26a =，22b =，即可写出C 的方程及其离心率； （2）由GN GM ⊥知1GN GM k k =-⋅，令(),2M M x 且0M x ≠，(),N N N x y ，结合2GN GM =且N 在C 上，即可求N 的坐标．【解析】（1）由题意可设C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，因为28120x x -+=的两根为12x =，26x =，所以26a =，22b =，则3a =，1b =，即C 的方程为2219x y +=，所以离心率3c e a ==． （2）由（1）知()0,1G ，设(),2M M x 且0M x ≠，(),N N N x y ，则211GM M Mk x x -==， 由GN GM ⊥，得1GN M GMk x k =-=-．由2GN GM =0N x -=2N x =．由2219N N x y +=，得3N y =，故N 的坐标为⎛ ⎝⎭或2,⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或2,⎛- ⎝⎭．【名师点睛】（1）应用根与系数关系求椭圆参数值，进而写出椭圆方程及其离心率即可． （2）由直线垂直关系有1GN GM k k =-⋅，结合已知条件即可求N 的坐标．9．如图，已知点12,A A 分别是椭圆221:14x C y +=的左､右顶点，点P 是椭圆1C 与抛物线22:2(0)C y px p =>的交点，直线12,A P A P 分别与抛物线2C 交于,M N 两点(,M N 不同于P )．（1）求证：直线MN 垂直x 轴；（2）设坐标原点为O ，分别记,OPM OMN 的面积为21,S S ，当2OPA ∠为钝角时，求12S S 的最大值．【试题来源】浙江省超级全能生2021届高三下学期3月联考 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值18． 【分析】（1）设()()()001122,,,,,P x y M x y N x y ，写出1A P 方程与抛物线方程联立求出1x ，同理求得2x ，可证结论；（2）首先有220014x y +=且2002y px =，求出12,S S ，作比值12S S ，化为0x 的函数，由2OPA ∠为钝角时，即20PO PA ⋅<得0x 的范围，在此范围可得最大值． 【解析】（1）证明：由题可得点12(2,0),(2,0)A A -． 设()()()001122,,,,,P x y M x y N x y ，则直线0102:2x A P x y y +=-， 与抛物线2C 的方程联立，消去x 得()022240p x y y p y +-+=．由根与系数关系得104y y p ⋅=，所以220111200448,22p y y p p y x y p p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭====．又直线0202:2x A P x y y -=+，同理可得220222200448,22p y y p p y x y p p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-===，所以12x x =，所以直线MN 垂直x 轴．（2）因为点()00,P x y 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，所以220014x y +=且2002y px =．因为111OPMOA MOA PS SSS==-11101122OA y OA y =⋅-⋅2004p y y -=，22113013222OMNp S Sx y y ==⋅=， 所以2222200010224132244p y y y S y S p p p ⎛⎫-=⋅=-+ ⎪⎝⎭20084x x =-+． 因为2OPA ∠为钝角，所以20OP A P ⋅<，即2200020x x y -+<．把2214x y =-代入上式，解得0223x <<，易知当01x =时，12S S 取到最大值18．【名师点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是解析几何的基本思想与方法，设公共点00(,)P x y ，求出直线12,A P A P 方程与抛物线方程联立求得交点.M N 的坐标，由横坐标相等证明MN 与x 轴垂直，求最值时也是由点,M N 坐标求出面积比12S S ，由已知条件求得坐标0x 的取值范围，然后可得最大值．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，求11F A F B ⋅ 的取值范围．【试题来源】东北三省三校（哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 ）2020-2021学年高三下学期第一次联合模拟考试【答案】（1）22143x y +=；（2）73,4⎛⎤- ⎥⎝⎦． 【分析】（1）由离心率及点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得椭圆标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程后应用根与系数关系得1212,y y y y +，代入11F A F B ⋅，利用不等式的性质可得取值范围．【解析】（1）由条件知22222141914a b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，， 因此椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1111221,,1,F A x y F B x y =+=+， 设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()2234690m y my ++-=， 由根与系数关系得12122269,3434m y y y y m m --+==++， ()()()()11121212121122F A F B x x y y my my y y ⋅=+++=+++()()21212124m y y m y y =++++()222222969719124334343434m m m m m m m m ---+=+++==-+++++ 2344m +≥，219190344m ∴<≤+， 219733344m ∴-<-+≤+，所以1173,4F A F B ⎛⎤⋅∈- ⎥⎝⎦． 【名师点睛】本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，解题方法是设而不求的思想方法：设交点坐标坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程为y kx t =+，代入椭圆方程消元后（可以消去x ）应用根与系数关系得得1212,x x x x +（1212,y y y y +），代入所求的量化简变形后利用不等式的知识可得取值范围．11．已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C的长轴是圆2C ：222x y +=的直径．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【试题来源】广东省肇庆市2021届高三二模【答案】（1）2212x y +=；（2）2．【分析】（1）根据1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径，可得a ，再由离心率c e a ==，求得b 即可．（2）由（1）可得()1,0F -，分过点F 的直线1l 的斜率不存在，斜率为0，F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，分别求得弦长PQ ，MN ，根据两直线垂直，由12PMQN S MN PQ =求解． 【解析】（1）由2a =，得a =由2c e a ==，得1c =，所以1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）由（1）可得()1,0F -．①当过点F 的直线1l的斜率不存在时，MN =PQ =这时11222PMQN S MN PQ ==⨯=． ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，PQ =，这时11222PMQN S MN PQ ==⨯⨯= ③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y ．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=． 12222m y y m +=+，12212y y m -=+．所以)212212m y m PQ +=-==+．直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l的距离d =，所以MN ==所以12PMQNS MN PQ === 由222m +>，得2>，即(2,PMQN S ∈． 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．12．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【分析】（1）利用题意定义可求出2a =，再根据离心率可得答案；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系可表示出OAB 的面积，再利用函数的性质可得答案． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==，由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690t yty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，有12122269,4343t y y y y t t --+==++，由21OF =， 所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x =+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->．所以()f x 在[)1,x ∈+∞1≥，所以4≥，当且仅当0t =时取等号，所以6312S =≤，所以OAB 面积的最大值为32． 【名师点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆与直线的位置关系，解题的关键点是利用根与系数关系表示出三角形的面积，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力． 13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，动点G到()1F，)2F 两点的距离之和为4．（1）试判断动点G 的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C ； （2）已知直线L：(y k x =与圆F：(2214x y +=交于M 、N 两点，与曲线C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限．d 为原点O 到直线l 的距离，是否存在实数k ，使得()2T NQ MP d =-⋅取得最大值，若存在，求出k ；不存在，说明理由． 【试题来源】山东省日照市2021届高三下学期一模【答案】（1）椭圆，2214x y +=；（2）存在，2k =±． 【分析】（1）根据椭圆定义得方程；（2）分析可知1NQ MP PQ -=-，再代入消元，用根与系数关系及弦长公式得到T 的函数关系式，再求最值．【解析】（1）由题意知，124GF GF +=，又4>G 的轨迹是椭圆．由椭圆的定义可知，c =2a =，因为222a c b -=所以21b =，故G 的轨迹方程2214x y +=．（2）由题设可知，M 、N 一个椭圆外，一个在椭圆内；P 、Q 一个在2F 内，一个在2F 外，在直线l 上的四点满足：()()1NQ MP NQ NP MP NP PQ MN PQ -=+-+=-=-由(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()2222141240k x x k +-+-=，0∆>恒成立． 设()11,P x y ，()22,Q x y，由根与系数关系得212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，224441k PQ k +==+． 所以23141NQ MP PQ k -=-=+，O 到l距离，d =()()()222222299451411k k T NQ MP d k k k k =-⋅==++++2291145k k=≤=++，当且仅当2214kk =，即k=时等号成立．验证可知k =满足题意． 【名师点睛】把两条动线段的长度差转换为一条动线段与定值差的关系，从而转换为求动弦长的表达式（常规问题）．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且经过点2A ⎫⎪⎪⎭．设椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆C 上的一个动点（异于椭圆C 的左、右端点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线l ，过点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求12QF F 面积的最大值． 【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试【答案】（1）22143x y +=；（2）2． 【分析】（1）根据已知条件可得出224a c =，223b c =，再将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出c 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+，联立直线l 与椭圆C 的方程，由0∆=可得出2243m k =+，求出点Q 的坐标，可计算得出点Q 的轨迹方程，进而可求得12QF F 面积的最大值．【解析】（1）由椭圆C 的离心率12c a =，可得2214c a =，即有224a c =．再结合a 、b 、c 三者的关系可得223b c =．椭圆C 的方程可化为2222143x yc c+=，将点A ⎭代入上述椭圆方程可得2211122c c +=． 求解得21c =，所以1c =，2a =，b =C 的方程为22143x y +=；（2）设直线:l y kx m =+，联立直线l 与椭圆C 的方程可得()2224384120k x kmx m +++-=．若直线l 与椭圆C 相切，可得上述方程只有一个解，即有()()()22284434120km k m ∆=-+-=，化简可得2243m k =+，（*）．设点Q 的坐标为(),x y ，过点1F 作l 的垂线为()11:1l y x k=-+， 联立1l 与l 求得211km x k --=+，21k my k -+=+．由上式可得()()()()2222222222221111km m k k k m y m x k k ++-++++==++，将（*）代入上式可得224x y +=，故可知点Q 的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆．P 是椭圆C 上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点()2,0±．12QF F 的面积为1212122QF F Q Q S F F y y =⋅⋅=≤△，即12QF F 面积的最大值为2．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．15．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>（1）求椭圆E 的方程；（2）直线11:l y k x =交E 于A 、C 两点，直线22:l y k x =交E 于B 、D 两点，若1212k k ⋅=-．求四边形ABCD 的面积．【试题来源】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次模拟考试【答案】（1）2212x y +=；（2）【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）求出AC 以及点B 到直线AC 的距离d ，可得出四边形ABCD 的面积关于1k 、2k 的表达式，将2112k k =-代入四边形ABCD 的面积的表达式，化简即可得解．【解析】（1）由已知得2c a a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,C x y --、()22,D x y --， 联立12221222222y k x x k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，则2121212x k =+， ()111AC x x ∴=--==，同理可得2222212x k =+， 且B 到直线1l的距离d ===所以2ABC ABCD S S AC d ==⋅==△四边形又12211122k k k k =-⇒=-所以ABCD S =====四边形． 【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．16．已知椭圆22:16x C y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）经过原点的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线PM 与直线PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M ．①当点M 为椭圆C 的右顶点时，求证：PQM 为等腰三角形； ②当点P 不是椭圆C 的顶点时，求直线PQ 和直线QM 的斜率之比． 【试题来源】北京市2021届高三年级数学学科综合能力测试试题 【答案】（1（2）①证明见解析；②6． 【分析】（1）由椭圆方程得出a 、c 的值，即可得出椭圆C 的离心率的值；（2）①设点()00,P x y ，则点()00,Q x y --，由已知得出0QP MP ⋅=，可求得0x 、20y 的值，利用两点间的距离公式得出MP QP =，进而可证得结论成立； ②设点()11,M x y ，利用点差法计算得出16PM QM k k ⋅=-，由PM PQ ⊥得出1PM PQ k k ⋅=-，由此可得出PQ PQ PM QMQM PMk k k k k k ⋅=⋅，即可得解．【解析】（1）在椭圆22:16x C y +=中，a =1b =，则c ==因此，椭圆C的离心率为6c e a ===； （2）①设点()00,P x y ，则点()00,Q x y --，220016x y +=，可得220016x y =-，当点M 为椭圆C的右顶点时，)M，()00MP x y =，()002,2QP x y =，(2000220MP QP x x y ⋅=+=，即220106x x +-=，整理可得200560x -+=，即(0050x x =，由题意可知，点P 不与点M重合，则0x =202425y =，2QP x ==，(MP x ==MP QP =， 因此，PMQ 为等腰三角形； ②设点()11,M x y ，则1010PMy y k x x -=-，1010QM y y k x x +=+，则22102210PM QM y y k k x x -⋅=-， 由已知得221122001616x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222101006x x y y -+-=，可得2210221016PM QM y y k k x x -⋅==--， PM PQ ⊥，1PM PQ k k ∴⋅=-，所以，1616PQPQ PM QMQM PMk k k kk k ⋅-===⋅-．【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线:l y kx a =+，直线l 与椭圆C 交于M ，N两点，与y 轴交于点P ，O 为坐标原点．（1）若1k =，且N 为线段MP 的中点，求椭圆C 的离心率； （2）若椭圆长轴的一个端点为()2,0Q ，直线,QM QN 与y 轴分别交于,A B 两点，当1PA PB ⋅=时，求椭圆C 的方程．【试题来源】河南省2021届普通高中毕业班高考适应性测试【答案】（1）e ；（2）22143x y +=【分析】（1）由直线:l y x a =+，(),0M a -，()0,P a ，利用中点坐标公式知,22a a N ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入椭圆得2213b a =，利用离心率公式即可求解；（2）由题意得2a =，联立222142x yb y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22224161640kb x kx b +++-=，利用根与系数关系得2222216164,44M N M N k b x x x x k b k b-+=-=++，设直线QM 方程，求出A 坐标，进而求出PA ，同理求出PB ，再利用1PA PB ⋅=，求得23b =，可得椭圆方程．【解析】（1）若1k =，则直线:l y x a =+，可知直线l 与x 轴交与点(),0a -，与y 轴交与点()0,a ，∴点M 为椭圆C 的左顶点，即(),0M a -，()0,P a由中点坐标知,22a a N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆221:144a C b +=，得2213b a =，22222213c b e a a ==-=，即椭圆C的离心率e ．（2）由题意得2a =，知()0,2P ，椭圆222:14x y C b +=．联立222142x y b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()22224161640k b x kx b +++-=．设(),M M M x y ，(),N N N x y ，()22216440bkb ∆=+->由根与系数关系得2222216164,44M N M N k b x x x x k b k b-+=-=++ 可知直线:(2)2M M y QM y x x =--，20,2M M y A x ⎛⎫-∴ ⎪-⎝⎭()2242242(1)0,0,0,2222M M M M MM M M kx x y x k x PA x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+∴=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎝+⎭⎭． 同理可求得2(1)0,2N Nk x PB x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， ()222222222221644(1)4(1)44116416242444M N M N M N b k k x x k b PA PB b b k x x x x k b k b -+++∴⋅===-=--++⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭⨯， 23b ∴=．∴椭圆C 的标准方程为22143x y+=． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．已知点(1,0)A ，点B 是圆221:(1)16O x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与1BO 相交于点C ，点C 的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程（2）过点1O 作倾斜角互补的两条直线12,l l ，若直线1l 与曲线E 交于,M N 两点，直线2l 与圆1O 交于,P Q 两点，当,,,M N P Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ的面积为求直线1l 的方程．【试题来源】广东省广州市2021届高三一模【答案】（1）22143x y +=；（2）y x =或y x =-【解析】（1）C 在线段AB 的垂直平分线上，CA CB ∴=，又C 在1BO 上，1114O B O C CB O C CA ∴=+=+=， 则可得点C 的轨迹是以1,O A 为焦点的椭圆，则24a =，即2a =，1c =，2223b a c =-=，故E 的方程为22143x y +=；（2）若1l x ⊥轴时，如图，此时8PQ =，132MO =，则38122MPNQ S =⨯=，不符合题意；若2l x ⊥轴时，如图，此时4MN =，4OP =，则4416MPNQ S =⨯=，不符合题意；当12,l l 都不与坐标轴垂直时，如图，设1l 斜率分别为k ，由于12,l l 倾斜角互补，则2l 斜率为k -， 则直线1l 方程为()1y k x =+，直线2l 方程为()1y k x =-+，联立直线1l 与椭圆()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，则点M 到直线2l的距离为1d ===，同理可得点N 到直线2l的距离为2d =，则()1211822MPNQ S PQ d d =+=⨯⨯)121218112x x x =⨯+++=-==29634k k ==+2k =±， 故直线1l的方程为22y x=+或22y x =--．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入根与系数关系求解．19．设O 是坐标原点，以1F 、2F 为焦点的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为以12F F 为直径的圆和C 恰好有两个交点． （1）求C 的方程；（2）P 是C 外的一点，过P 的直线1l 、2l 均与C 相切，且1l 、2l 的斜率之积为112m m ⎛⎫-≤≤- ⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围．【试题来源】广东省深圳市2021届高三一模【答案】（1）2212x y +=；（2）． 【分析】（1）根据已知条件求出a 、b 、c 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）设过()00,P x y 的切线方程为()00:l y y k x x -=-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 可得出关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 相切可得出0∆=，可得出关于k 的二次方程，结合根与系数关系得出220012y mx m =+-，进而可得出PO 的表达式，根据二次函数的基本性质得出u =m 的取值范围可得结果．【解析】（1）由题意可得2a =，a ∴=因为以12F F 为直径的圆和C 恰好有两个交点，则b c =，222222b c b a +===，可得1b c ==，因此，椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由题意可知，直线1l 、2l 的斜率存在且不为零， 设过点()00,P x y 的切线()00:l y y k x x -=-，。
专题2.8 圆锥曲线-椭圆(解析版)-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练(新高考地区专用)
专题2.8 圆锥曲线-椭圆1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出根与系数关系；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入根与系数关系求解． 2．直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．1．已知点N 为圆1C ：()22116x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点M ､P 分别是线段1C N ，2C N 上的点，且20MP C N ⋅=，222C N C P =． （1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,0A -且斜率为()0k k >的直线与点M 的轨迹交于A ，G 两点，点H 在点M的轨迹上，GA HA ⊥，当2AG AH =2k <<． 【试题来源】广东省茂名市2021届高三下学期第二次综合测试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可得214MC MC +=，可判断点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，即可求出方程；（2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出AG =，同理可得AH =3246380k k k -+-=，利用导数结合零点存在性定理即可证明． 【解析】（1）222C N C P =，P ∴是2C N 的中点，20MP C N ⋅=，2MP C N ∴⊥，∴点M 在2C N 的垂直平分线上，2||MN MC ∴=，121||42MN MC MC MC +=+=>，∴点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，且2,1a c ==，则b =故点M 的轨迹方程为22143x y +=；（2）可得直线AG 的方程为(2)(0)y k x k =+>， 与椭圆方程联立可得()2222341616120kxk x k +++-=，设()11,G x y ，则2121612(2)34k x k -⋅-=+，可得()21223434k x k-=+，则12AG =+= 由题可得，直线AH 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得21243AH k=+由2AG AH =可得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=， 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，则()f t 在()0,∞+单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在()0,∞+有唯一零点，且零点k 在)22k <<．【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，解题的关键是利用椭圆定义得出M 的轨迹为椭圆；考查参数范围的证明，解题的关键是利用弦长公式求出弦长，利用已知得出3246380k k k -+-=，再利用导数证明．2．已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1F AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求PMN 面积的最大值． 【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】（1）22143x y +=；（2） 【分析】（1）根据周长可求a ，再根据离心率可求c ，求出b 后可求椭圆的方程． （2）当直线MN x ⊥轴时，计算可得PMN的面积的最大值为直线MN 不垂直x 轴时，可设:MN y kx =，联立直线方程和椭圆方程可求MN ，设与MN 平行且与椭圆C 相切的直线为y kx m =+，结合椭圆方程可求,k m 的关系，从而求出该直线到直线MN 的距离，从而可求PMN的面积的最大值为【解析】（1）由椭圆的定义可知，1F AB 的周长为4a ， 所以48a =，2a =，又离心率为12，所以1c =， 23b =， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）当直线MN x ⊥轴时，()max 122PMN S=⨯= 当直线MN 不垂直x 轴时，设:MN y kx =，22221234143y kx x x y k =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，2221234k y k =+，所以||MN = 设与MN 平行且与椭圆C 相切的直线为y kx m =+，()222223484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 因为()()2222644344120k m km∆=-+-=，所以2234m k =+， 所以P 距MN的最大距离为maxd ==， 所以()max max11||22PMN SMN d =⋅⋅=⨯= 综上，PMN面积的最大值为【名师点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化．3．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，连接11,AF BF 并延长交椭圆C 于D 、E 两点，连接DE ，求DEk k的值． 【试题来源】湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三下学期4月联考【答案】（1）22143x y +=；（2）53DE k k =． 【分析】（1）由P 在椭圆上，得到221914a b +=，再根据12e =和222a b c =+，求得,,a b c 的值，即可求解；（2）设()00,A x y ，得到直线001:1x AD x y y +=-，联立方程组，结合2200143x y +=，求得010325y y x -=+，01111x x y y +=-，同理求得020352y y x =-，022011x x y y -=-，结合斜率公式，化简005533DE y k k x =⋅=，即可求解．【解析】（1）由31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上22221x y a b+=，可得221914a b +=，又由离心率12e =，可得2a c =，且222a b c =+，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线001:1x AD x y y +=-， 代入22:143x y C +=，得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为2200143x y +=，代入化简得()()220000252130x y x y y y +-+-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则2010325y y y x -=+，所以010325y y x -=+，011011x x y y +=-， 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤-+---=⎣⎦，化简得()()220000522130x y x y y y ----=，故2020352y y y x --=-，即020352y y x =-，022011x x y y -=-， 所以()12121200012012121212000000121111DE y y y y y y k x x x y y x y y x x y y y y y y y y y y y y ---====+-++---++⋅- 又001200000120033225523352552y y y y x x x y y y y x x -+++-==----+-，00000015512335DEy k k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以53DE k k =． 4．已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 上异于短轴端点的两点，点M 满足OM OA OB =+，且226OM AB +=，试确定直线OA ，OB 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断【答案】（1）2212x y +=；（2）是定值，定值为12±．【分析】（1）由b c =以及点b ⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可求出椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1212,M x x y y ++，根据226OM AB +=可得222211223x y x y +++=，再根据点A ，B 在椭圆上，可得222212124x x y y ⋅=，从而121212OA OB y y k k x x ⋅==±． 【解析】（1）因为圆222:O x y b +=经过椭圆C 的右焦点2F ，所以b c =，a =，因为经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C所以点,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，即()222112b b+=，解得1b =，故a = 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）直线OA ，OB 斜率之积是定值，证明如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，由OM OA OB =+，得()1212,M x x y y ++．故()()()()()222222222212121212112226OM AB x x y y x x y y x y x y +=++++-+-=+++=．又点A ，B 在椭圆上，所以221122x y +=，222222x y +=，联立解得22122x x +=，22121y y +=．由221122x y =-，222222x y =-，得()()()2222222222121212121222224444x x y y yy y y y y ⋅=--=-++=，从而121212OA OB y y k k x x ⋅==±，即直线OA ，OB 斜率之积是定值12±．【名师点睛】将226OM AB +=化为222211223x y x y +++=，再结合221122x y +=，222222x y +=求解是解题关键．5．已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点2F 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求直线l 的方程．【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断【答案】（1）2212x y +=；（2）220x +-=或220x -=．【分析】（1）根据圆的性质，结合椭圆,,a b c 之间的关系，利用代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【解析】（1）因为圆222:O x y b +=经过椭圆C 的右焦点2F ， 所以b c =，a ，且过点2F 作圆O 的切线被椭圆C，所以,2b ⎛ ⎝⎭在椭圆上，即()222112b b+=， 所以1b =，a =C 的方程为2212x y +=．（2）当直线l 的斜率为零或不存在时，显然不满足题意． 设直线l 方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简整理，得()222210m y my ++-=．设交点A ，B 的坐标为(),A A A x y ，(),B B B x y ，则222A B my y m +=-+，212A By y m ⋅=-+，故有()()()2111A B A B A B A B x x my my m y y m y y ⋅=++=+++2222222221222m m m m m m -+=--+=+++ 由0OA OB ⋅=，得0A B A B x x y y +=，即有222221022m m m -+-=++，解得m =，所以直线l 的方程为220x +-=或220x --=．【名师点睛】由平面向量数量积的坐标表示公式得到222221022m m m -+-=++是解题的关键． 6．已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，准线为l ，椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的上焦点1F 到l 的距离为5，过1F 的直线1l 与E 交于M ，N 两点，当MN y ⊥轴时，3MN =． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线FM 与x 轴交于A 点，直线FN 与x 轴交于B 点，求证：FA FB =． 【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）冲刺卷（一）【答案】（1）22143y x +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知求得,,a b c ，可得椭圆E 的方程．（2）分当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==；当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ．与椭圆的方程联立，根据根与系数的关系表示FA FB k k ，，可得证．【解析】（1）设1(0,)F c ，由题意知:4l y =-，所以45c +=，解得1c =．在22221y x a b +=中令y c =，得2b x a =，因为3MN =，所以223b a =，232a b =．因为222312a a b a -=-=，得2a =，b =E 的方程为22143y x +=． （2）证明：（解法1）由题意知(0,4)F ，1(0,1)F ，当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==；当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ． 则10x ≠，20x ≠，直线FA ，FB 的斜率之和为121244FA FB y y k k x x --+=+， 由111y kx =+，221y kx =+得，()()12121212122332FA FB kx x x x x x k k k x x x x -+++==-．将1y kx =+代入22143y x +=得，()2234690k x kx ++-=，()2223636341441440k k k ∆=++=+>，所以122634k x x k +=-+，122934x x k =-+． 则()2121221833422220934kx x k k k k k x x k -++-=-=-=-+， 从而0FA FB k k +=，故直线FA ，FB 的倾斜角互补，所以OAF OBF ∠=∠，因此FA FB =．综上，FA FB =． （解法2）当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==； 当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()3,0A x ，()4,0B x ，则10x ≠，20x ≠，将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，()2223636341441440k k k ∆=++=+>，所以122634k x x k +=-+，122934x x k =-+． 设114:4y FA y x x -=+，224:4y FB y x x -=+，易知14y ≠，24y ≠，在1144y y x x -=+中，令0y =得13144x x y =--， 在2244y y x x -=+中，令0y =得24244x x y =--， 于是()()()1221121234121244444444x y x y x x x x x x y y y y ⎡⎤+-++=--=-⎢⎥----⎣⎦． 由111y kx =+，221y kx =+得，()()()1212341223444kx x x x x x y y ⎡⎤-++=-⎢⎥--⎣⎦，由于22962303434k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因此340x x +=， 所以点A 与点B 关于原点O 对称，而点F 在y 轴上，因此FA FB =． 综上，FA FB =．【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F的直线0x -+=与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO的面积为4． （1）求椭圆的方程；（2）若ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由．【试题来源】江苏省高考第二次适应性考试【答案】（1）2214x y +=；（2，理由见解析． 【分析】（1）由直线过左焦点写出左焦点坐标，得参数c、右焦点坐标，又由三角形面积1||24OMFM SOF y =⋅=，求M 坐标，即可确定△FMF '为直角三角形，进而求||,||MF MF '，根据椭圆定义求参数a ，写出椭圆方程即可．（2）讨论直线BC 的斜率：当不存在时，设直线BC ：1x x =，()11,B x y ，()11,C x y -，由重心坐标的性质求A 坐标，由A 在椭圆上求2211,x y ，求ABCS；当存在时，设直线BC ：y kx m =+，()11,B x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程结合根与系数关系求12x x +，12x x ，即得12y y +，由重心坐标的性质确定A 的坐标，由A 在椭圆上得22441m k =+，结弦长公式、点线距离公式求||BC 、A 到直线BC 的距离d ，求ABCS，即可判断是否为定值．【解析】（1）直线0x -+=过左焦点F，则有(F ，所以c =F '，又12OMF M S y ==△，得12My =，代入直线方程有M x =所以12M ⎫⎪⎭．所以△FMF '为直角三角形且90MF F '∠=︒，由椭圆定义，知12||||42a MF MF '=+==，即2a =， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线BC 的斜率不存在时，设直线BC 的方程为1x x =，若()11,B x y ，则()11,C x y -， 因为O 为ABC 的重心，可知()12,0A x -，代入椭圆方程，得221131,4x y ==，即有1||2||BC y =，A 到BC 的距离为3d =，所以11||3222ABCSBC d =⋅==， 当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y kx m =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，显然0∆>，所以122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，则()121222241m y y k x x m k +=++=+， 因为O 为ABC 的重心，可知2282,4141kmm A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 由A 在椭圆上，得2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+，所以12||||BC x x =-===，由重心的性质知A 到直线BC 的距离d 等于O 到直线BC距离的3倍，即d =，所以1||22ABCSBC d =⋅=，综上得，ABC ． 【名师点睛】第二问，若三角形顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)x y x y x y ，则其重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++求A 点坐标，再根据A 在椭圆上，求相关参数值或确定参数关系．8．已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B 的距离为7，椭圆C过点3⎛ ⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【答案】（1）22143x y +=；（2）360x-=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【解析】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B的距离7d ==，即2234b a =．① 又椭圆C过点⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+．由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号．故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时， 直线2A P的方程为360x +-=或360x --=．【名师点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论． 9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，其右顶点为A ，下顶点为B，且AB 若作与y 轴不重合且不平行的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，交y 轴于点C （异于点B ），直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）当M ，N 的横坐标的乘积是43时，试探究直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过，请说明理由．【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（五）【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点，定点为()0,2． 【分析】（1）将⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，并结合AB =得到关于2a ，2b 的方程组，解方程组即可求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y 及()22,Q x y ，将直线PQ 的方程代入椭圆方程得12x x +，12x x ，然后由直线BP 的方程，得点M的横坐标，由直线BQ 的方程得点N 的横坐标，结合43M N x x ⋅=，得到关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而求解．【解析】（1）由已知，A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，将⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，得221314a b +=，结合225a b +=，解得221,4b a ⎧=⎨=⎩或2215,45.4b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为22a b >，所以24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）设直线PQ 的方程y kx m =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y ， 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+． 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+， 所以()()121211M N x x x x y y ⋅=++()()121211x x kx m kx m =++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++，把直线y kx m =+代入椭圆2214x y +=得()222418440k x kmx m +++-=，由根与系数关系得122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+， 所以22222224441(44)(1)8(1)4141M N m k x x k m k m km m k k -+⋅=-+⋅-++++4(1)1m m -=+，又由43M N x x ⋅=，得()41413m m -=+，解得2m =．所以直线l 过定点()0,2． 【名师点睛】由直线BP 的方程，得点M 的横坐标，由直线BQ 的方程得点N 的横坐标，结合43M N x x ⋅=，得到关于m 的方程，解方程求出m 的值是解题关键． 10．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左顶点和下顶点，P 为直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594． （1）求E 的方程；（2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【试题来源】河北省唐山市2021届高三下学期第二次模拟【答案】（1）2214x y +=；（2）存在；33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设(3,)P t ，求出AP BP ⋅取得最小值3534a +，，由3559344a +=求出2a =，从而可得E 的方程；（2）假设存在点(3,)P t 满足题设，设()11,C x y ，()22,D x y ．联立直线PA 与椭圆方程，求出2x ，联立直线PB 与椭圆方程求出1x ，利用||||||||AD BC AP BP =得到21253x x +=，代入12,x x ，可求出t 即可得解． 【解析】（1）由题设得(,0)A a -，(0,1)B -．设(3,)P t ， 则(3,)AP a t =+，(3,1)BP t =+．所以293AP BP a t t ⋅=+++2135324t a ⎫⎛=+++ ⎪⎝⎭，于是当12t =-时，AP BP ⋅取得最小值3534a +，所以3559344a +=，解得2a =．所以E 的方程为2214x y +=．（2）假设存在点(3,)P t 满足题设，设()11,C x y ，()22,D x y ．所以直线PA 的方程为(2)5t y x =+，直线PB 的方程为113t y x +=-． 将(2)5ty x =+代入E 得()222242516161000t x t x t +++-=， 可得22216100(2)425t x t -⨯-=+，所以222508425t x t -=+． 将113t y x +=-代入E 得()22481324(1)0t t x t x ++-+=，可得1224(1)4813t x t t +=++． 若四边形ABCD 为梯形，则//AB CD ，所以||||||||AD BC AP BP =， 因为22(2)2||||3(2)5x x AD AP --+==--，110||||303x x BC BP -==-， 所以21253x x +=，所以22250824(1)3(2)54254813t t t t t -++=⨯+++， 所以22208(1)4254813t t t t +=+++，整理可得3281210150t t t -+-=， 即()2(23)450t t -+=，解得32t =．故当33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，四边形ABCD 为梯形． 【名师点睛】分别联立直线PA 、PB 与椭圆方程求出,D C 的横坐标，再将梯形转化为,D C 的横坐标进行求解是解题关键．11．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S += （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程． 【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（二）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，直线3y =． 【分析】（1）设(),P x y，利用12S S +=2ab =12c a =，222a b c =+，可得椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线EF 斜率存在时，设方程为1y kx =+，联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234880k x kx ++-=，利用根的系数关系得1212kx x x x =+，直线2EB1x x =，直线1FB2xx =，联立消去x 得3y =，当直线EF 的斜率不存在时，直线2EB ，1FB 与y 轴重合，过点()0,3，即可得到结论． 【解析】（1）设(),P x y ，//PM x 轴，//PN y 轴，()0,M y ∴，(),0N x ，,a Q y y b ⎛⎫-⎪⎝⎭，,b R x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，211122a ay S y y b b ∴=⋅=⋅，221122b bx S x x a a=⋅=⋅， 221212ay bx S S b a ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭222222ab x y ab a b ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，2ab ∴=12c a =，222a b c =+， 解得2a =，b =22143x y +=．（2）①当直线EF 斜率存在时，设其方程为1y kx =+，设()11,E x y ，()22,F x y ，联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234880k x kx ++-=，()226432340k k ∆=++>， 由根与系数关系得122834kx x k -+=+，122834x x k -=+，1212kx x x x ∴=+．因为(1B，(20,B ，所以直线2EB1x x =，直线1FB2xx =．联立消去x=，整理得3x y x y x x y++-=113x kx x kx x x ++++-⎤=23kx x x x x x+++-=33x x x x --+==，所以直线2EB ，1FB 的交点G 一定在直线3y =上；②当直线EF 的斜率不存在时，直线2EB ，1FB 与y 轴重合，过点()0,3， 由①②知直线2EB ，1FB 的交点G 在直线3y =上． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．已知椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>过点(2,0)D -，且焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A -的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，点T 与点Q 关于x 轴对称，直线TP 与x 轴交于点H ，是否存在常数λ，使得||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 【试题来源】北京市东城区2021届高三一模【答案】（1）2214x y +=（2）存在， 2λ=【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，设直线:l (4)y k x =+，代入2214x y +=，得到12x x +和12x x ，利用直线PT的方程求出H 的坐标，求出||AD 、||DH ，则可得λ的值．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)D -，所以2a =，又2c =c =222431b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线:l (4)y k x =+，联立22(4)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2222(14)326440k x k x k +++-=， 2222(32)4(14)(644)k k k ∆=-+-0>，得21012k <<， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，所以21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-=+， 直线PT ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得112112()y x x x x y y -=-+，所以112112()(,0)y x x H x y y --+，又||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-，所以1||||11||||||||AD DH AD DH DH AD λ-==-⋅，因为(2,0),(4,0)D A --，112112()(,0)y x x H x y y --+，所以||2AD =，112112()||2y x x DH x y y -=-++112112(4)()2(4)(4)k x x x x k x k x +-=-++++112112(4)()2()8k x x x x k x x k +-=-+++112111212()8(4)()2()8kx x x kx k x x x k x x k++-+-=+++221121111212128442()8kx kx x k x kx kx x kx kx k x x k++-+-+=+++1212124()22()8k x x kx x k x x k ++=+++22222232644421414232814k k k k k k k k k k --⋅+⋅++=+-⋅++12=-+1=，所以11112λ=-，解得λ=2．所以存在常数2λ=，使得||||2(||||)AD DH AD DH ⋅=-成立．【名师点睛】用,P Q 的坐标表示H 的坐标，再根据根与系数关系算||DH 的值是解题关键．13．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为2，且过点．（1）求椭圆G 的方程；（2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【试题来源】北京市顺义区2021届高三二模【答案】（1）22184x y +=；（2）()0,4N ，证明详见解析． 【分析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程():1,0l y kx k =+≠与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为0AN BN k k +=，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点．【解析】（1）由条件可知22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，224b c ==，所以椭圆G 的方程是22184x y +=；（2）设直线():1,0l y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N y ，联立221184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2212460k x kx ++-=， 122412kx x x k +=-+，122612x x k -=+， ANM BNM ∠=∠，0AN BN k k ∴+=，即1020212012101212y y y y x y x y x y x y x x x x ---+-+= ()()()211201212110x kx x kx y x x x x +++-+==，即()()12012210kx x y x x +-+=，()022*********k y k k k---=++，得04y =， 即存在定点()0,4N ．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(点M 位于x 轴上方)，2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6． （1）求椭圆C 的方程； （2）若1||MF m MN =，且2334m ≤<，设直线l 的倾斜角为θ，求sin θ的取值范围． 【试题来源】2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎦． 【分析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案．（2）根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出根与系数关系，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N 的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >，所以直线l 的斜率存在． 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>．联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410k k ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k-=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-． 设1mmλ=-，[2,3)λ∈，则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k k λλ--==+-+， 则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得0k <≤，即0tan θ<≤0sin θ<≤．故sin θ的取值范围是3⎛ ⎝⎦． 【名师点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634k y y k +=+，2122934k y y k -=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF mF Nm=∈-，得出关系求解，属于中档题． 15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()0,3M．（1）求C 的方程；（2）直线:1l y kx =-与椭圆C 交于,A B 两点． ①判断AMB ∠是否是定值并给出证明； ②求MA MB ⋅的最大值．【试题来源】湖北省华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期四月综合测试【答案】（1）221189x y +=；（2）①是定值，证明见解析；②32． 【分析】（1）将M 坐标代入椭圆，结合离心率可构造方程组求得,a b ，从而得到椭圆方程； （2）①将直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数关系的形式，根据向量的线性运算，结合根与系数关系可整理得到0MA MB ⋅=，由此确定90AMB ∠=；②由90AMB ∠=可知MA MB AB d ⋅=⋅，其中d 为点M 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式和弦长公式将其表示成关于k 的函数的形式，利用换元法，结合二次函数性质可求得所求的最大值．【解析】（1）由已知得2222229112bc a b aa ⎧=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得a =，3b =， ∴椭圆C 的方程为221189x y +=． （2）①由2211891x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22214160k x kx +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kx x k +=+，1221621x x k -=+ ()()()()121212123344MA MB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--()()()221212221614141641602121k kk x x k x x k k k -+=+-++=-⨯+=++， MA MB ∴⊥，即90AMB ∠=，为定值；②设d 为点M 到直线l 的距离，故MA MB AB d ⋅=⋅．又d =AB ===MA MB ∴⋅=，设2211k t +=≥，则MA MB ⋅=(]10,1t∈，32MA MB ∴⋅≤（当11t =，即0k =时等号成立），MA MB ∴⋅的最大值为32．16．已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，ABF 1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q两点，直线AP 、AQ 分别与直线x =点M 、N ．证明：FM FN ⊥．【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试（二）试题【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、c 的方程，解出a 、c 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为x my =+()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 与椭圆C 的方程联立，列出根与系数关系，求出点M 、N 的坐标，计算得出0FM FN ⋅=，由此可证得结论成立．【解析】（1）由题意可知，AF ac =+，b =()112ABF S a c =+=△，所以，22222a c a c b a ⎧+=+⎪-==⎨⎪>⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的标准方程为22142x y +=；（2）若直线l 与x 轴重合，则M 、N 重合，不合乎题意．椭圆C的右焦点为)F，设直线l的方程为x my =设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立2224x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩x 并整理得()22220m y ++-=， ()()2228821610m m m ∆=++=+>恒成立，由根与系数关系可得1222y y m +=-+，12222y y m =-+， 直线AP的斜率为112AP y k x ==+， 直线AP的方程为)2y x =+，在直线AP 的方程中，令x =可得12y y +=，即点12y M ⎛⎫+ ⎝，同理可知，点22y N ⎛⎫+ ⎝，所以，122,y FM ⎛⎫+= ⎝，222,y FN ⎛⎫+= ⎝，所以，21222yy FM FN +⋅=+(()()()2122212122222y ym y y m y y +=+++++()()()()22222222812223212m m+-==--+++()22820222m m=-=+-， 因此，FM FN ⊥．。
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椭圆题库1 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221()(1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 2 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF （1）求点T 的轨迹C 的方程；（2）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解 ：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （2）解：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 3 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 ③ ④由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----4．已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（12a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得 54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59． 由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4．（3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9³25， ④ 9x 22＋25y 22＝9³25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）．由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）.由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59.所以－516＜m ＜516．5 设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设=+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵=+，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即²=0.∵=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）， ∴OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）²（－23421k +）+3k ²（－23418k k +）+9=0，即k 2=165，得k =±45.∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 6 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ²2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解：（Ⅰ）：易知2,1,a b c == 所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,44k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k << 7 如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ，由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ② 又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+或22y x =-- 8 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e ． 直线,l ：y＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB ．（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△MF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由． 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）． 由).,(),(2a eaa b e a c λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得．（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形． 9 如图,椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段AB 的中点． (1) 求点P 的轨迹H 的方程;(2) 若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2a b πθθθθ=++=≤<确定θ的值,使原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时设l 与x 轴交点为D ,当直线m 绕点F 转动到什么位置时,三角形ABD 的面积最大?解：如图(1)设椭圆2222:1x y Q a b+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① ………………②1︒ 当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠由①—②得22121221221222222()2()20,,0,(*)b x x x a y y y y y b x yx x a y x cb x a y b cx -+-=-∴=-=--∴+-=2︒当 AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）． 故所求点P 的轨迹H 的方程为： 222220b x a y b cx +-=．(2)因为,椭圆Q 右准线l 方程是2a x c =,原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为2a c,222222,1c o s s i n ,s i n (0).2s 2s i n ().24c a b a b a c πθθθθθπ=-=++=≤==+由于则<2πθ=当时,上式达到最大值,所以当2πθ=时,原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时222,1,1,(2,0),1a b c D DF ====．设椭圆 22:121x y Q +=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y , △ABD 的面积1212111.222S y y y y =+=- 设直线m 的方程为1x ky =+,代入22121x y +=中,得22(2)210.k y ky ++-= 由韦达定理得12122221,,22k y y y y k k +=-=-++ ()()222212121222814()()4,2k S y y y y y y k+=-=+-=+令211t k =+≥,得28424tS t≤=,当1,0t k ==取等号． 因此,当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时, 三角形ABD 的面积最大．9． 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程．∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1．10设A 、B 分别为椭圆22221x x a b+=（,0a b >）的左、右顶点，椭圆长半轴．．．的长等于焦距，且4x =为它的右准线。